2013-2014学年山东省济南外国语学校高三（上）期中数学试卷（理科）
2013-2014学年山东省济南外国语学校高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．
1. 若向量a→=(2, 3)，b→=(x, −6)，且a→ // b→，则实数x=( )
A.−4 B.4 C.−6 D.6
2. 设α∈{−1, 1, 2, 3}，则使函数y=xα的值域为R，且为奇函数的所有α 的值为（ ）
A.1，3 B.−1，1 C.−1，3 D.−1，1，3
3. 下列说法中，正确的是（ ）
A.命题“若am2
0”的否定是：“∀x∈R，x2−x≤0”
D.已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件
4. 设全集是实数集R，M={x|x2>4}，N={x|12n，则奖励宝宝一本兴趣读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率．
如图，已知四棱锥P−ABCD．
（1）若底面ABCD为菱形，∠DAB=60∘，PA=PD，求证：PB⊥AD；
（2）若底面ABCD为平行四边形，E为PC的中点，在DE上取点F，过AP和点F的平面与平面BDE的交线为FG，求证：AP // FG．
已知函数f(x)=12x2−lnx．
（1）求f(x)的单调区间；
（2）若g(x)=−23x3+x2，证明当x>1时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的上方．
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(18，0)，求k的取值范围．
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参考答案与试题解析
2013-2014学年山东省济南外国语学校高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．
1.
【答案】
A
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
由向量平行的坐标运算公式计算即可．
【解答】
解：∵ 向量a→=(2, 3)，b→=(x, −6)，且a→ // b→，
∴ 3x−2×(−6)=0，
∴ x=−4；
故选：A．
2.
【答案】
A
【考点】
幂函数图象及其与指数的关系
【解析】
根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可．
【解答】
解：当α=−1时，y=x−1=1x，为奇函数，但值域为{y|y≠0}，不满足条件；
当α=1时，y=x，为奇函数，值域为R，满足条件；
当α=2时，y=x2为偶函数，值域为{y|y≥0}，不满足条件；
当α=3时，y=x3为奇函数，值域为R，满足条件．
故选A.
3.
【答案】
C
【考点】
复合命题及其真假判断
命题的真假判断与应用
【解析】
写出命题的逆命题，判断真假即可；利用或命题判断真假即可；利用特称命题的否定是全称命题写出结果判断真假即可；利用充要条件的判定方法判断即可．
【解答】
解：对于A，命题“若am20”的否定是：“∀x∈R，x2−x≤0”符合命题的否定性质，∴ C正确；
对于D，x∈R，则“x>1”不能说“x>2”，但是“x>2”可得“x>1”，∴ D不正确；
故选：C．
4.
【答案】
C
【考点】
Venn图表达集合的关系及运算
【解析】
先求出集合M，再根据韦恩图得到阴影部分表示的集合为N∩(∁UM)，借助数轴即可得解.
【解答】
解：M={x|x2>4}={x|x<−2或x>2},
由韦恩图知阴影部分表示的集合为N∩(∁UM),
又∁UM={x|−2≤x≤2}，N={x|10，则a6=4．
故选D．
9.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
导数的几何意义
【解析】
本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f(x)和y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．
【解答】
解：检验易知A，B，C均适合，
不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，
但y=f(x)和y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数.
故选D.
10.
【答案】
C
【考点】
等比数列的性质
【解析】
设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由a2，12a3，a1成等差数列得到关于q的方程，解之即可．
【解答】
解：由题意设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
∵ a2，12a3，a1成等差数列，
∴ a3=a2+a1，
∵ a1≠0，
∴ q2−q−1=0，
解得q=1+52或q=1−52（舍去）；
∴ a2+a3+a4a3+a4+a5=1q−5−12．
故选C．
11.
【答案】
B
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
通过令f(x)=0，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数．
【解答】
解：函数f(x)=2x|log0.5x|−1，
令f(x)=0，
在同一坐标系中作出y=(12)x与y=|log0.5x|的图像，
如图所示，
由图可得零点的个数为2．
故选B．
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12.
