【数学】2020届天津一轮复习通用版4-3三角函数的图象与性质作业

【数学】2020届天津一轮复习通用版4-3三角函数的图象与性质作业

‎4.3　三角函数的图象与性质 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.三角函数的性质及其应用 ‎1.了解三角函数的周期性 ‎2.理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、对称性、奇偶性以及最值问题等);理解正切函数的单调性 ‎2017天津,7‎ 三角函数的周期性 三角函数求值 ‎★★★‎ ‎2016天津文,8‎ 三角函数的周期性 函数零点 ‎2015天津文,14‎ 三角函数的单调性及对称性 三角函数图象及其性质 ‎2014天津文,8‎ 三角函数的周期性及最值 三角函数图象及其性质 ‎2.三角函数的图象及其变换 ‎1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象 ‎ ‎2.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响 ‎2018天津,6‎ 三角函数图象的平移变换 三角函数的单调性 ‎★★☆‎ 分析解读　　通过分析近几年的高考试题可以看出,对三角函数图象和性质的考查一般以基础题为主,难度不大,命题呈现出如下几点:1.研究三角函数必须在定义域内进行,要特别关注三角函数的定义域;2.求三角函数的单调区间,要利用公式将三角函数化为一个角的函数形式,再利用整体换元的思想通过解不等式组得出函数的单调区间;3.三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值是主要考点.本节重点考查三角恒等变换及数形结合能力,在高考备考复习中应给予重视.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　三角函数的性质及其应用 ‎1.函数y=3sin‎2x+‎π‎4‎的图象相邻的两条对称轴之间的距离是(　　)‎ A.2π　　　　B.π　　　　C.π‎2‎　　　　D.‎π‎4‎ 答案　C　‎ ‎2.(2017课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin2x+‎3‎cos x-‎3‎‎4‎x∈‎‎0,‎π‎2‎的最大值是　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎3.已知函数f(x)=2cos x(sin x+cos x)-1.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间.‎ 解析　(1)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x ‎=‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎.‎ 所以f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)由-π‎2‎+2kπ≤2x+π‎4‎≤π‎2‎+2kπ(k∈Z),‎ 得-‎3π‎8‎+kπ≤x≤π‎8‎+kπ(k∈Z).‎ 当x∈[0,π]时,单调递增区间为‎0,‎π‎8‎和‎5π‎8‎‎,π.‎ 思路分析　(1)根据二倍角公式、两角和的正弦公式将原式化简,得到f(x)=‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎,根据周期公式得到T=‎2π‎2‎=π;(2)由题意得到-π‎2‎+2kπ≤2x+π‎4‎≤π‎2‎+2kπ(k∈Z),从而得到单调增区间,再与[0,π]取交集.‎ 考点二　三角函数的图象及其变换 ‎4.将函数y=3sin‎2x+‎π‎3‎的图象向右平移π‎2‎个单位长度,所得图象对应的函数(　　)‎ A.在区间π‎12‎‎,‎‎7π‎12‎上单调递减 B.在区间π‎12‎‎,‎‎7π‎12‎上单调递增　　　　C.在区间‎-π‎6‎,‎π‎3‎上单调递减 D.在区间‎-π‎6‎,‎π‎3‎上单调递增 答案　B　‎ ‎5.如图,已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x∈R(其中ω>0,-π<φ<π)的部分图象,那么f(x)的解析式为(　　)‎ A. f(x)=sinx+‎π‎2‎　　　　B. f(x)=sinx-‎π‎2‎　　　　C. f(x)=sin‎2x+‎π‎2‎　　　　D. f(x)=sin‎2x-‎π‎2‎ 答案　A　‎ ‎6.