2020届四川省泸县第二中学高三上学期期末考数学（文）试题

2020届四川省泸县第二中学高三上学期期末考数学（文）试题

2019 年秋四川省泸县第一中学高三期末考试 文科数学试题 第 I 卷(选择题 共 60 分） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合 题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．已知集合 ，则 A． B． C． D． 2．“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．小张刚参加工作时月工资为 元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼，目前 月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少 元，则目前小张的 月工资为 A． B． C． D． 4．在 中， 为线段 上一点，且 ，则 A． B． C． D． 5．函数 的图象大致为 A． B． C． D． 6．已知平面向量 、 ，满足 ，若 ，则向量 、 的夹角为 A． B． C． D． 7．已知角 的终边经过点 ，则 { } { }2 2| 1 , | log 0A x x B x x= < = < A B = ( ),1−∞ ( )0,1 ( )1,0− ( )1,1− ( )2log 2 3 1x − < 3 2x > 5000 200 5500 6000 6500 7000 ABC∆ D BC 2BD CD= AD = 3 1 4 4AD AB AC= +   1 3 4 4AD AB AC= +   2 1 3 3AD AB AC= +   1 2 3 3AD AB AC= +   2 lny x x= + a b | | | | 1a b= = (2 ) 0− ⋅ =a b b a b 30° 45° 60° 120° α ( )1, 3P − sin 2α = A． B． C． D． 8．已知双曲线 的离心率为 ，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为 A． B． C． D． 9．数列 中，已知 且 则 A．19 B．21 C．99 D．101 10．将函数 的图像向右平移 个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，则下列说法正确的是 A．函数 的最大值为 B．函数 的最小正周期为 C．函数 的图象关于直线 对称 D．函数 在区间 上单调递增 11．已知函数 和 都是定义在 上的偶函数，当 时， ，则 A． B． C． D． 12．已知函数 ，若 ， 都大于 0，且 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为______． 14．若向量 ( ，1)， (1，﹣3 )，则 在 方向上的投影为_____． 15．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以 锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁 中， 尺， 为 的中点， ， 寸，则圆柱底面的直径长是_________寸”．（注： 3 2 3 2 − 1 2 − 3 4 − ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 5 2 2 2 14 x y− = 2 2 120 5 x y− = 22 112 3 yx − = 2 2 18 x y− = { }na 1 2,a = 1 2 1n na a n+ = + + ， 10a = ( ) 2sin 2 6f x x π = +   6 π 2 ( )g x ( )g x 3 1+ ( )g x π ( )g x 3x π= ( )g x 2,6 3 π π     ( )f x ( 2)f x + R [0,2]x∈ ( ) 2xf x = 2019 2f  − =   2 2 2 3 2 2 2 ln( ) xf x x = 1x 2x 1 2x x e+ < 1 2 1 1+ x x (1, )+∞ ( , )e +∞ ,2 e +∞   (2, )+∞ 0 2 6 3 6 x y x y ≤ + ≤  ≤ − ≤ 2z x y= − a = 3 b = 3 b a 1AB = D AB AB CD⊥ 1CD = l 尺=10 寸） 16．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 交于 ， 两点， ，线段 的 中点为 ，过点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，则 的最小值为____． 