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文档介绍
高考数学中的放缩技巧
高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求的值; (2)求证:. 解析:(1)因为,所以 (2)因为,所以 奇巧积累:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (11) (12) (13) (14) (15) (15) 例2.(1)求证: (2)求证: (3)求证: (4) 求证: 解析:(1)因为,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易经过裂项得到 再证而由均值不等式知道这是显然成立的,所以 例3.求证: 解析:一方面:因为,所以 另一方面: 当时,,当时,, 当时,,所以综上有 例4.(2008年全国一卷) 设函数.数列满足..设,整数.证明:. 解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则 ,否则若,则由知 ,,因为, 于是 例5.已知,求证: . 解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证,即等价于 ,即等价于 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知,,求证:. 解析: 所以 从而 例7.已知,,求证: 证明: ,因为 ,所以 所以 二、函数放缩 例8.求证:. 解析:先构造函数有,从而 因为 所以 例9.求证:(1) 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式: , 例10.求证: 解析:提示: 函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数, 首先:,从而, 取有,, 所以有,,…,,,相加后可以得到: 另一方面,从而有 取有,, 所以有,所以综上有 例11.求证:和. 解析:构造函数后即可证明 例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:(加强命题) 例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以 例14. 已知证明. 解析: , 然后两边取自然对数,可以得到 然后运用和裂项可以得到答案) 放缩思路: 。于是, 即 注:题目所给条件()为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论来放缩: , 即 例15.(2008年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立. (I)求证:函数上是增函数; (II)当; (III)已知不等式时恒成立, 求证: 解析:(I),所以函数上是增函数 (II)因为上是增函数,所以 两式相加后可以得到 (3) …… 相加后可以得到: 所以 令,有 所以 (方法二) 所以 又,所以 例16.(2008年福州市质检)已知函数若 解析:设函数 ∴函数)上单调递增,在上单调递减. ∴的最小值为,即总有 而 即 令则 三、分式放缩 姐妹不等式:和 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:和 也可以表示成为 和 解析: 利用假分数的一个性质可得 即 例20.证明: 解析: 运用两次次分式放缩: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有 四、分类放缩 例21.求证: 解析: 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线(≥0)上的点列满足,直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,. (1)证明>>4,; (2)证明有,使得对都有<. 解析:(1) 依题设有:,由得: ,又直线在轴上的截距为满足 显然,对于,有 (2)证明:设,则 设,则当时, 。 所以,取,对都有: 故有<成立。 例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数,若的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].若数列满足,记数列的前项和为,问是否存在正常数A,使得对于任意正整数都有?并证明你的结论。 解析:首先求出,∵ ∴,∵,,… ,故当时,, 因此,对任何常数A,设是不小于A的最小正整数, 则当时,必有. 故不存在常数A使对所有的正整数恒成立. 例24.(2008年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设, 当时,求证:. 解析:容易得到,所以,要证只要证,因为 ,所以原命题得证. 五、迭代放缩 例25. 已知,求证:当时, 解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论 例26. 设,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k-Sn|< 解析: 又 所以 六、借助数列递推关系 例27.