函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-π‎2‎<φ<‎π‎2‎的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π‎3‎个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,令F(x)=f(x)+g(x),求函数F(x)的单调递增区间.‎ 解析　(1)因为‎2πω=4‎5π‎6‎‎-‎π‎3‎=2π,所以ω=1.‎ 又因为sinπ‎3‎‎+φ=1,所以π‎3‎+φ=2kπ+π‎2‎(k∈Z).‎ 所以φ=2kπ+π‎6‎(k∈Z).因为-π‎2‎<φ<π‎2‎,所以φ=π‎6‎.‎ 所以f(x)的解析式是f(x)=sinx+‎π‎6‎.‎ ‎(2)由已知得g(x)=sinx+‎π‎3‎‎+‎π‎6‎=sinx+‎π‎2‎=cos x,‎ 所以F(x)=f(x)+g(x)=sinx+‎π‎6‎+cos x=‎3‎‎2‎sin x+‎1‎‎2‎cos x+cos x=‎3‎‎2‎sin x+‎3‎‎2‎cos x=‎3‎sinx+‎π‎3‎.‎ 函数y=sin x的单调递增区间为‎2kπ-π‎2‎,2kπ+‎π‎2‎(k∈Z).‎ 由2kπ-π‎2‎≤x+π‎3‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z),‎ 得2kπ-‎5π‎6‎≤x≤2kπ+π‎6‎(k∈Z),‎ 所以F(x)的单调递增区间为‎2kπ-‎5π‎6‎,2kπ+‎π‎6‎(k∈Z).‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　根据函数图象确定函数解析式 ‎1.(2015课标Ⅰ,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为(　　)‎ A.kπ-‎1‎‎4‎,kπ+‎‎3‎‎4‎,k∈Z B.‎2kπ-‎1‎‎4‎,2kπ+‎‎3‎‎4‎,k∈Z　　　　‎ C.k-‎1‎‎4‎,k+‎‎3‎‎4‎,k∈Z D.‎2k-‎1‎‎4‎,2k+‎‎3‎‎4‎,k∈Z 答案　D　‎ ‎2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<‎π‎2‎的部分图象如图所示,则φ=　　　　;ω=　　　　. ‎ 答案　-π‎6‎;‎‎4‎‎3‎ ‎3.已知函数f(x)=sin ωx(ω>0),若函数y=f(x+a)(a>0)的部分图象如图所示,则ω=　　　　,a的最小值是　　　　. ‎ 答案　2;‎π‎12‎ 方法2　三角函数性质问题的求解方法 ‎4.(2016课标Ⅱ,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移π‎12‎个单位长度,则平移后图象的对称轴为(　　)‎ A.x=kπ‎2‎-π‎6‎(k∈Z)　　　　B.x=kπ‎2‎+π‎6‎(k∈Z)　　　　C.x=kπ‎2‎-π‎12‎(k∈Z)　　　　D.x=kπ‎2‎+π‎12‎(k∈Z)‎ 答案　B　‎ ‎5.(2018课标Ⅱ,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是(　　)‎ A.π‎4‎　　　　B.π‎2‎　　　　C.‎3π‎4‎　　　　D.π 答案　A　‎ ‎6.已知函数f(x)=sin x(cos x-‎3‎sin x).‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求函数f(x)在x∈[0,π]上的单调递增区间.‎ 解析　(1)因为f(x)=sin x(cos x-‎3‎sin x)‎ ‎=sin xcos x-‎3‎sin2x ‎=‎1‎‎2‎sin 2x+‎3‎‎2‎cos 2x-‎‎3‎‎2‎ ‎=sin‎2x+‎π‎3‎-‎3‎‎2‎,‎ 所以函数f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)由2kπ-π‎2‎≤2x+π‎3‎≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,得 ‎2kπ-‎5π‎6‎≤2x≤2kπ+π‎6‎,k∈Z,‎ 所以kπ-‎5π‎12‎≤x≤kπ+π‎12‎,k∈Z.