2015年重庆中考数学卷（B）

2015年重庆中考数学卷（B）

重庆市2015年初中毕业暨高中招生考试 数学试题（B卷）‎ ‎（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）‎ 注意事项：‎ 1、 试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；‎ 2、 作答前认真阅读答题卡的注意事项；‎ 3、 作图（包括做辅助线）请一律用黑色签字笔完成；‎ 4、 考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回.‎ 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为.‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，期中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。‎ ‎1．（2015•重庆B）-3的绝对值是 ‎ ‎ A．3 B．-3 C． D．‎ 考点：绝对值．菁优网版权所有 ‎ 分析：根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出． ‎ 解答：解：| ﹣3|= ﹣（﹣3 ）=3 ． ‎ ‎ 故选：A． ‎ 点评：考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数 ‎ ‎ 的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0 ． ‎ ‎2．（2015•重庆B）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：中心对称图形．菁优网版权所有 ‎ 分析：根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解． ‎ 解答：解：由中心对称的定义知，绕一个点旋转 180°后能与原图重合，只有选项B 是中心对 ‎ ‎ 称图形． ‎ ‎ 故选：B． ‎ 点评：本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重 ‎ ‎ 合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． ‎ ‎3．（2015•重庆B）下列调查中，最适宜采用全面调查方式（普查）的是 ‎ A．对重庆市中学生每天学习所用时间的调查 ‎ B．对全国中学生心理健康现状的调查 ‎ C．对某班学生进行6月5日式“世界环境日”知晓情况的调查 ‎ D．对重庆市初中学生课外阅读量的调查 考点：全面调查与抽样调查．菁优网版权所有 ‎ 分析：由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的 ‎ ‎ 调查结果比较近似． ‎ 解答：解：A、对重庆市中学生每天学习所用时间的调查，人数众多，适宜采用抽样调查， ‎ ‎ 故此选项错误； ‎ ‎ B、对全国中学生心理健康现状的调查，人数众多，适宜采用抽样调查，故此选项错 ‎ ‎ 误； ‎ ‎ C、对某班学生进行6 月5 日是“世界环境日”知晓情况的调查，人数不多，适宜采用 ‎ ‎ 全面调查，故此选项正确； ‎ ‎ D 、对重庆市初中学生课外阅读量的调查，人数众多，适宜采用抽样调查，故此选项 ‎ ‎ 错误； ‎ ‎ 故选：C． ‎ 点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对 ‎ ‎ 象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义 ‎ ‎ 或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用 ‎ ‎ 普查． ‎ ‎4．（2015•重庆B）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（-3,2），则点P所在的象限是 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点：点的坐标．菁优网版权所有 ‎ 分析：根据点在第二象限的坐标特点即可解答． ‎ 解答：解：∵点的横坐标﹣3＜0，纵坐标2 ＞0， ‎ ‎ ∴这个点在第二象限． ‎ ‎ 故选：B． ‎ 点评：解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号：第一象限（+ ，+ ）； ‎ ‎ 第二象限（﹣，+ ）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+ ，﹣）． ‎ ‎5．（2015•重庆B）计算的值是 ‎ A．2 B．3 C． D． ‎ 考点：二次根式的加减法．