- 2021-04-14 发布 |
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文档介绍
中考数学试题分类汇编考点+中考数学试题(含答案解析)等大全集
中考数学试题分类 汇编考点+中考数学试题(含答案解析)等大全集 中考数学试题分类汇编：考点 10 一元二次方程 一．选择题（共 18 小题） 1．（2018•泰州）已知 x1、x2 是关于 x 的方程 x2﹣ax﹣2=0 的两根，下列结论一定正确的 是（ ） A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0 【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出 x1≠x2，结论 A 正确； B、根据根与系数的关系可得出 x1+x2=a，结合 a 的值不确定，可得出 B 结论不一定正确； C、根据根与系数的关系可得出 x1•x2=﹣2，结论 C 错误； D、由 x1•x2=﹣2，可得出 x1、x2 异号，结论 D 错误． 综上即可得出结论． 【解答】解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0， ∴x1≠x2，结论 A 正确； B、∵x1、x2 是关于 x 的方程 x2﹣ax﹣2=0 的两根， ∴x1+x2=a， ∵a 的值不确定， ∴B 结论不一定正确； C、∵x1、x2 是关于 x 的方程 x2﹣ax﹣2=0 的两根， ∴x1•x2=﹣2，结论 C 错误； D、∵x1•x2=﹣2， ∴x1、x2 异号，结论 D 错误． 故选：A． 2．（2018•包头）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m﹣2=0 有两个实数根，m 为正整数， 且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数 m 的和为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出 m≤3，由 m 为正整数结合该方程 的根都是整数，即可求出 m 的值，将其相加即可得出结论． 【解答】解：∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m﹣2=0 有实数根 ∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0， ∴m≤3． ∵m 为正整数，且该方程的根都是整数， ∴m=2 或 3． ∴2+3=5． 故选：B． 3．（2018•宜宾）一元二次方程 x2﹣2x=0 的两根分别为 x1 和 x2，则 x1x2 为（ ） A．﹣2 B．1 C．2 D．0 【分析】根据根与系数的关系可得出 x1x2=0，此题得解． 【解答】解：∵一元二次方程 x2﹣2x=0 的两根分别为 x1 和 x2， ∴x1x2=0． 故选：D． 4．（2018•绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则参加酒会 的人数为（ ） A．9 人 B．10 人 C．11 人 D．12 人 【分析】设参加酒会的人数为 x 人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯 55 次，即可得出 关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设参加酒会的人数为 x 人， 根据题意得： x（x﹣1）=55， 整理，得：x2﹣x﹣110=0， 解得：x1=11，x2=﹣10（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为 11 人． 故选：C． 5．（2018•临沂）一元二次方程 y2﹣y﹣ =0 配方后可化为（ ） A．（y+ ）2=1 B．（y﹣ ）2=1 C．（y+ ）2= D．（y﹣ ）2= 【分析】根据配方法即可求出答案． 【解答】解：y2﹣y﹣ =0 y2﹣y= y2﹣y+ =1 （y﹣ ）2=1 故选：B． 6．（2018•眉山）若α，β是一元二次方程 3x2+2x﹣9=0 的两根，则 + 的值是（ ） A． B．﹣ C．﹣ D． 【 分 析 】 根 据 根 与 系 数 的 关 系 可 得 出 α+β= ﹣ 、 αβ= ﹣ 3 ， 将 其 代 入 + = 中即可求出结论． 【解答】解：∵α、β是一元二次方程 3x2+2x﹣9=0 的两根， ∴α+β=﹣ ，αβ=﹣3， ∴ + = = = =﹣ ． 故选：C． 7．（2018•泰安）一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5 根的情况是（ ） A．无实数根 B．有一个正根，一个负根 C．有两个正根，且都小于 3 D．有两个正根，且有一根大于 3 【分析】直接整理原方程，进而解方程得出 x 的值． 【解答】解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5 整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5， 则 x2﹣4x+2=0， （x﹣2）2=2， 解得：x1=2+ ＞3，x2=2﹣ ， 故有两个正根，且有一根大于 3． 故选：D． 8．（2018•宜宾）某市从 2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市 2017 年“竹文化”旅游收入约为 2 亿元．预计 2019“竹文化”旅游收入达到 2.88 亿元，据此估 计该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ） A．2% B．4.4% C．20% D．44% 【分析】设该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为 x，根据 2017 年及 2019 年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得 出结论． 【解答】解：设该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为 x， 根据题意得：2（1+x）2=2.88， 解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为 20%． 故选：C． 9．（2018•湘潭）若一元二次方程 x2﹣2x+m=0 有两个不相同的实数根，则实数 m 的取值范 围是（ ） A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之 即可得出实数 m 的取值范围． 【解答】解：∵方程 x2﹣2x+m=0 有两个不相同的实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4m＞0， 解得：m＜1． 故选：D． 10．（2018•盐城）已知一元二次方程 x2+k﹣3=0 有一个根为 1，则 k 的值为（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把 x=1 代入方程得关于 k 的一次方程 1﹣3+k=0， 然后解一次方程即可． 【解答】解：把 x=1 代入方程得 1+k﹣3=0， 解得 k=2． 故选：B． 11．（2018•嘉兴）欧几里得的《原本》记载，形如 x2+ax=b2 的方程的图解法是：画 Rt△ ABC，使∠ACB=90°，BC= ，AC=b，再在斜边 AB 上截取 BD= ．则该方程的一个正根是（ ） A．AC 的长 B．AD 的长 C．BC 的长 D．CD 的长 【分析】表示出 AD 的长，利用勾股定理求出即可． 【解答】解：欧几里得的《原本》记载，形如 x2+ax=b2 的方程的图解法是：画 Rt△ABC，使 ∠ACB=90°，BC= ，AC=b，再在斜边 AB 上截取 BD= ， 设 AD=x，根据勾股定理得：（x+ ）2=b2+（ ）2， 整理得：x2+ax=b2， 则该方程的一个正根是 AD 的长， 故选：B． 12．（2018•铜仁市）关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+3=0 的解为（ ） A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3 【分析】利用因式分解法求出已知方程的解． 【解答】解：x2﹣4x+3=0， 分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）=0， 解得：x1=1，x2=3， 故选：C． 13．（2018•台湾）若一元二次方程式 x2﹣8x﹣3×11=0 的两根为 a、b，且 a＞b，则 a﹣2b 之值为何？（ ） A．﹣25 B．﹣19 C．5 D．17 【分析】先利用因式分解法解方程得到 a=11，b=﹣3，然后计算代数式 a﹣2b 的值． 【解答】解：（x﹣11）（x+3）=0， x﹣11=0 或 x﹣3=0， 所以 x1=11，x2=﹣3， 即 a=11，b=﹣3， 所以 a﹣2b=11﹣2×（﹣3）=11+6=17． 故选：D． 14．（2018•安顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x2﹣7x+10=0 的两根，则该等腰 三角形的周长是（ ） A．12 B．9 C．13 D．12 或 9 【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可． 【解答】解：x2﹣7x+10=0， （x﹣2）（x﹣5）=0， x﹣2=0，x﹣5=0， x1=2，x2=5， ①等腰三角形的三边是 2，2，5 ∵2+2＜5， ∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意； ②等腰三角形的三边是 2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是 2+5+5=12； 即等腰三角形的周长是 12． 故选：A． 15．（2018•广西）某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ） A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100 【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为 x，根据 “从 80 吨增加到 100 吨”，即可得出方程． 【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为 x， 根据 2016 年蔬菜产量为 80 吨，则 2017 年蔬菜产量为 80（1+x）吨 ，2018 年蔬菜产量为 80（1+x）（1+x）吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨， 即：80（1+x）（1+x）=100 或 80（1+x）2=100． 故选：A． 16．（2018•乌鲁木齐）宾馆有 50 间房供游客居住，当毎间房毎天定价为 180 元时，宾馆 会住满；当毎间房毎天的定价每增加 10 元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需 对居住的毎间房毎天支出 20 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为 10890 元？ 设房价定为 x 元．则有（ ） A．（180+x﹣20）（50﹣ ）=10890 B．（x﹣20）（50﹣ ）=10890 C．x（50﹣ ）﹣50×20=10890 D．（x+180）（50﹣ ）﹣50×20=10890 【分析】设房价定为 x 元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得． 【解答】解：设房价定为 x 元， 根据题意，得（x﹣20）（50﹣ ）=10890． 故选：B． 17．（2018•黑龙江）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场， 计划安排 15 场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】设共有 x 个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和 其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安 排 15 场比赛即可列出方程求解． 【解答】解：设共有 x 个班级参赛，根据题意得： =15， 解得：x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去）， 则共有 6 个班级参赛． 故选：C． 18．（2018•眉山）我市某楼盘准备以每平方 6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房 地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续 两次下调后，决定以每平方 4860 元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ） A．8% B．9% C．10% D．11% 【分析】设平均每次下调的百分率为 x，则两次降价后的价格为 6000（1﹣x）2，根据降低 率问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【解答】解：设平均每次下调的百分率为 x，由题意，得 6000（1﹣x）2=4860， 解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）． 答：平均每次下调的百分率为 10%． 故选：C． 二．填空题（共 14 小题） 19．（2018•扬州）若 m 是方程 2x2﹣3x﹣1=0 的一个根，则 6m2﹣9m+2015 的值为 2018 ． 【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0， ∴2m2﹣3m=1 ∴原式=3（2m2﹣3m）+2015=2018 故答案为：2018 20．（2018•苏州）若关于 x 的一元二次方程 x2+mx+2n=0 有一个根是 2，则 m+n= ﹣2 ． 【分析】根据一元二次方程的解的定义把 x=2 代入 x2+mx+2n=0 得到 4+2m+2n=0 得 n+m=﹣2， 然后利用整体代入的方法进行计算． 【解答】解：∵2（n≠0）是关于 x 的一元二次方程 x2+mx+2n=0 的一个根， ∴4+2m+2n=0， ∴n+m=﹣2， 故答案为：﹣2． 21．（2018•荆门）已知 x=2 是关于 x 的一元二次方程 kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0 的一个根， 则 k 的值为 ﹣3 ． 【分析】把 x=2 代入 kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0 得 4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于 k 的方程，然 后根据一元二次方程的定义确定 k 的值． 【解答】解：把 x=2 代入 kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0 得 4k+2k2﹣4+2k+4=0， 整理得 k2+3k=0，解得 k1=0，k2=﹣3， 因为 k≠0， 所以 k 的值为﹣3． 故答案为﹣3． 22．（2018•资阳）已知关于 x 的一元二次方程 mx2+5x+m2﹣2m=0 有一个根为 0，则 m= 2 ． 【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于 m 的方程，通过解 关于 m 的方程求得 m 的值即可． 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 mx2+5x+m2﹣2m=0 有一个根为 0， ∴m2﹣2m=0 且 m≠0， 解得，m=2． 故答案是：2． 23．（2018•南充）若 2n（n≠0）是关于 x 的方程 x2﹣2mx+2n=0 的根，则 m﹣n 的值为 ． 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把 x=2n 代入方程得到 x2﹣2mx+2n=0，然后把等式 两边除以 n 即可． 【解答】解：∵2n（n≠0）是关于 x 的方程 x2﹣2mx+2n=0 的根， ∴4n2﹣4mn+2n=0， ∴4n﹣4m+2=0， ∴m﹣n= ． 故答案是： ． 24．（2018•柳州）一元二次方程 x2﹣9=0 的解是 x1=3，x2=﹣3 ． 【分析】利用直接开平方法解方程得出即可． 【解答】解：∵x2﹣9=0， ∴x2=9， 解得：x1=3，x2=﹣3． 故答案为：x1=3，x2=﹣3． 25．（2018•绵阳）已知 a＞b＞0，且 + + =0，则 = ． 【分析】先整理，再把等式转化成关于 的方程，解方程即可． 【解答】解：由题意得：2b（b﹣a）+a（b﹣a）+3ab=0， 整理得：2（ ）2+ ﹣1=0， 解得 = ， ∵a＞b＞0， ∴ = ， 故答案为 ． 26．（2018•十堰）对于实数 a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52 ﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则 x 的值为 1 ． 【分析】根据题意列出方程，解方程即可． 【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6， 整理得，3x+3=6， 解得，x=1， 故答案为：1． 27．（2018•淮安）一元二次方程 x2﹣x=0 的根是 x1=0，x2=1 ． 【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个 一元一次方程来求解． 【解答】解：方程变形得：x（x﹣1）=0， 可得 x=0 或 x﹣1=0， 解得：x1=0，x2=1． 故答案为：x1=0，x2=1． 28．（2018•黄冈）一个三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边长是方程 x2﹣10x+21=0 的根， 则三角形的周长为 16 ． 【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长． 【解答】解：解方程 x2﹣10x+21=0 得 x1=3、x2=7， ∵3＜第三边的边长＜9， ∴第三边的边长为 7． ∴这个三角形的周长是 3+6+7=16． 故答案为：16． 29．（2018•黔南州）三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2﹣6x+8=0 的解， 则此三角形周长是 13 ． 【分析】求出方程的解，有两种情况：x=2 时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4 时， 看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可． 【解答】解：x2﹣6x+8=0， （x﹣2）（x﹣4）=0， x﹣2=0，x﹣4=0， x1=2，x2=4， 当 x=2 时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以 x=2 舍去， 当 x=4 时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是 3+6+4=13， 故答案为：13． 