‎ 所以函数f(x)在x∈[0,π]上的单调递增区间是‎0,‎π‎12‎和‎7π‎12‎‎,π.‎ 思路分析　(1)根据二倍角公式和辅助角公式化简f(x)即可得最小正周期;‎ ‎(2)求出f(x)的单调递增区间,再根据x∈[0,π]得出所求.‎ 方法点拨　第(2)问中求得函数f(x)的单调递增区间为kπ-‎5π‎12‎,kπ+‎π‎12‎(k∈Z),k=0时,单调递增区间为‎-‎5π‎12‎,‎π‎12‎;k=1时,单调递增区间为‎7π‎12‎‎,‎‎13π‎12‎.将两个区间与[0,π]取交集,可得所求单调递增区间为‎0,‎π‎12‎和‎7π‎12‎‎,π.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·天津卷题组 考点一　三角函数的性质及其应用 ‎1.(2017天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f ‎5π‎8‎=2, f ‎11π‎8‎=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则(　　)‎ A.ω=‎2‎‎3‎,φ=π‎12‎　　　　B.ω=‎2‎‎3‎,φ=-‎11π‎12‎　　　　C.ω=‎1‎‎3‎,φ=-‎11π‎24‎　　　　D.ω=‎1‎‎3‎,φ=‎‎7π‎24‎ 答案　A　‎ ‎2.(2016天津文,8,5分)已知函数f(x)=sin2ωx‎2‎+‎1‎‎2‎sin ωx-‎1‎‎2‎(ω>0),x∈R.若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎‎1‎‎8‎　　　　B.‎0,‎‎1‎‎4‎∪‎5‎‎8‎‎,1‎　　　　C.‎0,‎‎5‎‎8‎　　　　D.‎0,‎‎1‎‎8‎∪‎‎1‎‎4‎‎,‎‎5‎‎8‎ 答案　D　‎ ‎3.(2014天津文,8,5分)已知函数f(x)=‎3‎sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π‎3‎,则f(x)的最小正周期为(　　)‎ A.π‎2‎　　　　B.‎2π‎3‎　　　　C.π　　　　D.2π 答案　C　‎ ‎4.(2015天津文,14,5分)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为　　　　. ‎ 答案　‎π‎2‎ ‎5.(2016天津,15,13分)已知函数f(x)=4tan xsinπ‎2‎‎-xcosx-‎π‎3‎-‎3‎.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期;‎ ‎(2)讨论f(x)在区间‎-π‎4‎,‎π‎4‎上的单调性.‎ 解析　(1)f(x)的定义域为x|x≠π‎2‎+kπ,k∈Z.‎ f(x)=4tan xcos xcosx-‎π‎3‎-‎‎3‎ ‎=4sin xcosx-‎π‎3‎-‎‎3‎ ‎=4sin x‎1‎‎2‎cosx+‎3‎‎2‎sinx-‎‎3‎ ‎=2sin xcos x+2‎3‎sin2x-‎‎3‎ ‎=sin 2x+‎3‎(1-cos 2x)-‎‎3‎ ‎=sin 2x-‎3‎cos 2x=2sin‎2x-‎π‎3‎.‎ 所以, f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)令z=2x-π‎3‎,易知函数y=2sin z的单调递增区间是‎-π‎2‎+2kπ,π‎2‎+2kπ,k∈Z.‎ 由-π‎2‎+2kπ≤2x-π‎3‎≤π‎2‎+2kπ,得-π‎12‎+kπ≤x≤‎5π‎12‎+kπ,k∈Z.‎ 设A=‎-π‎4‎,‎π‎4‎,B=x|-π‎12‎+kπ≤x≤‎5π‎12‎+kπ,k∈Z,易知A∩B=‎-π‎12‎,‎π‎4‎.‎ 所以,当x∈‎-π‎4‎,‎π‎4‎时, f(x)在区间‎-π‎12‎,‎π‎4‎上单调递增,在区间‎-π‎4‎,-‎π‎12‎上单调递减.‎ 考点二　三角函数的图象及其变换 ‎　(2018天津,6,5分)将函数y=sin‎2x+‎π‎5‎的图象向右平移π‎10‎个单位长度,所得图象对应的函数(　　)‎ A.在区间‎3π‎4‎‎,‎‎5π‎4‎上单调递增 B.在区间‎3π‎4‎‎,π上单调递减　　　　C.在区间‎5π‎4‎‎,‎‎3π‎2‎上单调递增 D.