2021年 中考数学二轮复习专题突破讲练：专题一 数学思想方法

2021年 中考数学二轮复习专题突破讲练：专题一 数学思想方法

专题一 数学思想方法 数学思想方法揭示了概念、原理、规律的本质，是解决数学问题的根本策略，是沟通基础知识与能力 的桥梁，是数学的精髓．在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想方法的习惯，达到触类旁通的目 的．中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化与化归思想、方程与函数思想、数形结合思想、分类 讨论思想等． 整体思想 就是整体与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规 ，根据题目的结构 特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决． 整体思想常见的几种类型：①整体代入法求代数式的值；②用整体思想解方程(组)及不等式(组)；③运 用整体思想求角度． 1.(2019·常州)如果 a－b－2＝0，那么代数式 1＋2a－2b 的值是________． 2．(2018·岳阳)已知 a2＋2a＝1，则 3(a2＋2a)＋2 的值为________． 3．(2019·常德)若 x2＋x＝1，则 3x4＋3x3＋3x＋1 的值为________． 4．(2020·朝阳)已知关于 x，y 的方程组 2x＋y＝2a＋1， x＋2y＝5－5a 的解满足 x＋y＝－3，则 a 的值为________． 5．(2019·曲靖)如图，已知点 O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BOC＝124°，则∠A＝________. ,第 5 题图) ,第 6 题图) 6．(2018·黔东南州)如图，分别以 n 边形的顶点为圆心，以 2 为半径画圆，则图中阴影部分面积之和为 ( ) A．π B．2π C．3π D．4π 分类讨论思想 分类讨论的知识点有三大类：①由数学概念、性质、运算引起的讨论；②由图形的形状或位置引起的 讨论；③由实际意义引起的讨论． 分类讨论思想体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法． 分类的原则：①分类中的每一部分是相互独立的；②一次分类按一个标准，找准分类讨论的标准是解 题的关键；③分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏． 一、与数与式有关的分类讨论 1．如果多项式 9＋mx＋x2 是完全平方式，那么 m＝________. 2．一组数据 100，100，x，80，80 的平均数和中位数相等，则 x 的值为________________． 3．已知实数 a，b 满足等式 a2－2a－1＝0，b2－2b－1＝0，则1 a ＋1 b 的值是____________________． 二、与方程有关的分类讨论 4．已知关于 x 的方程 kx2＋(2k＋1)x＋(k－1)＝0 有实数根，则 k 的取值范围为( ) A．k≥－1 8 B．k>－1 8 C．k≥－1 8 且 k≠0 D．k<－1 8 5．如果关于 x 的方程 a x＋3 ＋ 1 x－3 ＝ 3＋a x2－9 无解，则 a 的值为________________． 三、与函数有关的分类讨论 6．若一次函数 y＝kx＋b，当－ 3≤x≤1 时，对应的 y 值为 1≤y≤9，则一次函数的解析式为 ______________________________________________． 7．已知函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围为________． 8. 若 点 A(a, m) ， B(a － 1, n)(a ＞ 0) 在 反 比 例 函 数 y ＝ 4 x 上 ， 则 m, n 的 大 小 关 系 是 ________________. 四、与三角形有关的分类讨论 ◆等腰三角形◆ 9．若等腰三角形的一个角为 72°，则这个等腰三角形的顶角为____________． 10．在△ABC 中，∠B＝50°，当∠A 为________________时，△ABC 是等腰三角形． 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ________________________________________________________________________． 12．已知等腰三角形的一边长为 9，另一边长为方程 x2－8x＋15＝0 的根，则该等腰三角形的周长为 ________． 13．如图，已知△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝8，若△ABC 沿射线 BC 方向平移 m 个单位得到△DEF， 顶点 A，B，C 分别与 D，E，F 对应，若以点 A，D，E 为顶点的三角形是等腰三角形，则 m 的值是__________． 14．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点 在△ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为________． ◆直角三角形◆ 15．一个直角三角形的两边长为 4 和 5，则另一边长是__________． 16．直角三角形的一个外角是 115°，则该直角三角形的锐角是____________． 17．如图，四边形 ABCD 中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2 2，CD＝ 2，点 P 在四边形 ABCD 的边上，若点 P 到 BD 的距离为3 2 ，则点 P 的个数为______个． ,第 17 题图) ,第 18 题图) 18．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，点 D 是 BC 边上的一动点(不与点 B， C 重合)，过点 D 作 DE⊥BC 交 AB 于点 E，将∠B 沿直线 DE 翻折，点 B 落在射线 BC 上的点 F 处．当 △AEF 为直角三角形时，则 BD 的长为________． ◆相似三角形◆ 19. 如图，在△ABC 中，AB＝4，BC＝8，点 P 是 AB 边的中点，点 Q 是 BC 边上一个动点，当 BQ ＝________时，△BPQ 与△BAC 相似． 五、与圆有关的分类讨论 20．