数学理卷·2018届吉林省普通中学高三第二次调研测试

数学理卷·2018届吉林省普通中学高三第二次调研测试

吉林市普通中学2017—2018学年度高中毕业班第二次调研测试 理科数学 本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。‎ ‎2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用‎0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、‎ 笔迹清楚。‎ ‎3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 ‎ 无效。‎ ‎4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 ‎ 纸刀。‎ 一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。‎ ‎1. 已知全集，则图中阴影部分表示的 集合是 ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎2. 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知表示两个不同平面，直线是内一条直线，则“∥” 是“∥”的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4. 已知是公差为的等差数列，前项和为，若，则的值是 ‎ A. 　　 B. C. D. ‎ 是 否 ‎5. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位 ‎ 所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由 ‎ 筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“ ‎ ‎ 李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗,三 ‎ 遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？”，‎ ‎ 右图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输 ‎ 入的值为 ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎6. 已知向量和的夹角为，且， 则等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 有如下四个命题：‎ ‎ ‎ ‎ 若，则 ‎ 其中假命题的是 ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎8. 已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率 ‎ 等于 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 已知函数对任意都满足，则 ‎ 函数的最大值为 ‎ ‎ A．5 B．‎3 ‎ C． D．‎ ‎10．如图所示，在边长为1的正方形组成的网格中，‎ ‎ 画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的 ‎ 体积是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：‎ ‎ ① 当时，；‎ ‎ ② 函数的单调递减区间是；‎ ‎ ③ 对，都有.‎ ‎ 其中正确的命题是 ‎ ‎ A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②‎ 12. ‎ 已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，而且 ‎ （为坐标原点），若与的面积分别为和，则 最小值是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13. 已知实数满足条件, 则的最大值是 ‎ ‎14. 某公司招聘员工，有甲、乙、丙三人应聘并进行面试，结果只有一人被录用，当三人 ‎ 被问到谁被录用时，‎ ‎ 甲说：丙没有被录用；乙说：我被录用；丙说：甲说的是真话. ‎ ‎ 事实证明，三人中只有一人说的是假话，那么被录用的人是 ‎ ‎15. 已知数列中，前项和为，且，则的最大值为 ‎ ‎16. 三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，面，,则三棱锥外接球的表面积是 . ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分） ‎ ‎ 在中，角所对边分别是，满足 ‎ （1）求角；‎ ‎ （2）若，求面积的最大值. ‎ ‎18．（12分） ‎ ‎ 已知各项均为正数的等比数列，前项和为，.‎ ‎ （1）求的通项公式；‎ ‎ （2）设，的前项和为，证明：. ‎ ‎19．（12分） ‎ ‎ 某高中一年级600名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎ （1）从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；‎ ‎ （2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；‎ ‎ （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ ‎20．（12分） ‎ ‎ 四棱锥中，底面为菱形，,为等边三角形 ‎ （1）求证： ;‎ ‎ （2）若，求二面角 的余弦值. ‎ ‎21．（12分） ‎ ‎ 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为，短轴长为，已知是抛物线的焦点. ‎ ‎ （1）求椭圆的方程和抛物线的方程; ‎ ‎ （2）若抛物线的准线上两点关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点，若的面积为，求直线的方程. ‎ ‎22．（12分） ‎ ‎ 已知函数 ‎ （1）求曲线在点处的切线方程; ‎ ‎ （2）令，讨论的单调性并判断有无极值，若有，求出极值. ‎ 吉林市普通中学2017—2018学年度高中毕业班第二次调研测试 理科数学参考答案与评分标准 一、 选择题 l ‎1‎ l ‎2‎ l ‎3‎ l ‎4‎ l ‎5‎ l ‎6‎ l ‎7‎ l ‎8‎ l ‎9‎ l ‎10‎ l ‎11‎ l ‎12‎ l C l A l A l D l C l D l B l C l C l A l B l B 二、填空题 ‎13. 7 ; 14. 甲 ; 15. 2 ; 16. ‎ 三、解答题 ‎17． ‎ 解(1)由已知得: --------------------------------2分 ‎ ‎ ‎ --------------------------------------4分 ‎ ‎ ‎ 因为,所以, ------------------------------------------5分 ‎(2) 由余弦定理得：‎ ‎ ， ------------------------------------------7分 ‎ 当时取等号 ---------------------------------------------------8分 ‎ ‎ ‎ 所以面积的最大值为 ---------------------------------------------------------10分 ‎18．