在区间‎3π‎2‎‎,2π上单调递减 答案　A　‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　三角函数的性质及其应用 ‎1.(2017课标Ⅲ,6,5分)设函数f(x)=cosx+‎π‎3‎,则下列结论错误的是(　　)‎ A.f(x)的一个周期为-2π B.y=f(x)的图象关于直线x=‎8π‎3‎对称　　　　C.f(x+π)的一个零点为x=‎π‎6‎ D.f(x)在π‎2‎‎,π单调递减 答案　D　‎ ‎2.(2016课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤‎π‎2‎,x=-π‎4‎为f(x)的零点,x=π‎4‎为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在π‎18‎‎,‎‎5π‎36‎单调,则ω的最大值为(　　)‎ A.11　　　　B.9　　　　C.7　　　　D.5‎ 答案　B　‎ ‎3.(2015安徽,10,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=‎2π‎3‎时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是(　　)‎ A. f(2)< f(-2)< f(0)　　　　B. f(0)< f(2)< f(-2)　　　　C. f(-2)< f(0)< f(2)　　　　D. f(2)< f(0)< f(-2)‎ 答案　A　‎ ‎4.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+φ)‎-π‎2‎<φ<‎π‎2‎的图象关于直线x=π‎3‎对称,则φ的值是　　　　. ‎ 答案　-‎π‎6‎ ‎5.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2‎3‎sin xcos x(x∈R).‎ ‎(1)求f ‎2π‎3‎的值;‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.‎ 解析　本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.‎ ‎(1)由sin‎2π‎3‎=‎3‎‎2‎,cos‎2π‎3‎=-‎1‎‎2‎,‎ f‎2π‎3‎=‎3‎‎2‎‎2‎-‎-‎‎1‎‎2‎‎2‎-2‎3‎×‎3‎‎2‎×‎-‎‎1‎‎2‎,得f‎2π‎3‎=2.‎ ‎(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得 f(x)=-cos 2x-‎3‎sin 2x=-2sin‎2x+‎π‎6‎.‎ 所以f(x)的最小正周期是π.‎ 由正弦函数的性质得π‎2‎+2kπ≤2x+π‎6‎≤‎3π‎2‎+2kπ,k∈Z,‎ 解得π‎6‎+kπ≤x≤‎2π‎3‎+kπ,k∈Z.‎ 所以, f(x)的单调递增区间是π‎6‎‎+kπ,‎2π‎3‎+kπ(k∈Z).‎ ‎6.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-‎3‎),x∈[0,π].‎ ‎(1)若a∥b,求x的值;‎ ‎(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.‎ 解析　(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-‎3‎),a∥b,‎ 所以-‎3‎cos x=3sin x.‎ 若cos x=0,解得sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.‎ 于是tan x=-‎3‎‎3‎.‎ 又x∈[0,π],所以x=‎5π‎6‎.‎ ‎(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-‎3‎)=3cos x-‎3‎sin x=2‎3‎cosx+‎π‎6‎.‎ 因为x∈[0,π],所以x+π‎6‎∈π‎6‎‎,‎‎7π‎6‎,‎ 从而-1≤cosx+‎π‎6‎≤‎3‎‎2‎.‎ 于是,当x+π‎6‎=π‎6‎,即x=0时, f(x)取到最大值3;‎ 当x+π‎6‎=π,即x=‎5π‎6‎时, f(x)取到最小值-2‎3‎.‎ ‎7.