菁优网版权所有 ‎ 专题：计算题． ‎ 分析：原式合并同类二次根式即可得到结果． ‎ 解答： ‎ ‎ 解：原式=， ‎ ‎ 故选D ． ‎ 点评：此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ‎ ‎6．（2015•重庆B）某校为纪念世界反法西斯战争胜利70周年，矩形了主题为“让历史照亮未来”的演讲比赛，期中九年级的5位参赛选手的比赛成绩（单位：分）分别为：8.6，9.5，9.7，8.8,9，则这5个数据中的中位数是 ‎ A．9.7 B．9.5 C．9 D．8.8‎ 考点：中位数．菁优网版权所有 ‎ 分析：根据中位数的定义解答．注意中位数需先排序，再确定． ‎ 解答：解：把这组数据按从小到大排序为：8.6，8.8，9，9.5，9.7， ‎ ‎ 中位数为9 ． ‎ ‎ 故选C． ‎ 点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要 ‎ ‎ 先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间 ‎ ‎ 的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． ‎ ‎7．（2015•重庆B）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是 ‎ A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 考点：多边形内角与外角．菁优网版权所有 ‎ 专题：计算题． ‎ 分析：设这个多边形是n 边形，内角和是（n ﹣2 ）•180°，这样就得到一个关于n 的方程组， ‎ ‎ 从而求出边数n 的值． ‎ 解答：解：设这个多边形是n 边形， ‎ ‎ 则（n ﹣2 ）•180°=900°， ‎ ‎ 解得：n=7 ， ‎ ‎ 即这个多边形为七边形． ‎ ‎ 故本题选C． ‎ 点评：根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决． ‎ ‎8．（2015•重庆B）已知一元二次方程，则该方程根的情况是 ‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 ‎ ‎ C．两个根都是自然数 D．无实数根 考点：根的判别式．菁优网版权所有 ‎ 分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△ =b2 ﹣4ac 的值的符号就可以了． ‎ 解答：解：∵a=2，b= ﹣5，c=3， ‎ ‎ ∴△=b2 ﹣4ac= （﹣5 ）2 ﹣4×2×3=1 ＞0， ‎ ‎ ∴方程有两个不相等的实数根． ‎ ‎ 故选：A． ‎ 点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△ 的 ‎ ‎ 关系：（1）△ ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2 ）△ =0⇔方程有两个相等的实数 ‎ ‎ 根；（3 ）△ ＜0⇔方程没有实数根，是解决问题的关键． ‎ ‎9.（2015•重庆B）如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O与点D，连接OD，若∠BAC=55°，则∠COD的大小为 ‎ A．70° B．60° ‎ ‎ C．55° D．35°‎ 考点：切线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有 ‎ 分析：由AC 是⊙O 的切线，可求得∠C=90°，然后由∠BAC=55°，求得∠B 的 ‎ 度数，再利用圆周角定理，即可求得答案． ‎ 解答：解：∵AC 是⊙O 的切线， ‎ ‎ ∴BC ⊥AC， ‎ ‎ ∴∠C=90°， ‎ ‎ ∵∠BAC=55°， ‎ ‎ ∴∠B=90° ﹣∠BAC=35°， ‎ ‎ ∴∠COD=2 ∠B=70°． ‎ ‎ 故选A． ‎ 点评：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．注意掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过 ‎ ‎ 切点的半径． ‎ ‎10．（2015•重庆B）下列图形都是有几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，按此规律，图⑩中黑色正方形的 个数是 ‎ A．32 B．29 C．28 D．26‎ 考点：规律型：图形的变化类．菁优网版权所有 ‎ 分析：仔细观察图形，找到图形的个数与黑色正方形的个数的通项公式后代入n=11 后即可 ‎ ‎ 求解． ‎ 解答：解：观察图形发现： ‎ ‎ 图①中有2 个黑色正方形， ‎ ‎ 图②中有2+3×（2 ﹣1）=5 个黑色正方形， ‎ ‎ 图③中有2+3 （3 ﹣1）=8 个黑色正方形， ‎ ‎ 图④中有2+3（4 ﹣1）=11 个黑色正方形， ‎ ‎ …， ‎ ‎ 图n 中有2+3（n ﹣1）=3n ﹣1 个黑色的正方形， ‎ ‎ 当n=10 时，2+3×（10 ﹣1）=29 ， ‎ ‎ 故选B． ‎ 点评：本题是对图形变化规律的考查，难点在于利用求和公式求出第n 个图形的黑色正方形 ‎ ‎ 的数目的通项表达式． ‎ ‎11．