(1)半径为 1 的圆中有一条弦，如果它的长为 3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于 ________________________________________________________________________； (2)在半径为 1 的⊙O 中，弦 AB，AC 的长分别为 3和 2，则∠BAC 的度数是____________； (3)已知圆内接△ABC 中．AB＝AC，圆心 O 到 BC 的距离为 3 cm，圆的半径为 7 cm，则腰长 AB 为____________cm. 21．已知在半径为 10 cm 的⊙O 中，弦 AB∥CD，且 AB＝16 cm，CD＝12 cm，则 AB 与 CD 之间的距离为________cm. 六、与图形位置有关的分类讨论 22．如图，正方形 ABCD 的边长为 6，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动点，连结 PM，以点 P 为 圆心，PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为____________． ,第 22 题图) ,第 23 题图) 23．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点 E，F 分别在边 BC，AC 上，沿 EF 所 在的直线折叠∠C，使点 C 的对应点 D 恰好落在边 AB 上，若△EFC 和△ABC 相似，则 AD 的长为 ____________． 24．平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，若 E，F 是线段 AC 上的两动点，分别从 A，C 以相同的速度 1 cm/s 向目标 C，A 运动，若 BD＝12 cm，AC＝16 cm，在这个运动过程中，当运 动时间 t＝____________s 时，四边形 DEBF 是矩形． 25．如图，正方形 ABCD 的边长是 18，点 E 是 AB 边上的一个动点，点 F 是 CD 边上一点，CF＝8， 连接 EF，把正方形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A，D 分别落在点 A′，D′处，当点 D′落在直线 BC 上时，线 段 AE 的长为________． , 转化与化归思想 在研究数学问题时，我们通常是将未知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题， 将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题． 常见的几种类型：①把分式方程去分母转化为整式方程，把二元一次方程组“消元”为一元一次方程来 解；②在求面积时，将不规则图形通过割补转化为规则图形；③求线段和的最小值(或路程最短)时，转化 为两点之间，线段最短；④立体图形问题转化为平面图形．总之，都把陌生的问题转化为我们熟悉的问题 来研究． 1．若代数式(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)的值为 24，则 x 的值可以是________(写一个不扣分)． 2．已知 a>b>0，且2 a ＋1 b ＋ 3 b－a ＝0，则b a ＝____________________________________. 3．如图，以直角三角形的两条直角边 AC，AB 为直径，向三角形内作半圆，两半圆交于点 D，CD ＝1，BD＝3，则图中阴影部分的面积为________(平方单位)． ,第 3 题图) ,第 4 题图) 4．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，分别以 AB，AC 为直径作⊙O1 与⊙O2，则 图中阴影部分面积为________． 5．如图，圆柱形玻璃杯高为 24 cm、底面周长为 36 cm，在杯内离杯底 8 cm 的点 C 处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 8 cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ______cm. ,第 5 题图) ,第 6 题图 ) 6．如图，在菱形 ABCD 中，AC＝8，BD＝6.E，P 分别是线段 AB，AC 上的任意一点，则 PB＋PE 的最小值为________． 7．二次函数 y＝x2＋bx 的图象如图，对称轴为 x＝－2.若关于 x 的一元二次方程 x2＋bx－t＝0(t 为 实数)在－5y1 的 x 的 取值范围是____________________． 6．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标一原点，A 是函数 y＝2 x (x>0)图象上一点，过点 A 作 x 轴 的平行线交函数 y＝k x (k>0，x>0)的图象于点 B(点 B 在点 A 的右边)，若 S△AOB＝2，则 k 的值为______． ,第 6 题图) ,第 7 题图) 7．快、慢车分别从相距 180 千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到 达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早1 2 小时，慢车速度是快车 速度的一半．快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程 y(千米)与所用时间 x(小时)的函 数图象如图所示．在快车从乙地返回甲地的过程中，当慢车恰好在快车前，且与快车相距 80 千米的路程 时，慢车行驶的总的时间是________小时． 8．如图，抛物线 y＝－x2＋2x＋m＋1 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，抛物线的顶点为 D.下列 三个判断：①当 x>0 时，y>0；②抛物线上有两点 P(x1，y1)和 Q(x2，y2)，若 x1<12，则 y1>y2；③点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 E，点 G、F 分别在 x 轴和 y 轴上，当 m＝2 时，四边形 EDFG 周长的最小值为 6 2，其中正确判断的序号是________． , 方程与函数思想 方程思想是指在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量的数量关系中找到等量关系，先将等量关 系转化为方程(组)，然后解方程(组)使问题得以解决． 函数思想是指以函数概念为基础，研究题目中的变量关系，并建立函数关系的数学思想方法．