八年级数学上册第1章分式1-5可化为一元一次方程的分式方程第1课时可化为一元一次方程的分式方程的解法教学课件湘教版

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1.5 可化为一元一次方程的分式方程 第1章 分 式 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 可化为一元一次方程的分式方程的解法 1.理解分式方程的概念； 2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法； （重点） 3.理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验 根的方法.（难点） 学习目标 导入新课 问题引入 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿 江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最 大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流 速为x千米/时，根据题意可列方程 . 90 60 30+ 30x x   这个方程是我们以前学过的方程吗？它与一元 一次方程有什么区别？ 讲授新课 分式方程的概念一 90 60 30+ 30x x   u定义： 此方程的分母中含有未知数x，像这样分母中含 未知数的方程叫做分式方程. 知识要点 1 3(2) 2x x   2(1) 2 3 x x  3(3) 2 x x    ( 1)(4) 1x x x    10 5 126    xx）（ 215  x x）（ 2 1 3 1x x x    4 3 7 x y   判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些 是整式方程？ 整式方程 分式方程 方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看 分母中是否含有未知数(注意：π 不是未知数)． 你能试着解这个分式方程吗？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一 个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ 90 60 30+ 30x x   分式方程的解法二 方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x) 解：方程①两边同乘(30+x)(30-x)，得 检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边， 因此x=6是原分式方程的解. 90（30-x)=60(30+x)， 90 60 30+ 30x x   解得 x=6. x=6是原分式方 程的解吗？ 5 2 解分式方程的基本思路：是将分式方程化 为整式方程再求解，具体做法是“去分母”， 即 将方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的 一般方法. 归纳 下面我们再讨论一个分式方程： 2 1 10 5 25x x    解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得 x+5=10， 解得 x=5. 检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的 值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式 方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解. 2 1 10 5 25x x    想一想： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 去分母后所得整式方程的解却不是 原分式方程的解呢？ 90 60 30+ 30x x   ① 2 1 10 5 25x x    ② 真相揭秘： 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方 程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程: 90(30-x)=60(30+x) 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时,(30+x)(30-x)≠0 90 60 30+ 30x x   ① 真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整 式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是 原分式方程的解. x+5=10 两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时, (x+5)(x-5)=02 1 10 5 25x x    ② 解分式方程时，去分母后所得整式方程的 解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的 解必须检验． 怎样检验？ 这个整式方程的解是 不是原分式的解呢？ u分式方程解的检验------必不可少的步骤 u检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解. 1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的 解，否则须舍去。 4.写出原方程的根. 简记为：“一化二解三检验”. 知识要点 “去分母法”解分式方程的步骤 例1 解方程： 5 3(1) ; 2x x   解 ：方程两边都乘最简公分母x(x－2)，得 5 3( 2)x x  解这个一元一次方程，得 x = －3. 检验：把 x=－3 代入原方程的左边和右边，得 5 1 3 2     左边 3 1 3     右边 因此 x = －3 是原方程的解． ( 2)x x  典例精析 2 1 4( 2 ) . 2 4x x    解：两边都乘以最简公分母(x+2)(x-2)， 得 x+2=4. 解得 x=2. 检验：把x=2代入原方程，两边分母为0，分式无意义. 因此x=2不是原分式方程的解，从而原方程无解. ( 2)( 2)x x  提醒：在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程 中出现使最简公分母（或分母）为零的根是增根. u用框图的方式总结为： 分式方程 整式方程 去分母 解整式方程 x =a 检验 x =a是分式 方程的解 x =a不是分式 方程的解 x =a 最简公分母是 否为零？ 否 是 若关于x的分式方程 无解， 求m的值． 例2 解析：先把分式方程化为整式方程，再分 两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分 式方程有增根． 解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2),得2(x＋2)＋mx＝ 3(x－2)，即(m－1)x＝－10. ①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1； ②方程有增根，则x＝2或x＝－2， 当x＝2时，代入(m－1)x＝－10 得(m－1)×2＝－10，解得m＝－4； 当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10 得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6， ∴ m的值是1，－4或6. 分式方程无解与分式方程有增根所表达的意 义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公 分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分 母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后， 使整式方程无解的数． 方法总结 当堂练习 D 2. 要把方程 化为整式方程，方程两边 可以同乘以（ ） 2 5 0 3 6 3y y    A. 3y-6 B. 3y C. 3 (3y-6) D. 3y (y-2) 1.下列关于x的方程中，是分式方程的是(　　) A. B. C. D. D 3. 解分式方程 时，去分母后得到的 整式方程是（ ） A.2(x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8 C.2(x-8)-5x=16(x-7) D.2(x-8)-5x=8 8 5 8 7 14 2 x x x x      A 4．若关于x的分式方程 无解，则m 的值为 ( ) A．－1，5 B．1 C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5 D 5.解方程: 2 3 . 3x x   解： 方程两边乘x(x-3),得 2x=3x-9. 解得 x=9. 检验：当x=9时，x(x-3) ≠0. 所以，原分式方程的解为x=9. 6.解方程 31 . 1 ( 1)( 2) x x x x      解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得 x=1. 检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是 原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 2 ( 1)( 1) 2 ( 1).x x x x x     1 2. x   11) 0. 4 x x   （ 7. 解方程： 1 2. 1 x x x x     解：去分母，得 解得 检验：把 代入 1 2 x 所以原方程的解为 1 2. x   8.若关于x的方程 有增根，求m的值.2 2 2 2 x m x x      解：方程两边同乘以x-2， 得2-x+m=2x-4, 合并同类项,得3x=6+m, ∴m=3x-6. ∵该分式方程有增根， ∴x=2， ∴m=0. 课堂小结 分 式 方 程 定 义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 注 意 (1)去分母时，原方程的整式部分漏乘． 步 骤 （去分母法） 一化（分式方程转化为整式方程）； 二解（整式方程）； 三检验（代入最简公分母看是否为零） (2)约去分母后，分子是多项式时,没有 添括号．(因分数线有括号的作用） (3)忘记检验