初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第26讲 开放性问题评说

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第26讲 开放性问题评说

1 第二十六讲 开放性问题评说 一个数学问题的构成含有四个要素：题目的条件、解题的依据、解题的方法、题目的结 论，如果题目所含的四个要素是解题者已经知道，或者结论虽未指明，但它是完全确定的， 这样的问题就是封闭性的数学问题． 开放性问题是相对于封闭性问题而言，从所呈现问题的方式看，有下列几种基本形式： 1．条件开放题 称条件不充分或没有确定已知条件的开放性问题为条件开放题，解题时需执果寻因，根 据结论和已有的已知条件，寻找使得结论成立的其他条件． 2．结论开放题 称结论不确定或没有确定结论的开放性问题为结论开放题，解题时需由因导果，由已知 条件导出相应结论． 3．判断性开放题 称判定几何图形的形状大小、图形的位置关系、方程(组)的解的情况或判定具有某种性 质的数学对象是否存在的开放题问题称为判断性开放题，解题的基本思路是：由已知条件及 知识作出判断，然后加以证明． 【例题求解】 【例 1】 如图，⊙O 与⊙O1 外切于点 T，PT 为其内公切线，AB 为其外公切线，且 A、B 为切点，AB 与 PT 相交于点 P，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论， 并加以证明． 思路点拨 为了能写出更多的正确结论，我们可以从以下几分角度作探索，线段关系，角的 关系、三角形的关系及由此推出的相应结论． 注：明确要求将数学开放性题作为中考试题，还是近一二年的事情．开放性问题没有明确的 目标和解题方向，留有极大的探索空间． 解开放性问题，不具有定向的解题思路，解题时总要有合情合理、实事求是的分析，要把 归纳与演绎协调配合起来，把直觉发现与逻辑推理相互结合起来，把一般能力和数学能力 同时发挥出来．杭州市对本例评分标准是以正确结论的难易程度为标准灵活打分，分值直接 反映考生的能力及创新性． 【例 2】 如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，A 是 BD 的中点，过 A 点的切线与 CB 的延长线交于点 E． (1)求证：AB·DA=CO·BE； (2)若点 E 在 CB 延长线上运动，点 A 在 BD 上运动，使切线 EA 变为割线 EFA，其他 条件不变，问具备什么条件使原结论成立? (要求画出示意图，注明条件，不要求证明) 思路点拨 对于(2)，能画出图形尽可能画出图形，要使结论 AB·DA=CD·BE 成立，即要 证△ABE∽△CDA，已有条件∠ABE=∠CDA，还需增加等角条件，这可由多种途径得到． ⌒ ⌒ 2 注：许多开放性问题解题思路也是开放的(多角度、多维度思考)，探索的条件或结论并不惟 一．故解开放性问题，应尽可能深入探究，发散思维，提高思维的品质，切忌入宝山而空返． 【例 3】(1)如图 1，若⊙O1 与⊙O2 外切于 A，BC 是⊙O1 与⊙O2 外公切线，B、C 为切点， 求证：AB⊥AC． (2)如图 2，若⊙O1 与⊙O2 外离，BC 是⊙O1 与⊙O2 的外公切线，B、C 为切点，连心线 O1 O2 分别交⊙O1、⊙O2 于 M、N，BM、CN 的延长线交于 P，则 BP 与 CP 是否垂直?证明 你的结论． (3)如图 3，若⊙O1 与⊙O2 相交，BC 是⊙O1 与⊙O2 的公切线，B、C 为切点，连心线 O1 O2 分别交⊙O1、⊙O2 于 M、N，Q 是线段 MN 上一点，连结 BQ、CQ，则 BQ 与 CQ 是 否垂直?证明你的结论． 思路点拨 本例是在基本条件不变的情况下，通过运动改变两圆的位置而设计的，在运动变 化中，结论可能改变或不变，关键是把(1)的证法类比运用到(2)、(3)问题中． 注：开放性问题还有以下呈现方式： (1)先提出特殊情况进行研究，再要求归纳猜测和确定一般结论； (2)先对某一给定条件和结论的问题进行研究，再探讨改变条件时其结论应发生的变化， 或改变结论时其条件相应发生的变化． 【例 4】 已知直线 4 kxy ( k >0)与 x 轴、 y 轴分别交于 A、C 两点，开口向上的抛物线 cbxaxy  2 过 A、C 两点，且与 x 轴交于另一点 B． (1)如果 A、B 两点到原点 O 的距离 AO、BO 满足 AO＝3BO，点 B 到直线 AC 的距离 等于 5 16 ，求这条直线和抛物线的解析式； (2)是否存在这样的抛物线，使得 tan∠ACB=2，且△ABC 外接圆截得 轴所得的弦长等 于 5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 3 思路点拨 (1)通过“点 B 到直线 AC 的距离等于 5 16 ”，利用等积变换求出 A、B 两点的距 离；(2)先假设存在这样的抛物线，再由条件推理计算求得，最后加以验证即可． 注：解存在性开放问题的基本方法是假设求解法，即假设存在→演绎推理→得出结论(合理 或矛盾)． 【例 5】 如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程 度称为“正度”．在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等． 设等腰三角形的底和腰分别为 a 、b ，底角和顶角分别为 、 ．要求“正度”的值是 非负数． 同学甲认为：可用式子 ba  来表示“正度”， ba  的值越小，表示等腰三角形越接近 正三角形； 同学乙认为：可用式子   来表示“正度”，   的值越小，表示等腰三角形越接 近正三角形． 探究：（1）他们的方案哪个较为合理，为什么? (2)对你认为不够合理的方案，请加以改进(给出式子即可)； （3）请再给出一种衡量“正度”的表达式． 