2020高考数学二轮复习 专题五 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质学案
第1讲 函数的图象与性质
[考情考向分析] 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，采用数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．
热点一 函数的性质及应用
1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．
2．奇偶性
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)在公共定义域内：
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；
②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；
③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．
(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(4)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．
3．周期性
定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期T＝|a|.
常见结论：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0.
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(2)若f(x＋a)＝，则函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0.
(3)若f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
例1 (1)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 018的值为( )
A．1 B．2 C．22 018 D．32 018
答案 A
解析 由已知x∈R，f(x)＝
＝＝＋1，
令g(x)＝，易知g(x)为奇函数，
由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，
M＋N＝f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，(M＋N－1)2 018＝1，故选A.
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足：函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝________.
答案 1－e
解析 因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以y＝f(x)的图象关于原点对称，
又定义域为R，所以函数y＝f(x)是奇函数，
因为当x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)，
所以f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋f(0)
＝－f(1)＋f(0)＝－(e1－1)＋(e0－1)＝1－e.
思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．
(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)
0，排除D.
又e>2，∴<，∴e－>，排除C.
故选B.
(2)函数f(x)＝ex＋ae－x与g(x)＝x2＋ax在同一坐标系内的图象不可能是( )
答案 C
解析 因为g(x)＝x2＋ax的图象过原点，所以图象中过原点的抛物线是函数g(x
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)的图象，在选项C中，上面的图象是函数f(x)的图象，下面的是函数g(x)的图象，所以－>0，所以a<0，因为f′(x)＝ex－ae－x，所以f′(x)>0在R上恒成立，所以函数f(x)在定义域内单调递增，不是选项C中的图象，故选C.
思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．
跟踪演练2 (1)函数f(x)＝sin的图象大致为( )
答案 B
解析 由于x≠0，故排除A.
f(－x)＝sin＝－f(x)，
又函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C.
f(2)＝sin＝－sin(ln 3)<0，
排除D，故选B.
(2)函数f(x)＝|x|＋(a∈R)的图象不可能是( )
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答案 C
解析 对于A，当a＝0时，f(x)＝|x|，且x≠0，故可能；对于B，当x>0且a>0时，f(x)＝x＋≥2，当且仅当x＝时等号成立，当x<0且a>0时，f(x)＝－x＋在(－∞，0)上为减函数，故可能；对于D，当x<0且a<0时，f(x)＝－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－时等号成立，当x>0且a<0时，f(x)＝x＋在(0，＋∞)上为增函数，故可能，且C不可能．故选C.
热点三 基本初等函数的图象和性质
1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的公共性质．
2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况．
例3 (1)(2017·全国Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
答案 D
解析 令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z为正数，∴t>1.
则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝>0，∴2x>3y.
又∵2x－5z＝－＝
＝<0，∴2x<5z，
∴3y<2x<5z.故选D.
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(2)已知函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是( )
A. B．(1,2]
C．(1,3) D.
答案 A
解析 由<0，得f(x)是减函数，
即得a∈，故选A.
思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及运算能力．
(2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．
跟踪演练3 (1)(2018·浙江省台州中学模拟)设a＝b＝c＝log3，则a，b，c的大小关系是( )
A．alog3>log3，即>>log3，则a>b>c，故选B.
(2)对任意实数a，b定义运算“Δ”：aΔb＝设f(x)＝3x＋1Δ(1－x)，若函数f(x)与函数g(x)＝x2－6x在区间(m，m＋1)上均为减函数，则实数m的取值范围是( )
A．[－1,2] B．(0,3]
C．[0,2] D．[1,3]
答案 C
解析 由题意得f(x)＝
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，函数g(x)＝(x－3)2－9在(－∞，3]上单调递减，若函数f(x)与g(x)在区间(m，m＋1)上均为减函数，则得0≤m≤2，故选C.
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真题体验
1．(2018·全国Ⅲ改编)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为________．(填序号)
答案 ④
解析 方法一 f′(x)＝－4x3＋2x，则f′(x)>0的解集为∪，此时f(x)单调递增；f′(x)<0的解集为∪，此时f(x)单调递减．
方法二 当x＝1时，y＝2，所以排除①②.当x＝0时，y＝2，而当x＝时，y＝－＋＋2＝2>2，
所以排除③.
2．(2017·天津改编)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为________．
答案 b0,20.8>0,3>0，
且log25.1log25.1>20.8>0，所以c>a>b.
3．(2017·山东改编)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f ＝________.
答案 6
解析 若00，则－x<0.
∴f(－x)＝－2x3＋x2.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x>0)．
∴f(2)＝2×23－22＝12.
方法二 f(2)＝－f(－2)
＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.