（2015•重庆B）某星期天下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先不行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y（公里）和所用时间x（分）之间的函数关系．下列说法中错误的是 ‎ A．小强从家到公共汽车站步行了2公里 B．小强在公共汽车站等小明用了10分钟 ‎ C．公共汽车的平均速度是30公里/小时 D．小强乘公共汽车用了20分钟 ‎ ‎ 考点：函数的图象．菁优网版权所有 ‎ 分析：根据图象可以确定小强离公共汽车站2 公里，步行用了多长时间，等公交车时间是多 ‎ ‎ 少，两人乘公交车运行的时间和对应的路程，然后确定各自的速度． ‎ 解答：解：A、依题意得小强从家到公共汽车步行了2 公里，故选项正确； ‎ ‎ B、依题意得小强在公共汽车站等小明用了 10 分钟，故选项正确； ‎ ‎ C、公交车的速度为15÷ =30 公里/小时，故选项正确． ‎ ‎ D 、小强和小明一起乘公共汽车，时间为30 分钟，故选项错误； ‎ ‎ 故选D ． ‎ 点评：本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理 ‎ ‎ 解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． ‎ ‎12．（2015•重庆B）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC=60°，顶点C的坐标为(m,)，反比例函数的图像与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是 ‎ A． B． C． D．‎ 考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 ‎ 分析： 首先过点C 作CE⊥x 轴于点E，由∠BOC=60°，顶点C 的坐标为（m ，3 ），可求 ‎ ‎ 得OC 的长，又由菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，可求 ‎ ‎ 得OB 的长，且∠AOB=30°，继而求得DB 的长，则可求得点D 的坐标，又由反比例 ‎ ‎ 函数 的图象与菱形对角线AO 交D 点，即可求得答案． ‎ 解答：解：过点C 作CE⊥x 轴于点E， ‎ ‎ ∵顶点C 的坐标为（m ，3 ）， ‎ ‎ ∴OE= ﹣m ，CE=3， ‎ ‎ ∵菱形ABOC 中，∠BOC=60°， ‎ ‎ ∴OB=OC==6 ，∠BOD=∠BOC=30°， ‎ ‎ ∵DB⊥x 轴， ‎ ‎ ∴DB=OB•tan30°=6× =2， ‎ ‎ ∴点D 的坐标为：（﹣6，2 ）， ‎ ‎ ∵反比例函数 的图象与菱形对角线AO 交D 点， ‎ ‎ ∴k=xy= ﹣12． ‎ ‎ 故选D ． ‎ 点评：此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．注意准确作出辅助线， ‎ ‎ 求得点D 的坐标是关键． ‎ 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.‎ ‎13．（2015•重庆B）据不完全统计，我国常年参加志愿者服务活动的志愿者超过65000000人，把65000000用科学计数法表示为______ .‎ 考点：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 ‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时， ‎ ‎ 要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 ‎ ‎ 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． ‎ 解答： 解：将65000000 用科学记数法表示为：6.5×107 ． ‎ ‎ 故答案为：6.5×107 ． ‎ 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a| ‎ ‎ ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． ‎ ‎14．（2015•重庆B）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2:3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为_______ .‎ 考点：相似三角形的性质．