2013龙岩1月份质检理数试卷

2013龙岩1月份质检理数试卷

龙岩市2012～2013学年第一学期高三教学质量检查数学（理）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），‎ 全卷满分150分，考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1. 考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卷上.‎ ‎2. 答题要求见答题卷上的“填涂样例”和“注意事项”.‎ 参考公式：‎ 锥体体积公式 球的表面积、体积公式 ‎ ‎ 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 柱体体积公式 ‎ V=Sh ‎ 其中S为底面面积，h为高 ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一. 选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 若，则下列不等式成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知是实数集，，则 A. B. C. D. ‎ ‎3. “”是“直线与直线互相垂直”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 ‎（第5题图）‎ C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4. 已知函数图象相邻两对称轴间的距离为，则的值是 A. B. C. D. ‎ ‎5. 如右图，一个由两个圆锥组合而成的空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1、一个内角为的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎6. 已知函数在处的极小值为，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎7. 已知正的顶点，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎8. 对于不重合的直线和平面，下列命题错误的是 A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则　‎ ‎9. 设、是离心率为的双曲线的左、右两个焦点.若在双曲线左支上存在点，使（为坐标原点)且，则的值为 A. B. C. D.‎ ‎10. 设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立. 如果实数，满足不等式，那么的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二. 填空题：（本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卷的相应位置上）‎ ‎11. .‎ ‎12. 已知向量，，且，则等于 .‎ ‎13. 已知数列的首项为2，数列为等差数列且（）.若,,则 .‎ ‎14. 定义在上的函数满足，‎ 且,‎ 则 .‎ ‎15. 如图放置的长方形，，，、分别 在轴、轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是 . ‎ 三. 解答题（本大题共6小题,共80分,把答案填在答题卷的相应位置上）‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 在中，、、分别是三个内角、、的对边，，，，且的面积为. ‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值. ‎ ‎17.（本小题满分13分）‎ 在多面体中，为正方形,,‎ 平面,平面. ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若点为的中点，求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的大小. ‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 某化工厂计划投入一条新的生产线，但需要经环保部门批准方可投入生产，经测算这条新生产线前个月的生产累计产量为吨，但如果月产量超过124吨，将会给环境造成危害.‎ ‎（Ⅰ）如果该厂不采取环保措施，试问这条新生产线最多只能生产多少个月，才不会对环境造成危害； ‎ ‎（Ⅱ）为了使这条新生产线既能持续生产，同时又不污染环境，每月需要缴纳万元的环保费用于治理环境，已知每吨产品售价为万元，第个月这条生产线的生产成本（环保费除外）为万元，要使每月都有盈利，试求的取值范围.‎ ‎19.（本小题满分13分）‎ 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与椭圆相切，直线与轴交于点，当为何值时的面积有最小值？并求出最小值.‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）已知函数，其图象记为曲线. 曲线在点处的切线的方程为：.‎ ‎（ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（ⅱ）给出命题P：若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，且交于点；曲线在点处的切线交于点，则为定值. 请证明命题P是真命题.‎ ‎（Ⅱ）对于一般的三次函数，请给出类似于(Ⅰ) 中（ⅱ）的正确命题，并予以证明. ‎ ‎21. （本小题满分14分）本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按照所做的前两题记分.‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵 ‎（Ⅰ）求矩阵的逆矩阵； ‎ ‎（Ⅱ）若直线经过矩阵变换后的直线方程为，求直线的方程.‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.若直线与圆相交于,两点，且.‎ ‎（Ⅰ）求圆的直角坐标方程，并求出圆心坐标和半径； ‎ ‎（Ⅱ）求实数的值.‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数，‎ ‎（Ⅰ）已知常数，解关于的不等式； ‎ ‎（Ⅱ）若函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围.‎ 龙岩市2012～2013学年第一学期高三教学质量检查 数学（理）参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 C B B C A C B D A A 二、填空题（本大题共5小题,每小题4分,共20分）‎ ‎11. ； 12. ； 13. ； 14. ； 15. ‎ ‎16. 解：（Ⅰ）， …2分 即的值是 …………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由已知得 ……………………………‎ ‎8分 由余弦定理，得 得 ‎ ‎ ‎ …………………………………………………………11分 ‎,即的值是7.…13分 ‎17．解：（Ⅰ）平面，平面 ‎ 、、、在同一平面内 ‎ 为正方形，,‎ 又,‎ ‎ 平面 …………………4分 ‎（Ⅱ）过作于，‎ 则 ‎ 又,‎ ‎ FGHB为平行四边形 ‎ ，又平面ABCD,HB平面ABCD 平面 …………………8分 ‎（Ⅲ）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，,‎ 设是平面的一个法向量，则 ‎，令，则 ‎∴‎ 又是平面的一个法向量， ……………………11分 设二面角的大小为（为锐角），则 ‎，∴‎ 即二面角的大小为. ………………………………………13分 ‎18. 解：（Ⅰ）设这条新生产线第个月的产量为吨，则 当时，，∴ ……3分 令，则，即，解得 即这条新生产线最多只能生产4个月，才不会造成环境污染. ………………7分 ‎（Ⅱ）由得 ………………………8分 对恒成立 ‎∵‎ 当时，‎ ‎∴所求的取值范围为. ………………………………………13分 ‎19. 解：（Ⅰ）设方程为，抛物线的焦点为，‎ 则.‎ 双曲线的离心率 所以，得 ‎∴椭圆C的方程为. ……………………………………………4分 ‎（Ⅱ）设直线的方程为，由对称性不妨设 由 消得： ……6分 依题意，得： …8分 由，令，得，即 ‎…10分（用表示一样给分）‎ 当且仅当即时取等号. ……………………12分 因为故时，有最小值. ……………………13分 ‎20. 解：（Ⅰ）由题意得：，解得 ‎ 故函数的解析式是 ………………………………3分 ‎（Ⅱ）由已知切线的方程为，即 代入，解得 联立方程组 由②代入①整理得 根据一元二次方程根式与系数得，∴…………………‎ ‎7分 同理可得； ∴，∴‎ ‎∴，即为定值且定值为. ……………………9分 ‎（Ⅲ）类似的正确命题：已知函数，其图象记为曲线. 曲线在点处的切线方程为. 若对于的任意实数,曲线与其在点处的切线交于另一点，交于点；曲线在点处的切线交于点，则为定值且定值为. （说明：切线需过点，且，方能得分） …………11分 事实如下：，切线的方程为，‎ 即 整理得 由一元二次方程根式与系数得，∴‎ 切线的方程为 即代入切线的方程 解得，同理可得 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，即为定值且定值为. ………14分 注：本题第（Ⅱ）问可以把三次函数图象对称中心移至原点，按相应步聚给分.‎ ‎21（1）解：（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）设直线上任意一点经过矩阵变换后变为，则 ‎，即 ……………………………5分 又，则，即直线的方程为 ………7分 ‎（2）解：（Ⅰ）由得，即，‎ 所以圆的圆心坐标为，半径 ………………………………………3分 ‎（Ⅱ）由得直线的普通方程为 …………………5分 由，半径可得圆心到直线的距离为，‎ 解得或 ……………………………………7分 ‎（3）解：（Ⅰ）由得，或 或 故不等式的解集为…………3分 ‎（Ⅱ）∵函数的图象恒在函数图象的上方 ‎∴恒成立，即恒成立 ………………5分 ‎∵，‎ ‎∴的取值范围为. …………………………………………7分