2020版高中数学 第1章 解三角形1.1.2 余弦定理
1.1.2 余弦定理
1.掌握余弦定理及其推论.(重点)
2.掌握正、余弦定理的综合应用.(难点)
3.能应用余弦定理判断三角形的形状.(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 余弦定理
阅读教材P6中间1.1.2余弦定理～P7第15行，完成下列问题.
1.三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，
即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，
c2＝a2＋b2－2abcos_C.
2.应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题.
(1)已知三边，求三角.
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
1.以下说法正确的有________.(填序号)
①在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；
②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形；
③利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；
④在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例.
【解析】 ①错误.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解.
②正确.余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形.
③正确.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确.
④正确.余弦定理可以看作勾股定理的推广.
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【答案】 ②③④
2.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c＝________.
【解析】 根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝2.
【答案】 2
教材整理2 余弦定理的变形
阅读教材P7例1上面倒数第三自然段～P8，完成下列问题.
1.余弦定理的变形：
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝.
2.利用余弦定理的变形判定角：
在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2
csin 30°＝3×＝知本题有两解.
由正弦定理sin C＝＝＝，
∴∠C＝60°或120°，当∠C＝60°时，∠A＝90°，
由勾股定理a＝＝＝6，
当∠C＝120°时，∠A＝30°，△ABC为等腰三角形，
∴a＝3.
已知三角形的两边与一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以应用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边).
[再练一题]
1.在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，∠C＝60°，求边c.
【导学号：18082003】
【解】 由题意：a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab
＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
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∴c＝.
已知三边解三角形
在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sin C.
【精彩点拨】 (1)如何判断哪个角是最大角？
(2)求sin C能否应用余弦定理？
【自主解答】 ∵a>c>b，
∴∠A为最大角，
由余弦定理的推论，得：
cos A＝＝＝－，
∴∠A＝120°，
∴sin A＝sin 120°＝.
由正弦定理＝，得：
sin C＝＝＝，
∴最大角∠A为120°，sin C＝.
1.本题已知的是三条边，根据大边对大角，找到最大角是解题的关键.
2.已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三角.
[再练一题]
2.在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，求角C.
【解】 ∵c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴a2－c2＋b2＝2abcos C.
∴ab＝2abcos C.
∴cos C＝，∴∠C＝60°.
[探究共研型]
正、余弦定理的综合应用
探究1 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？反之说法正确吗？为什么？
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【提示】 设△ABC的外接圆半径为R.
由正弦定理的变形，将a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C.反之将sin A＝，sin B＝，sin C＝代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确.
探究2 在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则∠C＝成立吗？反之若∠C＝，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？
【提示】 因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cos C＝＝0，即cos C＝0，所以∠C＝，反之若C＝，则cos C＝0，即＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.
在△ABC中，若(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC的形状.
【精彩点拨】
【自主解答】 法一：∵(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，
∴由正、余弦定理可得：
·b＝·a，
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.
∴a2＋b2＝c2或a＝b.
故△ABC为直角三角形或等腰三角形.
法二：根据正弦定理，原等式可化为：
(sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A，
即sin Ccos Bsin B＝sin Ccos Asin A.
∵sin C≠0，∴sin Bcos B＝sin Acos A，
∴sin 2B＝sin 2A.
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∴2∠B＝2∠A或2∠B＋2∠A＝π，
即∠A＝∠B或∠A＋∠B＝.
故△ABC是等腰三角形或直角三角形.
1.判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状.
2.在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.
[再练一题]
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
【导学号：18082004】
(1)求的值；
(2)若cos B＝，△ABC的周长为5，求b的长.
【解】 (1)由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，(其中R为△ABC外接圆半径)
所以＝＝，
所以sin Bcos A－2sin Bcos C＝2sin Ccos B－sin Acos B，
sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Bcos C＋2sin Ccos B，
所以sin(A＋B)＝2sin(B＋C).
又∠A＋∠B＋∠C＝π，所以sin C＝2sin A，
所以＝2.
(2)由(1)知＝2，由正弦定理得＝＝2，
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即c＝2a.
又因为△ABC的周长为5，
所以b＝5－3a.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
即(5－3a)2＝a2＋(2a)2－4a2×，
解得a＝1，a＝5(舍去)，
所以b＝5－3×1＝2.
1.已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足等式(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
【解析】 由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，
∴cos C＝－，∴∠C＝120°.
【答案】 C
2.在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为( )
A. B. C. D.
【解析】 由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cos C＝＝＝，所以∠C＝，故选B.
【答案】 B
3. 在△ABC中，若a＝2bcos C，则△ABC的形状为________.
【解析】 法一：∵a＝2bcos C＝2b·＝.
∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，
∴△ABC为等腰三角形.
法二：∵a＝2bcos C，∴sin A＝2sin Bcos C，
而sinA＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
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∴cos Bsin C＝sin Bcos C，
即sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
∴sin(B－C)＝0.
又－180°<∠B－∠C<180°，
∴∠B－∠C＝0，即∠B＝∠C.
∴△ABC为等腰三角形.
【答案】 等腰三角形
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠B＝∠C,2b＝a，则cos A＝________.
【解析】 由∠B＝∠C,2b＝a，
可得b＝c＝a，
所以cos A＝
＝＝.
【答案】
5.在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长.
【导学号：18082005】
【解】 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0.
∴x1＝，x2＝－2(舍去).
∴cos C＝.
根据余弦定理，
c2＝a2＋b2－2abcos C
＝52＋32－2×5×3×＝16.
∴c＝4，即第三边长为4.
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