函数思 想主要体现对运动变化的动态事物的描述，体现了变量在研究客观事物中的重要作用． 在解题过程中，通常需要两者之间的切换，要熟练掌握两者之间的联系． 一、方程思想在代数问题中的应用 1．若单项式 am－1b2 与 1 2a2bn 的和是单项式，则 mn 的值是( ) A．5 B．6 C．8 D．9 2．当 m＝________时，函数 y＝－(m－2)xm2－3＋(m－4)是关于 x 的一次函数． 3．若一个反比例函数的图象与直线 y＝2x－6 的一个交点为 A(m，m－2)，则这个反比例函数的表达 式是________________________________________________________________________． 4．抛物线 y＝ax2＋4x－2＝0(a≠0)与 x 轴有交点，那么负整数 a＝________(一个即可)． 二、方程思想在几何问题中的应用 5．以∠AOB 的顶点 O 为端点引射线 OC，使∠AOC∶∠BOC＝5∶4，若∠AOB＝27°， 则∠AOC＝________________________________________________________. 6．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，点 D 是 BC 上一动点，DE⊥AB，DF⊥BC， 将△BDE 沿直线 DF 翻折得到△B′E′D，连接 AB′，AE′，当△AB′E′是直角三角形时，则 BD＝__________. 7．我国古代数学著作《九章算术》中有题如下：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意 译为：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，四边形 CDEF 是 Rt△ABC 的内接正方 形，点 D，E，F 分别在边 BC，AB，AC 上，则正方形 CDEF 边长为________． 三、列方程解实际应用题 8．元代《算学启蒙》里有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行十二 日，问良马几何追及之？”设良马 x 天能追上驽马，可列方程为________________________． 9．某商品每件的标价是 330 元，按标价的八折销售时，仍可获利 10%，设这种商品每件的进价为 x 元，根据题意得，列方程是_________________________________________________________． 10．我国古代的数学著作《孙子算经》中有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有 35 头，下有 94 只脚， 问鸡兔各有几何？译文：鸡和兔子圈在一个笼子中，共有头 35 个，脚 94 只，问鸡、兔各有多少只？设笼 子里有鸡 x 只，兔 y 只，则可列方程组为____________． 11．“绿水青山就是金山银山”．为了山更绿、水更清，某县大力实施生态修复工程，发展林业产业， 确保到 2021 年实现全县森林覆盖率达到 72.75%的目标．已知该县 2019 年全县森林覆盖率为 69.05%， 设从 2019 年起该县森林覆盖率年平均增长率为 x，则可列方程________________________． 12．(2019·江西)斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程 度．如图，某路口的斑马线路段 A－B－C 横穿双向行驶车道，其中 AB＝BC＝6 米，在绿灯亮时，小明 共用 11 秒通过 AC，其中通过 BC 的速度是通过 AB 速度的 1.2 倍，求小明通过 AB 时的速度．设小明通 过 AB 时的速度是 x 米/秒，根据题意列方程得：______________________________________________. 四、函数与方程之间的联系 13．已知抛物线 y＝ax2－4ax－5a，其中 a<0，则不等式 ax2－4ax－5a>0 的解集是____________． 14．若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象经过点(4，3)，且对称轴是 x＝1，则关于 x 的方程 ax2＋bx ＋c＝3 的解为________________． 15．平面直角坐标系中，过动点 P(n，0)且垂直于 x 轴的直线与直线 y＝－3x－1 及双曲线 y＝－2 x 的 交点分别为 B 和 C，当点 B 位于点 C 下方时，则 n 的取值范围是________________． 16．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，若 P 是 BC 边上任意一点，且满足∠APM＝∠ABC， PM 与 AC 边的交点为 M，则线段 AM 的最小值是________． 参考答案 [类型 1]1. 5 2. 5 3. 4 4. 5 5. 68° 6.D [类型 2]1.±6 2. 40 或 140 或 90 3. －2 或 2 2－2 或－2 2－2. 4.A 5. －1 或 3 或－ 3 7 6.y＝2x＋7 或 y＝－2x＋3 7.k≤4 8. m＞n 或 m＜n 9. 36°或 72° 10. 50°或 65°或 80° 11. 45°或 135° 12. 19 或 21 或 23 13. 5 或 8 或25 8 14. 7 个 15. 3 或 41 16. 25°和 65° 17. 2 18. 1 或 2 19. 1 或 4 20.(1)60°或 120° (2)75°或 15° (3)2 35或 2 14 21. 14 或 2 22. 9 4 或 3 3 23. 9 5 或5 2 24. 2 或 14 25. 4 或 16 [类型 3]1. 0 或－5 2. －1＋ 3 2 3. 3－π 3 4. π 2 5. 30 6. 24 5 7. －4≤t<12 8．解：去分母得：2x2－8＝x2－2x， 即 x2＋2x－8＝0，分解因式得：(x－2)(x＋4)＝0， 解得：x＝2 或 x＝－4，经检验 x＝2 是增根，分式方程的解为 x＝－4. [类型 4]1. 2 2. 4 3 3. a＋6 4. 02 6. 6 7. 8 3 8. ② [类型 5]1. D 2.－2 3. y＝8 x 4.－2 5. 15°或 135° 6. 5 3 或13 3 7. 60 17 8. 150×12＋150x＝240x 9. 330×0.8－x＝10%x 10. x＋y＝35， 2x＋4y＝94 11. 69.05%(1＋x)2＝72.75% 12. 6 x ＋ 6 1.2x ＝11 13. －12 3 16. 16 5