30．（2018•通辽）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯” 足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排 21 场比赛，应邀请多少 个球队参赛？设邀请 x 个球队参赛，根据题意，可列方程为 x（x﹣1）=21 ． 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x 个球队比赛总场数为 x（x﹣1）， 即可列方程． 【解答】解：设有 x 个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得： x（x﹣1）=21， 故答案为： x（x﹣1）=21． 31．（2018•南通模拟）某厂一月份生产某机器 100 台，计划三月份生产 160 台．设二、三 月份每月的平均增长率为 x，根据题意列出的方程是 100（1+x）2=160 ． 【分析】设二，三月份每月平均增长率为 x，根据一月份生产机器 100 台，三月份生产机器 160 台，可列出方程． 【解答】解：设二，三月份每月平均增长率为 x， 100（1+x）2=160． 故答案为：100（1+x）2=160． 32．（2018•泰州）已知 3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若 x≤y，则实数 a 的值为 3 ． 【分析】根据题意列出关于 x、y 的方程组，然后求得 x、y 的值，结合已知条件 x≤y 来求 a 的取值． 【解答】解：依题意得： ， 解得 ∵x≤y， ∴a2≤6a﹣9， 整理，得（a﹣3）2≤0， 故 a﹣3=0， 解得 a=3． 故答案是：3． 三．解答题（共 11 小题） 33．（2018•绍兴）（1）计算：2tan60°﹣ ﹣（ ﹣2）0+（ ）﹣1． （2）解方程：x2﹣2x﹣1=0． 【分析】（1）首先计算特殊角的三角函数、二次根式的化简、零次幂、负整数指数幂，然 后再计算加减即可； （2）首先计算△，然后再利用求根公式进行计算即可． 【解答】解：（1）原式=2 ﹣2 ﹣1+3=2； （2）a=1，b=﹣2，c=﹣1， △=b2﹣4ac=4+4=8＞0， 方程有两个不相等的实数根， x= = =1 ， 则 x1=1+ ，x2=1﹣ ． 34．（2018•齐齐哈尔）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）． 【分析】移项后提取公因式 x﹣3 后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可． 【解答】解：2（x﹣3）=3x（x﹣3）， 移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0， 整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0， x﹣3=0 或 2﹣3x=0， 解得：x1=3 或 x2= ． 35．（2018•遵义）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为 20 元/千克，售价 不低于 20 元/千克，且不超过 32 元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量 y（千 克）与该天的售价 x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系． 销售量 y（千克） … 34.8 32 29.6 28 … 售价 x（元/千克） … 22.6 24 25.2 26 … （1）某天这种水果的售价为 23.5 元/千克，求当天该水果的销售量． （2）如果某天销售这种水果获利 150 元，那么该天水果的售价为多少元？ 【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出 y 与 x 之间的函数关系式，再代 入 x=23.5 即可求出结论； （2）根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小 值即可得出结论． 【解答】解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b， 将（22.6，34.8）、（24，32）代入 y=kx+b， ，解得： ， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y=﹣2x+80． 当 x=23.5 时，y=﹣2x+80=33． 答：当天该水果的销售量为 33 千克． （2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）=150， 解得：x1=35，x2=25． ∵20≤x≤32， ∴x=25． 答：如果某天销售这种水果获利 150 元，那么该天水果的售价为 25 元． 36．（2018•德州）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出 一种新型高科技设备，每台设备成本价为 30 万元，经过市场调研发现，每台售价为 40 万元 时，年销售量为 600 台；每台售价为 45 万元时，年销售量为 550 台．假定该设备的年销售 量 y（单位：台）和销售单价 x（单位：万元）成一次函数关系． （1）求年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于 70 万元，如果该公司想获得 10000 万元的 年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量 y 与销售单价 x 的函数关 系式； （2）设此设备的销售单价为 x 万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为 （﹣10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解 之取其小于 70 的值即可得出结论． 【解答】解：（1）设年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y=kx+b（k≠0）， 将（40，600）、（45，550）代入 y=kx+b，得： ，解得： ， ∴年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y=﹣10x+1000． （2）设此设备的销售单价为 x 万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为 （﹣10x+1000）台， 根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000， 整理，得：x2﹣130x+4000=0， 解得：x1=50，x2=80． ∵此设备的销售单价不得高于 70 万元， ∴x=50． 答：该设备的销售单价应是 50 万元/台． 37．（2018•沈阳）某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元，由于改进技术，生产成本逐 月下降，3 月份的生产成本是 361 万元． 假设该公司 2、3、4 月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测 4 月份该公司的生产成本． 【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为 x，根据 2 月份、3 月份的生产成本，即可得出 关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）由 4 月份该公司的生产成本=3 月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论． 【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为 x， 根据题意得：400（1﹣x）2=361， 解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为 5%． （2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）． 答：预测 4 月份该公司的生产成本为 342.95 万元． 38．（2018•重庆）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集 中处理点建设．该县政府计划：2018 年前 5 个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计 50 个， 且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的 4 倍． （1）按计划，2018 年前 5 个月至少要修建多少个沼气池？ （2）到 2018 年 5 月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金 78 万元，且修建的沼 气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前 5 个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的 平均费用之比为 1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后 7 个月， 在前 5 个月花费资金的基础上增加投入 10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经 测算：从今年 6 月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在 2018 年前 5 个月的 基础上分别增加 a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在 2018 年前 5 个月的 基础上分别增加 5a%，8a%，求 a 的值． 【分析】（1）设 2018 年前 5 个月要修建 x 个沼气池，则 2018 年前 5 个月要修建（50﹣x） 个垃圾集中处理点，根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的 4 倍，即可得出关于 x 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论； （2）根据单价=总价÷数量可求出修建每个沼气池的平均费用，进而可求出修建每个垃圾集 中点的平均费用，设 y=a%结合总价=单价×数量即可得出关于 y 的一元二次方程，解之即可 得出 y 值，进而可得出 a 的值． 【解答】解：（1）设 2018 年前 5 个月要修建 x 个沼气池，则 2018 年前 5 个月要修建（50 ﹣x）个垃圾集中处理点， 根据题意得：x≥4（50﹣x）， 解得：x≥40． 答：按计划，2018 年前 5 个月至少要修建 40 个沼气池． （2）修建每个沼气池的平均费用为 78÷[40+（50﹣40）×2]=1.3（万元）， 修建每个垃圾处理点的平均费用为 1.3×2=2.6（万元）． 根据题意得：1.3×（1+a%）×40×（1+5a%）+2.6×（1+5a%）×10×（1+8a%）=78×（1+10a%）， 设 y=a%，整理得：50y2﹣5y=0， 解得：y1=0（不合题意，舍去），y2=0.1， ∴a 的值为 10． 39．（2018•盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了扩 大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时 间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件． （1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为 26 件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？ 【分析】（1）根据销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，可得若降价 3 元，则平 均每天可多售出 2×3=6 件，即平均每天销售数量为 20+6=26 件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【解答】解：（1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为 20+2×3=26 件． 故答案为 26； （2）设每件商品应降价 x 元时，该商店每天销售利润为 1200 元． 根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）=1200， 整理，得 x2﹣30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20． ∵要求每件盈利不少于 25 元， ∴x2=20 应舍去， 解得：x=10． 答：每件商品应降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元． 40．（2018•宜昌）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生 活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂 转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为 Q，沿江工厂用乙方案进行一次 性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n 计算．第 一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12．经过三年治理，境内长江水质明显改 善． （1）求 n 的值； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，三年 来用乙方案治理的工厂数量共 190 家，求 m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量； （3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 Q 值比上一年都增加个相 同的数值 a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 Q 值与当年因 甲方案治理降低的 Q 值相等，第三年，用甲方案使 Q 值降低了 39.5．求第一年用甲方案治 理降低的 Q 值及 a 的值． 【分析】（1）直接利用第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12，得出等式 求出答案； （2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m， 三年来用乙方案治理的工厂数量共 190 家得出等式求出答案； （3）利用 n 的值即可得出关于 a 的等式求出答案． 【解答】解：（1）由题意可得：40n=12， 解得：n=0.3； （2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190， 解得：m1= ，m2=﹣ （舍去）， ∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家）， （3）设第一年用乙方案治理降低了 100n=100×0.3=30， 则（30﹣a）+2a=39.5， 解得：a=9.5， 则 Q=20.5． 设第一年用甲方案整理降低的 Q 值为 x， 第二年 Q 值因乙方案治理降低了 100n=100×0.3=30， 解法一：（30﹣a）+2a=39.5 a=9.5 x=20.5 解法二： 解得： 41．（2018•安顺）某地 2015 年为做好“精准扶贫”，投入资金 1280 万元用于异地安置， 并规划投入资金逐年增加，2017 年在 2015 年的基础上增加投入资金 1600 万元． （1）从 2015 年到 2017 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在 2017 年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于 500 万元用于优先搬迁租 房奖励，规定前 1000 户（含第 1000 户）每户每天奖励 8 元，1000 户以后每户每天奖励 5 元，按租房 400 天计算，求 2017 年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励． 【分析】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为 x，根据 2015 年及 2017 年该地 投入异地安置资金，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设 2017 年该地有 a 户享受到优先搬迁租房奖励，根据投入的总资金=前 1000 户奖励的 资金+超出 1000 户奖励的资金结合该地投入的奖励资金不低于 500 万元，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为 x， 根据题意得：1280（1+x）2=1280+1600， 解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（舍去）． 答：从 2015 年到 2017 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为 50%． （2）设 2017 年该地有 a 户享受到优先搬迁租房奖励， 根据题意得：8×1000×400+5×400（a﹣1000）≥5000000， 解得：a≥1900． 答：2017 年该地至少有 1900 户享受到优先搬迁租房奖励． 42．（2018•内江）对于三个数 a，b，c，用 M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用 max{a， b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{﹣2，﹣1，0}=﹣1，max{﹣2，﹣1，0}=0，max{﹣2， ﹣1，a}= 解决问题： （1）填空：M{sin45°，cos60°，tan60°}= ，如果 max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，则 x 的取值范围为 ； （2）如果 2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，求 x 的值； （3）如果 M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，求 x 的值． 