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17 ~ 21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.） 17．（12 分）某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分 10 分的选做题，学生可以从 A，B 两道题目 中任选一题作答.某校有 900 名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作 为下一步教学的参考依据，计划从 900 名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为 10 的样本，为此将 900 名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为 001~900. （I）若采用系统抽样法抽样，从编号为 001~090 的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为 025，求样本 中所有成绩编号之和； （II）若采用分层抽样，按照学生选择 A 题目或 B 题目，将成绩分为两层.已知该校高三学生有 540 人选做 A 题目，有 360 人选做 B 题目，选取的样本中，A 题目的成绩平均数为 5，方差为 2，B 题目的成绩平均数为 5.5，方差为 0.25. （i）用样本估计该校这 900 名考生选做题得分的平均数与方差； （ii）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A 题目成绩的中位数和 B 题目成绩的中位数都是 5.5.从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率. 18．（12 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 a，∠D＝60°，点 H 为 DC 边中点，现以线段 AH 为折痕将△DAH 折 起使得点 D 到达点 P 的位置且平面 PHA⊥平面 ABCH，点 E，F 分别为 AB，AP 的中点. （1）求证：平面 PBC∥平面 EFH； （II）若三棱锥 P﹣EFH 的体积等于 ，求 a 的值. ( )2: 2 0C y px p= > F l C A B AF BF⊥ AB M M C N AB MN 3 12 19．（12 分） 设数列 满足 ． （I）求 的通项公式； （II）求数列 的前 项和 ． 20．（12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，椭圆的离心率为 ，过 椭圆 的左焦点 ，且斜率为 1 的直线 ，与以右焦点 为圆心，半径为 的圆 相切. （I）求椭圆 的标准方程； （II）线段 是椭圆 过右焦点 的弦，且 ，求 的面积的最大值以及取最大值时 实数 的值. 21．（12 分）已知函数 . （I）讨论函数 的单调性； （II）当 时，设函数 有最小值 ，求 的值域. （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ）．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 的直角坐标方程； { }na 1 2 32 3 ... 2 (n N*)n na a a na⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∈ { }na 12 2n na + +     n nS 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1F 2F 1 2 1C 1F l 2F 2 2C 1C MN 1C 2F 2 2MF F Nλ=  1MF N∆ λ 2( ) ( 0)4 xx af x e ax ++= ⋅ ≥+ ( )f x [0,1)b∈ 2 2 ( 3)( ) ( 2)( 2) xe b xg x xx + − += > −+ ( )h b ( )h b xOy l 1 cos2 sin x t y t α α  = +  = t 0 α π< < x C 2 2cos sin θρ θ= C （II）设直线 与曲线 相交于 两点，若 ，求 值． 23．已知函数 ， . （I）求函数 的值域 ； （II）若函数 的值域为 ，且 ，求实数 的取值范围. l C ,A B 8AB = α ( ) | 2 1| | 3|f x x x= − + + ( ) | 1| | |g x a a x= − − ( )f x M ( )g x N M N ≠ ∅ a 2019 年秋四川省泸县第二中学高三期末考试 文科数学试题参考答案 1．