【答案】
B
【考点】
函数的周期性
【解析】
利用函数的周期性可得f(2014)=f(3×671+1)=f(1)，代入x∈(0, 3)时，f(x)的解析式进行求解即可．
【解答】
解：由于函数f(x)是定义在R上的函数，其最小正周期为3，
所以f(2014)=f(3×671+1)=f(1)，
而1∈(0, 3)，且x∈(0, 3)时，f(x)=log2(3x+1)，
所以f(1)=log2(3×1+1)=2，
所以f(2014)=f(1)=2．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上．
【答案】
0
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
由于直线y=3x+1与曲线y=x3+mx+n相切于点(1, 4)，将切点的坐标代入曲线方程，得到关于m，n 的方程，再求出在点(1, 4)处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最后解方程组即可得．从而问题解决．
【解答】
解：∵ 直线y=3x+1与曲线y=x3+mx+n相切于点(1, 4)，
将切点的坐标代入曲线方程得：
1+m+n=3，…①
∵ y=x3+mx+n，
∴ y′=3x2+m，当x=1时，y′=3+m得切线的斜率为3+m，
所以k=3+m=3；
∴ m=0．
故答案为：0．
【答案】
1
【考点】
数列的函数特性
【解析】
数列{xn}满足x0=5，且对任意自然数n均有xn+1=f(xn)，利用表格可得：
可得x1=f(x0)=f(5)=2，x2=f(x1)=f(2)=1，x3=f(x2)=f(1)=4，x4=f(x3)=f(4)=5，x5=f(x4)=f(5)=2，…，于是得到xn+4=xn，进而得出答案．
【解答】
解：∵ 数列{xn}满足x0=5，且对任意自然数n均有xn+1=f(xn)，利用表格可得：
∴ x1=f(x0)=f(5)=2，x2=f(x1)=f(2)=1，x3=f(x2)=f(1)=4，x4=f(x3)=f(4)=5，x5=f(x4)=f(5)=2，…，
∴ xn+4=xn，
∴ x2014=x503×4+2=x2=1．
故答案为：1．
【答案】
−1,1
【考点】
直线与圆的位置关系
关于点、直线对称的圆的方程
斜率的计算公式
【解析】
可求得点P(1, 4)关于直线x+y−3=0对称点的坐标，将两点的坐标代入圆C的方程，通过解关于a，b的方程组即可求得a，b．
【解答】
解：设点P(1, 4)关于直线x+y−3=0对称点是P′(x0, y0)，
则直线PP′的斜率k=y0−4x0−1=1，①
又线段PP′的中点M(x0+12, y0+42)在直线x+y−3=0上，
∴ x0+12+y0+42−3=0，②
由①②解得x0=−1，y0=2，
∴ P′(−1, 2)；
∴ 将两点的坐标代入圆C方程x2+y2+2ax−4y+b=0上得：
1+16+2a−16+b=01+4−2a−8+b=0，
解得a=−1b=1．
故答案为：−1；1．
【答案】
2
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
首先，求解函数的定义域，然后，借助于f(−x)和f(x)之间的关系，判断奇偶性；然后，借助于绝对值的几何意义，求解函数的值域问题；最后，借助于函数的单调性判断丙的说法正误．
【解答】
∵ 函数f(x)的定义域为R，且f(−x)=−x1+|x|=−f(x)，∴ ，函数f(x)为奇函数，所以，甲的说法是错误的；
f(x)=x1+x,x≥0x1−x,x<0 ，
当x≥0时，f(x)=x1+x=x+1−1x+1=1−11+x，
∴ 0≤f(x)<1，
当
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x<0时，f(x)=−xx−1=−x−1+1x−1=−1−1x−1，
∴ −12n，所占区域的面积为12×4×2=4
∴ 按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率为P2=425．
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
古典概型及其概率计算公式
【解析】
（1）是古典概型，求得所有取值基本事件总数、满足x+1=2y的(x, y)基本事件总数，即可求得概率；
（2）是几何概型，根据m，n∈[1, 6]，求出(m, n)所有取值组成正方形的面积，(m, n)满足不等式m>2n，求出其面积，从而可得结论．
【解答】
解：（1）由题意，宝宝所得点数记为x，家长所得点数记为y，所有取值基本事件总数为36
∵ 满足x+1=2y的(x, y)有(1, 1)，(3, 2)，(5, 3)共3组
∴ 抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率为P1=336=112；
（2）由题意，m，n∈[1, 6]，则(m, n)所有取值组成一个边长为5的正方形，其面积为25
(m, n)满足不等式m>2n，所占区域的面积为12×4×2=4
∴ 按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率为P2=425．
【答案】
证明：（1）取AD的中点为H，连接BH，PH
∵ PA=PD，∴ PH⊥AD
在菱形ABCD中，∠DAB=60∘，得BH⊥AD
∵ PH⊂面PBH，BH⊂面PBH，PH∩BH=H，
∴ AD⊥面PBH
∵ PB⊂面PBH，∴ PB⊥AD；
（2）连AC，设AC与BD交点为O，连OE
在平行四边形ABCD中，O是AC的中点，点E是PC的中点，所以OE // AP
因为AP⊄面BDE，OE⊂面BDE，所以AP // 面BDE
因为AP⊂面APFG，面APFG∩面BDE=FG
所以AP // FG
【考点】
直线与平面垂直的性质
直线与平面平行的性质
【解析】
（1）证明线线垂直，只需证明线面垂直，即证AD⊥面PBH；
（2）利用线面平行的判定，证明线面平行，再利用线面平行证明线线平行．
【解答】
证明：（1）取AD的中点为H，连接BH，PH
∵ PA=PD，∴ PH⊥AD
在菱形ABCD中，∠DAB=60∘，得BH⊥AD
∵ PH⊂面PBH，BH⊂面PBH，PH∩BH=H，
∴ AD⊥面PBH