【分析】（1）根据定义写出 sin45°，cos60°，tan60°的值，确定其中位数；根据 max{a，b， c}表示这三个数中最大数，对于 max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，可得不等式组：则 ， 可得结论； （2）根据新定义和已知分情况讨论：①2 最大时，x+4≤2 时，②2 是中间的数时，x+2≤2 ≤x+4，③2 最小时，x+2≥2，分别解出即可； （3）不妨设 y1=9，y2=x2，y3=3x﹣2，画出图象，根据 M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}， 可知：三个函数的中间的值与最大值相等，即有两个函数相交时对应的 x 的值符合条件，结 合图象可得结论． 【解答】解：（1）∵sin45°= ，cos60°= ，tan60°= ， ∴M{sin45°，cos60°，tan60°}= ， ∵max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3， 则 ， ∴x 的取值范围为： ， 故答案为： ， ； （2）2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}， 分三种情况：①当 x+4≤2 时，即 x≤﹣2， 原等式变为：2（x+4）=2，x=﹣3， ②x+2≤2≤x+4 时，即﹣2≤x≤0， 原等式变为：2×2=x+4，x=0， ③当 x+2≥2 时，即 x≥0， 原等式变为：2（x+2）=x+4，x=0， 综上所述，x 的值为﹣3 或 0； （3）不妨设 y1=9，y2=x2，y3=3x﹣2，画出图象，如图所示： 结合图象，不难得出，在图象中的交点 A、B 点时，满足条件且 M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2， 3x﹣2}=yA=yB， 此时 x2=9，解得 x=3 或﹣3． 43．（2018•重庆）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改 造． （1）原计划今年 1 至 5 月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共 50 千米，其中道路硬化的 里程数至少是道路拓宽的里程数的 4 倍，那么，原计划今年 1 至 5 月，道路硬化的里程数至 少是多少千米？ （2）到今年 5 月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程 数正好是原计划的最小值．2017 年通过政府投人 780 万元进行村级道路硬化和道路拓宽的 里程数共 45 千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为 1：2，且里程数之比为 2：1．为 加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：从今年 6 月起至年底，如果政府投入经费 在 2017 年的基础上增加 10a%（a＞0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬 化、道路拓宽的费用也在 2017 年的基础上分别增加 a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的 里程数将会在今年 1 至 5 月的基础上分别增加 5a%，8a%，求 a 的值． 【分析】（1）根据道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的 4 倍，列不等式可得结论； （2）先根据道路硬化和道路拓宽的里程数之比为 2：1，设未知数为 2x 千米、x 千米，列方 程可得各自的里程数，同理可求得每千米的道路硬化和道路拓宽的经费，最后根据题意列方 程，并利用换元法解方程可得结论． 【解答】解：（1）设道路硬化的里程数是 x 千米，则道路拓宽的里程数是（50﹣x）千米， 根据题意得：x≥4（50﹣x）， 解得：x≥40． 答：原计划今年 1 至 5 月，道路硬化的里程数至少是 40 千米． （2）设 2017 年通过政府投人 780 万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数分别为 2x 千 米、x 千米， 2x+x=45， x=15， 2x=30， 设每千米的道路硬化和道路拓宽的经费分别为 y 千米、2y 千米， 30y+15×2y=780， y=13， 2y=26， 由题意得：13（1+a%）•40（1+5a%）+26（1+5a%）•10（1+8a%）=780（1+10a%）， 设 a%=m，则 520（1+m）（1+5m）+260（1+5m）（1+8m）=780（1+10m）， 10m2﹣m=0， m1=0.1，m2=0（舍）， ∴a=10． 中考数学试题分类汇编：考点 29 与圆有关的位置关系 一．选择题（共 9 小题） 1．（2018•宜宾）在△ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2 成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG 中，已知 DE=4，EF=3， 点 P 在以 DE 为直径的半圆上运动，则 PF2+PG2 的最小值为（ ） A． B． C．34 D．10 【分析】设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN，则 MN、PM 的长度是 定值，利用三角形的三边关系可得出 NP 的最小值，再利用 PF2+PG2=2PN2+2FN2 即 可求出结论． 【解答】解：设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN 交半圆于点 P， 此时 PN 取最小值． ∵DE=4，四边形 DEFG 为矩形， ∴GF=DE，MN=EF， ∴MP=FN= DE=2， ∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1， ∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10． 故选：D． 2．（2018•泰安）如图，⊙M 的半径为 2，圆心 M 的坐标为（3，4），点 P 是⊙M 上的任意一点，PA⊥PB，且 PA、PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点，若点 A、点 B 关 于原点 O 对称，则 AB 的最小值为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【分析】由 Rt△APB 中 AB=2OP 知要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值，连 接 OM，交⊙M 于点 P′，当点 P 位于 P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可 得． 【解答】解：∵PA⊥PB， ∴∠APB=90°， ∵AO=BO， ∴AB=2PO， 若要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值， 连接 OM，交⊙M 于点 P′，当点 P 位于 P′位置时，OP′取得最小值， 过点 M 作 MQ⊥x 轴于点 Q， 则 OQ=3、MQ=4， ∴OM=5， 又∵MP′=2， ∴OP′=3， ∴AB=2OP′=6， 故选：C． 3．（2018•滨州）已知半径为 5 的⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC=25°，则劣 弧 的长为（ ） A． B． C． D． 【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可． 【解答】解：如图：连接 AO，CO， ∵∠ABC=25°， ∴∠AOC=50°， ∴劣弧 的长= ， 故选：C． 4．（2018•自贡）如图，若△ABC 内接于半径为 R 的⊙O，且∠A=60°，连接 OB、 OC，则边 BC 的长为（ ） A． B． C． D． 【分析】延长 BO 交圆于 D，连接 CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又 BD=2R， 根据锐角三角函数的定义得 BC= R． 【解答】解：延长 BO 交⊙O 于 D，连接 CD， 则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°， ∴∠CBD=30°， ∵BD=2R， ∴DC=R， ∴BC= R， 故选：D． 5．（2018•湘西州）已知⊙O 的半径为 5cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 5cm，则直 线 l 与⊙O 的位置关系为（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【分析】根据圆心到直线的距离 5 等于圆的半径 5，则直线和圆相切． 【解答】解：∵圆心到直线的距离 5cm=5cm， ∴直线和圆相切． 故选：B． 6．（2018•徐州）⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 5 和 2，O1O2=3，则⊙O1 和⊙O2 的位置 关系是（ ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O1 与⊙O2 的位置关系． 【解答】解：∵⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 5 和 2，O1O2=3， 则 5﹣2=3， ∴⊙O1 和⊙O2 内切． 故选：B． 7．（2018•台湾）如图，两圆外切于 P 点，且通过 P 点的公切线为 L，过 P 点作 两直线，两直线与两圆的交点为 A、B、C、D，其位置如图所示，若 AP=10，CP=9， 则下列角度关系何者正确？（ ） A．∠PBD＞∠PAC B．∠PBD＜∠PAC C．∠PBD＞∠PDB D．∠PBD＜∠PDB 【分析】根据大边对大角，平行线的判定和性质即可判断； 【解答】解：如图，∵直线 l 是公切线 ∴∠1=∠B，∠2=∠A， ∵∠1=∠2， ∴∠A=∠B， ∴AC∥BD， ∴∠C=∠D， ∵PA=10，PC=9， ∴PA＞PC， ∴∠C＞∠A， ∴∠D＞∠B． 故选：D． 8．（2018•内江）已知⊙O1 的半径为 3cm，⊙O2 的半径为 2cm，圆心距 O1O2=4cm， 则⊙O1 与⊙O2 的位置关系是（ ） A．外高 B．外切 C．相交 D．内切 【分析】由⊙O1 的半径为 3cm，⊙O2 的半径为 2cm，圆心距 O1O2 为 4cm，根据两圆 位置关系与圆心距 d，两圆半径 R，r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关 系． 【解答】解：∵⊙O1 的半径为 3cm，⊙O2 的半径为 2cm，圆心距 O1O2 为 4cm， 又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5， ∴⊙O1 与⊙O2 的位置关系是相交． 故选：C． 9．（2018•上海）如图，已知∠POQ=30°，点 A、B 在射线 OQ 上（点 A 在点 O、B 之间），半径长为 2 的⊙A 与直线 OP 相切，半径长为 3 的⊙B 与⊙A 相交，那么 OB 的取值范围是（ ） A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7 【分析】作半径 AD，根据直角三角形 30 度角的性质得：OA=4，再确认⊙B 与⊙A 相切时，OB 的长，可得结论． 【解答】解：设⊙A 与直线 OP 相切时切点为 D，连接 AD， ∴AD⊥OP， ∵∠O=30°，AD=2， ∴OA=4， 当⊙B 与⊙A 相内切时，设切点为 C，如图 1， ∵BC=3， ∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5； 当⊙A 与⊙B 相外切时，设切点为 E，如图 2， ∴OB=OA+AB=4+2+3=9， ∴半径长为 3 的⊙B 与⊙A 相交，那么 OB 的取值范围是：5＜OB＜9， 故选：A． 二．填空题（共 7 小题） 10．（2018•临沂）如图．在△ABC 中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC 完全覆 盖的最小圆形纸片的直径是 cm． 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC 外 接圆的直径，本题得以解决． 【解答】解：设圆的圆心为点 O，能够将△ABC 完全覆盖的最小圆是△ABC 的外 接圆， ∵在△ABC 中，∠A=60°，BC=5cm， ∴∠BOC=120°， 作 OD⊥BC 于点 D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°， ∴BD= ，∠OBD=30°， ∴OB= ，得 OB= ， ∴2OB= ， 即△ABC 外接圆的直径是 cm， 故答案为： ． 11．（2018•内江）已知△ABC 的三边 a，b，c，满足 a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b， 则△ABC 的外接圆半径= ． 【分析】根据题目中的式子可以求得 a、b、c 的值，从而可以求得△ABC 的外接 圆半径的长． 【解答】解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b， ∴（a﹣1﹣4 +4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0， ∴（ ﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0， ∴ ，b﹣5=0，c﹣6=0， 解得，a=5，b=5，c=6， ∴AC=BC=5，AB=6， 作 CD⊥AB 于点 D， 则 AD=3，CD=4， 设△ABC 的外接圆的半径为 r， 则 OC=r，OD=4﹣r，OA=r， ∴32+（4﹣r）2=r2， 解得，r= ， 故答案为： ． 12．（2018•黄冈）如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，∠CAB=60°，弦 AD 平分∠CAB，若 AD=6，则 AC= 2 ． 【分析】连接 BD．在 Rt△ADB 中，求出 AB，再在 Rt△ACB 中求出 AC 即可解决问 题； 【解答】解：连接 BD． ∵AB 是直径， ∴∠C=∠D=90°， ∵∠CAB=60°，AD 平分∠CAB， ∴∠DAB=30°， ∴AB=AD÷cos30°=4 ， ∴AC=AB•cos60°=2 ， 故答案为 2 ． 13．（2018•新疆）如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，⊙O 的半径为 2，则图 中阴影部的面积是 ． 【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据 扇形面积公式计算即可． 【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠C=60°， 根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°， ∴阴影部分的面积是 = π， 故答案为： 14．（2018•扬州）如图，已知⊙O 的半径为 2，△ABC 内接于⊙O，∠ACB=135°， 则 AB= 2 ． 【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以 求得∠AOB 的度数，然后根据勾股定理即可求得 AB 的长． 【解答】解：连接 AD、AE、OA、OB， ∵⊙O 的半径为 2，△ABC 内接于⊙O，∠ACB=135°， ∴∠ADB=45°， ∴∠AOB=90°， ∵OA=OB=2， ∴AB=2 ， 故答案为：2 ． 15．（2018•泰安）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O 的直 径为 4 ． 【 分 析 】 连 接 OB ， OC ， 依 据 △ BOC 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 即 可 得 到 BO=CO=BC•cos45°=2 ，进而得出⊙O 的直径为 4 ． 【解答】解：如图，连接 OB，OC， ∵∠A=45°， ∴∠BOC=90°， ∴△BOC 是等腰直角三角形， 又∵BC=4， ∴BO=CO=BC•cos45°=2 ， ∴⊙O 的直径为 4 ， 故答案为：4 ． 16．（2018•大庆）已知直线 y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移 m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为 6 的⊙O 相交（点 O 为坐标原 点），则 m 的取值范围为 m＜ ． 【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标 轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解 答． 【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线 y=kx 得， ﹣5=12k， ∴k=﹣ ； 由 y=﹣ x 平移平移 m（m＞0）个单位后得到的直线 l 所对应的函数关系式为 y=﹣ x+m（m＞0）， 设直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，（如下图所示） 当 x=0 时，y=m；当 y=0 时，x= m， ∴A（ m，0），B（0，m）， 即 OA= m，OB=m； 在 Rt△OAB 中， AB= ， 过点 O 作 OD⊥AB 于 D， ∵S△ABO= OD•AB= OA•OB， ∴ OD• = × ， ∵m＞0，解得 OD= ， 由直线与圆的位置关系可知 ＜6，解得 m＜ ． 故答案为：m＜ ． 三．解答题（共 4 小题） 17．（2018•福建）如图，D 是△ABC 外接圆上的动点，且 B，D 位于 AC 的两侧， DE⊥AB，垂足为 E，DE 的延长线交此圆于点 F．BG⊥AD，垂足为 G，BG 交 DE 于 点 H，DC，FB 的延长线交于点 P，且 PC=PB． （1）求证：BG∥CD； （2）设△ABC 外接圆的圆心为 O，若 AB= DH，∠OHD=80°，求∠BDE 的大小． 【分析】（1）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+ ∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可 得∠ABC=90°，AC 是⊙O 的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等 可得结论； （2）先证明四边形 BCDH 是平行四边形，得 BC=DH，根据特殊的三角函数值得： ∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以 DH= AC，分两种情况： ①当点 O 在 DE 的左侧时，如图 2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的 圆周角相等和互余的性质得：∠AMD=∠ABD，则∠ADM=∠BDE，并由 DH=OD，可得 结论； ②当点 O 在 DE 的右侧时，如图 3，同理作辅助线，同理有∠ADE=∠BDN=20°， ∠ODH=20°，得结论． 