2020高中数学 第一章函数的极值与导数

2020高中数学 第一章函数的极值与导数

‎1.3.2　‎函数的极值与导数 学习目标：1.了解极大值、极小值的概念．(难点)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(重点、易混点)3.会用导数求函数的极大值、极小值．(重点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．极值点与极值 ‎(1)极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．‎ ‎(2)极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．‎ ‎(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．‎ 思考：导数为0的点一定是极值点吗？‎ ‎[提示]不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0, 但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．‎ ‎2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：‎ ‎(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；‎ ‎(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)函数f(x)在(a，b)内一定存在极值点．(　　)‎ ‎(2)函数的极大值一定大于极小值．(　　)‎ ‎(3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．(　　)‎ ‎(4)函数f(x)＝有极值．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图138所示，则函数f(x)(　　)‎ 9‎ 图138‎ A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 C　[设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]‎ ‎3．函数f(x)＝－的极值点为(　　)‎ ‎ 【导学号：31062047】‎ A．0　　　 B．－1‎ C．0或1 D．1‎ D　[∵f′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)‎ 由f′(x)＝0得x＝0或x＝1.‎ 又当x＞1时f′(x)＞0，‎ ‎0＜x＜1时f′(x)＜0，‎ ‎∴1是f(x)的极小值点．‎ 又x＜0时f′(x)＜0，‎ 故x＝0不是函数的极值点．]‎ ‎4．若可导函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f′(1)＝________，1是函数f(x)的________值．‎ ‎[解析]　由题意可知，当x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，‎ ‎∴f′(1)＝0,1是函数f(x)的极大值．‎ ‎[答案]　0　极大 ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 求函数的极值点和极值 角度1　不含参数的函数求极值 ‎　求下列函数的极值 ‎(1)y＝x3－3x2－9x＋5；‎ ‎(2)y＝x3(x－5)2.‎ ‎[解]　(1)∵y′＝3x2－6x－9，‎ 令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.‎ 当x变化时，y′，y的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1,3)‎ ‎3‎ ‎(3，＋∞)‎ 9‎ y′‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ y 极大值 极小值 ‎∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；‎ 当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.‎ ‎(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)‎ ‎＝5x2(x－3)(x－5)，令y′＝0，‎ 即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，0)‎ ‎0‎ ‎(0,3)‎ ‎3‎ ‎(3,5)‎ ‎5‎ ‎(5，＋∞)‎ y′‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ y 无极值 极大值108‎ 极小值0‎ ‎∴x＝0不是y的极值点；‎ x＝3是y的极大值点，y极大值＝f(3)＝108；‎ x＝5是y的极小值点，y极小值＝f(5)＝0.‎ 角度2　含参数的函数求极值 ‎　已知函数f(x)＝(x2＋ax－‎2a2＋‎3a)ex(x∈R)，当a∈R且a≠时，求函数的极值. ‎ ‎【导学号：31062048】‎ ‎[思路探究]　 ―→ ‎[解]　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－‎2a2＋‎4a]ex.‎ 令f′(x)＝0，解得x＝－‎2a或x＝a－2.‎ 由a≠知，－‎2a≠a－2.‎ 以下分两种情况讨论：‎ 若a＞，则－‎2a＜a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－‎2a)‎ ‎－‎‎2a ‎(－‎2a，a－2)‎ a－2‎ ‎(a－2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 极大值 极小值 ‎∴f(x)在(－∞，－‎2a) ，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－‎2a，a－2)内是减函数．‎ ‎∴函数f(x)在x＝－‎2a处取得极大值f(－‎2a)，且f(－‎2a)＝3ae－‎2a；‎ 函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－‎3a)ea－2.‎ 9‎ 若a＜，则－‎2a＞a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，a－2)‎ a－2‎ ‎(a－2，－‎2a)‎ ‎－‎‎2a ‎(－‎2a，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 极大值 极小值 ‎∴f(x)在(－∞，a－2)，(－‎2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－‎2a)内是减函数．‎ ‎∴函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－‎3a)ea－2；‎ 函数f(x)在x＝－‎2a处取得极小值f(－‎2a)，‎ 且f(－‎2a)＝3ae－‎2a.