2020届陕西省宝鸡市金台区高三教学质量检测数学(文)试题(解析版)

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文档介绍

2020届陕西省宝鸡市金台区高三教学质量检测数学(文)试题(解析版)

‎2020届陕西省宝鸡市金台区高三教学质量检测数学(文)试题 一、单选题 ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据交集定义求解.‎ ‎【详解】‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查交集定义,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎2.设i是虚数单位,复数,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】先化简复数,再根据共轭复数概念得结果.‎ ‎【详解】‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查共轭复数概念,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎3.已知向量,则( )‎ A.1 B.2 C.3 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求,再根据模的坐标表示得结果.‎ ‎【详解】‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查向量的模,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎4.某英语初学者在拼写单词“”时,对后三个字母的记忆有些模糊,他只记得由“”、“”、“”三个字母组成并且“”只可能在最后两个位置,如果他根据已有信息填入上述三个字母,那么他拼写正确的概率为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意列举出满足题意的字母组合,即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 满足题意的字母组合有四种,分别是,,,,拼写正确的组合只有一种,所以概率为. ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概型,熟记概率计算公式即可,属于常考题型.‎ ‎5.从A地到B地有三条路线:1号路线,2号路线,3号路线.小王想自驾从A地到B地,因担心堵车,于是向三位司机咨询,司机甲说:“2号路线不堵车,3号路线不堵车,”司机乙说:“1号路线不堵车,2号路线不堵车,”司机丙说:“1号路线堵车,2号路线不堵车.”如果三位司机只有一位说法是完全正确的,那么小王最应该选择的路线是()‎ A.1号路线 B.2号路线 C.3号路线 D.2号路线或3号路线 ‎【答案】B ‎【解析】分别假设甲、乙、丙说得对,分析出有矛盾的说法,由此得出正确结论.‎ ‎【详解】‎ ‎①若甲说得对,则2号路线,3号路线都不堵,由于乙是错误的,所以1号路线堵车,这样丙也说得对,这与只有一人说法正确矛盾;‎ ‎②若乙说得对,则1号路线,2号路线都不堵,由于甲是错误的,所以3号路线堵车,此时丙也是错误的,符合条件;‎ ‎③若丙说得对,则1号路线堵车,2号路线不堵,由于甲是错误的,所以3号路线堵车,此时乙也是错误的,符合条件综上所述,由于②③中都有2号路线不堵,所以小王最应该选择2号路线.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查逻辑与推理,考查推理论证能力和创新意识,属于基础题.‎ ‎6.设则的大小关系是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由在区间是单调减函数可知,,又,故选.‎ ‎【考点】1.指数函数的性质;2.函数值比较大小.‎ ‎7.下列命题正确的是( ).‎ A.过平面外一点有无数条直线与这个平面垂直 B.过平面外一点有无数个平面与这个平面平行 C.过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直 D.过平面外一点只有一条直线与这个平面平行 ‎【答案】C ‎【解析】根据线面位置关系逐一验证 ‎【详解】‎ 过平面外一点有一条直线与这个平面垂直,所以A错误;‎ 过平面外一点有一个平面与这个平面平行,所以B错误;‎ 过平面外一点有无数条条直线与这个平面平行,所以D错误;‎ 过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直,所以C正确,‎ 选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行与垂直关系判断,考查基本分析论证判断能力,属中档题 ‎8.已知函数的一个零点是,且在内有且只有两个极值点,则( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据正弦函数的单调性,逐项判断函数的单调性,求出极值点,即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ A选项,因为在内为增函数,无极值点;不满足题意;‎ B选项,由得;‎ 由得;‎ 所以函数在上单调递增,在上单调递减;‎ 故在内有一个极值点;不满足题意;‎ C选项,由得;‎ 由得;‎ 所以函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增; ‎ 在内有极大值点,极小值点为,满足题意;‎ D选项,由得;‎ 由得;‎ 所以函数在上单调递增;在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,‎ 所以在内有三个极值点,,,不满足题意.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的性质,熟记正弦函数的性质即可,属于常考题型.‎ ‎9.若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点,则( )‎ A.2 B.3 C.4 D.8‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求抛物线焦点,再根据双曲线焦点列方程,解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为的焦点是,双曲线的焦点是 ‎ 所以 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线焦点以及双曲线焦点,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎10.已知曲线在点处的切线与直线垂直,则实数的值为( )‎ A.-4 B.-1 C. D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求导数得切线斜率,再根据切线方程列等量关系,解得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 因为曲线在点处的切线与直线垂直,‎ 所以 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查导数几何意义,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎11.已知 则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据二倍角正余弦公式化简,再根据平方关系求得结果.