【解答】（1）证明：如图 1，∵PC=PB， ∴∠PCB=∠PBC， ∵四边形 ABCD 内接于圆， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∵∠BCD+∠PCB=180°， ∴∠BAD=∠PCB， ∵∠BAD=∠BFD， ∴∠BFD=∠PCB=∠PBC， ∴BC∥DF， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴∠ABC=90°， ∴AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC=90°， ∵BG⊥AD， ∴∠AGB=90°， ∴∠ADC=∠AGB， ∴BG∥CD； （2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD， ∴四边形 BCDH 是平行四边形， ∴BC=DH， 在 Rt△ABC 中，∵AB= DH， ∴tan∠ACB= = ， ∴∠ACB=60°，∠BAC=30°， ∴∠ADB=60°，BC= AC， ∴DH= AC， ①当点 O 在 DE 的左侧时，如图 2，作直径 DM，连接 AM、OH，则∠DAM=90°， ∴∠AMD+∠ADM=90° ∵DE⊥AB， ∴∠BED=90°， ∴∠BDE+∠ABD=90°， ∵∠AMD=∠ABD， ∴∠ADM=∠BDE， ∵DH= AC， ∴DH=OD， ∴∠DOH=∠OHD=80°， ∴∠ODH=20° ∵∠AOB=60°， ∴∠ADM+∠BDE=40°， ∴∠BDE=∠ADM=20°， ②当点 O 在 DE 的右侧时，如图 3，作直径 DN，连接 BN， 由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°， ∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°， 综上所述，∠BDE 的度数为 20°或 40°． 18．（2018•温州）如图，D 是△ABC 的 BC 边上一点，连接 AD，作△ABD 的外接 圆，将△ADC 沿直线 AD 折叠，点 C 的对应点 E 落在 BD 上． （1）求证：AE=AB． （2）若∠CAB=90°，cos∠ADB= ，BE=2，求 BC 的长． 【分析】（1）由折叠得出∠AED=∠ACD、AE=AC，结合∠ABD=∠AED 知∠ABD=∠ ACD，从而得出 AB=AC，据此得证； （2）作 AH⊥BE，由 AB=AE 且 BE=2 知 BH=EH=1，根据∠ABE=∠AEB=∠ADB 知 cos ∠ABE=cos∠ADB= = ，据此得 AC=AB=3，利用勾股定理可得答案． 【解答】解：（1）由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC， ∴∠AED=∠ACD，AE=AC， ∵∠ABD=∠AED， ∴∠ABD=∠ACD， ∴AB=AC， ∴AE=AB； （2）如图，过 A 作 AH⊥BE 于点 H， ∵AB=AE，BE=2， ∴BH=EH=1， ∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB= ， ∴cos∠ABE=cos∠ADB= ， ∴ = ． ∴AC=AB=3， ∵∠BAC=90°，AC=AB， ∴BC=3 ． 19．（2018•天门）如图，在⊙O 中，AB 为直径，AC 为弦．过 BC 延长线上一点 G， 作 GD⊥AO 于点 D，交 AC 于点 E，交⊙O 于点 F，M 是 GE 的中点，连接 CF，CM． （1）判断 CM 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求 MF 的长． 【分析】（1）连接 OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上 的中线性质得 MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠ OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断 CM 为⊙O 的切线； （2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比 先计算出 CE，再计算出 EF，然后计算 ME﹣EF 即可． 【解答】解：（1）CM 与⊙O 相切．理由如下： 连接 OC，如图， ∵GD⊥AO 于点 D， ∴∠G+∠GBD=90°， ∵AB 为直径， ∴∠ACB=90°， ∵M 点为 GE 的中点， ∴MC=MG=ME， ∴∠G=∠1， ∵OB=OC， ∴∠B=∠2， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠OCM=90°， ∴OC⊥CM， ∴CM 为⊙O 的切线； （2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°， ∴∠1=∠5， 而∠1=∠G，∠5=∠A， ∴∠G=∠A， ∵∠4=2∠A， ∴∠4=2∠G， 而∠EMC=∠G+∠1=2∠G， ∴∠EMC=∠4， 而∠FEC=∠CEM， ∴△EFC∽△ECM， ∴ = = ，即 = = ， ∴CE=4，EF= ， ∴MF=ME﹣EF=6﹣ = ． 20．（2018•泰州）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠ABC 的平分线交 ⊙O 于点 D，DE⊥BC 于点 E． （1）试判断 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，若 BE=3 ，DF=3，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠ EDO=90°，进而得出答案； （2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案． 【解答】解：（1）DE 与⊙O 相切， 理由：连接 DO， ∵DO=BO， ∴∠ODB=∠OBD， ∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D， ∴∠EBD=∠DBO， ∴∠EBD=∠BDO， ∴DO∥BE， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB=∠EDO=90°， ∴DE 与⊙O 相切； （2）∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，DE⊥BE，DF⊥AB， ∴DE=DF=3， ∵BE=3 ， ∴BD= =6， ∵sin∠DBF= = ， ∴∠DBA=30°， ∴∠DOF=60°， ∴sin60°= = = ， ∴DO=2 ， 则 FO= ， 故图中阴影部分的面积为： ﹣ × ×3=2π﹣ ． 考点 38 投影与视图 一．选择题（共 45 小题） 1．（2018•广安）下列图形中，主视图为①的是（ ） A． B． C． D． 【分析】主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答 案． 【解答】解：A、主视图是等腰梯形，故此选项错误； B、主视图是长方形，故此选项正确； C、主视图是等腰梯形，故此选项错误； D、主视图是三角形，故此选项错误； 故选：B． 2．（2018•眉山）下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图． 【解答】解：A、C、D 主视图是矩形，故 A、C、D 不符合题意； B、主视图是三角形，故 B 正确； 故选：B． 3．（2018•泰州）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（ ） A． 正方体 B． 四棱锥 C． 圆柱 D． 球 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进 行分析． 【解答】解：四棱锥的主视图与俯视图不同． 故选：B． 4．（2018•昆明）下列几何体的左视图为长方形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】找到个图形从左边看所得到的图形即可得出结论． 【解答】解：A．球的左视图是圆； B．圆台的左视图是梯形； C．圆柱的左视图是长方形； D．圆锥的左视图是三角形． 故选：C． 5．（2018•桂林）如图所示的几何体的主视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得答案． 【解答】解：从正面看下面是一个长方形，如图所示： 故 C 选项符合题意， 故选：C． 6．（2018•湘潭）如图所示的几何体的主视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】找出从几何体的正面看所得到的图形即可． 【解答】解：该几何体的主视图是三角形， 故选：C． 7．（2018•常德）把图 1 中的正方体的一角切下后摆在图 2 所示的位置，则图 2 中的几何体 的主视图为（ ） A． B． C． D． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线， 故选：D． 8．（2018•长春）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故 A 不符合题意； B、圆柱的柱视图是矩形，故 B 错误； C、圆台的主视图是梯形，故 C 错误； D、球的主视图是圆，故 D 正确； 故选：D． 9．（2018•扬州）如图所示的几何体的主视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个 小正方形， 故选：B． 10．（2018•新疆）如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是 （ ） A． B． C． D． 【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则 可． 【解答】解：从左边看竖直叠放 2 个正方形． 故选：C． 11．（2018•资阳）如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的正视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】找到从正面看所得到的图形即可． 【解答】解：从正面看可得从左往右 2 列正方形的个数依次为 2，1， 故选：A． 12．（2018•十堰）今年“父亲节”佳佳给父亲送了一个礼盒，该礼盒的主视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】找出从几何体的正面看所得到的图形即可． 【解答】解：由图可得，该礼盒的主视图是左边一个矩形，右面一个小正方形， 故选：C． 13．（2018•黄石）如图，该几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】找到从几何体的上面所看到的图形即可． 【解答】解：从几何体的上面看可得 ， 故选：A． 14．（2018•江西）如图所示的几何体的左视图为（ ） A． B． C． D． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看是上大下小等宽的两个矩形，矩形的公共边是虚线， 故选：D． 15．（2018•香坊区）如图的几何体是由五个小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图 是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看第一层是两个正方形，第二层是左边一个正方形， 故选：D． 16．（2018•泸州）如图是一个由 5 个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是 （ ） A． B． C． D． 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正 方形， 故选：B． 17．（2018•广州）如图所示的几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形， 故选：B． 18．（2018•宁波）如图是由 6 个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图 中，是中心对称图形的是（ ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．主视图和左视图 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：从上边看是一个田字， “田”字是中心对称图形， 故选：C． 19．（2018•娄底）如图所示立体图形的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【解答】解：从上边看立体图形得到俯视图即可得立体图形的俯视图是 ， 故选：B． 20．（2018•泰安）如图是下列哪个几何体的主视图与俯视图（ ） A． B． C． D． 【分析】直接利用主视图以及俯视图的观察角度结合结合几何体的形状得出答案． 【解答】解：由已知主视图和俯视图可得到该几何体是圆柱体的一半，只有选项 C 符合题意． 故选：C． 21．（2018•荆门）某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所 示，则搭成这个几何体的小正方体最少有（ ） A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个 【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数． 【解答】解：由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少时俯视图为： ， 则搭成这个几何体的小正方体最少有 5 个． 故选：B． 22．（2018•襄阳）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A． B． C． D． 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个 几何体应该是三棱柱． 故选：C． 23．（2018•贵阳）如图是一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体是（ ） A．三棱柱 B．正方体 C．三棱锥 D．长方体 【分析】根据三视图得出几何体为三棱柱即可． 【解答】解：由主视图和俯视图可得几何体为三棱柱， 故选：A． 24．（2018•恩施州）由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形，它的左视图和俯视 图如图所示，则小正方体的个数不可能是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】直接利用左视图以及俯视图进而分析得出答案． 【解答】解：由左视图可得，第 2 层上至少一个小立方体， 第 1 层一共有 5 个小立方体，故小正方体的个数最少为：6 个，故小正方体的个数不可能是 5 个． 故选：A． 25．（2018•武汉）一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示， 则这个几何体中正方体的个数最多是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】易得这个几何体共有 2 层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二 层立方体的可能的个数，相加即可． 【解答】解：结合主视图和俯视图可知，左边上层最多有 2 个，左边下层最多有 2 个，右边 只有一层，且只有 1 个． 所以图中的小正方体最多 5 块． 故选：C． 26．（2018•包头）如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方 形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】由俯视图知该几何体共 2 列，其中第 1 列前一排 1 个正方形、后 1 排 2 个正方形， 第 2 列只有前排 2 个正方形，据此可得． 【解答】解：由俯视图知该几何体共 2 列，其中第 1 列前一排 1 个正方形、后 1 排 2 个正方 形，第 2 列只有前排 2 个正方形， 所以其主视图为： 故选：C． 27．（2018•金华）一个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A．直三棱柱 B．长方体 C．圆锥 D．立方体 【分析】根据三视图的形状可判断几何体的形状． 【解答】解：观察三视图可知，该几何体是直三棱柱． 故选：A． 28．（2018•黔南州）如图的几何体是由四个大小相同的正方体组成的，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【解答】解：从上面可看到从上往下 2 行小正方形的个数为：2，1，并且下面一行的正方形 靠左，故选 C． 29．（2018•随州）如图是一个由 4 个相同正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形， 故选：D． 30．（2018•哈尔滨）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】俯视图有 3 列，从左到右正方形个数分别是 2，1，2． 【解答】解：俯视图从左到右分别是 2，1，2 个正方形． 故选：B． 31．（2018•郴州）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】找到几何体的上面看所得到的图形即可． 【解答】解：从几何体的上面看可得 ， 故选：B． 32．（2018•沈阳）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是 （ ） A． B． C． D． 【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则 可． 【解答】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1．左视图如下： 故选：D． 33．（2018•深圳）图中立体图形的主视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据主视图是从正面看的图形解答． 【解答】解：从正面看，共有两层，下面三个小正方体，上面有两个小正方体，在右边两个． 故选：B． 34．（2018•临安区）小明从正面观察如图所示的两个物体，看到的是（ ） A． B． C． D． 【分析】分别找出四个选项中图形是从哪个方位看到的，此题得解． 【解答】解：A、从上面看到的图形； B、从右面看到的图形； C、从正面看到的图形； D、从左面看到的图形． 故选：C． 35．（2018•潍坊）如图所示的几何体的左视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看是两个等宽的矩形，矩形的公共边是虚线， 故选：D． 36．（2018•聊城）如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：用左边看是等宽的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公 共边是虚线， 故选：D． 37．（2018•曲靖）如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的 左视图为（ ） A． B． C． D． 