菁优网版权所有 ‎ 分析：相似三角形对应边上中线的比等于相似比，根据以上性质得出即可． ‎ 解答：解：∵△ABC∽△DEF ，△ABC 与△ DEF 的相似比为2 ：3， ‎ ‎ ∴△ABC 与△ DEF 对应边上中线的比是2 ：3， ‎ ‎ 故答案为：2 ：3 ． ‎ 点评：本题考查了相似三角形的性质的应用，能理解相似三角形的性质是解此题的关键，注 ‎ ‎ 意：相似三角形对应边上中线的比等于相似比． ‎ ‎15．（2015•重庆B）计算： =___________.‎ 考点：实数的运算；零指数幂．菁优网版权所有 ‎ 专题：计算题． ‎ 分析：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果． ‎ 解答：解：原式=1+9=10 ． ‎ ‎ 故答案为：10 ‎ 点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ‎ ‎16．（2015•重庆B）如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是______ （结果保留）‎ 考点：扇形面积的计算．菁优网版权所有 ‎ 分析：根据题意有S 阴影部分=S 扇形BAD ﹣S 半圆BA ，然后根据扇 ‎ 形的面积公式：S= 和圆的面积公式分别计算扇形和半圆 ‎ 的面积即可． ‎ 解答：解：根据题意得，S 阴影部分=S 扇形BAD ﹣S 半圆BA ， ‎ ‎ ∵S 扇形BAD==4π ‎ ‎ S 半圆BA= •π•2 2 =2π， ‎ ‎ ∴S 阴影部分=4π ﹣2π=2π． ‎ ‎ 故答案为2π． ‎ 点评：此题考查了扇形的面积公式：S= ，其中n 为扇形的圆心角的度数，R 为圆的半 ‎ ‎ 径），或S=lR，l 为扇形的弧长，R 为半径． ‎ ‎17（2015•重庆B）．从-2，-1，0，1，2这5个树种，随机抽取一个数记为a，则使关于x的不等式组 有解，且使关于x的一元一次方程 的解为负数的概率为______ ‎ 考点：概率公式；一元一次方程的解；解一元一次不等式组．菁优网版权所有 ‎ 分析：分别求得使关于x 的不等式组有解，且使关于x 的一元一次方程 ‎ ‎ 的解为负数的a 的值满足的条件，然后利用概率公式求解即可． ‎ 解答：解：∵使关于x 的不等式组有解的a 满足的条件是a＞﹣ ， ‎ ‎ 使关于x 的一元一次方程的解为负数的a 的a＜ ， ‎ ‎ ∴使关于x 的不等式组有解，且使关于x 的一元一次方程 ‎ ‎ 的解为负数的a 的值为﹣1，0，1，三个数， ‎ ‎ ∴使关于x 的不等式组 有解，且使关于x 的一元一次方程 ‎ ‎ 的解为负数的概率为 ， ‎ ‎ 故答案为： ． ‎ 点评：本题考查了概率公式、一元一次方程的解及解一元一次不等式组的知识，解题的关键 ‎ ‎ 是首先确定满足条件的a 的值，难度不大． ‎ ‎18．（2015•重庆B）如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF，当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF=___ ___.‎ 考点：全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有 ‎ 分析：过点F 作FG ⊥AC 于点G，证明△ BCE≌△GCF ，得到CG=CB=2，根据勾股定理 ‎ ‎ 得AC=4 ，所以AG=4 ﹣2，易证△AGF ∽△CBA，求出AF 、FG ，再求出AE，得 ‎ ‎ 出AE+AF 的值． ‎ 解答：解：如图作FG⊥AC,易证△BCE≌△GCF（AAS），‎ ‎ ∴BE=GF,BC=CG，∵在Rt△ABC中 ‎ ‎ ∴∠ACB=30°，∴AC=2AB=4，∠DAC=∠ACB=30°(内错角)，‎ ‎ ∵FG⊥AC，∴AF=2GF, ∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE,‎ ‎ 设BE=x，在Rt△AFG中AG= ，‎ ‎ ，解得 ‎ ‎ ∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE=‎ ‎ 故答案为：． ‎ 点评：本题主要考查了三角形全等的判定和性质以及三角形相似的判定与性质，有一定的综 ‎ ‎ 合性，难易适中． ‎ 三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.‎ ‎19．（2015•重庆B）解二元一次方程组 ‎ 考点：解二元一次方程组．菁优网版权所有 ‎ 专题：计算题． ‎ 解答：解：② ﹣①得：5y=5，即y=1 ， ‎ ‎ 把y=1 代入①得：x=3 ， ‎ ‎ 则方程组的解为 ．‎ 分析：方程组利用加减消元法求出解即可． ‎ 点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加 ‎ ‎ 减消元法． ‎ ‎20．