2020高中数学 第一章函数的极值与导数

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2020高中数学 第一章函数的极值与导数

‎1.3.2 ‎函数的极值与导数 学习目标:1.了解极大值、极小值的概念.(难点)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.(重点、易混点)3.会用导数求函数的极大值、极小值.(重点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1.极值点与极值 ‎(1)极小值点与极小值 若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,就把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.‎ ‎(2)极大值点与极大值 若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,就把点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.‎ ‎(3)极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值.‎ 思考:导数为0的点一定是极值点吗?‎ ‎[提示]不一定,如f(x)=x3,f′(0)=0, 但x=0不是f(x)=x3的极值点.所以,当f′(x0)=0时,要判断x=x0是否为f(x)的极值点,还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反.‎ ‎2.求可导函数y=f(x)的极值的方法 解方程f′(x)=0.当f′(x0)=0时:‎ ‎(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;‎ ‎(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1.思考辨析 ‎(1)函数f(x)在(a,b)内一定存在极值点.(  )‎ ‎(2)函数的极大值一定大于极小值.(  )‎ ‎(3)在可导函数的极值点处,切线与x轴平行或重合.(  )‎ ‎(4)函数f(x)=有极值.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×‎ ‎2.函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如图138所示,则函数f(x)(  )‎ 9‎ 图138‎ A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点 C [设y=f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1,x2,x3,x4,则f(x)在x=x1,x=x3处取得极大值,在x=x2,x=x4处取得极小值.]‎ ‎3.函数f(x)=-的极值点为(  )‎ ‎ 【导学号:31062047】‎ A.0    B.-1‎ C.0或1 D.1‎ D [∵f′(x)=x3-x2=x2(x-1)‎ 由f′(x)=0得x=0或x=1.‎ 又当x>1时f′(x)>0,‎ ‎0<x<1时f′(x)<0,‎ ‎∴1是f(x)的极小值点.‎ 又x<0时f′(x)<0,‎ 故x=0不是函数的极值点.]‎ ‎4.若可导函数f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则f′(1)=________,1是函数f(x)的________值.‎ ‎[解析] 由题意可知,当x<1时,f′(x)>0,当x>1时,f′(x)<0,‎ ‎∴f′(1)=0,1是函数f(x)的极大值.‎ ‎[答案] 0 极大 ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 求函数的极值点和极值 角度1 不含参数的函数求极值 ‎ 求下列函数的极值 ‎(1)y=x3-3x2-9x+5;‎ ‎(2)y=x3(x-5)2.‎ ‎[解] (1)∵y′=3x2-6x-9,‎ 令y′=0,即3x2-6x-9=0,解得x1=-1,x2=3.‎ 当x变化时,y′,y的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,-1)‎ ‎-1‎ ‎(-1,3)‎ ‎3‎ ‎(3,+∞)‎ 9‎ y′‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ y 极大值 极小值 ‎∴当x=-1时,函数y=f(x)有极大值,且f(-1)=10;‎ 当x=3时,函数y=f(x)有极小值,且f(3)=-22.‎ ‎(2)y′=3x2(x-5)2+2x3(x-5)‎ ‎=5x2(x-3)(x-5),令y′=0,‎ 即5x2(x-3)(x-5)=0,解得x1=0,x2=3,x3=5.当x变化时,y′与y的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,0)‎ ‎0‎ ‎(0,3)‎ ‎3‎ ‎(3,5)‎ ‎5‎ ‎(5,+∞)‎ y′‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ y 无极值 极大值108‎ 极小值0‎ ‎∴x=0不是y的极值点;‎ x=3是y的极大值点,y极大值=f(3)=108;‎ x=5是y的极小值点,y极小值=f(5)=0.‎ 角度2 含参数的函数求极值 ‎ 已知函数f(x)=(x2+ax-‎2a2+‎3a)ex(x∈R),当a∈R且a≠时,求函数的极值. ‎ ‎【导学号:31062048】‎ ‎[思路探究]  ―→ ‎[解] f′(x)=[x2+(a+2)x-‎2a2+‎4a]ex.‎ 令f′(x)=0,解得x=-‎2a或x=a-2.‎ 由a≠知,-‎2a≠a-2.‎ 以下分两种情况讨论:‎ 若a>,则-‎2a<a-2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,-‎2a)‎ ‎-‎‎2a ‎(-‎2a,a-2)‎ a-2‎ ‎(a-2,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 极大值 极小值 ‎∴f(x)在(-∞,-‎2a) ,(a-2,+∞)内是增函数,在(-‎2a,a-2)内是减函数.‎ ‎∴函数f(x)在x=-‎2a处取得极大值f(-‎2a),且f(-‎2a)=3ae-‎2a;‎ 函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-‎3a)ea-2.‎ 9‎ 若a<,则-‎2a>a-2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,a-2)‎ a-2‎ ‎(a-2,-‎2a)‎ ‎-‎‎2a ‎(-‎2a,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 极大值 极小值 ‎∴f(x)在(-∞,a-2),(-‎2a,+∞)内是增函数,在(a-2,-‎2a)内是减函数.