(2015重庆,18,13分)已知函数f(x)=sinπ‎2‎‎-xsin x-‎3‎cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和最大值;‎ ‎(2)讨论f(x)在π‎6‎‎,‎‎2π‎3‎上的单调性.‎ 解析　(1)f(x)=sinπ‎2‎‎-xsin x-‎3‎cos2x ‎=cos xsin x-‎3‎‎2‎(1+cos 2x)‎ ‎=‎1‎‎2‎sin 2x-‎3‎‎2‎cos 2x-‎3‎‎2‎=sin‎2x-‎π‎3‎-‎3‎‎2‎,‎ 因此f(x)的最小正周期为π,最大值为‎2-‎‎3‎‎2‎.‎ ‎(2)当x∈π‎6‎‎,‎‎2π‎3‎时,0≤2x-π‎3‎≤π,从而当0≤2x-π‎3‎≤π‎2‎,即π‎6‎≤x≤‎5π‎12‎时, f(x)单调递增,‎ 当π‎2‎≤2x-π‎3‎≤π,即‎5π‎12‎≤x≤‎2π‎3‎时, f(x)单调递减.‎ 综上可知, f(x)在π‎6‎‎,‎‎5π‎12‎上单调递增;在‎5π‎12‎‎,‎‎2π‎3‎上单调递减.‎ 评析本题考查二倍角公式,辅助角公式asin x+bcos x=a‎2‎‎+‎b‎2‎sin(x+φ),其中,tan φ=ba等三角变换公式,以及三角函数的图象与性质,属常规基础题.‎ 考点二　三角函数的图象及其变换 ‎1.(2017课标Ⅰ,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin‎2x+‎‎2π‎3‎,则下面结论正确的是(　　)‎ A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π‎6‎个单位长度,得到曲线C2‎ B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π‎12‎个单位长度,得到曲线C2　　　　C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的‎1‎‎2‎,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π‎6‎个单位长度,得到曲线C2‎ D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的‎1‎‎2‎,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π‎12‎个单位长度,得到曲线C2‎ 答案　D　‎ ‎2.(2016四川,3,5分)为了得到函数y=sin‎2x-‎π‎3‎的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点(　　)‎ A.向左平行移动π‎3‎个单位长度　　　　‎ B.向右平行移动π‎3‎个单位长度　　　　C.向左平行移动π‎6‎个单位长度　　　　‎ D.向右平行移动π‎6‎个单位长度 答案　D　‎ ‎3.(2015四川,4,5分)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(　　)‎ A.y=cos‎2x+‎π‎2‎　　　　B.y=sin‎2x+‎π‎2‎　　　　C.y=sin 2x+cos 2x　　　　D.y=sin x+cos x 答案　A　‎ ‎4.(2016课标Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-‎3‎cos x的图象可由函数y=sin x+‎3‎cos x的图象至少向右平移　　　　个单位长度得到. ‎ 答案　‎‎2π‎3‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2018课标Ⅲ,6,5分)函数f(x)=tanx‎1+tan‎2‎x的最小正周期为(　　)‎ A.π‎4‎　　　　B.π‎2‎　　　　C.π　　　　D.2π 答案　C　‎ ‎2.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期(　　)‎ A.与b有关,且与c有关　　　　B.与b有关,但与c无关　　　　C.与b无关,且与c无关　　　　D.与b无关,但与c有关 答案　B　‎ ‎3.(2015陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ‎6‎x+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)‎ A.5　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.10‎ 答案　C　‎ ‎4.