∵ PB⊂面PBH，∴ PB⊥AD；
（2）连AC，设AC与BD交点为O，连OE
在平行四边形ABCD中，O是AC的中点，点E是PC的中点，所以OE // AP
因为AP⊄面BDE，OE⊂面BDE，所以AP // 面BDE
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因为AP⊂面APFG，面APFG∩面BDE=FG
所以AP // FG
【答案】
解：（1）∵ f(x)=12x2−lnx的定义域为(0,+∞)，
又f(x)可得：f′(x)=x−1x=x2−1x
令f′(x)=0，则x=1
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0, 1)
1
(1, +∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
递减
极小值
递增
故f(x)的单调递减区间是(0, 1)，单调递增区间是(1, +∞)
（2）令h(x)=f(x)−g(x)=23x3−12x2−lnx
则h′(x)=2x2−x−1x=2x3−x2−1x=(x−1)(2x2+x+1)x
∵ x>1
∴ h′(x)>0
∴ h(x)在(1, +∞)上单调递增
又h(1)=16>0∴f(x)>g(x)
当x>1时，f(x)的图象恒在g(x)图象的上方．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】
（1）求出函数的定义域，求出导函数，求出导函数的根，列出x，f′(x)，f(x)的变化情况表，求出单调区间．
（2）构造新函数h(x)=f(x)−g(x)，求出h(x)的导函数，判断出h′(x)>0在(1, +∞)上恒成立，判断出h(x)递增，求出h(x)的最小值，判断出最小值大于0，判断出h(x)>0，判断出f(x)>g(x)，得证．
【解答】
解：（1）∵ f(x)=12x2−lnx的定义域为(0,+∞)，
又f(x)可得：f′(x)=x−1x=x2−1x
令f′(x)=0，则x=1
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0, 1)
1
(1, +∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
递减
极小值
递增
故f(x)的单调递减区间是(0, 1)，单调递增区间是(1, +∞)
（2）令h(x)=f(x)−g(x)=23x3−12x2−lnx
则h′(x)=2x2−x−1x=2x3−x2−1x=(x−1)(2x2+x+1)x
∵ x>1
∴ h′(x)>0
∴ h(x)在(1, +∞)上单调递增
又h(1)=16>0∴f(x)>g(x)
当x>1时，f(x)的图象恒在g(x)图象的上方．
【答案】
解：（1）由题意设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)
∵ 椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，
∴ a+c=3，a−c=1，
∴ a=2，c=1，
∴ b2=3，
∴ 椭圆方程为x24+y23=1．…
（2）设M(x1, y1)，N(x2, y2)
由x24+y23=1y=kx+m，消去y并整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0…
∵ 直线y=kx+m与椭圆有两个交点△=(8km)2−4(3+4k2)(4m2−12)>0，即m2<4k2+3…
又x1+x2=−8km3+4k2，
∴ MN中点P的坐标为(−4km3+4k2，3m3+4k2)…
设MN的垂直平分线l′方程：y=−1k(x−18)．
∵ p在l′上，
∴ 3m3+4k2=−1k(−4km3+4k2−18)
即4k2+8km+3=0，
∴ m=−18k(4k2+3)…
将上式代入得(4k2+3)264k2<4k2+3，
∴ k2>120，即k>510或k<−510，
∴ k的取值范围为(−∞,−510)∪(510,+∞)…
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【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
（1）由椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得a+c=3，a−c=1，求出a，c，可求b，由此能导出椭圆的方程．
（2）设M(x1, y1)，N(x2, y2)，由x24+y23=1y=kx+m，消去y并整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，由直线y=kx+m与椭圆有两个交点，知m2<4k2+3．又x1+x2=−8km3+4k2，知MN中点P的坐标，由此能求出k的范围．
【解答】
解：（1）由题意设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)
∵ 椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，
∴ a+c=3，a−c=1，
∴ a=2，c=1，
∴ b2=3，
∴ 椭圆方程为x24+y23=1．…
（2）设M(x1, y1)，N(x2, y2)
由x24+y23=1y=kx+m，消去y并整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0…
∵ 直线y=kx+m与椭圆有两个交点△=(8km)2−4(3+4k2)(4m2−12)>0，即m2<4k2+3…
又x1+x2=−8km3+4k2，
∴ MN中点P的坐标为(−4km3+4k2，3m3+4k2)…
设MN的垂直平分线l′方程：y=−1k(x−18)．
∵ p在l′上，
∴ 3m3+4k2=−1k(−4km3+4k2−18)
即4k2+8km+3=0，
∴ m=−18k(4k2+3)…
将上式代入得(4k2+3)264k2<4k2+3，
∴ k2>120，即k>510或k<−510，
∴ k的取值范围为(−∞,−510)∪(510,+∞)…
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