‎ ‎∴函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-‎3a)ea-2;‎ 函数f(x)在x=-‎2a处取得极小值f(-‎2a),‎ 且f(-‎2a)=3ae-‎2a.‎ ‎[规律方法] 求可导函数f(x)的极值的步骤为:‎ (1)求函数的定义域;‎ (2)求函数的导数f′(x);‎ (3)令f′(x)=0,求出全部的根x0;‎ (4)列表:方程的根x0将整个定义域分成若干个区间,把x,f′(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内;‎ (5)判断得结论:若导数在x0附近左正右负,则在x0处取得极大值;若左负右正,则取得极小值.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.若函数f(x)=x-aln x(a∈R),求函数f(x)的极值.‎ ‎[解] 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-=.‎ ‎(1)当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值.‎ ‎(2)当a>0时,令f′(x)=0,解得x=a.‎ 当0<x<a时,f′(x)<0;‎ 当x>a时,f′(x)>0.‎ ‎∴f(x)在x=a处取得极小值,且f(a)=a-ln a,无极大值.‎ 综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值;‎ 当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.‎ 由极值求参数的值或取值范围 ‎ (1)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a=________,b=________.‎ ‎(2)已知函数f(x)=x3-(m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数),在区间(1,+∞)内有两个极值点,求实数m的取值范围. 【导学号:31062049】‎ 9‎ ‎[思路探究]  (1)由f′(1)=0及f(1)=10求a,b,注意检验极值的存在条件;‎ ‎(2)f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,等价于f′(x)=0在(1,+∞)内有两个不等实根.‎ ‎[解] (1)f′(x)=3x2+2ax+b,‎ 依题意得即 解得或 但由于当a=-3,b=3时,f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)在R上单调递增,不可能在x=1处取得极值,所以,不符合题意,应舍去.‎ 而当时,经检验知符合题意,故a,b的值分别为4,-11.‎ ‎(2)f′(x)=x2-(m+3)x+m+6.‎ 因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,‎ 所以f′(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示.‎ 所以 解得m>3.故实数m的取值范围是(3,+∞).‎ ‎[规律方法] 已知函数极值的情况,逆向应用确定函数的解析式时,应注意以下两点: (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解;‎ (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2.若x=2是函数f(x)=x(x-m)2的极大值点,求函数f(x)的极大值. ‎ ‎【导学号:31062050】‎ ‎[解] ∵f′(x)=(x-m)(3x-m),且f′(2)=0‎ ‎∴(m-2)(m-6)=0,即m=2或m=6.‎ ‎(1)当m=2时,f′(x)=(x-2)(3x-2),‎ 由f′(x)>0得x<或x>2;‎ 由f′(x)<0得<x<2.‎ ‎∴x=2是f(x)的极小值点,不合题意,故m=2舍去.‎ ‎(2)当m=6时,f′(x)=(x-6)(3x-6),‎ 由f′(x)>0得x<2或x>6;‎ 由f′(x)<0得2<x<6.‎ ‎∴x=2是f(x)的极大值,∴f(2)=2×(2-6)2=32.‎ 9‎ 即函数f(x)的极大值为32.‎ 极值问题的综合应用 ‎[探究问题]‎ ‎1.如何画出函数f(x)=2x3-3x2-36x+16的大致图象.‎ 提示:f′(x)=6x2-6x-36=6(x2-x-6)=6(x-3)(x+2).‎ 由f′(x)>0得x<-2或x>3,‎ ‎∴函数f(x)的递增区间是(-∞,-2)和(3,+∞).‎ 由f′(x)<0得-2<x<3,‎ ‎∴函数f(x)的递减区间是(-2,3).‎ 由已知得f(-2)=60,f(3)=-65,f(0)=16.‎ ‎∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一).‎ ‎2.当a变化时,方程2x3-3x2-36x +16=a有几解?‎ 提示:方程2x3-3x2-36x+16=a解的个数问题可转化为函数y=a与y=2x3-3x2-36x+16的图象有几个交点的问题,结合探究点1可知:‎ ‎(1)当a>60或a<-65时, 方程2x3-3x2-36x+16=a有且只有一解;‎ ‎(2)当a=60或a=-65时,方程2x3-3x2-36x+16=a有两解;‎ ‎(3)当-65<a<60时,方程2x3-3x2-36x+16=a三解.‎ ‎ 已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数),若方程f(x)=0有三个不同实根,求实数a的取值范围.‎ ‎[思路探究] 求出函数的极值,要使f(x)=0有三个不同实根,则应有极大值大于0,极小值小于0,由此可得a的取值范围.‎ ‎[解] 令f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,‎ 解得x1=-1,x2=1.‎ 当x<-1时,f′(x)>0;‎ 当-11时,f′(x)>0.‎ 所以当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=2+a;‎ 当x=1时,f(x)有极小值f(1)=-2+a.‎ 9‎ 因为方程f(x)=0有三个不同实根,‎ 所以y=f(x)的图象与x轴有三个交点,如图.‎ 由已知应有 解得-20,‎ ‎∴当x=1时,函数有极小值,极小值为f(1)=1.‎ 9‎ ‎(2)∵函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),且y′=,令y′=0,得x1=-1,x2=2,‎ ‎∴当x变化时,y′,y的变化情况如表:‎ x ‎(-∞,-1)‎ ‎-1‎ ‎(-1,1)‎ ‎(1,2)‎ ‎2‎ ‎(2,+∞)‎ y′‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎+‎ y 单调递 增 ‎- 单调递 减 单调递 增 ‎3‎ 单调递 增 故当x=-1时,y有极大值-.‎ 9‎
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