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中． 【解答】解：从左面看去，是两个有公共边的矩形，如图所示： 故选：D． 38．（2018•湖州）如图所示的几何体的左视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看是一个圆环， 故选：D． 39．（2018•菏泽）如图是两个等直径圆柱构成的“T”形管道，其左视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看如图 ， 故选：B． 40．（2018•嘉兴）下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：A、俯视图是圆，故 A 不符合题意； B、俯视图是矩形，故 B 不符合题意； C、俯视图是三角形，故 C 符合题意； D、俯视图是四边形，故 D 不符合题意； 故选：C． 41．（2018•安徽）一个由圆柱和圆锥组成的几何体如图水平放置，其主（正）视图为（ ） A． B． C． D． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：从正面看上边是一个三角形，下边是一个矩形， 故选：A． 42．（2018•怀化）下列几何体中，其主视图为三角形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】找出四个选项中几何体的主视图，由此即可得出结论． 【解答】解：A、圆柱的主视图为矩形， ∴A 不符合题意； B、正方体的主视图为正方形， ∴B 不符合题意； C、球体的主视图为圆形， ∴C 不符合题意； D、圆锥的主视图为三角形， ∴D 符合题意． 故选：D． 43．（2018•自贡）下面几何的主视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形． 【解答】解：从几何体正面看，从左到右的正方形的个数为：2，1，2．故选 B． 44．（2018•遂宁）如图，5 个完全相同的小正方体组成了一个几何体，则这个几何体的主 视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，． 故选：D． 45．（2018•温州）移动台阶如图所示，它的主视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：从正面看是三个台阶， 故选：B． 二．填空题（共 5 小题） 46．（2018•青岛）一个由 16 个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了 9 个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有 10 种． 【分析】先根据主视图确定每一列最大分别为 4，2，3，再根据左视确定每一行最大分别为 4，3，2，总和要保证为 16，还要保证俯视图有 9 个位置． 【解答】解：设俯视图有 9 个位置分别为： 由主视图和左视图知：①第 1 个位置一定是 4，第 6 个位置一定是 3； ②一定有 2 个 2，其余有 5 个 1； ③最后一行至少有一个 2，当中一列至少有一个 2； 根据 2 的排列不同，这个几何体的搭法共有 10 种：如下图所示： 故答案为：10． 47．（2018•东营）已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为 20π ． 【分析】先利用三视图得到底面圆的半径为 4，圆锥的高为 3，再根据勾股定理计算出母线 长 l 为 5，然后根据圆锥的侧面积公式：S 侧=πrl 代入计算即可． 【解答】解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为 8，即底面圆的半径 r 为 4，圆锥的高 为 3， 所以圆锥的母线长 l= =5， 所以这个圆锥的侧面积是π×4×5=20π． 故答案为：20π 48．（2018•孝感）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中数据计算， 这个几何体的表面积为 16π cm2． 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆 锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积． 【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何 体应该是圆锥； 根据三视图知：该圆锥的母线长为 6cm，底面半径为 2cm， 故表面积=πrl+πr2=π×2×6+π×22=16π（cm2）． 故答案为：16π． 49．（2018•白银）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体 的侧面积为 108 ． 【分析】观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，然后根据提供的尺寸求得其侧面 积即可． 【解答】解：观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，其底面边长为 3，高为 6， 所以其侧面积为 3×6×6=108， 故答案为：108． 50．（2018•齐齐哈尔）三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG 中，EF=8cm，EG=12cm，∠ EFG=45°．则 AB 的长为 4 cm． 【分析】根据三视图的对应情况可得出，△EFG 中 FG 上的高即为 AB 的长，进而求出即可． 【解答】解：过点 E 作 EQ⊥FG 于点 Q， 由题意可得出：EQ=AB， ∵EF=8cm，∠EFG=45°， ∴EQ=AB= ×8=4 （cm）． 故答案为：4 ． 圆的有关性质 一、 选择题 1．（2016·山东省滨州市·3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的点，且 OC∥BD， AD 分别与 BC，OC 相交于点 E，F，则下列结论： ①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB 平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中 一定成立的是（ ） A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤ 【考点】圆的综合题． 【分析】①由直径所对圆周角是直角， ②由于∠AOC 是⊙O 的圆心角，∠AEC 是⊙O 的圆内部的角角， ③由平行线得到∠OCB=∠DBC，再由圆的性质得到结论判断出∠OBC=∠DBC； ④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦； ⑤用三角形的中位线得到结论； ⑥得不到△CEF 和△BED 中对应相等的边，所以不一定全等． 【解答】解：①、∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BD， ②、∵∠AOC 是⊙O 的圆心角，∠AEC 是⊙O 的圆内部的角角， ∴∠AOC≠∠AEC， ③、∵OC∥BD， ∴∠OCB=∠DBC， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∴∠OBC=∠DBC， ∴CB 平分∠ABD， ④、∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BD， ∵OC∥BD， ∴∠AFO=90°， ∵点 O 为圆心， ∴AF=DF， ⑤、由④有，AF=DF， ∵点 O 为 AB 中点， ∴OF 是△ABD 的中位线， ∴BD=2OF， ⑥∵△CEF 和△BED 中，没有相等的边， ∴△CEF 与△BED 不全等， 故选 D 【点评】此题是圆综合题，主要考查了圆的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题 的关键是熟练掌握圆的性质． 2．（2016·山东省德州市·3 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中 有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形， 勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形能容纳的圆形（内 切圆）直径是多少？”（ ） A．3 步 B．5 步 C．6 步 D．8 步 【考点】三角形的内切圆与内心． 【专题】圆的有关概念及性质． 【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径． 【解答】解：根据勾股定理得：斜边为 =17， 则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径 r= =3（步），即直径为 6 步， 故选 C 【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心，Rt△ABC，三边长为 a，b，c（斜边），其内 切圆半径 r= ． 3．（2016·山东省济宁市·3 分）如图，在⊙O 中， = ，∠AOB=40°，则∠ADC 的度数是 （ ） A．40° B．30° C．20° D．15° 【考点】圆心角、弧、弦的关系． 【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论． 【解答】解：∵在⊙O 中， = ， ∴∠AOC=∠AOB， ∵∠AOB=40°， ∴∠AOC=40°， ∴∠ADC= ∠AOC=20°， 故选 C． 4. （2016·云南省昆明市·4 分）如图，AB 为⊙O 的直径，AB=6，AB⊥弦 CD，垂足为 G，EF 切⊙O 于点 B，∠A=30°，连接 AD、OC、BC，下列结论不正确的是（ ） A．EF∥CD B．△COB 是等边三角形 C．CG=DG D． 的长为 π 【考点】弧长的计算；切线的性质． 【分析】根据切线的性质定理和垂径定理判断 A；根据等边三角形的判定定理判断 B；根据 垂径定理判断 C；利用弧长公式计算出 的长判断 D． 【解答】解：∵AB 为⊙O 的直径，EF 切⊙O 于点 B， ∴AB⊥EF，又 AB⊥CD， ∴EF∥CD，A 正确； ∵AB⊥弦 CD， ∴ = ， ∴∠COB=2∠A=60°，又 OC=OD， ∴△COB 是等边三角形，B 正确； ∵AB⊥弦 CD， ∴CG=DG，C 正确； 的长为： =π，D 错误， 故选：D． 5. （2016·浙江省湖州市·3 分）如图，圆 O 是 Rt△ABC 的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°， 过点 C 作圆 O 的切线，交 AB 的延长线于点 D，则∠D 的度数是（ ） A．25° B．40° C．50° D．65° 【考点】切线的性质；圆周角定理． 【分析】首先连接 OC，由∠A=25°，可求得∠BOC 的度数，由 CD 是圆 O 的切线，可得 OC⊥CD， 继而求得答案． 【解答】解：连接 OC， ∵圆 O 是 Rt△ABC 的外接圆，∠ACB=90°， ∴AB 是直径， ∵∠A=25°， ∴∠BOC=2∠A=50°， ∵CD 是圆 O 的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠D=90°﹣∠BOC=40°． 故选 B． 6.（2016·浙江省绍兴市·4 分）如图，BD 是⊙O 的直径，点 A、C 在⊙O 上， = ，∠AOB=60°， 则∠BDC 的度数是（ ） A．60° B．45° C．35° D．30° 【考点】圆周角定理． 【分析】直接根据圆周角定理求解． 【解答】解：连结 OC，如图， ∵ = ， ∴∠BDC= ∠AOB= ×60°=30°． 故选 D． 7．（2016 广西南宁 3 分）如图，点 A，B，C，P 在⊙O 上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D， E，∠DCE=40°，则∠P 的度数为（ ） A．140° B．70° C．60° D．40° 【考点】圆周角定理． 【分析】先根据四边形内角和定理求出∠DOE 的度数，再由圆周角定理即可得出结论． 【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D，E，∠DCE=40°， ∴∠DOE=180°﹣40°=140°， ∴∠P= ∠DOE=70°． 故选 B． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 8．（2016 贵州毕节 3 分）如图，点 A，B，C 在⊙O 上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ） A．100° B．72° C．64° D．36° 【考点】圆周角定理． 【分析】连接 OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=28°，根据等腰三角形的性质解答 即可． 【解答】解：连接 OA， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠C=28°， ∴∠OAB=64°， ∵OA=OB， ∴∠B=∠OAB=64°， 故选：C． 9.(2016 河北 3 分）图示为 4×4 的网格图，A，B，C，D，O 均在格点上，点 O 是（ ） 第 9 题图 A．△ACD 的外心 B．△ABC 的外心 C．△ACD 的内心 D．△ABC 的内心 答案：B 解析：点 O 在△ABC 外，且到三点距离相等，故为外心。 知识点：外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。 内心：三角形内心到三角形三条边的距离相等。（也就是内切圆圆心) 10. （2016·山东潍坊·3 分）木杆 AB 斜靠在墙壁上，当木杆的上端 A 沿墙壁 NO 竖直下滑时， 木杆的底端 B 也随之沿着射线 OM 方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点 P 随之下落的路 线，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线． 【分析】先连接 OP，易知 OP 是 Rt△AOB 斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半，可得 OP= AB，由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么 OP 就是一个定值， 那么 P 点就在以 O 为圆心的圆弧上． 【解答】解：如右图， 连接 OP，由于 OP 是 Rt△AOB 斜边上的中线， 所以 OP= AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是 OP 是一个定值，点 P 就在以 O 为圆心的圆弧上，那么中点 P 下落的路线是一段弧线． 故选 D． 11. （2016·陕西·3 分）如图，⊙O 的半径为 4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接 OB、OC．若 ∠BAC 与∠BOC 互补，则弦 BC 的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形． 【分析】首先过点 O 作 OD⊥BC 于 D，由垂径定理可得 BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC 的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC 的度数，利用余弦函数，即可求得答案． 【解答】解：过点 O 作 OD⊥BC 于 D， 则 BC=2BD， ∵△ABC 内接于⊙O，∠BAC 与∠BOC 互补， ∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°， ∴∠BOC=120°， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB= =30°， ∵⊙O 的半径为 4， ∴BD=OB•cos∠OBC=4× =2 ， ∴BC=4 ． 故选：B． 12. （2016·四川眉山·3 分）如图，A、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径．若∠D=32°，则∠OAC= （ ） A．64° B．58° C．72° D．55° 【分析】先根据圆周角定理求出∠B 及∠BAC 的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB 的 度数，进而可得出结论． 【解答】解：∵BC 是直径，∠D=32°， ∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°． ∵OA=OB， ∴∠BAO=∠B=32°， ∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°﹣32°=58°． 故选 B． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 13. （2016·四川攀枝花） 如图，点 D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则 sin∠OBD=（ ） A． B． C． D． 【考点】锐角三角函数的定义． 【分析】连接 CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点 D（0，3），C（4，0），得 OD=3，OC=4， 由勾股定理得出 CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出 sin∠OBD 即可． 【解答】解：∵D（0，3），C（4，0）， ∴OD=3，OC=4， ∵∠COD=90°， ∴CD= =5， 连接 CD，如图所示： ∵∠OBD=∠OCD， ∴sin∠OBD=sin∠OCD= = ． 故选：D． 【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定 理是解决问题的关键． 14.（2016·黑龙江龙东·3 分）若点 O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC=60°，底边 BC=2，则 △ABC 的面积为（ ） A．2+ B． C．2+ 或 2﹣ D．4+2 或 2﹣ 【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质． 【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可 以求出不同情况下△ABC 的面积，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得，如右图所示， 存在两种情况， 当△ABC 为△A1BC 时，连接 OB、OC， ∵点 O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC=60°，底边 BC=2，OB=OC， ∴△OBC 为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC 于点 D， ∴CD=1，OD= ， ∴ =2﹣ ， 当△ABC 为△A2BC 时，连接 OB、OC， ∵点 O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC=60°，底边 BC=2，OB=OC， ∴△OBC 为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC 于点 D， ∴CD=1，OD= ， ∴S△A2BC= = =2+ ， 由上可得，△ABC 的面积为 或 2+ ， 故选 C． 