（2015•重庆B）如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF. ‎ 求证：BC=FD 考点：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎ 专题：证明题． ‎ 分析：根据已知条件得出△ACB≌△DEF ，即可得出BC=DF ． ‎ 解答：证明：∵AB∥EF ， ‎ ‎ ∴∠A= ∠E， ‎ ‎ 在△ABC 和△ EFD 中 ‎ ‎ ‎ ‎ ∴△ABC≌△EFD （SAS ） ‎ ‎ ∴BC=FD ． ‎ 点评：本题考查了平行线的性质和三角形全等的判定方法，难度适中． ‎ 四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.‎ ‎21．（2015•重庆B）化简下列各式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ 考点：分式的混合运算；整式的混合运算．菁优网版权所有 ‎ 专题：计算题． ‎ 分析：（1）原式利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得 ‎ ‎ 到结果； ‎ ‎ （2 ）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变 ‎ ‎ 形，约分即可得到结果． ‎ 解答： （1）‎ ‎ ‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ 点评：此题考查了分式的混合运算，以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关 ‎ ‎ 键． ‎ ‎22．（2015•重庆B）某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为A）、音乐类（记为B）、球类（记为C）、其他类（记为D）.根据调查结果发现该班每个学生都进行了等级且只登记了一种自己最喜欢的课外活动.班主任根据调查情况把学生都进行了归类，并制作了如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：‎ ‎（1）七年级（1）班学生总人数为_______人，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为_____度，请补全条形统计图；‎ ‎（2）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名擅长绘画.班主任现从A类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率.‎ 考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有 ‎ 分析：（1）由条形统计图与扇形统计图可得七年级（1）班学生总人数为：12÷25%=48 （人）， ‎ ‎ 继而可得扇形统计图中D 类所对应扇形的圆心角为为：360°× =105°；然后求得C ‎ ‎ 类的人数，则可补全统计图； ‎ ‎ （2 ）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两名 ‎ ‎ 学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的情况，再利用概率公式即可求得答案． ‎ 解答：解：（1）∵七年级（1）班学生总人数为：12÷25%=48（人）， ‎ ‎ ∴扇形统计图中D 类所对应扇形的圆心角为为：360°× =105°； ‎ ‎ 故答案为：48 ，105；‎ ‎ C 类人数：48 ﹣4 ﹣12 ﹣14=18 （人），如图：‎ ‎(2)记A类学生擅长书法的为A1，擅长绘画的为A2，则可列下表：‎ A1‎ A1‎ A2‎ A2‎ A1‎ ‎√‎ ‎√‎ A1‎ ‎√‎ ‎√‎ A2‎ ‎√‎ ‎√‎ A2‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎∴由上表可得：‎ ‎ ‎ 点评：此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点 ‎ ‎ 为：概率=所求情况数与总情况数之比． ‎ ‎23．（2015•重庆B）如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”.‎ ‎(1)请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；‎ ‎(2) 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x(，x为自然数)，十位上的数字为y，求y与x的函数关系式.‎ 考点：因式分解的应用；规律型：数字的变化类；函数关系式．