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是　　　　,单调递减区间是　　　　　　　. ‎ 答案　π;‎3‎‎8‎π+kπ,‎7‎‎8‎π+kπ(k∈Z)‎ ‎5.(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|<‎π‎2‎在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:‎ ωx+φ ‎0‎ π‎2‎ π ‎3π‎2‎ ‎2π x π‎3‎ ‎5π‎6‎ Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎-5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为‎5π‎12‎‎,0‎,求θ的最小值.‎ 解析　(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=- π‎6‎.‎ 数据补全如下表:‎ ωx+φ ‎0‎ π‎2‎ π ‎3π‎2‎ ‎2π x π‎12‎ π‎3‎ ‎7π‎12‎ ‎5π‎6‎ ‎13‎‎12‎π Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎-5‎ ‎0‎ 且函数表达式为f(x)=5sin‎2x-‎π‎6‎.‎ ‎(2)由(1)知 f(x)=5sin‎2x-‎π‎6‎,‎ 故g(x)=5sin‎2x+2θ-‎π‎6‎.‎ 因为y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z.‎ 令2x+2θ-π‎6‎=kπ,‎ 解得x=kπ‎2‎+π‎12‎-θ,k∈Z.‎ 由于函数y=g(x)的图象关于点‎5π‎12‎‎,0‎成中心对称,‎ 令kπ‎2‎+π‎12‎-θ=‎5π‎12‎,解得θ=kπ‎2‎-π‎3‎,k∈Z.‎ 由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值π‎6‎.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共50分)‎ ‎1.(2019届天津一中1月月考,3)若由函数y=sin‎2x+‎π‎2‎的图象变换得到y=sinx‎2‎‎+‎π‎3‎的图象,则可以通过以下两个步骤完成:第一步,把y=sin‎2x+‎π‎2‎图象上所有点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变;第二步,可以把所得图象沿x轴(　　)‎ A.向右平移π‎3‎个单位长度 B.向右平移‎5π‎12‎个单位长度　　　　C.向左平移π‎3‎个单位长度 D.向左平移‎5π‎12‎个单位长度 答案　A　‎ ‎2.(2019届天津耀华中学统练(2),5)将函数y=sin(x+φ)的图象F向左平移π‎6‎个单位长度后得到图象F',若图象F'的一个对称中心为π‎4‎‎,0‎,则φ的一个可能取值是(　　)‎ A.π‎12‎　　　　B.π‎6‎　　　　C.‎5π‎6‎　　　　D.‎‎7π‎12‎ 答案　D　‎ ‎3.(2019届天津新华中学期中,7)已知函数f(x)=sinπ‎3‎‎-ωx(ω>0)的图象向左平移半个周期后得到g(x)的图象,若g(x)在[0,π]上的值域为‎-‎3‎‎2‎,1‎,则ω的取值范围是(　　)‎ A.‎1‎‎6‎‎,1‎　　　　B.‎2‎‎3‎‎,‎‎3‎‎2‎　　　　C.‎1‎‎3‎‎,‎‎7‎‎6‎　　　　D.‎‎5‎‎6‎‎,‎‎5‎‎3‎ 答案　D　‎ ‎4.(2018天津和平三模,6)将函数f(x)=‎3‎cos 2x-sin 2x(x∈R)的图象向左平移π‎6‎个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)(　　)‎ A.是奇函数 B.是偶函数　　　　C.既是奇函数,又是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数 答案　A　‎ ‎5.(2018天津九校联考,6)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<‎π‎2‎的部分图象如图所示,则f‎-‎‎13π‎24‎=(　　)‎ A.