15．（2016·黑龙江齐齐哈尔·3 分）下列命题中，真命题的个数是（ ） ①同位角相等 ②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行 ③长度相等的弧是等弧 ④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】命题与定理． 【分析】根据平行线的性质对①进行判断；根据平行公理对②进行判断；根据等弧的定义对 ③进行判断；根据中点四边的判定方法可判断顺次连接菱形各边中点得到的四边形为平行四 边形，加上菱形的对角线垂直可判断中点四边形为矩形． 【解答】解：两直线平行，同位角相等，所以①错误； 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以②错误； 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以③选项错误； 顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，所以④正确． 故选 A． 16．（2016·湖北黄石·3 分）如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂 足为 N，则 ON=（ ） A．5 B．7 C．9 D．11 【分析】根据⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，可以求得 AN 的长，从而可以 求得 ON 的长． 【解答】解：由题意可得， OA=13，∠ONA=90°，AB=24， ∴AN=12， ∴ON= ， 故选 A． 【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题． 17．（2016·湖北荆州·3 分）如图，过⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA、PB，切点分别是 A、B，OP 交⊙O 于点 C，点 D 是优弧 上不与点 A、点 C 重合的一个动点，连接 AD、CD， 若∠APB=80°，则∠ADC 的度数是（ ） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】根据四边形的内角和，可得∠BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理， 可得答案． 【解答】解；如图 ， 由四边形的内角和定理，得 ∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°， 由 = ，得 ∠AOC=∠BOC=50°． 由圆周角定理，得 ∠ADC= ∠AOC=25°， 故选：C． 【点评】本题考查了切线的性质，切线的性质得出 = 是解题关键，又利用了圆周角定 理． 二、 填空题 1. （2016·重庆市 A 卷·4 分）如图，OA，OB 是⊙O 的半径，点 C 在⊙O 上，连接 AC，BC， 若∠AOB=120°，则∠ACB= 60 度． 【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半可得答案． 【解答】解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB=120°， ∴∠ACB=120°× =60°， 故答案为：60． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等 弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 2.（2016·广西百色·3 分）如图，⊙O 的直径 AB 过弦 CD 的中点 E，若∠C=25°，则∠D= 65° ． 【考点】圆周角定理． 【分析】先根据圆周角定理求出∠A 的度数，再由垂径定理求出∠AED 的度数，进而可得出 结论． 【解答】解：∵∠C=25°， ∴∠A=∠C=25°． ∵⊙O 的直径 AB 过弦 CD 的中点 E， ∴AB⊥CD， ∴∠AED=90°， ∴∠D=90°﹣25°=65°． 故答案为：65°． 3.（2016·贵州安顺·4 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若 AB=8，CD=6，则 BE= 4﹣ 7 ． 【分析】连接 OC，根据垂径定理得出 CE=ED= CD=3，然后在 Rt△OEC 中由勾股定理求出 OE 的长度，最后由 BE=OB﹣OE，即可求出 BE 的长度． 【解答】解：如图，连接 OC． ∵弦 CD⊥AB 于点 E，CD=6， ∴CE=ED= CD=3． ∵在 Rt△OEC 中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4， ∴OE= = ∴BE=OB﹣OE=4﹣ 7 ． 故答案为 4﹣ 7 ． 【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出 CE、ED 的长度． 4．（2016 海南 4 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC、BC 是⊙O 的弦，直径 DE⊥AC 于点 P．若 点 D 在优弧 上，AB=8，BC=3，则 DP= 5.5 ． 【考点】圆周角定理；垂径定理． 【分析】解：由 AB 和 DE 是⊙O 的直径，可推出 OA=OB=OD=4，∠C=90°，又有 DE⊥AC，得到 OP∥BC，于是有△AOP∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AB 和 DE 是⊙O 的直径， ∴OA=OB=OD=4，∠C=90°， 又∵DE⊥AC， ∴OP∥BC， ∴△AOP∽△ABC， ∴ ， 即 ， ∴OP=1.5． ∴DP=OP+OP=5.5， 故答案为：5.5． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握 圆周角定理是解决问题的关键． 5. （2016·青海西宁·2 分）⊙O 的半径为 1，弦 AB= ，弦 AC= ，则∠BAC 度数为 75° 或 15° ． 【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形． 【分析】连接 OA，过 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F，根据垂径定理求出 AE、FA 值，根据解 直角三角形的知识求出∠OAB 和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC 即可． 【解答】解：有两种情况： ①如图 1 所示：连接 OA，过 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F， ∴∠OEA=∠OFA=90°， 由垂径定理得：AE=BE= ，AF=CF= ， cos∠OAE= = ，cos∠OAF= = ， ∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=30°+45°=75°； ②如图 2 所示： 连接 OA，过 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F， ∴∠OEA=∠OFA=90°， 由垂径定理得：AE=BE= ，AF=CF= ， cos∠OAE═ = ，cos∠OAF= = ， ∴∠OAE=30°，∠OAF=45°， ∴∠BAC=45°﹣30°=15°； 故答案为：75°或 15°． 6. （2016·吉林·3 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠DAB=130°，连接 OC，点 P 是半径 OC 上任意一点，连接 DP，BP，则∠BPD 可能为 80 度（写出一个即可）． 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理． 【分析】连接 OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB 的度数，根据圆周角定理求出 ∠DOB 的度数，得到∠DCB＜∠BPD＜∠DOB． 【解答】解：连接 OB、OD， ∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∠DAB=130°， ∴∠DCB=180°﹣130°=50°， 由圆周角定理得，∠DOB=2∠DCB=100°， ∴∠DCB＜∠BPD＜∠DOB，即 50°＜∠BPD＜100°， ∴∠BPD 可能为 80°， 故答案为：80． 7. （2016·四 川 泸 州 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点 A（ 1， 0）， B（ 1﹣ a， 0）， C（ 1+a， 0）（ a＞ 0）， 点 P 在 以 D（ 4， 4） 为 圆 心 ， 1 为 半 径 的 圆 上 运 动 ， 且 始 终 满 足 ∠BPC=90°， 则 a 的 最 大 值 是 6 ． 【 考 点 】 三 角 形 的 外 接 圆 与 外 心 ． 【 分 析 】 首 先 证 明 AB=AC=a， 根 据 条 件 可 知 PA=AB=AC=a， 求 出 ⊙D 上 到 点 A 的 最 大 距 离 即 可 解 决 问 题 ． 【 解 答 】 解 ： ∵A（ 1， 0）， B（ 1﹣ a， 0）， C（ 1+a， 0）（ a＞ 0）， ∴AB=1﹣ （ 1﹣ a） =a， CA=a+1﹣ 1=a， ∴AB=AC， ∵∠BPC=90°， ∴PA=AB=AC=a， 如 图 延 长 AD 交 ⊙D 于 P′， 此 时 AP′最 大 ， ∵A（ 1， 0）， D（ 4， 4）， ∴AD=5， ∴AP′=5+1=6， ∴a 的 最 大 值 为 6． 故 答 案 为 6． 8.（2016·黑龙江龙东·3 分）如图，MN 是⊙O 的直径，MN=4，∠AMN=40°，点 B 为弧 AN 的中 点，点 P 是直径 MN 上的一个动点，则 PA+PB 的最小值为 2 ． 【考点】轴对称-最短路线问题；圆周角定理． 【分析】过 A 作关于直线 MN 的对称点 A′，连接 A′B，由轴对称的性质可知 A′B 即为 PA+PB 的最小值，由对称的性质可知 = ，再由圆周角定理可求出∠A′ON 的度数，再由勾股 定理即可求解． 【解答】解：过 A 作关于直线 MN 的对称点 A′，连接 A′B，由轴对称的性质可知 A′B 即为 PA+PB 的最小值， 连接 OB，OA′，AA′， ∵AA′关于直线 MN 对称， ∴ = ， ∵∠AMN=40°， ∴∠A′ON=80°，∠BON=40°， ∴∠A′OB=120°， 过 O 作 OQ⊥A′B 于 Q， 在 Rt△A′OQ 中，OA′=2， ∴A′B=2A′Q=2 ， 即 PA+PB 的最小值 2 ． 故答案为：2 ． 三、 解答题 1. （2016·四 川 泸 州 ） 如 图 ， △ABC 内 接 于 ⊙O， BD 为 ⊙O 的 直 径 ， BD 与 AC 相 交 于 点 H， AC 的 延 长 线 与 过 点 B 的 直 线 相 交 于 点 E， 且 ∠A=∠EBC． （ 1） 求 证 ： BE 是 ⊙O 的 切 线 ； （ 2）已 知 CG∥EB，且 CG 与 BD、BA 分 别 相 交 于 点 F、G，若 BG•BA=48，FG= ， DF=2BF， 求 AH 的 值 ． 【 考 点 】 圆 的 综 合 题 ； 三 角 形 的 外 接 圆 与 外 心 ； 切 线 的 判 定 ． 【 分 析 】（ 1） 欲 证 明 BE 是 ⊙O 的 切 线 ， 只 要 证 明 ∠EBD=90°． （ 2） 由 △ABC∽△CBG， 得 = 求 出 BC， 再 由 △BFC∽△BCD， 得 BC 2 =BF•BD 求 出 BF， CF， CG， GB， 再 通 过 计 算 发 现 CG=AG， 进 而 可 以 证 明 CH=CB， 求 出 AC 即 可 解 决 问 题 ． 【 解 答 】（ 1） 证 明 ： 连 接 CD， ∵BD 是 直 径 ， ∴∠BCD=90°， 即 ∠D+∠CBD=90°， ∵∠A=∠D， ∠A=∠EBC， ∴∠CBD+∠EBC=90°， ∴BE⊥BD， ∴BE 是 ⊙O 切 线 ． （ 2） 解 ： ∵CG∥EB， ∴∠BCG=∠EBC， ∴∠A=∠BCG， ∵∠CBG=∠ABC ∴△ABC∽△CBG， ∴ = ， 即 BC 2 =BG•BA=48， ∴BC=4 ， ∵CG∥EB， ∴CF⊥BD， ∴△BFC∽△BCD， ∴BC 2 =BF•BD， ∵DF=2BF， ∴BF=4， 在 RT△BCF 中 ， CF= =4 ， ∴CG=CF+FG=5 ， 在 RT△BFG 中 ， BG= =3 ， ∵BG•BA=48， ∴ 即 AG=5 ， ∴CG=AG， ∴∠A=∠ACG=∠BCG， ∠CFH=∠CFB=90°， ∴∠CHF=∠CBF， ∴CH=CB=4 ， ∵△ABC∽△CBG， ∴ = ， ∴AC= = ， ∴AH=AC﹣ CH= ． 2．（2016·四川攀枝花） 如图，在△AOB 中，∠AOB 为直角，OA=6，OB=8，半径为 2 的动圆 圆心 Q 从点 O 出发，沿着 OA 方向以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点 P 从点 A 出发，沿着 AB 方向也以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为 t 秒（0＜t≤5） 以 P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 与 AB、OA 的另一个交点分别为 C、D，连结 CD、QC． （1）当 t 为何值时，点 Q 与点 D 重合？ （2）当⊙Q 经过点 A 时，求⊙P 被 OB 截得的弦长． （3）若⊙P 与线段 QC 只有一个公共点，求 t 的取值范围． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）由题意知 CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用对应边的比求出 AD 的长度，若 Q 与 D 重合时，则，AD+OQ=OA，列出方程即可求出 t 的值； （2）由于 0＜t≤5，当 Q 经过 A 点时，OQ=4，此时用时为 4s，过点 P 作 PE⊥OB 于点 E，利 用垂径定理即可求出⊙P 被 OB 截得的弦长； （3）若⊙P 与线段 QC 只有一个公共点，分以下两种情况，①当 QC 与⊙P 相切时，计算出此 时的时间；②当 Q 与 D 重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出 t 的取值范围． 【解答】解：（1）∵OA=6，OB=8， ∴由勾股定理可求得：AB=10， 由题意知：OQ=AP=t， ∴AC=2t， ∵AC 是⊙P 的直径， ∴∠CDA=90°， ∴CD∥OB， ∴△ACD∽△ABO， ∴ ， ∴AD= ， 当 Q 与 D 重合时， AD+OQ=OA， ∴ +t=6， ∴t= ； （2）当⊙Q 经过 A 点时，如图 1， OQ=OA﹣QA=4， ∴t= =4s， ∴PA=4， ∴BP=AB﹣PA=6， 过点 P 作 PE⊥OB 于点 E，⊙P 与 OB 相交于点 F、G， 连接 PF， ∴PE∥OA， ∴△PEB∽△AOB， ∴ ， ∴PE= ， ∴由勾股定理可求得：EF= ， 由垂径定理可求知：FG=2EF= ； （3）当 QC 与⊙P 相切时，如图 2， 此时∠QCA=90°， ∵OQ=AP=t， ∴AQ=6﹣t，AC=2t， ∵∠A=∠A， ∠QCA=∠ABO， ∴△AQC∽△ABO， ∴ ， ∴ ， ∴t= ， ∴当 0＜t≤ 时，⊙P 与 QC 只有一个交点， 当 QC⊥OA 时， 此时 Q 与 D 重合， 由（1）可知：t= ， ∴当 ＜t≤5 时，⊙P 与 QC 只有一个交点， 综上所述，当，⊙P 与 QC 只有一个交点，t 的取值范围为：0＜t≤ 或 ＜t≤5． 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性 质，学生需要根据题意画出相应的图形来分析，并且能综合运用所学知识进行解答． 3. （2016·山东潍坊）正方形 ABCD 内接于⊙O，如图所示，在劣弧 上取一点 E，连接 DE、 BE，过点 D 作 DF∥BE 交⊙O 于点 F，连接 BF、AF，且 AF 与 DE 相交于点 G，求证： （1）四边形 EBFD 是矩形； （2）DG=BE． 【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理． 【分析】（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD=90°， ∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，进而得出答案； （2）直接利用正方形的性质 的度数是 90°，进而得出 BE=DF，则 BE=DG． 【解答】证明：（1）∵正方形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°， 又∵DF∥BE， ∴∠EDF+∠BED=180°， ∴∠EDF=90°， ∴四边形 EBFD 是矩形； （2））∵正方形 ABCD 内接于⊙O， ∴ 的度数是 90°， ∴∠AFD=45°， 又∵∠GDF=90°， ∴∠DGF=∠DFC=45°， ∴DG=DF， 又∵在矩形 EBFD 中，BE=DF， ∴BE=DG． 4.（2016·广西桂林·8 分）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣ 海伦公式 ))()(( cpbpapps （其中 a，b，c 是三角形的三边长， 2 cbap ，S 为三角形的面积），并给出了证明 例如：在△ABC 中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算： ∵a=3，b=4，c=5 ∴p= =6 ∴S= = =6 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶 提出的秦九韶公式等方法解决． 如图，在△ABC 中，BC=5，AC=6，AB=9 （1）用海伦公式求△ABC 的面积； （2）求△ABC 的内切圆半径 r． 【考点】三角形的内切圆与内心；二次根式的应用． 【分析】（1）先根据 BC、AC、AB 的长求出 P，再代入到公式 S= 即 可求得 S 的值； （2）根据公式 S= r（AC+BC+AB），代入可得关于 r 的方程，解方程得 r 的值． 【解答】解：（1）∵BC=5，AC=6，AB=9， ∴p= = =10， ∴S= = =10 ； 故△ABC 的面积 10 ； （2）∵S= r（AC+BC+AB）， ∴10 = r（5+6+9）， 解得：r= ， 故△ABC 的内切圆半径 r= ． 5.（2016·广西桂林·10 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°， 以 AD 为直径作圆 O，过点 D 作 DE∥AB 交圆 O 于点 E （1）证明点 C 在圆 O 上； （2）求 tan∠CDE 的值； （3）求圆心 O 到弦 ED 的距离． 【考点】实数的运算． 【分析】（1）如图 1，连结 CO．