求证: 解析: 设则 ,从而 ,相加后就可以得到 所以 例28. 求证: 解析: 设则 ,从而 ,相加后就可以得到 例29. 若,求证: 解析: 所以就有 七、分类讨论 例30.已知数列的前项和满足证明:对任意的整数 ,有 解析:容易得到, 由于通项中含有,很难直接放缩,考虑分项讨论: 当且为奇数时 (减项放缩),于是 ①当且为偶数时 ②当且为奇数时(添项放缩)由①知由①②得证。 八、线性规划型放缩 例31. 设函数.若对一切,,求的最大值。 解析:由知 即 由此再由的单调性可以知道的最小值为,最大值为 因此对一切,的充要条件是, 即,满足约束条件, 由线性规划得,的最大值为5. 九、均值不等式放缩 例32.设求证 解析: 此数列的通项为 ,, 即 注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式,若放成则得,就放过“度”了! ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里 其中,等的各式及其变式公式均可供选用。 例33.已知函数,若,且在[0,1]上的最小值为,求证: 解析: 例34.已知为正数,且,试证:对每一个,. 解析: 由得,又,故,而, 令,则=,因为,倒序相加得=, 而, 则=,所以,即对每一个,. 例35.求证 解析: 不等式左=, 原结论成立. 例36.已知,求证: 解析: 经过倒序相乘,就可以得到 例37.已知,求证: 解析: 其中:,因为 所以 从而,所以. 例38.若,求证:. 解析: 因为当时,,所以,所以,当且仅当时取到等号. 所以 所以所以 例39.已知,求证:. 解析:. 例40.已知函数f(x)=x2-(-1)k·2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时, 求证: [f’(x)]n-2n-1·f’(xn)≥2n(2n-2). 解析: 由已知得, (1)当n=1时,左式=右式=0.∴不等式成立. (2), 左式= 令 由倒序相加法得: , 所以 所以综上,当k是奇数,时,命题成立 例41. (2007年东北三校)已知函数 (1)求函数的最小值,并求最小值小于0时的取值范围; (2)令求证: ★例42. (2008年江西高考试题)已知函数,.对任意正数,证明:. 解析:对任意给定的,,由, 若令 ,则 ① ,而 ② (一)、先证;因为,,, 又由 ,得 . 所以 . (二)、再证;由①、②式中关于的对称性,不妨设.则 (ⅰ)、当,则,所以,因为 , ,此时. (ⅱ)、当③,由①得 ,,, 因为 所以 ④ 同理得⑤ ,于是 ⑥ 今证明 ⑦, 因为 , 只要证 ,即 ,也即 ,据③,此为显然. 因此⑦得证.故由⑥得 . 综上所述,对任何正数,皆有. 例43.求证: 解析:一方面: (法二) 另一方面: 十、二项放缩 ,, 例44. 已知证明 解析: , 即 例45.设,求证:数列单调递增且 解析: 引入一个结论:若则(证略) 整理上式得() 以代入()式得 即单调递增。 以代入()式得 此式对一切正整数都成立,即对一切偶数有,又因为数列单调递增,所以对一切正整数有。 注:①上述不等式可加强为简证如下: 利用二项展开式进行部分放缩: 只取前两项有对通项作如下放缩: 故有 ②上述数列的极限存在,为无理数;同时是下述试题的背景: 已知是正整数,且(1)证明;(2)证明(01年全国卷理科第20题) 简析 对第(2)问:用代替得数列是递减数列;借鉴此结论可有如下简捷证法:数列递减,且故即。 当然,本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见文[1]。 例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证: 解析: 因为a+b=1,a>0,b>0,可认为成等差数列,设, 从而 例47.设,求证. 解析: 观察的结构,注意到,展开得 , 即,得证. 例48.求证:. 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!) 例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数,满足: ①对任意,都有; ②对任意都有. (I)试证明:为上的单调增函数; (II)求; (III)令,试证明:. 解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为,所以可以得到, 也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为上的单调增函数. (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了! 由(1)可知,令,则可以得到 ,又,所以由不等式可以得到,又 ,所以可以得到 ① 接下来要运用迭代的思想: 因为,所以,, ② ,,, 在此比较有技巧的方法就是: ,所以可以判断 ③ 当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论. 所以,综合①②③有= (3)在解决的通项公式时也会遇到困难. ,所以数列的方程为,从而, 一方面,另一方面 所以,所以,综上有 . 例49. 