江苏省扬州市2020届高三上学期期末检测数学试题 含解析

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江苏省扬州市2020届高三上学期期末检测数学试题 含解析

‎2019-2020学年度第一学期期末检测试题 高三数学Ⅰ ‎2020.01‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.已知集合,且则实数k的值为 . ‎ 答案:4‎ 解析:由则,解得 ‎2.设,则 .‎ 答案:‎ 解析:,则,所以 ‎3.用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为90的样本,在高一抽40人,高二抽30人,若高三有400人,则该校共有 人 答案:1800‎ 解析:由题意得高三学生抽取了20人,设该校总人数为人,则,解得 所以该校共有1800人.‎ ‎4.右图是一个算法流程图,如输入的值为1,则输出的值为 . ‎ 答案:35‎ 解析:模拟演示:‎ ‎,此时结束循环,输出的值35.‎ ‎5.已知 则“”是“”为偶函数的 条件 答案:充要 解析:充分性:时,为偶函数;必要性:为偶函数时,可求得 ‎ ‎6.若一组样本数据21,19,x,20,18的平均数为20,则该组样本数据的方差为 .‎ 答案:2‎ 解析:,解得,‎ ‎7.在平面直角坐标系中,顶点在原点且以双曲线的右准线为准线的抛物线方程是 .‎ 答案:‎ 解析:双曲线的右准线为,故可设抛物线方程,则,,所以所求抛物线方程为.‎ ‎8.已知,若向区域上随机投掷一点P,则点P落在区域A的概率为 ‎ 答案:‎ 解析:画出线性规划可行域,通过几何概型可求得点P落在区域A的概率为 ‎9.等差数列的公差不为零,是和的等比中项,则 ‎ 答案:‎ 解析:由题意得:,则,整理得:,‎ ‎10.已知定义在(0,)上的函数的导函数为且,则的解集为 ‎ 答案:‎ 解析:构造,则,因为,则对于(0,)恒成立,所以在区间(0,)上单调递减,因为,则,所以,所以,解得,过答案为 ‎11.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,圆台的高为,母线与轴的夹角为,则这个圆台的轴截面的面积等于 ‎ ‎12.已知函数若存在实数满足,则的取值范围为 ‎ ‎13.在中,若则的最大值为 ‎ ‎14. 在平面直角坐标系中,和是圆上两点,且,点P的坐标为(2,1),则的取值范围为 ‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎15. (本小题满分14分)‎ 已知 ‎(1)求函数的单调递增区间;‎ ‎(2)若求的值。‎ ‎16. (本小题满分14分)‎ 如图,是以为底边的等腰三角形,都垂直于平面,且线段长度大于线段的长度,是的中点,是的中点。‎ 求证:(1)平面;‎ ‎(2)平面.‎ ‎17. (本小题满分14分)‎ 如图是一个半径为1千米的扇形景点的平面示意图,原有观光道路OC,且。为便于游客观赏,景点2部门决定新建两条道路PQ,PA,其中P在原道路OC(不含端点O,C)上,Q在景点边界OB上,且OP=OQ,同时维修原道路OP段。因地形原因,新建PQ段、PA段的每千米费用分别是万元,6a元,维修OP段的每千米费用是a万元。‎ ‎(1)设求所需总费用,并给出的取值范围;‎ ‎(2)当P距离O处多远时,总费用最小。‎ ‎18. (本小题满分16分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为 ‎,右准线的方程为,分别为椭圆C的左、右焦点,A,B分别为椭圆C的左右顶点。‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)过T(t,0)(t>a)作斜率为k(k<0)的 直线l交椭圆C与M,N两点(点M在点N的左侧),且设直线AM,BN的斜率分别为,求的值。‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ 已知函数 ‎(1)若时,直线是曲线的一条切线,求b的值;‎ ‎(2)若且在上恒成立,求的取值范围;‎ ‎(3)令,且在区间上有零点,求的最小值.‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ 对于项数为的有穷正项数列,记,即为中的最小值,设由组成数列称为的“新型数列”.‎ ‎(1)若数列为2019,2020,2019,2018,2017,请写出的“新型数列” 的所有项;‎ ‎(2)若数列满足且其对应的“新型数列” 的项数,求的所有项的和;‎ ‎(3)若数列的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积,求符合条件的及其对应的“新型数列” .‎ 附加题 ‎21. (本小题满分10分)‎ 已知矩阵 ‎(1)求矩阵的特征值及特征向量;‎ ‎(2),求.‎ ‎22. (本小题满分10分)‎ 在极坐标系中,已知点的极坐标分别为,,直线的方程为.‎ ‎(1)求以线段为直径的圆的极坐标方程;‎ ‎(2)求直线被(1)中的圆所截得的弦长.‎ ‎23. (本小题满分10分)‎ 甲、乙两人采用五局三胜制的比赛,即一方先胜,则三局比赛结束.甲每场比赛获胜的概率均为.设比赛局数为.‎ ‎(1)求得概率;‎ ‎(2)求的分布列和数学期望.‎ ‎24. (本小题满分10分)‎ 已知数列满足,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设数列的前项和为,求证:当时,.‎
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