菁优网版权所有 ‎ 专题：新定义． ‎ 分析：（1）根据“和谐数”写出四个四位数的“和谐数”；设任意四位数“和谐数”形式为：abba ‎ ‎ （a、b 为自然数），则这个四位数为a×103 +b×102 +b×10+a=1001a+110b，利用整数的 ‎ ‎ 整除得到 =91a+10b ，由此可判断任意四位数“和谐数”都可以被 11 整除； ‎ ‎ （2 ）设能被11 整除的三位“和谐数”为：xyx ，则这个三位数为 ‎ ‎ x•10 +y•10+x=101x+10y，由于，根据整数的整除性得到2x ‎ ‎ ﹣y=0 ，于是可得y 与x 的关系式． ‎ 解答：解：⑴四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）‎ ‎ 任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下：‎ ‎ 设任意四位“和谐数”形式为：，则满足：‎ ‎ 最高位到个位排列：‎ ‎ 个位到最高位排列：‎ ‎ 由题意，可得两组数据相同，则：‎ ‎ 则 ‎ ∴ 四位“和谐数”能被11整数 ‎ 又∵为任意自然数，‎ ‎ ∴任意四位“和谐数”都可以被11整除 ‎ ⑵设能被11整除的三位“和谐数”为：，则满足：‎ ‎ 个位到最高位排列： ‎ ‎ 最高位到个位排列： ‎ ‎ 由题意，两组数据相同，则：‎ ‎ 故 ‎ 为正整数 ‎ ∴‎ 点评：本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问 ‎ ‎ 题；利用因式分解简化计算问题．灵活利用整数的整除性． ‎ ‎24．（2015•重庆B） 某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD.瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角，观测渔船N在俯角，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米.‎ ‎（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；‎ ‎（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度.为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？‎ 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；分式方程的应用；解直角三角形的应用-坡度坡 ‎ ‎ 角问题．菁优网版权所有 ‎ 分析：（1）根据已知求出EN，根据正切的概念求出EM，求差得到答案； ‎ ‎ （2 ）根据坡度和锐角三角函数的概念求出截面积和土石方数，根据题意列出分式方 ‎ ‎ 程，解方程得到答案． ‎ 解答：解：（1）在Rt△PEN中，EN=PE=30m 在Rt△PEM中，‎ ‎∴‎ 答：两渔船M、N之间的距离为20米 ‎（2）过点F作FM∥AD交AH于点M，过点F作FN⊥AH交直线AH于点N 则四边形DFMA为平行四边形，，DF=AM=3m 由题意：，‎ 在RT△FNH中，m 在RT△FNM中，m 故HM=HN-MN=36-6=30m ‎∴AH=AM+HM=3+30=33m 故需要填筑的土石方共 设原计划平均每天填筑，则原计划天完成；增加机械设备后，现在平均每天填筑 解得：‎ 经检验：是原分式方程的解，且满足实际意义 答：该施工队原计划平均每天填筑600的土石方 点评：本题考查的是解直角三角形和分式方程的应用，掌握锐角三角函数的概念和解直角三 ‎ ‎ 角形的一般步骤、根据题意正确列出分式方程是解题的关键，注意分式方程解出未知 ‎ ‎ 数后要验根． ‎ 五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.‎ ‎25．（2015•重庆B）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.‎ ‎（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；‎ ‎（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF扔与线段AC相交于点F.求证：；‎ ‎（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：.‎ 考点：几何变换综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；锐角三角函 ‎ ‎ 数的定义．菁优网版权所有 ‎ 专题：综合题． ‎ 分析：（1）如图1，易求得∠B=60°，∠BED=90°，BD=2 ，然后运用三角函数的定义就可求 ‎ ‎ 出BE 的值； ‎ ‎ （2 ）过点D 作DM ⊥AB 于M，作DN ⊥AC 于N ，如图2 ，易证△ MBD ≌△NCD ， ‎ ‎ 则有BM=CN ，DM=DN ，进而可证到△ EMD ≌△FND ，则有EM=FN ，就可得到 ‎ ‎ BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB； ‎ ‎ （3 ）过点D 作DM ⊥AB 于M，如图3 ．