先由勾股定理求出 AC=10，再利用勾股定理的逆定理证明 △ACD 是直角三角形，∠C=90°，那么 OC 为 Rt△ACD 斜边上的中线，根据直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半得出 OC= AD=r，即点 C 在圆 O 上； （2）如图 2，延长 BC、DE 交于点 F，∠BFD=90°．根据同角的余角相等得出∠CDE=∠ACB．在 Rt△ABC 中，利用正切函数定义求出 tan∠ACB= = ，则 tan∠CDE=tan∠ACB= ； （3）如图 3，连结 AE，作 OG⊥ED 于点 G，则 OG∥AE，且 OG= AE．易证△ABC∽△CFD，根 据相似三角形对应边成比例求出 CF= ，那么 BF=BC+CF= ．再证明四边形 ABFE 是矩形， 得出 AE=BF= ，所以 OG= AE= ． 【解答】（1）证明：如图 1，连结 CO． ∵AB=6，BC=8，∠B=90°， ∴AC=10． 又∵CD=24，AD=26，102+242=262， ∴△ACD 是直角三角形，∠C=90°． ∵AD 为⊙O 的直径， ∴AO=OD，OC 为 Rt△ACD 斜边上的中线， ∴OC= AD=r， ∴点 C 在圆 O 上； （2）解：如图 2，延长 BC、DE 交于点 F，∠BFD=90°． ∵∠BFD=90°， ∴∠CDE+∠FCD=90°， 又∵∠ACD=90°， ∴∠ACB+∠FCD=90°， ∴∠CDE=∠ACB． 在 Rt△ABC 中，tan∠ACB= = ， ∴tan∠CDE=tan∠ACB= ； （3）解：如图 3，连结 AE，作 OG⊥ED 于点 G，则 OG∥AE，且 OG= AE． 易证△ABC∽△CFD， ∴ = ，即 = ， ∴CF= ， ∴BF=BC+CF=8+ = ． ∵∠B=∠F=∠AED=90°， ∴四边形 ABFE 是矩形， ∴AE=BF= ， ∴OG= AE= ， 即圆心 O 到弦 ED 的距离为 ． 6.（2016·贵州安顺·12 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径 的圆 O 与 AD、AC 分别交于点 E、F，且∠ACB=∠DCE． （1）判断直线 CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若 tan∠ACB= ，BC=2，求⊙O 的半径． 【分析】（1）连接 OE．欲证直线 CE 与⊙O 相切，只需证明∠CEO=90°，即 OE⊥CE 即可； （2）在直角三角形 ABC 中，根据三角函数的定义可以求得 AB= ，然后根据勾股定理求得 AC= ，同理知 DE=1； 方法一、在 Rt△COE 中，利用勾股定理可以求得 CO2=OE2+CE2，即 =r2+3，从而易 得 r 的值； 方法二、过点 O 作 OM⊥AE 于点 M，在 Rt△AMO 中，根据三角函数的定义可以求得 r 的值． 【解答】解：（1）直线 CE 与⊙O 相切．…（1 分） 理由如下： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC； 又∵∠ACB=∠DCE， ∴∠DAC=∠DCE； 连接 OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE； ∵∠DCE+∠DEC=90° ∴∠AE0+∠DEC=90° ∴∠OEC=90°，即 OE⊥CE． 又 OE 是⊙O 的半径， ∴直线 CE 与⊙O 相切．…（5 分） （2）∵tan∠ACB= = ，BC=2， ∴AB=BC•tan∠ACB= ， ∴AC= ； 又∵∠ACB=∠DCE， ∴tan∠DCE=tan∠ACB= ， ∴DE=DC•tan∠DCE=1； 方法一：在 Rt△CDE 中，CE= = ， 连接 OE，设⊙O 的半径为 r，则在 Rt△COE 中，CO2=OE2+CE2，即 =r2+3 解得：r= 方法二：AE=AD﹣DE=1，过点 O 作 OM⊥AE 于点 M，则 AM= AE= 在 Rt△AMO 中，OA= = ÷ = …（9 分） 【点评】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的 长． 7.（2016·黑龙江哈尔滨·10 分）已知：△ABC 内接于⊙O，D 是 上一点，OD⊥BC，垂足为 H． （1）如图 1，当圆心 O 在 AB 边上时，求证：AC=2OH； （2）如图 2，当圆心 O 在△ABC 外部时，连接 AD、CD，AD 与 BC 交于点 P，求证：∠ACD=∠APB； （3）在（2）的条件下，如图 3，连接 BD，E 为⊙O 上一点，连接 DE 交 BC 于点 Q、交 AB 于 点 N，连接 OE，BF 为⊙O 的弦，BF⊥OE 于点 R 交 DE 于点 G，若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，AC=5 ， BN=3 ，tan∠ABC= ，求 BF 的 长． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）OD⊥BC 可知点 H 是 BC 的中点，又中位线的性质可得 AC=2OH； （2）由垂径定理可知： ，所以∠BAD=∠CAD，由因为∠ABC=∠ADC，所以∠ACD=∠APB； （3）由∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN 可知∠AND=90°，由 tan∠ABC= 可知 NQ 和 BQ 的长度，再由 BF⊥OE 和 OD⊥BC 可知∠GBN=∠ABC，所以 BG=BQ，连接 AO 并延长交⊙O 于点 I，连接 IC 后 利用圆周角定理可求得 IC 和 AI 的长度，设 QH=x，利用勾股定理可求出 QH 和 HD 的长度， 利用垂径定理可求得 ED 的长度，最后利用 tan∠OED= 即可求得 RG 的长度，最后由垂径定 理可求得 BF 的长度． 【解答】解：（1）∵OD⊥BC， ∴由垂径定理可知：点 H 是 BC 的中点， ∵点 O 是 AB 的中点， ∴OH 是△ABC 的中位线， ∴AC=2OH； （2）∵OD⊥BC， ∴由垂径定理可知： ， ∴∠BAD=∠CAD， ∵ ， ∴∠ABC=∠ADC， ∴180°﹣∠BAD﹣∠ABC=180°﹣∠CAD﹣∠ADC， ∴∠ACD=∠APB， （3）连接 AO 延长交于⊙O 于点 I，连接 IC，AB 与 OD 相交于点 M， ∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN， ∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN， ∵∠ABD+∠BDN=∠AND， ∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND， ∵∠ACD+∠ABD=180°， ∴∠ABD+∠BDN=180°﹣∠AND， ∴∠AND=180°﹣∠AND， ∴∠AND=90°， ∵tan∠ABC= ，BN=3 ， ∴NQ= ， ∴由勾股定理可求得：BQ= ， ∵∠BNQ=∠QHD=90°， ∴∠ABC=∠QDH， ∵OE=OD， ∴∠OED=∠QDH， ∵∠ERG=90°， ∴∠OED=∠GBN， ∴∠GBN=∠ABC， ∵AB⊥ED， ∴BG=BQ= ，GN=NQ= ， ∵AI 是⊙O 直径， ∴∠ACI=90°， ∵tan∠AIC=tan∠ABC= ， ∴ = ， ∴IC=10 ， ∴由勾股定理可求得：AI=25， 连接 OB， 设 QH=x， ∵tan∠ABC=tan∠ODE= ， ∴ ， ∴HD=2x， ∴OH=OD﹣HD= ﹣2x， BH=BQ+QH= +x， 由勾股定理可得：OB2=BH2+OH2， ∴（ ）2=（ +x）2+（ ﹣2x）2， 解得：x= 或 x= ， 当 QH= 时， ∴QD= QH= ， ∴ND=QD+NQ=6 ， ∴MN=3 ，MD=15 ∵MD ， ∴QH= 不符合题意，舍去， 当 QH= 时， ∴QD= QH= ∴ND=NQ+QD=4 ， 由垂径定理可求得：ED=10 ， ∴GD=GN+ND= ∴EG=ED﹣GD= ， ∵tan∠OED= ， ∴ ， ∴EG= RG， ∴RG= ， ∴BR=RG+BG=12 ∴由垂径定理可知：BF=2BR=24． 8.(2016 河北）（本小题满分 10 分） 如图，半圆 O 的直径 AB=4，以长为 2 的弦 PQ 为直径，向点 O 方向作半圆 M，其中 P 点在 AQ （弧）上且不．与 A 点重合，但 Q 点可与 B 点重合. 发现 AP（弧）的长与 QB（弧）的长之和为定值 l，求 l； 思考 点 M 与 AB 的最大距离为_______，此时点 P，A 间的距离为_______；点 M 与 AB 的最 小距离为________，此时半圆 M 的弧与 AB 所围成的封闭图形面积为________. 探究 当半圆 M 与 AB 相切时，求 AP（弧）的长. （注：结果保留π，cos 35°= 6 3 ，cos 55°= 3 3 ） 第 25 题图 备用图 解析：图画好，就好求。最大距离就是 OM，当 OM⊥AB 时，利用角和边的关系，△AOP 是等 边三角形，点 M 与 AB 的最小距离，Q 与 B 重合，面积，扇形减三角形。 相切，两种情况，左边和右边，对称的，画好图，根据 cos 35°= 6 3 ，cos 55°= 3 3 ， 以及已知角，求所需要的角。 知识点：圆 9．（2016 河南）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，点 M 是 AC 的中点，以 AB 为直径作⊙O 分别交 AC，BM 于点 D，E． （1）求证：MD=ME； （2）填空： ①若 AB=6，当 AD=2DM 时，DE= 2 ； ②连接 OD，OE，当∠A 的度数为 60° 时，四边形 ODME 是菱形． 【考点】菱形的判定． 【分析】（1）先证明∠A=∠ABM，再证明∠MDE=∠MBA，∠MED=∠A 即可解决问题． （2）①由 DE∥AB，得 = 即可解决问题． ②当∠A=60°时，四边形 ODME 是菱形，只要证明△ODE，△DEM 都是等边三角形即可． 【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，AM=MC， ∴BM=AM=MC， ∴∠A=∠ABM， ∵四边形 ABED 是圆内接四边形， ∴∠ADE+∠ABE=180°， 又∠ADE+∠MDE=180°， ∴∠MDE=∠MBA， 同理证明：∠MED=∠A， ∴∠MDE=∠MED， ∴MD=ME． （2）①由（1）可知，∠A=∠MDE， ∴DE∥AB， ∴ = ， ∵AD=2DM， ∴DM：MA=1：3， ∴DE= AB= ×6=2． 故答案为 2． ②当∠A=60°时，四边形 ODME 是菱形． 理由：连接 OD、OE， ∵OA=OD，∠A=60°， ∴△AOD 是等边三角形， ∴∠AOD=60°， ∵DE∥AB， ∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°， ∴△ODE，△DEM 都是等边三角形， ∴OD=OE=EM=DM， ∴四边形 OEMD 是菱形． 故答案为 60°． 【点评】本题考查圆内接四边形性质、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定等知识，解题 的关键是灵活运用这些知识解决问题，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型． 10. （2016·云南省昆明市）如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=90°，四边形 EBOC 是平行四边 形，EB 交⊙O 于点 D，连接 CD 并延长交 AB 的延长线于点 F． （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π） 【考点】切线的判定；平行四边形的性质；扇形面积的计算． 【分析】（1）欲证明 CF 是⊙O 的切线，只要证明∠CDO=90°，只要证明△COD≌△COA 即可． （2）根据条件首先证明△OBD 是等边三角形，∠FDB=∠EDC=∠ECD=30°，推出 DE=EC=BO=BD=OA 由此根据 S 阴=2•S△AOC﹣S 扇形 OAD 即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图连接 OD． ∵四边形 OBEC 是平行四边形， ∴OC∥BE， ∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB， ∴∠DOC=∠AOC， 在△COD 和△COA 中， ， ∴△COD≌△COA， ∴∠CAO=∠CDO=90°， ∴CF⊥OD， ∴CF 是⊙O 的切线． （2）解：∵∠F=30°，∠ODF=90°， ∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°， ∵OD=OB， ∴△OBD 是等边三角形， ∴∠DBO=60°， ∵∠DBO=∠F+∠FDB， ∴∠FDB=∠EDC=30°， ∵EC∥OB， ∴∠E=180°﹣∠OBD=120°， ∴∠ECD=180°﹣∠E﹣∠EDC=30°， ∴EC=ED=BO=DB， ∵EB=4， ∴OB=OD═OA=2， 在 RT△AOC 中，∵∠OAC=90°，OA=2，∠AOC=60°， ∴AC=OA•tan60°=2 ， ∴S 阴=2•S△AOC﹣S 扇形 OAD=2× ×2×2 ﹣ =2 ﹣ ． 中考数学试卷 一、选择题 1.（-2018）0 的值是（ ） A．-2018 B．2018 C．0 D．1 【答案】D 【考点】0 指数幂的运算性质 【解析】【解答】解：∵20180=1，故答案为：D. 【分析】根据 a0=1 即可得出答案. 2.四川省公布了 2017 年经济数据 GDP 排行榜，绵阳市排名全省第二，GDP 总量为 2075 亿 元。将 2075 亿元用科学计数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数 【解析】【解答】解：∵2075 亿=2.075×1011， 故答案为：B. 【分析】由科学计数法：将一个数字表示成 a×10 的 n 次幂的形式，其中 1≤|a|<10，n 为整 数，由此即可得出答案. 3.如图，有一块含有 30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上。如果∠2=44°，那 么∠1 的度数是（ ） A．14° B．15° C．16° D．17° 【答案】C 【考点】平行线的性质 【解析】【解答】解：如图： 依题可得：∠2=44°，∠ABC=60°，BE∥CD， ∴∠1=∠CBE， 又∵∠ABC=60°， ∴∠CBE=∠ABC-∠2=60°-44°=16°， 即∠1=16°. 故答案为：C. 【分析】根据两直线平行，内错角相等得∠1=∠CBE，再结合已知条件∠CBE=∠ABC -∠ 2，带入数值即可得∠1 的度数. 4.下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则及应用 【解析】【解答】解：A.∵a2·a3=a5,故错误，A 不符合题意； B.a3 与 a2 不是同类项，故不能合并，B 不符合题意； C.∵（a2）4=a8,故正确，C 符合题意； D.a3 与 a2 不是同类项，故不能合并，D 不符合题意 故答案为：C. 【分析】A.根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可判断对错； B.根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母指数相同，由此得不是同类项； C.根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断对错； D.根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母指数相同，由此得不是同类项； 5.下列图形中是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形 【解析】【解答】解：A.不是中心对称图形，A 不符合题意； B.是轴对称图形，B 不符合题意； C.不是中心对称图形，C 不符合题意； D.是中心对称图形，D 符合题意； 故答案为：D. 【分析】在一个平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原来的 图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；由此判断即可得出答案. 6.等式 成立的 x 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【考点】二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式（组）的解集 【解析】【解答】解：依题可得： x-3≥0 且 x+1〉0， ∴x≥3， 故答案为：B. 【分析】根据二次根式有意义的条件：根号里面的数应大于或等于 0，如果二次根式做分母， 根号里面的数只要大于 0 即可，解这个不等式组，并将答案在数轴上表示即可得出答案. 7.在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点 A（3，4）逆时针旋转 90°，得到点 B，则 点 B 的坐标为（ ） A．（4，-3） B．（-4，3） C．（-3，4） D．（-3，-4） 【答案】B 【考点】点的坐标，旋转的性质 【解析】【解答】解：如图： 由旋转的性质可得： △AOC≌△BOD， ∴OD=OC，BD=AC， 又∵A（3,4）， ∴OD=OC=3，BD=AC=4， ∵B 点在第二象限， ∴B（-4,3）. 故答案为：B. 【分析】建立平面直角坐标系，根据旋转的性质得△AOC≌△BOD，再由全等三角形的性质 和点的坐标性质得出 B 点坐标，由此即可得出答案. 8.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则参加酒会的人数为（ ） A．9 人 B．10 人 C．11 人 D．12 人 【答案】C 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【解答】解：设参加酒会的人数为 x 人，依题可得： x（x-1）=55， 化简得：x2-x-110=0， 解得：x1=11，x2=-10（舍去）， 故答案为：C. 【分析】设参加酒会的人数为 x 人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，列出 一元二次方程，解之即可得出答案. 9.如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为 25πm2 ， 圆柱高为 3m，圆锥高为 2m 的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ） A． B．40πm2 C． D．55πm2 【答案】A 【考点】圆锥的计算，圆柱的计算 【解析】【解答】解：设底面圆的半径为 r，圆锥母线长为 l，依题可得： πr2=25π， ∴r=5， ∴圆锥的母线 l= = ， ∴圆锥侧面积 S = ·2πr·l=πrl=5 π（m2）, 圆柱的侧面积 S =2πr·h=2×π×5×3=30π（m2）， ∴需要毛毡的面积=30π+5 π（m2）， 故答案为：A. 【分析】根据圆的面积公式求出底面圆的半径，由勾股定理得圆锥母线长，再根据圆锥的侧 面展开图为扇形，圆柱的侧面展开图为矩形或者正方形，根据其公式分别求出它们的侧面积， 再求和即可得出答案. 10.