B 2．A 3．A 4．D 5．A 6．C 7．B 8．C 9．D 10．D 11．B 12．A 13．10 14． 15．26 16． 17．解（1）由题易知,若按照系统抽样的方法,抽出的编号可以组成以 25 为首项,以 90 为公差的等差数列, 故样本编号之和即为该数列的前 10 项之和, 所以 . （2）（i）由题易知,若按照分层抽样的方法,抽出的样本中 A 题目的成绩有 6 个,按分值降序分别记为 , ,…, ；B 题目的成绩有 4 个,按分值降序分别记为 , , , . 记样本的平均数为 ,样本的方差为 .由题意可知, , , 所以,估计该校 900 名考生选做题得分的平均数为 5.2,方差为 1.36. （ii）本选做题阅卷分值都为整数,且选取的样本中,A 题目成绩的中位数和 B 题目成绩的中位数都是 5.5, 易知样本中 A 题目的成绩大于样本平均值的成绩有 3 个,分别为 , , ,B 题目的成绩大于样本平均值的 成绩有 2 个,分别为 , . 从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种 10 方法,为： , , , , , , , , , , 其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有 6 种,为： , , , , , , 记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据,取到的两个成绩来自不同题目”为事件 , 3− 2 10 10 910 25 90 43002S ×= × + × = 1x 2x 6x 1y 2y 3y 4y x 2s ( ) ( )1 2 6 1 2 3 4 10 x x x y y y yx + +⋅⋅⋅+ + + + += 5 6 5.5 4 5.210 × + ×= = ( ) ( ) ( ) ( )22 2 25.2 5 0.2 5 2 0.2 5 0.2i i i ix x x x− = − − = − − × − +   1,2, ,6i = ⋅⋅⋅ ( ) ( ) ( ) ( )22 2 25.2 5.5 0.3 5.5 2 0.3 5.5 0.3i i i iy y y y− = − + = − + × − +   1,2, ,4i = ⋅⋅⋅ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 1 2 6 1 42 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 10 x x x y ys − + − +⋅⋅⋅+ − + − +⋅⋅⋅+ −= 2 22 6 0 0.2 6 0.25 4 0 0.3 4 13.6 1.3610 10 × − + × + × + + ×= = = 1x 2x 3x 1y 2y ( )1 2,x x ( )1 3,x x ( )2 3,x x ( )1 2,y y ( )1 1,x y ( )2 1,x y ( )3 1,x y ( )1 2,x y ( )2 2,x y ( )3 2,x y ( )1 1,x y ( )2 1,x y ( )3 1,x y ( )1 2,x y ( )2 2,x y ( )3 2,x y A 所以 . 18．（1）（1）证明：菱形 ABCD 中，∵E，H 分别为 AB，CD 的中点，∴BE∥CH，BE＝CH， ∴四边形 BCHE 为平行四边形，则 BC∥EH，又 EH⊄平面 PBC，∴EH∥平面 PBC， 又点 E，F 分别为 AB，AP 的中点，则 EF∥BP，又 EF⊄平面 PBC，∴EF∥平面 PBC， 由 EF∩EH＝E，∴平面 EFH∥平面 PBC； （2）在菱形 ABCD 中，∠D＝60°，则△ACD 为正三角形， ∴AH⊥CD，AH ，DH＝PH＝CH ， 折叠后，PH⊥AH，又平面 PHA⊥平面 ABCH，平面 PHA∩平面 ABCH＝AH，从而 PH⊥平面 ABCH． 在△PAE 中，点 F 为 AP 的中点，则 S△PEF＝S△AEF，∴VH－PEF＝VH－AEF， 而 VH－PEF+VH－AEF＝VH－PAE， ∴ ， ∴a3＝8，即 a＝2．故 a＝2． 19．（1）由 n＝1 得 ，因为 ， 当 n≥2 时， ， 由两式作商得： （n＞1 且 n∈N*）， 又因为 符合上式，所以 （n∈N*）． （2）设 ， 则 bn＝n＋n·2n， 所以 Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1＋2＋…＋n）＋ 设 Tn＝2＋2·22＋3·23＋…+（n－1）·2n－1＋n·2n，① 所以 2Tn＝22＋2·23＋…（n－2）·2n－1＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，② ①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1， 所以 Tn＝（n－1）·2n＋1＋2． ( ) 6 3 10 5P A = = 3 2 a= 1 2 a= 1 1 1 1 2 2 2 3P EFH H PEF H PAE P AEH AEHV V V V S h− − − −= = = = ⋅ ⋅  31 1 1 1 3 1 3 3 2 3 2 2 2 2 96 12a a a a= × × × × × = = 1a = 2 ( )1 2 32 3 ... 