中考数学专题复习 圆压轴八大模型题1弧中点的运用

中考数学专题复习 圆压轴八大模型题1弧中点的运用

圆压轴题八大模型题（一）‎ 泸州市七中佳德学校 易建洪 ‎ 引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。‎ 类型1 弧中点的运用 在⊙O中，点C是的中点，CE⊥AB于点E.‎ ‎（1）在图1中，你会发现这些结论吗？‎ ‎①AP＝CP＝FP；‎ ‎②CH＝AD；‎ ‎②AC2＝AP·AD＝CF·CB＝AE·AB.‎ ‎（图1）‎ ‎（2）在图2中，你能找出所有与△ABC相似的三角形吗？‎ ‎【分析】‎ ‎(1)①由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：∠CAD＝∠B＝∠ACE;∠PCF＝∠PFC,所以AP＝CP＝FP.‎ ‎（图2）‎ ‎(1)②由垂径定理和弧中点的性质得，＝＝,再由弧叠加得：＝,所以CH＝AD.‎ ‎(1)③由共边角相似易证：△ACE∽△ABC,△ACP∽△ADC,△ACF∽△BCA,进而得AC2＝AE×AB;AC2＝AP×AD;AC2＝CF×CB;‎ ‎(2)垂径定理的推论得：C0⊥AD,易证：Rt△ABC∽Rt△ACE∽Rt△CBE∽Rt△ACF∽Rt△BDF∽ Rt△ACG∽Rt△CGF.‎ 此外还有Rt△APE∽Rt△AOG∽Rt△ABD∽Rt△CPG.运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.‎ ‎ 建议：将下列所有例题与习题转化到图1或图2上观察、比较、思考和总结。‎ ‎【典例】‎ ‎（2018·湖南永州）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，＝，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．‎ ‎（1）求证：CF＝BF；‎ ‎（2）若cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．‎ ‎（图1-1）‎ ‎【分析】（1）延长CD与圆相交，由垂径定理得到＝，再由＝得到＝＝，等弧所对的角相等，等角对等边。（2）由垂径定理的推论得OC⊥‎ BE，再由锐角三角函数得到边BH、OH的长度，由对应边成比例得BE∥CM，由∠MCO＝∠BHO＝90°证得结论。‎ 证明：（1）延长CD交⊙O于G，如图，‎ ‎∵CD⊥AB，∴＝，‎ ‎∵＝，∴＝，‎ ‎∴∠CBE＝∠GCB，∴CF＝BF；‎ ‎（图4）‎ ‎（2）连接OC交BE于H，如图，‎ ‎∵＝，∴OC⊥BE，‎ 在Rt△OBH中，cos∠OBH＝＝，‎ ‎∴BH＝×6＝，OH＝＝，‎ ‎∵＝＝，＝＝，‎ ‎∴＝，而∠HOB＝∠COM，‎ ‎∴△OHB∽△OCM，∴∠OCM＝∠OHB＝90°，‎ ‎∴OC⊥CM，∴直线CM是⊙O的切线．‎ ‎【点拔】‎ 弧中点得到弧等、弦等、圆周角等，进一步引出角平分线、垂径定理、相似三角形。再结合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位线定理，垂径定理、相似三角形的性质定理。可以组合出综合性比较强的有关的习题组。抓边等角等是关键，要善于分解图形。‎ ‎【变式运用】‎ ‎（图1-2）‎ ‎1.（2018·四川宜宾）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点G，若＝，则＝　　．（）‎ ‎2.（2010·泸州）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC。(1)求证：AE⊥DE；(2)设以AD为直径的半圆交AB于F，连接DF交AE于G，已知CD＝5，AE＝8，求值。‎ （1） 证明：在YABCD中，‎ ‎∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°‎ ‎∵AE与DE平分∠BAD和∠ADC ‎（图1-3）‎ ‎∴∠EAD＝∠BAD，∠EDA＝∠ADC，‎ ‎∴∠AED＝180°－（∠EAD＋∠EDA）‎ ‎ ＝180°－（∠BAD＋∠ADC）‎ ‎ ＝180°－（∠BAD＋∠ADC）‎ ‎＝180°－90°＝90°‎ ‎∴AE⊥DE ‎（2）解：在YABCD中，∵AD∥BC ‎∴∠EAD＝∠AEB，且∠BAE＝∠DAE ‎∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，‎ 同理：DC＝EC＝5‎ 又∵AB＝DC，∴AB＝BE＝ DC＝EC＝5，‎ ‎∴BC＝AD＝10‎ 在Rt△AED中，由勾股定理可得：‎ DE＝‎ ‎∵∠BAE＝∠EAD，∠AFD＝∠AED＝90°‎ ‎∴△AFG∽△AED，‎ ‎∴‎ ‎3. （2012·泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。‎ ‎(1)求证：P是线段AQ的中点；‎ ‎(2)若⊙O的半径为5，AQ＝，求弦CE的长。‎ ‎（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，‎ ‎∴．又∵C是的中点，∴，‎ ‎∴．∴∠ACP＝∠CAP．∴PA＝PC，‎ ‎（图1-4）‎ ‎∵AB是直径．∴∠ACB＝90°．‎ ‎∴∠PCQ＝90°﹣∠ACP，∠CQP＝90°﹣∠CAP，‎ ‎∴∠PCQ＝∠CQP．∴PC＝PQ．‎ ‎∴PA＝PQ，即P是AQ的中点；‎ ‎（2）解：∵，∴∠CAQ＝∠ABC．‎ 又∵∠ACQ＝∠BCA，∴△CAQ∽△CBA．‎ ‎∴．‎ 又∵AB＝10，∴AC＝6，BC＝8．‎ 根据直角三角形的面积公式，得：AC•BC＝AB•CH，∴6×8＝10CH．‎ ‎∴CH＝．又∵CH＝HE，‎ ‎∴CE＝2CH＝．‎ ‎4．（2014•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE•CA．