-‎6‎‎2‎　　　　B.-‎3‎‎2‎　　　　C.-‎2‎‎2‎　　　　D.-1‎ 答案　D　‎ ‎6.(2018天津一中5月月考,6)设ω>0,函数y=2cosωx+‎π‎5‎的图象向右平移π‎5‎个单位长度后与函数y=2sinωx+‎π‎5‎的图象重合,则ω的最小值是(　　)‎ A.‎1‎‎2‎　　　　B.‎3‎‎2‎　　　　C.‎5‎‎2‎　　　　D.‎‎7‎‎2‎ 答案　C　‎ ‎7.(2018天津南开一模,5)若函数y=cos 2x与函数y=sin(2x+φ)在‎0,‎π‎4‎上的单调性相同,则φ的一个值为(　　)‎ A.π‎6‎　　　　B.π‎4‎　　　　C.‎3π‎4‎　　　　D.‎‎3π‎2‎ 答案　C　‎ ‎8.(2018天津河西二模,7)已知函数f(x)=‎3‎sin ωx+cos ωx(ω>0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为π‎2‎的等差数列,把函数f(x)的图象沿x轴向左平移π‎6‎个单位长度,得到函数g(x)的图象,关于函数g(x),现有如下命题:‎ ‎①在π‎4‎‎,‎π‎2‎上是增函数;②其图象关于点‎-π‎4‎,0‎对称;③函数g(x)是奇函数;④当x∈π‎6‎‎,‎‎2π‎3‎时,函数g(x)的值域是[-2,1].‎ 其中真命题的个数是(　　)‎ A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3‎ 答案　C　‎ ‎9.(2018天津红桥二模,6)设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象向左平移π‎8‎个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则(　　)‎ A.g(x)在‎0,‎π‎2‎上单调递增 B.g(x)在π‎4‎‎,‎3‎‎4‎π上单调递减　　　　C.g(x)在‎0,‎π‎2‎上单调递减 D.g(x)在π‎4‎‎,‎3‎‎4‎π上单调递增 答案　C　‎ ‎10.(2018天津耀华中学第二次月考,7)已知函数f(x)=sin ωx+‎3‎cos ωx(ω>0),若在区间(0,π)上有三个不同的x使得f(x)=1,则ω的取值范围是(　　)‎ A.‎5‎‎2‎‎,‎‎23‎‎6‎　　　　B.‎5‎‎2‎‎,‎‎23‎‎6‎　　　　C.‎3‎‎2‎‎,‎‎19‎‎6‎　　　　D.‎‎3‎‎2‎‎,‎‎19‎‎6‎ 答案　A　‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎11.(2019届天津耀华中学月考,12)若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移φ个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是　　　　. ‎ 答案　‎‎3π‎8‎ ‎12.(2017天津河东二模,13)已知ω>0,在函数y=sin ωx与y=cos ωx的图象的交点中,距离最近的两个交点间的距离为‎3‎,则ω的值为　　　　. ‎ 答案　π 三、解答题(共35分)‎ ‎13.(2019届天津南开中学开学考试,14)已知函数f(x)=2‎3‎sinax-‎π‎4‎cosax-‎π‎4‎+2cos2ax-‎π‎4‎(a>0),且函数的最小正周期为π‎2‎.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)求f(x)在‎0,‎π‎4‎上的最大值和最小值.‎ 解析　(1)因为f(x)=2‎3‎sinax-‎π‎4‎cosax-‎π‎4‎+2cos2ax-‎π‎4‎=‎3‎sin‎2ax-‎π‎2‎+cos‎2ax-‎π‎2‎+1‎ ‎=2sin‎2ax-π‎2‎+‎π‎6‎+1=2sin‎2ax-‎π‎3‎+1,‎ 又f(x)的最小正周期为π‎2‎,‎ 所以T=‎2π‎2a=π‎2‎,‎ 解得a=2.‎ ‎(2)由(1)可知f(x)=2sin‎4x-‎π‎3‎+1,‎ 令-π‎2‎+2kπ≤4x-π‎3‎≤π‎2‎+2kπ,k∈Z,得-π‎24‎+kπ‎2‎≤x≤‎5π‎24‎+kπ‎2‎,k∈Z,所以当-π‎24‎+kπ‎2‎≤x≤‎5π‎24‎+kπ‎2‎,k∈Z时, f(x)单调递增,‎ 设A=‎0,‎π‎4‎,B=x-π‎24‎+kπ‎2‎≤x≤‎5π‎24‎+kπ‎2‎,k∈Z,易知A∩B=‎0,‎‎5π‎24‎,当x∈‎0,‎π‎4‎时, f(x)在区间‎0,‎‎5π‎24‎上单调递增,在区间‎5π‎24‎‎,‎π‎4‎上单调递减,‎ 且f(0)=-‎3‎+1, f‎5π‎24‎=3, fπ‎4‎=‎3‎+1,所以,在‎0,‎π‎4‎上, f(x)的最大值是3,最小值是-‎3‎+1.