2 n N *n na a a na⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∈ ( ) ( )1 1 2 3 12 3 ... 1 2 n 2n na a a n a − −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = ≥ 2 na n = 1a = 2 2 na n = 12 2n n n b a ++= 2 3 12 2 2 3 2 ( 1)2 2n nn n− + ⋅ + ⋅ + + − + ⋅  所以 ， 即 ． 20．（1）设 ， ， 则直线 的方程为： ，即 . ∵直线 与圆 相切，∴圆心 到直线 的距离为 ，解之得 . ∵椭圆 的离心率为 ，即 ，所以 ，所以 ， ∴椭圆 的方程为 . （2）由（1）得 ， ， 由题意得直线 的斜率不为 0，故设直线 的方程为： ， 代入椭圆方程 化简可得 ， 恒成立， 设 ， ，则 ， 是上述方程的两个不等根， ∴ ， . ∴ 的面积 设 ，则 ， ，则 ， . 令 ，则 恒成立， 则函数 在 上为减函数，故 的最大值为 ， 所以 的面积的最大值为 ，当且仅当 ，即 时取最大值， 此时直线 的方程为 ，即直线 垂直于 轴，此时 ，即 . ( )1 2n n n nS T += + ( ) ( )1 11 2 22 n n n nS n + += − ⋅ + + 1( ,0)F c− 2 ( ,0)( 0)F c c > l y x c= + 0x y c− + = l 2C 2F l | | 2 2 c cd += = 1c = 1C 1 2 1 1 2a = 2a = 2 2 2 4 1 3b a c= − = − = 1C 2 2 14 3 x y+ = 1( 1,0)F − 2 (1,0)F MN MN 1( )x ty t= + ∈R 2 2 14 3 x y+ = ( )2 24 3 6 9 0t y ty+ + − = ( )2 236 36 4 3 0t t∆ = + + > ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1y 2y 1 2 2 6 4 3 ty y t −+ = + 1 2 2 9 4 3y y t −= + 1MF N 1 1 2 1 2 1 2MF NS F F y y∆ = ⋅ ⋅ − = 1 2 1 2 1 22 y y y y× × − = − ( )2 1 2 1 24y y y y= + − = 2 2 2 2 2 6 9 12 144 3 4 3 4 3 t t t t t − − +   − ⋅ =   + + +    2 1t m+ = 1m ≥ 2 2 1t m= − 2 23 4 3 1t m+ = + 1 212 3 1MF N mS m = × + 2( ) ( 1)3 1 mf m mm = ≥+ ( ) 2 22 1 3( ) 0 3 1 mf m m ′ −= < + ( )f m [1, )+∞ ( )f m 1(1) 4f = 1MF N 112 34 × = 1m = 0t = MN 1x = MN x 2 2MF F N=  1λ = 21．解：（1） 定义域为 ， . 令 ，① ， 当 时， ， ， 即 且不恒为零，故 单调递增区间为 ， ， 当 时， ，方程①两根为 ， ， 由于 ， .故 ， 因此当 时， ， 单调递增， ， ， 单调递减， ， ， 单调递减， ， ， 单调递增， 综上，当 时， 在 单调递增， 单调递增， 当 时， 在 单调递增， ， 单调递减； 在 单调递增. （2） ， 设 ， ( )f x ( , 4) ( 4, )−∞ − − +∞ )(xf ′ 2 2 4 ( 4) 4 x a x ae x x +  − += + + +  2 2 2 (4 ) 3 4 ( 4) x x a x ae x + + + + += ⋅ + 2 (4 ) 3 4 0x a x a+ + + + = 2 2(4 ) 4(3 4) 4a a a a∆ = + − + = − 1° 0 4a≤ ≤ 0∆ ≤ 2 (4 ) 3 4 0x a x a+ + + + ≥ '( ) 0f x ≥ ( )f x ( , 4)−∞ − ( 4, )− +∞ 2° 4a > ∆ > 