北京市高考真题——理数

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北京市高考真题——理数

绝密★启用前 ‎2006年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)(北京卷)‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页,共150分。考试时间120分钟。考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷(选择题 共40分)‎ 注意事项:‎ 1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。‎ 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。‎ 一、 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ (1) 在复平面内,复数对应的点位于 ‎(A)第一象限 (B)第二象限 ‎(C)第三象限 (D)第四象限 ‎(2)若与都是非零向量,则“”是“”的 ‎ (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(3)在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有 ‎ (A)36个 (B)24个 ‎(C)18个 (D)6个 ‎(4)平面的斜线交于点,过定点的动直线与垂直,且交于点,则动点的轨迹是 ‎ (A)一条直线 (B)一个圆 ‎(C)一个椭圆 (D)双曲线的一支 ‎(5)已知是上的减函数,那么的取值范围是 ‎ (A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎(6)在下列四个函数中,满足性质:“对于区间上的任意,恒成立”的只有 ‎ (A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(7)设,则等于 ‎ (A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口的机动车辆数如图所示,图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则20,30;35,30;55,50 ‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ 绝密★启用前 ‎2006年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)(北京卷)‎ 第Ⅱ卷(共110分)‎ 注意事项:‎ 1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ 二、 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在题中横线上。‎ ‎(9)的值等于__________________.‎ ‎(10)在的展开式中,的系数中__________________(用数字作答).‎ ‎(11)若三点共线,则的值等于_________________.‎ ‎(12)在中,若,则的大小是______________.‎ ‎(13)已知点的坐标满足条件,点为坐标原点,那么的最小值等于_______,最大值等于____________.‎ ‎(14)已知三点在球心为,半径为的球面上,,且,那么两点的球面距离为_______________,球心到平面的距离为______________.‎ 三、 解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎(15)(本小题共12分)‎ ‎ 已知函数,‎ ‎ (Ⅰ)求的定义域;‎ ‎ (Ⅱ)设是第四象限的角,且,求的值.‎ ‎(16)(本小题共13分)‎ ‎ 已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,,如图所示.求:‎ ‎(Ⅰ)的值;‎ ‎(Ⅱ)的值.‎ ‎(17)(本小题共14分)‎ ‎ 如图,在底面为平行四边表的四棱锥中,,平面,且,点是的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面;‎ ‎(Ⅲ)求二面角的大小.‎ ‎(18)(本小题共13分)‎ ‎ 某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.‎ ‎ 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;‎ ‎ 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.‎ ‎ 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.‎ ‎ (Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;‎ ‎ (Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)‎ ‎(19)(本小题共14分)‎ ‎ 已知点,动点满足条件.记动点的轨迹为.‎ ‎ (Ⅰ)求的方程;‎ ‎ (Ⅱ)若是上的不同两点,是坐标原点,求的最小值.‎ ‎(20)(本小题共14分)‎ ‎ 在数列中,若是正整数,且,则称为“绝对差数列”.‎ ‎(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);‎ ‎(Ⅱ)若“绝对差数列”中,,数列满足,,分别判断当时,与的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;‎ ‎(Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.‎ ‎2006年高考理科数学参考答案(北京卷)‎ 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)‎ ‎(1)D      (2)C     (3)B     (4)A ‎(5)C      (6)A     (7)D     (8)C 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎(9)         (10)-14‎ ‎(1)          (12)‎ ‎(13)       (14) ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分)‎ ‎(15)(共12分)‎ 解:(Ⅰ)由cosx≠0得 故f(x)的定义域为 ‎(Ⅱ)因为,且a是第四象限的角。‎ 所以,‎ 故 ‎    ‎ ‎(16)(共13分)‎ 解法一:‎ ‎(Ⅰ)由图象可知,在(-∞,1)上,在(1,2)上,‎ 在(2,+∞)上 故在(-∞,1),(2,+∞)上递增,在(1,2)上递减。‎ 因此在x=1处取得极大值,所以。‎ ‎(Ⅱ)‎ 由 得 解得a=2,b= -9,c=12‎ 解法二:‎ ‎(Ⅰ)同解法一。‎ ‎(Ⅱ)设 又 所以 由 即 得m=6‎ 所以a=2,b= -9,c=12‎ ‎(17)(共14分)‎ 解法一:‎ ‎(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD ‎∴AB是PB在平面ABCD上的射影 又∵AB⊥AC,AC平面ABCD,‎ ‎∴AC⊥PB ‎(Ⅱ)连接BD,与AC相交于O,连接EO。‎ ‎∵ABCD是平等四边形,‎ ‎∴O是BD的中点,‎ 又E是PD的中点,‎ ‎∴EO∥PB 又PB平面AEC,EO平面AEC,‎ ‎∴PB∥平面AEC。‎ ‎(Ⅲ)取BC中点G,连接OG,则点G的坐标为 又 ‎∴‎ ‎∴OE⊥AC,OG⊥AC ‎∴∠EOG是二面角E-AC-B的平面角。‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴二面角的大小为 ‎(18)(共13分)‎ 解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,‎ 则 ‎(Ⅰ)应聘者用方案一考试通过的概率 应聘者用方案二考试通过的概率 ‎(Ⅱ)因为所以 即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大。‎ ‎(19)(共14分)‎ 解法一:‎ ‎(Ⅰ)由知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长 又半焦距c=2,故虚半轴长 所以W的方程为 ‎(Ⅱ)设A,B的坐标分别为(),()‎ 当 当AB与x 轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m,与W的方程联立,消去y得:‎ 故 所以 ‎ ‎ 又因为 综上,当取得最小值2。‎ 解法二:‎ ‎(Ⅰ)同解法一。‎ ‎(Ⅱ)设A,B的坐标分别为,则 令 则,所以 当且仅当时,“=”成立 所以的最小值是2。‎ ‎(20)(共14分)‎ ‎(Ⅰ)解:‎ ‎(答案不惟一)‎ ‎(Ⅱ)解:因为绝对差数列,所以自第20项开始,该数列是。‎ 即自第20项开始,每三个相邻的项周期地取值3,0,3,所以当时,an的极限不存在。‎ 当 ‎(Ⅲ)证明:根据定义,数列必在有限项后出现零项,证明如下:‎ 假设中没有零项,由于,所以对于任意的n,都有,从而当 ‎;‎ 当 即的值要么比至少小1,那么比至少小1。‎ 令 则 由于c1是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项c1<0,这与cn>0(n=1,2,3,…)矛盾,从而必有零项。‎ 若第一次出现的零项为第n项,记,则自第n项开始,每三个相邻的项周期地取值0,A,A即 所以绝对差数列中有无穷多个零的项。‎
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