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文档介绍
高考数学中的放缩技巧
高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求的值; (2)求证:. 解析:(1)因为,所以 (2)因为,所以 奇巧积累:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (11) (12) (13) (14) (15) (15) 例2.(1)求证: (2)求证: (3)求证: (4) 求证： 解析:(1)因为,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易经过裂项得到 再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以 例3.求证: 解析:一方面:因为,所以 另一方面: 当时,,当时,, 当时,,所以综上有 例4.(2008年全国一卷) 设函数.数列满足..设，整数.证明:. 解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则 ,否则若,则由知 ,,因为, 于是 例5.已知,求证: . 解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证,即等价于 ,即等价于 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知,,求证:. 解析: 所以 从而 例7.已知,,求证: 证明: ,因为 ,所以 所以 二、函数放缩 例8.求证：. 解析:先构造函数有,从而 因为 所以 例9.求证:(1) 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式: , 例10.求证: 解析:提示: 函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数, 首先:,从而, 取有,, 所以有,,…,,,相加后可以得到: 另一方面,从而有 取有,, 所以有,所以综上有 例11.求证:和. 解析:构造函数后即可证明 例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:(加强命题) 例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以 例14. 已知证明. 解析: , 然后两边取自然对数,可以得到 然后运用和裂项可以得到答案) 放缩思路： 。于是， 即 注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ， 即 例15.(2008年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立. (I)求证：函数上是增函数； (II)当； (III)已知不等式时恒成立， 求证： 解析:(I),所以函数上是增函数 (II)因为上是增函数,所以 两式相加后可以得到 (3) …… 相加后可以得到: 所以 令,有 所以 (方法二) 所以 又,所以 例16.(2008年福州市质检)已知函数若 解析:设函数 ∴函数）上单调递增，在上单调递减. ∴的最小值为，即总有 而 即 令则 三、分式放缩 姐妹不等式:和 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:和 也可以表示成为 和 解析: 利用假分数的一个性质可得 即 例20.证明: 解析: 运用两次次分式放缩: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有 四、分类放缩 例21.求证: 解析: 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,. (1)证明>>4，; (2)证明有，使得对都有<. 解析:(1) 依题设有：，由得： ,又直线在轴上的截距为满足 显然，对于，有 (2)证明：设，则 设，则当时， 。 所以，取，对都有： 故有<成立。 例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。 解析:首先求出,∵ ∴,∵,,… ,故当时,, 因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数， 则当时,必有. 故不存在常数A使对所有的正整数恒成立. 例24.(2008年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设, 当时,求证:. 解析:容易得到,所以,要证只要证,因为 ,所以原命题得证. 五、迭代放缩 例25. 已知,求证:当时, 解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论 例26. 设,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|< 解析: 又 所以 六、借助数列递推关系 例27.求证: 解析: 设则 ,从而 ,相加后就可以得到 所以 例28. 求证: 解析: 设则 ,从而 ,相加后就可以得到 例29. 若,求证: 解析: 所以就有 七、分类讨论 例30.已知数列的前项和满足证明：对任意的整数 ，有 解析:容易得到, 由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论： 当且为奇数时 （减项放缩），于是 ①当且为偶数时 ②当且为奇数时（添项放缩）由①知由①②得证。 八、线性规划型放缩 例31. 设函数.若对一切，，求的最大值。 解析:由知 即 由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为 因此对一切，的充要条件是， 即，满足约束条件， 由线性规划得，的最大值为5． 九、均值不等式放缩 例32.设求证 解析: 此数列的通项为 ，， 即 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中，等的各式及其变式公式均可供选用。 例33.已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证： 解析: 例34.已知为正数，且，试证：对每一个，. 解析: 由得，又，故，而， 令，则=，因为，倒序相加得=， 而， 则=，所以，即对每一个，. 例35.求证 解析: 不等式左=， 原结论成立. 例36.已知,求证: 解析: 经过倒序相乘,就可以得到 例37.已知,求证: 解析: 其中:,因为 所以 从而,所以. 例38.若,求证:. 解析: 因为当时,,所以,所以,当且仅当时取到等号. 所以 所以所以 例39.已知,求证:. 解析:. 例40.已知函数f(x)=x2－(－1)k·2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时, 求证: [f’(x)]n－2n－1·f’(xn)≥2n(2n－2). 解析: 由已知得， (1)当n=1时，左式=右式=0.∴不等式成立. (2), 左式= 令 由倒序相加法得： ， 所以 所以综上，当k是奇数，时，命题成立 例41. （2007年东北三校）已知函数 （1）求函数的最小值，并求最小值小于0时的取值范围； （2）令求证： ★例42. (2008年江西高考试题)已知函数,.对任意正数,证明：． 解析:对任意给定的,,由, 若令 ，则 ① ,而 ② （一）、先证；因为，，， 又由 ，得 ． 