0 2 1 4 4 2 a a ax − − − −= 2 2 4 4 2 a a ax − − + −= 2 1 4 4( 4) 02 a a ax − − −− − = < 2 2 4 4( 4) 02 a a ax − + −− − = > 1 24x x< − < 1( , )x x∈ −∞ '( ) 0f x > ( )f x 1( , 4)x x∈ − '( ) 0f x < ( )f x 2( 4, )x x∈ − '( ) 0f x < ( )f x 2( , )x x∈ +∞ '( ) 0f x > ( )f x 0 4a≤ ≤ ( )f x ( , 4)−∞ − ( 4, )− +∞ 4a > ( )f x 24 4( , )2 a a a− − − −−∞ 24 4( , 4)2 a a a− − − − − 24 4( 4, )2 a a a− − + −− 24 4( , )2 a a a− − + − +∞ 2 3 ( 4)'( ) ( 2) xxe b xg x x + + += + 2 3 ( 4) 4 ( 2) xxx e bx x + + ⋅ + + = + 2( ) ( 2)4 xxk x e b xx += + > −+ 由（1）知， 时， 在 单调递增， 由于 ， ， 故在 存在唯一 ，使 ， ， 又当 ， ，即 ， 单调递减， ， ，即 ， 单调递增， 故 时， ， . 又设 ， ， ， 故 单调递增，故 ， 即 ，即 . 22．（1）由 ，得 ，即 （2）将直线 的参数方程代入曲线 的方程得： 设 是方程的根，则： ， ∴ ，又 或 0a = 2( ) 4 xxf x ex += + ( 2, )− +∞ (0) 0k b= ≥ ( 2) 1 0k b− = − + < ( 2,0]− 0x 0( ) 0k x = 0 20 0 4 xxb ex +− = + 0( 2, )x x∈ − ( ) 0k x < '( ) 0g x < ( )g x 0( , )x x∈ +∞ ( ) 0k x > '( ) 0g x > ( )g x ( 2, )x∈ − +∞ ( ) ( ) 0 2 0 0 2 0 3( ) 2 xe bx bh b g x x + − −= = + ( ) ( ) 0 02 20 0 0 2 0 34 2 x xxe e xx x + ++ ++= + 0 2 0 4 xe x + = + 0 ( 2,0]x ∈ − 2 ( ) 4 xem x x + = + ( 2,0]x∈ − 2 2 2 2 2 ( 4) ( 3)'( ) 0( 4) ( 4) x x xe x e e xm x x x + + ++ − += = >+ + ( )m x ( ) ( ( 2), (0)]m x m m∈ − 21( ) ,2 4 em x  ∈   21( ) ,2 4 eh b  ∈   2 2cos sin θρ θ= 2sin 2cosρ θ θ= 2 2sin 2 cosρ θ ρ θ∴ = 2 2y x= l C 2 2sin 2 cos 1 0t tα α− − = ( )2 22cos 4sin 4 0α α∆ = − + = > 1 2,t t 1 2 2 2cos sint t α α+ = 1 2 2 1 sint t α= − ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 4 2 2 4cos 4 24 8sin sin sinAB t t t t t t α α α α= − = + − = + = = 2 1sin 4 α∴ = 0 α π< < 1sin 2 α∴ = 6 πα∴ = 5 6 π 23．（1）函数 可化简为 可得当 时， . 当 时， . 当 时， .故 的值域 . （2）当 时， ， ， ，所以 不符合题意. 当 时，因为 ，所以函数 的值域 ， 若 ，则 ，解得 或 ，从而 符合题意. 当 时，因为 ，所以函数 的值域 ， 此时一定满足 ，从而 符合题意.综上，实数 的取值范围为 . ( )f x 3 2, 3 1( ) 4, 3 2 13 2, 2 x x f x x x x x  − − ≤ − = − + − < ≤   + > 3x ≤ − ( ) 3 2 7f x x= − − ≥ 13 2x− < ≤ 7( ) 4 ,72f x x  = − + ∈   1 2x > 7( ) 3 2 2f x x= + > ( )f x 7 ,2M  = +∞  0a = ( ) 1g x = {1}N = M N∩ = ∅ 0a = 0a > 0x ≥ ( )g x ( ,| 1|]N a= −∞ − M N∩ = ∅ 7| 1| 2a − ≥ 5 2a ≤ − 9 2a ≥ 9 2a ≥ 0a < 0x ≥ ( )g x [| 1|, )N a= − +∞ M N∩ = ∅ 0a < a 9( ,0) ,2  −∞ ∪ +∞ 