思路点拨 通过阅读，正确理解“正度”这个新概念，同时也要抓住“在研究‘正度’时， 应保证相似三角形的‘正度’相等”这句话的实质，可先采取举实例加深对“正度”的理解， 再判断方案的合理性并改进方法． 4 注：（1）解结论开放题往往要充分利用条件进行大胆而合理的猜想，通过观察、比较、联想、 猜测、推理和截判断等探索活动，发现规律，得出结论． （2） 阅读是学习的重要途径，在这种阅读型研究性问题中，涌现了许多介绍新的知识 和新的研究方法的问题，能极大地开阔我们的视野． （3）研究性学习是课程改革的一个亮点，研究性学习是美国芝加哥大学教授施瓦布在 《作为探究的科学教学》的演讲时提出的．他主张引导学生直接用科学研究的方式进行教学， 即设定情境、提出问题、分析问题、设计实验、验证假设、分析结果、得出结论．研究性问 题是近年中考中出现的一种新题型，它要求我们适应新情况，通过实践，增强探究和创新意 识，学习科学研究方法． 学力训练 1．如图， l 是四边形 ABCD 的对称轴，如果 AD∥BC，有下列结论： ①AB∥CD，②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC． 其中正确的是 ． (把你认为正确的结论的序号都填上) 2．如图，是一个边长为 a 的小正方形与两个长、宽分别为 a 、 b 的小矩形 ABCD，则整个 图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式：① ； ② ；③ ． 3．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线 4x ； 乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3． 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： ． 4．如图，已知 AB 为⊙O 的直径，直线 l 与⊙O 相切于点 D，AC⊥ l 于 C，AC 交⊙O 于点 E，DF⊥AB 于 F． (1)图中哪条线段与 BF 相等?试证明你的结论； (2)若 AE=3，CD=2，求⊙O 的直径． 5．在一个服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料(如图)．现找出其中的一种， 测得∠C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使 扇形的边缘半径恰好都在△ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其他边相切，请设计出所 有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径(只要求画出图形，并直接写出扇形半径)． 5 6．如图，抛物线 cbxaxy  2 与 x 轴交于点 A(x1，0)，B(x2，0)( x1<0AB2，则△ABC 是锐角三角形；③在△ABC 和△AB1C1 中， a 、b 、c 分 别为△ABC 的三边， 1a 、 1b 、 1c 分别为△AB1C1 的三边，若 > 1a ， > ， > ，则△ ABC 的面积大 S 于△AB1C1 的面积 S1．以上三个命题中，真命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知：AB 是⊙O 的直径，AP、AQ 是⊙O 的两条弦，如图 1，经过 B 做⊙O 的切线l ， 分别交直线 AP、AQ 于点 M、N．可以得出结论 AP·AM＝AQ·AN 成立． (1)若将直线 向上平行移动，使直线 与⊙O 相交，如图 2 所示，其他条件不变，上述 结论是否成立?若成立，写出证明，若不成立，说明理由； (2)若将直线 继续向上平行移动，使直线 与⊙O 相离，其他条件不变，请在图 3 上画 出符合条件的图形，上述结论成立吗?若成立，写出证明；若不成立，说明理由． 10．如图，已知圆心 A(0，3)， A 与 x 轴相切，⊙B 的圆心在 轴的正半轴上，且⊙B 与⊙ A 外切于点 P，两圆的公切线 MP 交 y 轴于点 M，交 轴于点 N． （1）若 sin∠OAB= 5 4 ，求直线 MP 的解析式及经过 M、N、B 三点的抛物线的解析式； 6 (2)若 A 的位置大小不变，⊙B 的圆心在 x 轴的正半轴上移动，并使⊙B 与⊙A 始终外切，过 M 作⊙B 的切线 MC，切点为 C 在此变化过程中探究： ①四边形 OMCB 是什么四边形，对你的结论加以证明； ②经过 M、N、B 点的抛物线内是否存在以 BN 为腰的等腰三角形?若存在，表示出来；若 不存在，说明理由． (山西省中考题) 11．有一张矩形纸片 ABCD，E、F、分别是 BC、AD 上的点(但不与顶点重合)，若 EF 将矩 形 ABCD 分成面积相等的两部分，设 AB= a ，AD= b ，BE= x ． (1)求证：AF=EC； (2)用剪刀将该纸片沿直线 EF 剪开后，再将梯形纸片 ABEF 沿 AB 对称翻折，平移拼接 在梯形 ECDF 的下方，使一底边重合，一腰落在 DC 的延长线上，拼接后，下方梯形记作 EE'B'C． ①当 bx : 为何值时，直线 E'E 经过原矩形的一个顶点? ②在直线 E'E 经过原矩形的一个顶点的情形下，连结 BE'，直线 BE'与 EF 是否平行?你若 认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当 与 有何种数量关系时，它们就垂直? 12．(1)证明：若 取任意整数时，二次函数 cbxaxy  2 总取整数值，那么， a2 、 ba  、 c 都是整数． (2)写出上述命题的逆命题，且证明你的结论． 13．已知四边形 ABCD 的面积为 32，AB、CD、AC 的长都是整数，且它们的和为 16． (1)这样的四边形有几个? (2)求这样的四边形边长的平方和的最小值． 7 参考答案 8