‎ ‎【详解】‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角正余弦公式以及同角三角函数关系,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎12.已知、是双曲线的焦点,是双曲线M的一条渐近线,离心率等于 的椭圆E与双曲线M的焦点相同,P是椭圆E与双曲线M的一个公共点,则( )‎ A.8 B.6 C.10 D.12‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用、是双曲线的焦点, 是双曲线的一条渐近线,离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同,求出椭圆的长轴长,再利用椭圆、双曲线的定义,即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 解:由题意, ∴双曲线∴(0,−3),(0,3),‎ ‎∵离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同,∴,‎ ‎∵是椭圆与双曲线的一个公共点,,‎ ‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆、双曲线的定义,考查学生的计算能力,确定椭圆的长轴长是关键.‎ 二、填空题 ‎13.如图,及其内部的点组成的集合记为,为中任意一点,则的最大值为________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】视D为可行域,则根据目标函数所表示直线,结合图形确定最优解,代入求得结果.‎ ‎【详解】‎ D为可行域,则表示直线,当此直线过点A时截距最大,即取最大值:,‎ 故答案为:10‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划求最值,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎14.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数,其中:‎ ‎①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;‎ ‎②至少有一个是奇数和两个都是奇数;‎ ‎③至少有一个是奇数和两个都是偶数;‎ ‎④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.‎ 上述事件中,是对立事件的是________.‎ ‎【答案】③‎ ‎【解析】根据对立事件定义逐一判断选择.‎ ‎【详解】‎ ‎①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数不是互斥事件,也不是对立事件;‎ ‎②至少有一个是奇数和两个都是奇数不是互斥事件,也不是对立事件;‎ ‎③至少有一个是奇数和两个都是偶数是互斥事件,也是对立事件;‎ ‎④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数不是互斥事件,也不是对立事件;‎ 故答案为:③‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对立事件定义,考查基本分析判断能力,属基础题.‎ ‎15.的内角的对边分别为,若的面积为,,,则________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】先根据三角形面积公式求得关系,与联立解得,最后根据余弦定理求结果.‎ ‎【详解】‎ 因为的面积为,所以 故答案为:6‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形面积公式以及余弦定理,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎16.如下图所示,用一个边长为的正方形硬纸板,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将表面积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先确定蛋巢四个小三角形直角顶点所形成平面到球心距离,再加上此平面到底面距离即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意得蛋巢四个小三角形直角顶点围成一个正方形,对角线长为1,‎ 因为表面积为的球半径为1,所以球心到蛋巢四个小三角形直角顶点所形成平面距离为 又小三角形直角顶点到底面距离为,所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球表面积以及球截面,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ 三、解答题 ‎17.如图,四棱柱的所有棱长都相等,,,四边形和四边形均为矩形.‎ ‎(1)证明:底面;‎ ‎(2)设四棱柱的棱长为,若,求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2)‎ ‎【解析】(1)先根据矩形性质得线线垂直,再根据线面垂直判定定理得结果;‎ ‎(2)先确定四棱锥的高,再根据锥体体积公式求结果.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)证明:因为四边形ACC1A1为矩形,所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. ‎ 因为CC1∥DD1,所以CC1⊥BD.‎ 而AC∩BD=O,因此CC1⊥底面ABCD. ‎ 由题设知,O1O∥C1C,故O1O⊥底面ABCD. ‎ ‎(2)由(1)知四边形为正方形,其面积为,‎ 点到平面的距离为, ‎ 故 ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直判定定理以及锥体体积公式,考查基本分析论证与求解能力,属中档题.‎ ‎18.在等差数列中,,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设数列是首项为1,公比为的等比数列,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】(1)根据条件列关于首项与公差的方程,解得结果代入等差数列通项公式得结果;‎ ‎(2)先根据等比数列通项公式得,解得通项公式,再根据分组求和公式得结果.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)设等差数列的公差为,则, ‎ ‎∴. ‎ ‎∴,解得 ‎∴数列的通项公式为;‎ ‎(2)∵数列是首项为1,公比为的等比数列,‎ ‎∴,即. ∴.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式、等比数列通项公式以及分组求和公式,考查综合分析求解能力,属中档题.‎ ‎19.某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题.该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况,随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本,测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在(195,210]内,则为合格品,否则为不合格品.