所以 ． （二）、再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则 （ⅰ）、当，则，所以，因为 ， ，此时． （ⅱ）、当③，由①得 ,，， 因为 所以 ④ 同理得⑤ ，于是 ⑥ 今证明 ⑦, 因为 ， 只要证 ，即 ，也即 ，据③，此为显然． 因此⑦得证．故由⑥得 ． 综上所述，对任何正数，皆有． 例43.求证: 解析:一方面: (法二) 另一方面: 十、二项放缩 ,, 例44. 已知证明 解析: ， 即 例45.设，求证：数列单调递增且 解析: 引入一个结论：若则（证略） 整理上式得（） 以代入（）式得 即单调递增。 以代入（）式得 此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。 注：①上述不等式可加强为简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩： 只取前两项有对通项作如下放缩： 故有 ②上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景： 已知是正整数，且（1）证明；（2）证明（01年全国卷理科第20题） 简析 对第（2）问：用代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列递减，且故即。 当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文[1]。 例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证： 解析: 因为a+b=1,a>0,b>0,可认为成等差数列，设， 从而 例47.设，求证. 解析: 观察的结构，注意到，展开得 ， 即，得证. 例48.求证:. 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!) 例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数，满足： ①对任意，都有； ②对任意都有. （I）试证明：为上的单调增函数； （II）求； （III）令，试证明：. 解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为,所以可以得到, 也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为上的单调增函数. (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了! 由(1)可知,令,则可以得到 ,又,所以由不等式可以得到,又 ,所以可以得到 ① 接下来要运用迭代的思想: 因为,所以,, ② ,,, 在此比较有技巧的方法就是: ,所以可以判断 ③ 当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论. 所以,综合①②③有= (3)在解决的通项公式时也会遇到困难. ,所以数列的方程为,从而, 一方面,另一方面 所以,所以,综上有 . 例49. 已知函数f(x)的定义域为[0,1]，且满足下列条件： ① 对于任意[0,1]，总有，且； ② 若则有 （Ⅰ）求f(0)的值； （Ⅱ）求证：f(x)≤4； （Ⅲ）当时，试证明：. 解析: （Ⅰ）解：令， 由①对于任意[0,1]，总有， ∴ 又由②得即 ∴ （Ⅱ）解：任取且设 则 因为，所以，即 ∴. ∴当[0,1]时，. （Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明： （1） 当n=1时，，不等式成立； （2） 假设当n=k时， 由 得 即当n=k+1时，不等式成立 由（1）、（2）可知，不等式对一切正整数都成立. 于是，当时，， 而[0,1]，单调递增 ∴ 所以， 例50. 已知： 求证： 解析:构造对偶式：令 则 ＝ 又 （ 十一、积分放缩 利用定积分的保号性比大小 保号性是指，定义在上的可积函数，则. 例51.求证：. 解析: ，∵， 时，，， ∴，. 利用定积分估计和式的上下界 定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和. 例52. 求证：，. 解析: 考虑函数在区间上的定积分. 如图，显然-① 对求和， . 例53. 已知.求证：. 解析:考虑函数在区间上的定积分. ∵-② ∴. 例54. （2003年全国高考江苏卷）设，如图，已知直线及曲线：，上的点的横坐标为（）.从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的横坐标构成数列. （Ⅰ）试求与的关系，并求的通项公式； （Ⅱ）当时，证明； （Ⅲ）当时，证明. 解析:（过程略）. 证明（II）：由知，∵，∴. ∵当时，， ∴. 证明（Ⅲ）：由知. ∴恰表示阴影部分面积， 显然 ④ ∴. 奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如： ①； ②； ③； ④. 十二、部分放缩(尾式放缩) 例55.求证: 解析: 例56. 设求证： 解析: 又（只将其中一个变成，进行部分放缩），， 于是 例57.设数列满足，当时证明对所有 有； 解析: 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时 ，成立。 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论 十三、三角不等式的放缩 例58.求证:. 解析:(i)当时, (ii)当时,构造单位圆,如图所示: 因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积 所以可以得到 当时 所以当时有 (iii)当时, ,由(ii)可知: 所以综上有 十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强 对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明,只要证明,其中通过寻找分析,归纳完成. 例59.求证:对一切,都有. 解析: 从而 当然本题还可以使用其他方法,如: 所以. (ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双向加强 有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真” ,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为: 欲证明,只要证明:. 例60.已知数列满足:,求证: 解析: ,从而,所以有 ,所以 又,所以,所以有 所以 所以综上有 引申:已知数列满足:,求证: . 解析:由上可知,又,所以 从而 又当时,,所以综上有. 同题引申: (2008年浙江高考试题)已知数列,,,. 记,.求证:当时. (1); (2); ★(3). 解析:(1),猜想,下面用数学归纳法证明: (i)当时,,结论成立; (ii)假设当时,,则时, 从而,所以 所以综上有,故 (2)因为则,,…, ,相加后可以得到: ,所以 ,所以 (3)因为,从而,有,所以有 ,从而 ,所以 ,所以 所以综上有. 例61.(2008年陕西省高考试题)已知数列的首项,,． (1)证明:对任意的,,; (2)证明:. 解析:(1)依题,容易得到,要证,,, 即证 即证,设所以即证明 从而,即,这是显然成立的. 所以综上有对任意的,, (法二) ,原不等式成立． (2)由(1)知，对任意的，有 ． 取， 则． 原不等式成立． 十四、经典题目方法探究 探究1.(2008年福建省高考)已知函数.若在区间上的最小值为,令.求证:. 证明:首先:可以得到.先证明 (方法一) 所以 (方法二)因为,相乘得: ,从而. (方法三)设A=,B=,因为A查看更多