‎ ‎（1）求证：BC＝CD；‎ ‎（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求DF的长．‎ ‎（1）证明：∵DC2＝CE•CA，‎ ‎（图1-5）‎ ‎∴，△CDE∽△CAD，‎ ‎∴∠CDB＝∠DAC，∵四边形ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴BC＝CD；‎ ‎（2）解：方法一：如图，连接OC，‎ ‎∵BC＝CD，‎ ‎∴∠DAC＝∠CAB，又∵AO＝CO，‎ ‎∴∠CAB＝∠ACO，∴∠DAC＝∠ACO，‎ ‎∴AD∥OC，∴，‎ 图a ‎∵PB＝OB，CD＝2，‎ ‎∴ ∴PC＝4‎ 又∵PC•PD＝PB•PA ‎∴4•（4＋2）＝OB•3OB ‎∴OB＝4，即AB＝2OB＝8，PA＝3OB＝12，‎ 在Rt△ACB中，‎ AC＝，‎ ‎∵AB是直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90° ‎ ‎∴∠FDA＋∠BDC＝90°， ∠CBA＋∠CAB＝90°‎ ‎∵∠BDC＝∠CAB，∴∠FDA＝∠CBA，‎ 又∵∠AFD＝∠ACB＝90°，‎ ‎∴△AFD∽△ACB ‎∴‎ 在Rt△AFP中，设FD＝x，则AF＝，‎ ‎∴在Rt△APF中有，，‎ 求得DF＝．‎ 方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD，‎ 图b 易证△PCO∽△PDA，可得，‎ ‎△PGO∽△PFA，可得，‎ 可得，，由方法一中PC＝4代入，‎ 即可得出DF＝．‎ ‎5．（2015•泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．‎ ‎（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；‎ ‎（2）若AE＝6，CD＝5，求OF的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A，‎ ‎∴∠EAC＝∠ABC，∵AB＝AC ‎∴∠ABC＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACB，‎ ‎（图1-6）‎ ‎∴AE∥BC，∵AB∥CD，‎ ‎∴四边形ABCE是平行四边形；‎ ‎（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，M，‎ ‎∵AE是⊙O的切线，‎ 由切割线定理得，AE2＝EC•DE，‎ ‎∵AE＝6，CD＝5，‎ ‎∴62＝CE（CE＋5），解得：CE＝4，（已舍去负数），‎ 由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且AB＝AC＝BD＝CE＝4，‎ 又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，‎ 设OF＝x，OH＝y，FH＝z，‎ ‎∵AB＝4，BC＝6，CD＝5，‎ ‎∴BF＝BC﹣FH＝3﹣z，‎ DF＝CF＝BC＋FH＝3＋z，‎ 易得△OFH∽△DFM∽△BFN，‎ ‎∴，，‎ 图c 即，① ②，‎ ‎①＋②得：，①÷②得：，‎ 解得，∵x2＝y2＋z2， ∴，‎ ‎∴x＝， ∴OF＝．‎ ‎6.如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上的两点，AB＝13，AC＝5.‎ (1) 如图①，若P是弧AB的中点，求PA的长；‎ (2) 如图②，若P是弧BC的中点，求PA的长.‎ 解：（1）如答图①，连接PB，‎ ‎∵AB是⊙O的直径且P是的中点，‎ ‎∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∠APB＝90°‎ 图②‎ 图①‎ 又∵在等腰三角形△ABC中有AB＝13，‎ ‎（图1-7）‎ ‎∴  ‎ 图d ‎（2）如答图②，连接BC，与OP相交于M点，作PH⊥AB于点H，‎ ‎∵P点为 的中点，∴OP⊥BC，∠OMB＝90°，‎ 又∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.‎ ‎∴∠ACB＝∠OMB. ∴OP∥AC.∴∠CAB＝∠POB.‎ 又∵∠ACB＝∠OHP＝90°，∴△ACB∽△0HP.‎ ‎∴ ＝又∵AB＝13,AC＝5,OP＝ ，‎ 图e ‎∴ ，解得OH＝ ‎ ‎∴AH＝OA＋OH＝9.‎ ‎∵在Rt△OPH中，有 。‎ ‎∴在Rt△AHP中 有 .‎ ‎∴PA＝  ‎ ‎7.如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．‎ ‎（1）求证：DP∥AB；‎ ‎（2）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．‎ 解：（1）证明：如图，连接OD，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.‎ ‎∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD＝45°.‎ ‎（图1-8）‎ ‎∴∠DAB＝∠ABD＝45°。∴△DAB为等腰直角三角形。‎ ‎∴DO⊥AB.‎ ‎∵PD为⊙O的切线，∴OD⊥PD.‎ ‎∴DP∥AB.‎ ‎（2）在Rt△ACB中，，‎ ‎∵△DAB为等腰直角三角形，‎ ‎∴.‎ ‎∵AE⊥CD，∴△ACE为等腰直角三角形。‎ 图f ‎∴.‎ 在Rt△AED中，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎∵AB∥PD，∴∠PDA＝∠DAB＝45°.∴∠PAD＝∠PCD。‎ 又∵∠DPA＝∠CPD，∴△PDA∽△PCD.‎ ‎∴.‎ ‎∴PA＝PD，PC＝PD.‎ 又∵PC＝PA＋AC，∴PD＋6＝PD，解得PD＝.‎