表1是甲流水线样本的频数分布表,图1是乙流水线样本的频率分布直方图 图1:乙流水线样本频率分布直方图 表1:甲流水线样本频数分布表 质量指标值 频数 ‎(190,195]‎ ‎9‎ ‎(195,200]‎ ‎10‎ ‎(200,205]‎ ‎17‎ ‎(205,210]‎ ‎8‎ ‎(210,215]‎ ‎6‎ ‎(1)根据图1,估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数和平均数(估算平均数时,同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);‎ ‎(2)若将频率视为概率,某个月内甲、乙两条流水线均生产了5000件产品,则甲,乙两条流水线分别生产出的不合格品约多少件?‎ ‎【答案】(1)中位数 ,平均数204.5 (2)1500,1000‎ ‎【解析】(1)根据中位数定义列式求解,再根据组中值求平均数;‎ ‎(2)先根据古典概型概率分别求甲、乙不合格品概率,再根据概率估计不合格品件数.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x,‎ 因为0.48=(0.012+0.032+0.052)×5<0.5<(0.012+0.032+0.052+0.076)×5=0.86,‎ 则(0.012+0.032+0.052)×5+0.076×(x-205)=0.5,解得x=. ‎ 平均数估计为:0.012×5×192.5+0.032×5×197.5+0.052×5×202.5+0.076×5×207.5+0.028×5×212.5=204.5 ‎ ‎(2)由甲、乙两条流水线各抽取的50件产品可得,甲流水线生产的不合格品有15件, ‎ 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为 P甲==,‎ 乙流水线生产的产品为不合格品的概率为 P乙=(0.012+0.028)×5=, ‎ 于是,若某个月内甲、乙两条流水线均生产了5000件产品,则甲、乙两条流水线生产的不合格品件数分别约为:5000×=1500,5000× =1000.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据频率分布直方图求中位数、平均数及概率,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎20.已知点在椭圆:上,为坐标原点,直线:的斜率与直线的斜率乘积为 ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)不经过点的直线:(且)与椭圆交于,两点,关于原点的对称点为(与点不重合),直线,与轴分别交于两点,,求证:.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析 ‎【解析】(Ⅰ)根据椭圆的中点弦所在直线的斜率的性质,得到,得到,再结合椭圆所过的点的坐标满足椭圆方程,联立方程组,求得,进而求得椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)将直线方程与椭圆方程联立,消元,利用韦达定理得到两根和与两根积,将证明结果转化为证明直线,的斜率互为相反数,列式,可证.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由题意,,‎ 即① 又②‎ 联立①①解得 所以,椭圆的方程为:.‎ ‎(Ⅱ)设,,,由,‎ 得,‎ 所以,即,‎ 又因为,所以,,‎ ‎,,‎ 解法一:要证明,可转化为证明直线,的斜率互为相反数,只需证明,即证明.‎ ‎ ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∴,∴.‎ 解法二:要证明,可转化为证明直线,与轴交点、连线中点的纵坐标为,即垂直平分即可.‎ 直线与的方程分别为:‎ ‎,,‎ 分别令,得,‎ 而,同解法一,可得 ‎,即垂直平分.‎ 所以,.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关解析几何的问题,涉及到的知识点有椭圆方程的求解,用到的结论有椭圆中点弦所在直线的斜率的特征,再者就是直线与椭圆相交的综合题,认真审题是正确解题的关键,注意正确的等价转化.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)判断函数的奇偶性并求当时函数的单调区间;‎ ‎(2)若关于的方程在范围内有实数解,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 偶函数.递增区间是,递减区间是.(2) ‎ ‎【解析】(1)先求定义域,再根据偶函数定义进行判断;求导数,再求导函数零点,根据零点确定导函数符合即得函数单调区间;‎ ‎(2)先分离变量,转化为求对应函数值域,利用导数研究新函数单调性,确定函数值域,即得结果.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)函数的定义域为且,且,‎ 为偶函数.‎ 当时,.‎ 若,则,递减;‎ 若,则,递增.‎ 得的递增区间是,递减区间是.‎ ‎(2)由,得:.‎ 令.‎ 当,,显然(1).‎ 当时,,为减函数;当时,,为增函数. ‎ 时,(1).‎ 的值域为.‎ 若方程在范围内有实数解,则实数的取值范围是 ‎ .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性、利用导数求函数单调性以及利用导数研究函数有解问题,考查综合分析求解能力,属较难题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为;直线的参数方程为 (为参数),直线与曲线分别交于两点.‎ ‎(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;‎ ‎(2)若点的极坐标为,,求的值.‎ ‎【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为即,直线的普通方程为;(2).‎ ‎【解析】(1)利用代入法消去参数方程中的参数,可得直线的普通方程,极坐标方程两边同乘以利用 即可得曲线的直角坐标方程;(2)直线的参数方程代入圆的直角坐标方程,根据直线参数方程的几何意义,利用韦达定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由,得,‎ 所以曲线的直角坐标方程为,‎ 即, 直线的普通方程为. ‎ ‎(2)将直线的参数方程代入并化简、整理,‎ 得. 因为直线与曲线交于,两点.‎ 所以,解得.‎ 由根与系数的关系,得,. ‎ 因为点的直角坐标为,在直线上.所以, ‎ 解得,此时满足.且,故..‎ ‎【点睛】‎ 参数方程主要通过代入法或者已知恒等式(如等三角恒等式)消去参数化为普通方程,通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程,利用关系式,等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化,这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程,用直角坐标方程解决相应问题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)若时,解不等式;‎ ‎(2)若关于的不等式在上有解,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】试题分析:‎ ‎(1)当时,不等式为,根据分类讨论解不等式即可.(2)由题意可得当时,有解,即上有解,故只需(,由此可得结论.‎ 试题解析:‎ ‎(1)当时,不等式为,‎ 若,则原不等式可化为,所以;‎ 若,则原不等式可化为,所以;‎ 若,则原不等式可化为,所以.‎ 综上不等式的解集为.‎ ‎(2)当时,由,得 即 故,‎ 又由题意知(,‎ 所以.‎ 故实数m的取值范围为.‎
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