一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30°方向，继续向南 航行 30 海里到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15°方向，那么海岛 B 离此航线的最 近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据： ）（ ） A. 4.64 海里 B. 5.49 海里 C. 6.12 海里 D. 6.21 海里 【答案】B 【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用﹣方向角问题 【解析】【解答】解：根据题意画出图如图所示：作 BD⊥AC，取 BE=CE， ∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°， ∴∠ABC=135°， 又∵BE=CE， ∴∠ACB=∠EBC=15°， ∴∠ABE=120°， 又∵∠CAB=30° ∴BA=BE，AD=DE， 设 BD=x， 在 Rt△ABD 中， ∴AD=DE= x，AB=BE=CE=2x， ∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30， ∴x= = ≈5.49， 故答案为：B. 【分析】根据题意画出图如图所示：作 BD⊥AC，取 BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角 形的性质得出 BA=BE，AD=DE，设 BD=x，Rt△ABD 中，根据勾股定理得 AD=DE= x， AB=BE=CE=2x，由 AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案. 11.如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB 的顶点 A 在△ECD 的斜边 DE 上，若 AE= ，AD= ，则两个三角形重叠部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质， 等腰直角三角形 【解析】【解答】解：连接 BD，作 CH⊥DE， ∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°, 即∠ACD+∠DCB=∠ACD+∠ACE=90°， ∴∠DCB=∠ACE， 在△DCB 和△ECA 中， , ∴△DCB≌△ECA， ∴DB=EA= ,∠CDB=∠E=45°, ∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°， 在 Rt△ABD 中， ∴AB= =2 ， 在 Rt△ABC 中， ∴2AC2=AB2=8， ∴AC=BC=2， 在 Rt△ECD 中， ∴2CD2=DE2= ，∴CD=CE= +1， ∵∠ACO=∠DCA，∠CAO=∠CDA， ∴△CAO∽△CDA， ∴ ： = = =4-2 ， 又∵ = CE = DE·CH， ∴CH= = ， ∴ = AD·CH= × × = ， ∴ =（4-2 ）× =3- . 即两个三角形重叠部分的面积为 3- . 故答案为：D. 【分析】解：连接 BD，作 CH⊥DE，根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC= ∠CAB=45°,再由同角的余角相等可得∠DCB=∠ACE；由 SAS 得△DCB≌△ECA，根据全等三角 形的性质知 DB=EA= ,∠CDB=∠E=45°,从而得∠ADB=90°，在 Rt△ABD 中，根据勾股定理得 AB=2 ，同理可得 AC=BC=2，CD=CE= +1；由相似三角形的判定得△CAO∽△CDA，根据 相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方从而得出两个三角形重叠部分的面积. 12.将全体正奇数排成一个三角形数阵 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 … … … … … … 根据以上排列规律，数阵中第 25 行的第 20 个数是（ ） A．639 B．637 C．635 D．633 【答案】A 【考点】探索数与式的规律 【解析】【解答】解：依题可得：第 25 行的第一个数为： 1+2+4+6+8+……+2×24=1+2× =601， ∴第 25 行的第第 20 个数为：601+2×19=639. 故答案为：A. 【分析】根据规律可得第 25 行的第一个数为，再由规律得第 25 行的第第 20 个数. 二、填空题 13.因式分解： 。 【答案】y（x++2y）（x-2y） 【考点】提公因式法因式分解，因式分解﹣运用公式法 【解析】【解答】解：原式=y（x++2y）（x-2y）, 故答案为：y（x++2y）（x-2y）. 【分析】根据因式分解的方法——提公因式法和公式法分解即可得出答案. 14.如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1） 和（-3，1），那么“卒”的坐标为 。 【答案】（-2，-2） 【考点】点的坐标，用坐标表示地理位置 【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系（如图）， ∵相（3，-1），兵（-3，1）， ∴卒（-2，-2）， 故答案为：（-2，-2）. 【分析】根据题中相和兵的坐标确定原点位置，建立平面直角坐标系，从而得出卒的坐标. 15.现有长分别为 1，2，3，4，5 的木条各一根，从这 5 根木条中任取 3 根，能够构成三角 形的概率是 。 【答案】 【考点】列表法与树状图法 【解析】【解答】解：从 5 根木条中任取 3 根的所有情况为：1、2、3；1、2、4；1、2、5； 1、3、4；1、3、5；1、4、5；2、3、4；2、3、5；2、4、5；3、4、5；共 10 种情况； ∵能够构成三角形的情况有：2、3、4；2、4、5；3、4、5；共 3 种情况； ∴能够构成三角形的概率为： . 故答案为： . 【分析】根据题意先列出从 5 根木条中任取 3 根的所有情况数，再根据三角形三边关系：两 边之和大于第三边，两边之差小于第三边，找出能够构成三角形的情况数，再由概率公式求 解即可. 16.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽度增加 m。 【答案】4 -4 【考点】二次函数的实际应用-拱桥问题 【解析】【解答】解：根据题意以 AB 为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系 （如图）， 依题可得：A（-2,0），B（2,0），C（0,2）， 设经过 A、B、C 三点的抛物线解析式为：y=a（x-2）（x+2）, ∵C（0,2）在此抛物线上， ∴a=- ， ∴此抛物线解析式为：y=- （x-2）（x+2）, ∵水面下降 2m， ∴- （x-2）（x+2）=-2, ∴x1=2 ，x2=-2 ， ∴下降之后的水面宽为：4 . ∴水面宽度增加了：4 -4. 故答案为：4 -4. 【分析】根据题意以 AB 为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系（如图），依 题可得：A（-2,0），B（2,0），C（0,2），再根据待定系数法求出经过 A、B、C 三点的抛物线 解析式 y=- （x-2）（x+2）；由水面下降 2m，求出下降之后的水面宽度，从而得出水面宽度 增加值. 17.已知 a>b>0,且 ，则 。 【答案】 【考点】解分式方程，换元法解一元二次方程 【解析】【解答】解： ∵ + + =0， 两边同时乘以 ab（b-a）得： a2-2ab-2b2=0， 两边同时除以 a2 得： 2（ ）2+2 -1=0， 令 t= （t〉0）, ∴2t2+2t-1=0， ∴t= ， ∴t= = . 故答案为： . 【分析】等式两边同时乘以 ab（b-a）得：a2-2ab-2b2=0，两边同时除以 a2 得： 2（ ）2+2 -1=0，解此一元二次方程即可得答案. 18.如图，在△ABC 中，AC=3，BC=4，若 AC，BC 边上的中线 BE,AD 垂直相交于点 O，则 AB= . 【答案】 【考点】勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：连接 DE， ∵AD、BE 为三角形中线， ∴DE∥AB，DE= AB， ∴△DOE∽△AOB， ∴ = = = ， 设 OD=x，OE=y， ∴OA=2x，OB=2y, 在 Rt△BOD 中， x2+4y2=4①， 在 Rt△AOE 中， 4x2+y2= ②， ∴①+②得： 5x2+5y2= ， ∴x2+y2= ， 在 Rt△AOB 中， ∴AB2=4x2+4y2=4（x2+y2）=4× ， 即 AB= . 故答案为： . 【分析】连接 DE，根据三角形中位线性质得 DE∥AB，DE= AB，从而得△DOE∽△AOB，根 据相似三角形的性质可得 = = = ；设 OD=x，OE=y，从而可知 OA=2x，OB=2y, 根据勾股定理可得 x2+4y2=4，4x2+y2= ，两式相加可得 x2+y2= ，在 Rt△AOB 中，由股股定 理可得 AB= . 三、解答题。 19. （1）计算： （2）解分式方程： 【答案】（1）原式= ×3 - × +2- + ， = - +2- + ， =2. （2）方程两边同时乘以 x-2 得： x-1+2（x-2）=-3, 去括号得：x-1+2x-4=-3, 移项得：x+2x=-3+1+4, 合并同类项得：3x=2， 系数化为 1 得：x= . 检验：将 x= 代入最简公分母不为 0，故是原分式方程的根， ∴原分式方程的解为：x= . 【考点】实数的运算，解分式方程 【解析】【分析】将分式方程转化成整式方程，再按照去括号——移项——合并同类项——系 数化为 1 即可得出答案，经检验是原分式方程的根. 20.绵阳某公司销售统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了如下折线统计图和扇形统计 图： 设销售员的月销售额为 x（单位：万元）。销售部规定：当 x<16 时，为“不称职”，当 时为“基本称职”，当 时为“称职”，当 时为“优秀”。根据以上信息，解答下 列问题： （1）补全折线统计图和扇形统计图； （2）求所有“称职”和“优秀”的销售员销售额的中位数和众数； （3）为了调动销售员的积极性，销售部决定制定一个月销售额奖励标准，凡月销售额达到 或超过这个标准的销售员将获得奖励。如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一般人员 能获奖，月销售额奖励标准应定为多少万元（结果去整数）？并简述其理由。 【答案】（1）解：（1）依题可得： “不称职”人数为：2+2=4（人）， “基本称职”人数为：2+3+3+2=10（人）， “称职”人数为：4+5+4+3+4=20（人）， ∴总人数为：20÷50%=40（人）， ∴不称职”百分比：a=4÷40=10%， “基本称职”百分比：b=10÷40=25%， “优秀”百分比：d=1-10%-25%-50%=15%， ∴“优秀”人数为：40×15%=6（人）， ∴得 26 分的人数为：6-2-1-1=2（人）， 补全统计图如图所示： （2）由折线统计图可知：“称职”20 万 4 人，21 万 5 人，22 万 4 人，23 万 3 人，24 万 4 人， “优秀”25 万 2 人，26 万 2 人，27 万 1 人，28 万 1 人； “称职”的销售员月销售额的中位数为：22 万，众数：21 万； “优秀”的销售员月销售额的中位数为：26 万，众数：25 万和 26 万； （3）由（2）知月销售额奖励标准应定为 22 万. ∵“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数为：22 万， ∴要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为 22 万 元. 【考点】扇形统计图，折线统计图，中位数，众数 【解析】【分析】（1）由折线统计图可知：“称职”人数为 20 人，由扇形统计图可知：“称职” 百分比为 50%，根据总人数=频数÷频率即可得，再根据频率=频数÷总数即可得各部分的百分 比，从而补全扇形统计图；由频数=总数×频率可得“优秀”人数为 6 人，结合折线统计图可得 得 26 分的人数为 2 人，从而补全折线统计图.（2）由折线统计图可知：“称职”和“优秀”各人 数，再根据中位数和众数定义即可得答案.（3）由（2）知“称职”和“优秀”的销售员月销售额 的中位数，根据题意即可知月销售额奖励标准. 21.有大小两种货车，3 辆大货车与 4 辆小货车一次可以运货 18 吨，2 辆大货车与 6 辆小货 车一次可以运货 17 吨。 （1）请问 1 辆大货车和 1 辆小货车一次可以分别运货多少吨？ （2）目前有 33 吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计 10 辆，全部货物一次运完， 其中每辆大货车一次运费话费 130 元，每辆小货车一次运货花费 100 元，请问货运公司应如 何安排车辆最节省费用？ 【答案】（1）解：设 1 辆大货车一次可以运货 x 吨，1 辆小货车一次可以运货 y 吨，依题可 得： , 解得： . 答：1 辆大货车一次可以运货 4 吨，1 辆小货车一次可以运货 吨。 （2）解：设大货车有 m 辆，则小货车 10-m 辆，依题可得： 4m+ （10-m）≥33 m≥0 10-m≥0 解得： ≤m≤10， ∴m=8,9,10； ∴当大货车 8 辆时，则小货车 2 辆； 当大货车 9 辆时，则小货车 1 辆； 当大货车 10 辆时，则小货车 0 辆； 设运费为 W=130m+100(10-m）=30m+1000， ∵k=30〉0， ∴W 随 x 的增大而增大， ∴当 m=8 时，运费最少， ∴W=30×8+1000=1240（元）， 答：货运公司应安排大货车 8 辆时，小货车 2 辆时最节省费用. 【考点】二元一次方程组的其他应用，一次函数的实际应用 【解析】【分析】（1）设 1 辆大货车一次可以运货 x 吨，1 辆小货车一次可以运货 y 吨，根 据 3 辆大货车与 4 辆小货车一次可以运货 18 吨，2 辆大货车与 6 辆小货车一次可以运货 17 吨可列出二元一次方程组，解之即可得出答案.（2）设大货车有 m 辆，则小货车 10-m 辆， 根据题意可列出一元一次不等式组，解之即可得出 m 范围，从而得出派车方案，再由题意 可得 W=130m+100(10-m）=30m+1000，根据一次函数的性质，k〉0，W 随 x 的增大而增大， 从而得当 m=8 时，运费最少. 22.如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 A，B 两点， 过点 A 做 x 轴的垂线，垂足为 M，△AOM 面积为 1. （1）求反比例函数的解析式； （2）在 y 轴上求一点 P,使 PA+PB 的值最小，并求出其最小值和 P 点坐标。 【答案】（1）解：（1）设 A（x，y） ∵A 点在反比例函数上， ∴k=xy， 又∵ = .OM·AM= ·x·y= k=1， ∴k=2. ∴反比例函数解析式为：y= . （2）解：作 A 关于 y 轴的对称点 A′，连接 A′B 交 y 轴于点 P，PA+PB 的最小值即为 A′ B. ∴ ， ∴ 或 . ∴A（1,2），B（4， ）， ∴A′（-1，2）， ∴PA+PB=A′B= = . 设 A′B 直线解析式为：y=ax+b， ∴ ， ∴ ， ∴A′B 直线解析式为：y=- x+ ， ∴P（0， ）. 【考点】待定系数法求一次函数解析式，反比例函数系数 k 的几何意义，待定系数法求反比 例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】【分析】（1）设 A（x，y）,A 在反比例函数解析式上，由反比例函数 k 的几何意义 可得 k=2，从而得反比例函数解析式.（2）作 A 关于 y 轴的对称点 A′，连接 A′B 交 y 轴于 点 P，PA+PB 的最小值即为 A′B.联立反比例函数和一次函数解析式，得出 A（1,2），B（4， ），从而得 A′（-1.2），根据两点间距离公式得 PA+PB=A′B 的值；再设 A′B 直线解析式 为：y=ax+b，根据待定系数法求得 A′B 直线解析式，从而得点 P 坐标. 23.如图，AB 是 的直径，点 D 在 上（点 D 不与 A，B 重合），直线 AD 交过点 B 的切 线于点 C，过点 D 作 的切线 DE 交 BC 于点 E。 （1）求证：BE=CE； （2）若 DE 平行 AB，求 的值。 【答案】（1）证明：连接 OD、BD， ∵EB、ED 分别为圆 O 的切线， ∴ED=EB， ∴∠EDB=∠EBD， 又∵AB 为圆 O 的直径， ∴BD⊥AC， ∴∠BDE+∠CDE=∠EBD+∠DCE， ∴∠CDE=∠DCE， ∴ED=EC， ∴EB=EC. （2）解：过 O 作 OH⊥AC，设圆 O 半径为 r， ∵DE∥AB，DE、EB 分别为圆 O 的切线， ∴四边形 ODEB 为正方形， ∵O 为 AB 中点， ∴D、E 分别为 AC、BC 的中点， ∴BC=2r，AC=2 r， 在 Rt△COB 中， ∴OC= r， 又∵ = ·AO·BC= ·AC·OH， ∴r×2r=2 r×OH, ∴OH= r， 在 Rt△COH 中， ∴sin∠ACO= = = . 【考点】三角形的面积，正方形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数的定义，切线长 定理 【解析】【分析】（1）证明：连接 OD、BD，由切线长定理得 ED=EB，由等腰三角形性质得 ∠EDB=∠EBD；根据圆周角定理得 BD⊥AC，由等角的余角相等得∠CDE=∠DCE，再由等腰 三角形性质和等量代换可得 EB=EC.（2）过 O 作 OH⊥AC，设圆 O 半径为 r，根据切线长定 理和正方形的判定可得四边形 ODEB 为正方形，从而得出 D、E 分别为 AC、BC 的中点，从 而得 BC=2r，AC=2 r，在 Rt△COB 中， 再根据勾股定理得 OC= r；由 = ·AO·BC= .AC.OH 求出 OH= r，在 Rt△COH 中， 根据锐角三角函数正弦的定义即可得出答案. 24.如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为 A（3，0），B（0，4），C（-3，0）。动点 M，N 同时 从 A 点出发，M 沿 A→C,N 沿折线 A→B→C，均以每秒 1 个单位长度的速度移动，当一个动 点到达终点 C 时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为 t 秒。连接 MN。 （1）求直线 BC 的解析式； （2）移动过程中，将△AMN 沿直线 MN 翻折，点 A 恰好落在 BC 边上点 D 处，求此时 t 值 及点 D 的坐标； （3）当点 M,N 移动时，记△ABC 在直线 MN 右侧部分的面积为 S，求 S 关于时间 t 的函数 关系式。 【答案】（1）解：设直线 BC 解析式为：y=kx+b， ∵B（0，4），C（-3，0）， ∴ ， 解得： ∴直线 BC 解析式为：y= x+4. （2）解：依题可得：AM=AN=t， ∵△AMN 沿直线 MN 翻折，点 A 与点点 D 重合， ∴四边形 AMDN 为菱形， 作 NF⊥x 轴，连接 AD 交 MN 于 O′， ∵A（3，0），B（0，4）， ∴OA=3,OB=4， ∴AB=5, ∴M（3-t，0）， 又∵△ANF∽△ABO， ∴ = = , ∴ = = , ∴AF= t，NF= t， ∴N（3- t， t）， ∴O′（3- t, t）， 设 D（x,y）, ∴ =3- t， = t， ∴x=3- t,y= t， ∴D（3- t， t）， 又∵D 在直线 BC 上， ∴ ×（3- t）+4= t， ∴t= ， ∴D（- ， ）. （3）①当 0查看更多