‎ 思路分析　本题主要考查两角和与差公式和倍角公式与半角公式.‎ ‎(1)根据正弦函数的倍角公式、余弦函数的倍角公式及正弦函数的和差公式将f(x)化简为f(x)=2sin‎2ax-‎π‎3‎+1,由于f(x)的最小正周期为π‎2‎,根据周期公式T=‎2πω,即可解出a.‎ ‎(2)首先求出函数f(x)的单调区间,进而计算闭区间端点处函数值及极值,即可求解函数最值.‎ ‎14.(2018天津一中4月月考,15)已知函数f(x)=sin x·cosx+‎π‎6‎,x∈R.‎ ‎(1)将f(x)的图象向右平移π‎6‎个单位长度,得到g(x)的图象,求g(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若f(α)=-‎5‎‎12‎,且0<α<π‎2‎,求sin 2α的值.‎ 解析　(1)函数f(x)=sin xcosx+‎π‎6‎ ‎=sin xcosxcosπ‎6‎-sinxsinπ‎6‎ ‎=‎3‎‎2‎sin xcos x-‎1‎‎2‎sin2x ‎=‎3‎‎4‎sin 2x+‎1‎‎4‎cos 2x-‎‎1‎‎4‎ ‎=‎1‎‎2‎sin‎2x+‎π‎6‎-‎1‎‎4‎,x∈R,‎ 将f(x)的图象向右平移π‎6‎个单位长度,得到y=g(x)=‎1‎‎2‎sin2x-‎π‎6‎+π‎6‎-‎1‎‎4‎=‎1‎‎2‎sin‎2x-‎π‎6‎-‎1‎‎4‎的图象,‎ 即g(x)=‎1‎‎2‎sin‎2x-‎π‎6‎-‎1‎‎4‎,‎ 令2kπ-π‎2‎≤2x-π‎6‎≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,‎ 解得kπ-π‎6‎≤x≤kπ+π‎3‎,k∈Z,‎ ‎∴g(x)的单调递增区间为kπ-π‎6‎,kπ+‎π‎3‎,k∈Z.‎ ‎(2)若f(α)=-‎5‎‎12‎,则‎1‎‎2‎sin‎2α+‎π‎6‎-‎1‎‎4‎=-‎5‎‎12‎,‎ ‎∴sin‎2α+‎π‎6‎=-‎1‎‎3‎,‎ 又∵0<α<π‎2‎,∴π<2α+π‎6‎<‎7π‎6‎,‎ ‎∴cos‎2α+‎π‎6‎=-‎1-sin‎2‎‎2α+‎π‎6‎=-‎2‎‎2‎‎3‎,‎ ‎∴sin 2α=sin‎2α+‎π‎6‎‎-‎π‎6‎ ‎=sin‎2α+‎π‎6‎cosπ‎6‎-cos‎2α+‎π‎6‎sinπ‎6‎ ‎=-‎1‎‎3‎×‎3‎‎2‎-‎-‎‎2‎‎2‎‎3‎×‎‎1‎‎2‎ ‎=‎2‎2‎-‎‎3‎‎6‎.‎ ‎15.(2017天津一中3月月考,15)函数f(x)=cos(πx+φ)‎0<φ<‎π‎2‎的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求φ及图中x0的值;‎ ‎(2)设g(x)=f(x)+fx+‎‎1‎‎3‎,求函数g(x)在区间‎-‎1‎‎2‎,‎‎1‎‎3‎上的最大值和最小值.‎ 解析　(1)由题意,得f(0)=cos(0+φ)=‎3‎‎2‎‎0<φ<‎π‎2‎,‎ ‎∴φ的值是π‎6‎.‎ ‎∵‎3‎‎2‎=cosπx‎0‎+‎π‎6‎,‎ ‎∴2π-π‎6‎=πx0+π‎6‎,易知T=2,‎ ‎∴x0∈(0,2),故x0的值是‎5‎‎3‎.‎ ‎(2)由题意可得fx+‎‎1‎‎3‎=cosπx+‎‎1‎‎3‎+‎π‎6‎ ‎=cosπx+‎π‎2‎=-sin πx,‎ 所以g(x)=f(x)+fx+‎‎1‎‎3‎ ‎=cosπx+‎π‎6‎-sin πx ‎=cos πxcosπ‎6‎-sin πxsinπ‎6‎-sin πx ‎=‎3‎‎2‎cos πx-‎1‎‎2‎sin πx-sin πx=‎3‎‎2‎cos πx-‎3‎‎2‎sin πx ‎=‎3‎cosπx+‎π‎3‎,‎ 因为x∈‎-‎1‎‎2‎,‎‎1‎‎3‎,‎ 所以-π‎6‎≤πx+π‎3‎≤‎2π‎3‎.‎ 所以当πx+π‎3‎=0,即x=-‎1‎‎3‎时,g(x)取得最大值‎3‎;‎ 当πx+π‎3‎=‎2π‎3‎,即x=‎1‎‎3‎时,g(x)取得最小值-‎3‎‎2‎.‎ 解题分析　本题主要考查了三角函数的化简求值,三角函数的图象与性质,三角函数最值的解法,属于中档题.‎