‎ ‎[规律方法]　求可导函数f(x)的极值的步骤为：‎ (1)求函数的定义域；‎ (2)求函数的导数f′(x)；‎ (3)令f′(x)＝0，求出全部的根x0；‎ (4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内；‎ (5)判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．若函数f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函数f(x)的极值．‎ ‎[解]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝.‎ ‎(1)当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值．‎ ‎(2)当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝a.‎ 当0＜x＜a时，f′(x)＜0；‎ 当x＞a时，f′(x)＞0.‎ ‎∴f(x)在x＝a处取得极小值，且f(a)＝a－ln a，无极大值．‎ 综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值；‎ 当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.‎ 由极值求参数的值或取值范围 ‎　(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围. 【导学号：31062049】‎ 9‎ ‎[思路探究]　 (1)由f′(1)＝0及f(1)＝10求a，b，注意检验极值的存在条件；‎ ‎(2)f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，等价于f′(x)＝0在(1，＋∞)内有两个不等实根．‎ ‎[解]　(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，‎ 依题意得即 解得或 但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以，不符合题意，应舍去．‎ 而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.‎ ‎(2)f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.‎ 因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，‎ 所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．‎ 所以 解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．‎ ‎[规律方法]　已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；‎ (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，求函数f(x)的极大值. ‎ ‎【导学号：31062050】‎ ‎[解]　∵f′(x)＝(x－m)(3x－m)，且f′(2)＝0‎ ‎∴(m－2)(m－6)＝0，即m＝2或m＝6.‎ ‎(1)当m＝2时，f′(x)＝(x－2)(3x－2)，‎ 由f′(x)＞0得x＜或x＞2；‎ 由f′(x)＜0得＜x＜2.‎ ‎∴x＝2是f(x)的极小值点，不合题意，故m＝2舍去．‎ ‎(2)当m＝6时，f′(x)＝(x－6)(3x－6)，‎ 由f′(x)＞0得x＜2或x＞6；‎ 由f′(x)＜0得2＜x＜6.‎ ‎∴x＝2是f(x)的极大值，∴f(2)＝2×(2－6)2＝32.‎ 9‎ 即函数f(x)的极大值为32.‎ 极值问题的综合应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．如何画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象．‎ 提示：f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)．‎ 由f′(x)＞0得x＜－2或x＞3，‎ ‎∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)．‎ 由f′(x)＜0得－2＜x＜3，‎ ‎∴函数f(x)的递减区间是(－2,3)．‎ 由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16.‎ ‎∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一)．‎ ‎2．当a变化时，方程2x3－3x2－36x ＋16＝a有几解？‎ 提示：方程2x3－3x2－36x＋16＝a解的个数问题可转化为函数y＝a与y＝2x3－3x2－36x＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：‎ ‎(1)当a＞60或a＜－65时， 方程2x3－3x2－36x＋16＝a有且只有一解；‎ ‎(2)当a＝60或a＝－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有两解；‎ ‎(3)当－65＜a＜60时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a三解．‎ ‎　已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．‎ ‎[思路探究]　求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．‎ ‎[解]　令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，‎ 解得x1＝－1，x2＝1.‎ 当x<－1时，f′(x)>0；‎ 当－11时，f′(x)>0.‎ 所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；‎ 当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.‎ 9‎ 因为方程f(x)＝0有三个不同实根，‎ 所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图．‎ 由已知应有 解得－20，‎ ‎∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1.‎ 9‎ ‎(2)∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且y′＝，令y′＝0，得x1＝－1，x2＝2，‎ ‎∴当x变化时，y′，y的变化情况如表：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1,1)‎ ‎(1,2)‎ ‎2‎ ‎(2，＋∞)‎ y′‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎＋‎ y 单调递 增 ‎－ 单调递 减 单调递 增 ‎3‎ 单调递 增 故当x＝－1时，y有极大值－.‎ 9‎