同（1）可得：∠B= ∠ACD=60°，同（2 ） ‎ ‎ 可得：BM=CN ，DM=DN ，EM=FN ．由DN=FN 可得DM=DN=FN=EM，从而可得 ‎ ‎ BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM ，BE ﹣CF=BM+EM ﹣CF=BM+NF ‎ ‎ ﹣CF=BM+NC=2BM．然后在Rt△ BMD 中，运用三角函数就可得到DM= BM，即 ‎ ‎ BE+CF=（BE ﹣CF ）． ‎ 解答： 解：[来源:Zxxk.Com]‎ ‎⑴由四边形AEDF的内角和为，可知DE⊥AB，故 ‎⑵取AB的中点G，连接DG 易证：DG为△ABC的中位线，故DG=DC，‎ 又四边形AEDF的对角互补，故 ‎∴△DEG≌△DFC 故EG=CF ‎∴BE+CF=BE+EG=BG=AB ‎⑶取AB的中点G，连接DG 同⑵，易证△DEG≌△DFC 故EG=CF 故BE-CF=BE-EG=BG=‎ 设 在Rt△DCN中，CD=2x，DN=‎ 在RT△DFN中，NF=DN=，故EG=CF=‎ BE=BG+EG=DC+CF=2x+=‎ 故BE+CF=‎ 故 点评：本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定 ‎ ‎ 与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到 ‎ ‎ BM=CN ，DM=DN ，EM=FN 是解决本题的关键． ‎ ‎26．（2015•重庆B）如图，抛物线与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. 点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.‎ ‎（1）求直线AD的解析式；‎ ‎（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；‎ ‎（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.‎ 考点：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎ 分析：（1）先求出C （0，3 ），A （﹣1，0 ），B （3，0 ），再利用配方法得y= ﹣（x ﹣1）2+4 ， ‎ ‎ 则抛物线对称轴为直线x=1 ，于是可确定D （2 ，3 ），则可利用待定系数法求直线AD ‎ ‎ 的解析式； ‎ ‎ （2 ）由E （0，1）可判断△ OAE 为等腰直角三角形，则∠EAO=45°，由于FH∥OA， ‎ ‎ 则可得到△ FGH 为等腰直角三角形，过点F 作FN ⊥x 轴交AD 于N ，如图，则△ FNH ‎ ‎ 为等腰直角三角形，所以GH=NG，于是得到△FGH 周长等于△ FGN 的周长，由于 ‎ ‎ FG=GN=FN ，则△FGN 周长=（1+）FN ，所以当FN 最大时，△FGN 周长的最 ‎ ‎ 大，设F （x ，﹣x2 +2x+3 ），则N （x ，x+1 ），则FN= ﹣x2 +2x+3 ﹣x ﹣1，利用二次函 ‎ ‎ 数的最值问题可得当x= 时，FH 有最大值 ，于是△ FGN 周长的最大值为 ； ‎ ‎ （3 ）直线AM 交y 轴于R，M（1，4 ），利用待定系数法求出直线AM 的解析式为y=2x+2 ， ‎ ‎ 则R （0，2 ），然后分类讨论：当AQ 为矩形APQM 的对角线，如图1，利用 ‎ ‎ Rt△AOR∽Rt△ POA，可计算出OP=，则P 点坐标为（0，﹣ ），接着利用平移可 ‎ ‎ 得到Q （2 ， ），于是由点T 和点Q 关于AM 所在直线对称，根据线段中点坐标公式 ‎ ‎ 易得T 点坐标为（0， ）；当AP 为矩形APQM 的对角线，反向延长QA 交y 轴于S， ‎ ‎ 如图2 ，同理可得S 点坐标为（0，﹣ ），易得R 点为AM 的中点，则R 点为PS 的 ‎ ‎ 中点，所以PM=SA，P （0， ），加上PM=AQ ，则AQ=AS ，于是可判断点Q 关于 ‎ ‎ AM 的对称点为S，即T 点坐标为（0，﹣ ）． ‎ 解答： 解：⑴AD：‎ ‎⑵过点F作x轴的垂线，交直线AD于点M，易证△FGH≌△FGM 故 设 则FM=‎ 则 C=‎ 故最大周长为 ‎⑶‎ ‎①若AP为对角线 如图，由△PMS∽△MAR可得 由点的平移可知 故Q点关于直线AM的对称点T为 ‎ ‎②若AQ为对角线 如图，同理可知P 由点的平移可知Q 故Q点关于直线AM的对称点T为 ‎ 点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、二次函数与x 轴的交点问 ‎ ‎ 题和矩形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活运用相似三角形的性质计算 ‎ ‎ 线段的长；记住坐标系中点平移的规律． ‎