已知函数f(x)的定义域为[0,1],且满足下列条件: ① 对于任意[0,1],总有,且; ② 若则有 (Ⅰ)求f(0)的值; (Ⅱ)求证:f(x)≤4; (Ⅲ)当时,试证明:. 解析: (Ⅰ)解:令, 由①对于任意[0,1],总有, ∴ 又由②得即 ∴ (Ⅱ)解:任取且设 则 因为,所以,即 ∴. ∴当[0,1]时,. (Ⅲ)证明:先用数学归纳法证明: (1) 当n=1时,,不等式成立; (2) 假设当n=k时, 由 得 即当n=k+1时,不等式成立 由(1)、(2)可知,不等式对一切正整数都成立. 于是,当时,, 而[0,1],单调递增 ∴ 所以, 例50. 已知: 求证: 解析:构造对偶式:令 则 = 又 ( 十一、积分放缩 利用定积分的保号性比大小 保号性是指,定义在上的可积函数,则. 例51.求证:. 解析: ,∵, 时,,, ∴,. 利用定积分估计和式的上下界 定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积,现在用它来估计小矩形的面积和. 例52. 求证:,. 解析: 考虑函数在区间上的定积分. 如图,显然-① 对求和, . 例53. 已知.求证:. 解析:考虑函数在区间上的定积分. ∵-② ∴. 例54. (2003年全国高考江苏卷)设,如图,已知直线及曲线:,上的点的横坐标为().从上的点作直线平行于轴,交直线于点,再从点作直线平行于轴,交曲线于点.的横坐标构成数列. (Ⅰ)试求与的关系,并求的通项公式; (Ⅱ)当时,证明; (Ⅲ)当时,证明. 解析:(过程略). 证明(II):由知,∵,∴. ∵当时,, ∴. 证明(Ⅲ):由知. ∴恰表示阴影部分面积, 显然 ④ ∴. 奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如: ①; ②; ③; ④. 十二、部分放缩(尾式放缩) 例55.求证: 解析: 例56. 设求证: 解析: 又(只将其中一个变成,进行部分放缩),, 于是 例57.设数列满足,当时证明对所有 有; 解析: 用数学归纳法:当时显然成立,假设当时成立即,则当时 ,成立。 利用上述部分放缩的结论来放缩通项,可得 注:上述证明用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩:;证明就直接使用了部分放缩的结论 十三、三角不等式的放缩 例58.求证:. 解析:(i)当时, (ii)当时,构造单位圆,如图所示: 因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积 所以可以得到 当时 所以当时有 (iii)当时, ,由(ii)可知: 所以综上有 十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强 对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明,只要证明,其中通过寻找分析,归纳完成. 例59.求证:对一切,都有. 解析: 从而 当然本题还可以使用其他方法,如: 所以. (ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双向加强 有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真” ,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为: 欲证明,只要证明:. 例60.已知数列满足:,求证: 解析: ,从而,所以有 ,所以 又,所以,所以有 所以 所以综上有 引申:已知数列满足:,求证: . 解析:由上可知,又,所以 从而 又当时,,所以综上有. 同题引申: (2008年浙江高考试题)已知数列,,,. 记,.求证:当时. (1); (2); ★(3). 解析:(1),猜想,下面用数学归纳法证明: (i)当时,,结论成立; (ii)假设当时,,则时, 从而,所以 所以综上有,故 (2)因为则,,…, ,相加后可以得到: ,所以 ,所以 (3)因为,从而,有,所以有 ,从而 ,所以 ,所以 所以综上有. 例61.(2008年陕西省高考试题)已知数列的首项,,. (1)证明:对任意的,,; (2)证明:. 解析:(1)依题,容易得到,要证,,, 即证 即证,设所以即证明 从而,即,这是显然成立的. 所以综上有对任意的,, (法二) ,原不等式成立. (2)由(1)知,对任意的,有 . 取, 则. 原不等式成立. 十四、经典题目方法探究 探究1.(2008年福建省高考)已知函数.若在区间上的最小值为,令.求证:. 证明:首先:可以得到.先证明 (方法一) 所以 (方法二)因为,相乘得: ,从而. (方法三)设A=,B=,因为A1, 求 a的取值范围. 解析:函数f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为. (ⅰ) 当0< a≤2时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时a满足要求. (ⅱ) 当a>2时, f (x) 在区间 (-,)为减函数, 故在区间(0, ) 内任取一点, 比如取, 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时a不满足要求. (ⅲ) 当a≤0时, 对于任意x∈(0, 1) 恒有 ≥, 这时a满足要求. 综上可知, 所求 a的取值范围为 a≤2.查看更多