押题预测
1．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
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押题依据 指数、对数、幂函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置．
答案 D
解析 方法一 分a>1,01时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；
当01，而此时幂函数g(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．
2．设函数y＝f(x)(x∈R)为偶函数，且∀x∈R，满足f ＝f ，当x∈[2,3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2,0]时，f(x)等于( )
A．|x＋4| B．|2－x|
C．2＋|x＋1| D．3－|x＋1|
押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，考查学生思维的灵活性．
答案 D
解析 由f ＝f ，
可得f(x＋2)＝f(x)，则当x∈[－2，－1]时，
x＋4∈[2,3]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4＝x＋1＋3；
当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，2－x∈[2,3]，
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f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x＝3－x－1，
故选D.
3．已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为( )
押题依据 图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生的灵活变换能力．
答案 B
解析 方法一 由题意得
∴f(x)的定义域为{x|x>－1且x≠0}．
令g(x)＝ln(x＋1)－x，则g′(x)＝－1＝，
当－10；当x>0时，g′(x)<0.
∴f(x)在区间(－1,0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数，对照各选项，只有B符合．
方法二 取特殊值，用排除法求解，
f(2)＝<0，排除A.
f ＝＝<0，
排除C，D，故选B.
4．已知函数h(x)(x≠0)为偶函数，且当x>0时，h(x)＝若h(t)>h(2)，则实数t
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的取值范围为________．
押题依据 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质．
答案 (－2,0)∪(0,2)
解析 因为当x>0时，h(x)＝
所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
因为函数h(x)(x≠0)为偶函数，且h(t)>h(2)，
所以h(|t|)>h(2)，所以0<|t|<2，
所以即
解得－22，因为定义域为[1，t]，所以函数的最小值为f(2)＝－3，函数的最大值为max[f(1)，f(t)]＝max{－2，t2－4t＋1}＝－2.结合函数图象(图略)，得t2－4t＋1≤－2，解得1≤t≤3，所以20，则下列不等式恒成立的是( )
A．b－a<2 B．a＋2b>2
C．b－a>2 D．a＋2b<2
答案 C
解析 由题意得f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数．
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又f(x)＝－＝－＝－1＋，
故函数f(x)在R上单调递减．
∵f(2a＋b)＋f(4－3b)>0，
∴f(2a＋b)>－f(4－3b)＝f(3b－4)，
∴2a＋b<3b－4，∴b－a>2.故选C.
5．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若a＝
b＝f(log35)，c＝f(0.20.5)，则a，b，c的大小关系为( )
A．af>f，
即b0，
∴函数f(x)＝x1－k在(0，＋∞)上单调递增，
∴<<.故选A.
9．(2018·浙江省温州六校协作体联考)设函数f(x)＝则下列结论错误的是( )
A．函数f(x)的值域为R
B．函数f(x)为奇函数
C．函数f(|x|)为偶函数
D．函数f(x)是单调函数
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答案 D
解析 在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象(图略)，由图易得函数f(x)的值域为R，A正确；函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且当x>0时，f(－x)＝－3－(－x)＋2＝－3x＋2＝－f(x)，同理当x<0时，也有f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，B正确；f(|－x|)＝f(|x|)，所以函数f(|x|)为偶函数，C正确；函数f(x)是分段函数，在各个区域内具有单调性，在整个定义域内函数f(x)不是单调函数，D错误，综上所述，故选D.
10．已知定义在R上的函数f(x)满足：①函数f(x)的图象的对称中心为(1,0)，且对称轴为x＝－1；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝则f＝________.
答案 －
解析 由题意作出f(x)的部分图象如图所示，
则f ＝－ ＝－.
11．(2018·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.
答案 －2
解析 ∵f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，
∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝－2.
12．已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2＋x.若不等式f(x)－x≤2logax(a>0且a≠1)对∀x∈恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 由已知得当x>0时，f(x)＝x2＋x，
故x2≤2logax对∀x∈恒成立，
即当x∈时，
函数y＝x2的图象不在y＝2logax图象的上方，
由图(图略)知，00时，g(x)＝0－1＝－1.综上所述，函数g(x)＝＋的值域为{－1,0}，故选B.
15．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)－g(x)＝，若g(x＋5)＋g－2且x≠0且x≠1}
解析 因为f(x)－g(x)＝，
所以 f(－x)－g(－x)＝，
即－ f(x)－g(x)＝，
因此g(x)＝.
因为g(x)＋g ＝＋＝1，
所以由g(x＋5)＋g－2，
结合分母不为零得x的取值范围是
{x|x>－2且x≠0且x≠1}．
16．(2018·天津)已知a∈R，函数f(x)＝若对任意x∈[－3，＋∞)，f(x)≤|x|恒成立，则a的取值范围是________．
答案
解析 如图所示，若对任意x∈[－3，＋∞)，要使函数y＝f(x)的图象恒在y＝|x|图象的下方，
则必有
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且在(0，＋∞)内直线y＝x与y＝－x2＋2x－2a相切或相离，所以x＝－x2＋2x－2a有两个相等实根或无实根，即对于方程x2－x＋2a＝0，
Δ＝(－1)2－4×2a≤0，解得a≥.
由①②得9－6＋a－2≤3且a－2≤0，所以a≤2.
综上，≤a≤2.
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