‎ 解（1）设公比为，由题意 ---------------------------------------------------------------1分 ‎， ----------------------------------------------------------------3分 由（2）得：‎ 将（1）代入得： ------------------------------------------5分 代入（1）得：，所以 -------------------------------------------------------------6分 ‎（2） --------------------------------9分 ‎ ------------------------------------------------------12分 ‎19．‎ 解：（1）（0.02+0.04）×10=0.6， 1-0.6=0.4 ‎ ‎ 样本分数小于70的频率为0.4, 所以总体中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计 为0.4 ---------------------------------------------4分 ‎（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为，‎ ‎ 分数在区间内的人数为. -----------------6分 所以总体中分数在区间内的人数估计为. --------------8分 ‎（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，‎ 所以样本中分数不小于70的男生人数为. -------------------------10分 所以样本中的男生人数为，女生人数为，男生和女生人数的比例为.‎ 所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为. ----------12分 ‎20．‎ ‎（1）证明：取AD中点E，连结PE,BE --------------------------------------------------1分 ‎ ABCD为菱形，，为等边三角形 ‎ -------------------------------------------------------------------------------3分 ‎ 为等边三角形， ‎ ‎ ‎ ‎ ----------------4分 ‎(2) 为等边三角形，边长为2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ -------------------------------------------------------------6分 如图，以EA,EB,EP为x,y,z轴建立空间直角坐标系 ‎ --------------------------------7分 ‎ 设平面PCD的法向量为 ‎,‎ ‎ 取，则 ------------------------9分 ‎ 设平面PCB的法向量为 ‎,‎ 取，则 ---------------------------------------------10分 设二面角的平面角为 二面角的余弦值等于0 -------------------------------------------------------------12分 ‎21． ‎ 解（1） -------------------1分 ‎ ‎，所以椭圆方程为 ----------------------------------------------3分 ‎ 所以抛物线方程为 ---------------------------------------------5分 ‎ （2）设直线AP方程为，与直线的方程联立 可得点，‎ 联立AP跟椭圆方程消去x，整理得，‎ 解得，可得， -----------------------------------------7分 由，直线BQ方程，‎ 令y=0，解得，即 --------------------------------------------9分 所以有， --------------------------------10分 整理得, 解得 ---------------------------11分 所以，直线AP的方程为：‎ ‎ -----------12分 ‎22． ‎ 解：（1） ------------2分 ‎ 则切线方程为y=1 ------------------------4分 ‎（2）g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx） g′（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）+ex（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx） =2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）． ------------------------------------6分 令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增． ∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0． --------------------------------7分 当a≤0时，ex﹣a＞0，‎ ‎ ∴x＞0时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）单调递增； x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（﹣∞，0）单调递减． ∴x=0时，函数g（x）取得极小值， ‎ ‎ 无极大值 ------------------------------------------------------------------------------8分 当a＞0时，令g′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）=0．解得x1=lna，x2=0． ①0＜a＜1时，‎ ‎ x∈（﹣∞，lna）时，ex﹣elna＜0，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增； x∈（lna，0）时，ex﹣elna＞0，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减； ‎ ‎ x∈（0，+∞）时，ex﹣elna＞0，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增． ∴当x=0时，函数g（x）取得极小值，． 当x=lna时，函数g（x）取得极大值，‎ ‎ g（lna）=﹣a[ln‎2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]． -------------------9分 ②a=1时，lna=0，x∈R时，g′（x）≥0，‎ ‎ ∴函数g（x）在R上单调递增．无极值 --------------------------------------------------10分 ③a>1时，lna＞0，‎ ‎ x∈（﹣∞，0）时，ex﹣elna＜0，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增； x∈（0，lna）时，ex﹣elna＜0，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减； x∈（lna，+∞）时，ex﹣elna＞0，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增． ∴当x=0时，函数g（x）取得极大值，． 当x=lna时，函数g（x）取得极小值,‎ ‎ g（lna）=﹣a[ln‎2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．------------------------11分 综上所述：‎ 当a≤0时，函数g（x）在（0，+∞）单调递增；在（﹣∞，0）单调递减．‎ ‎ g（x）极小值为﹣1﹣‎2a．无极大值 当0＜a＜1时，‎ ‎ 函数g（x）在（﹣∞，lna），（0，+∞）上单调递增；在（lna，0）上单调递减． ‎ ‎ 极小值g（0）=﹣‎2a﹣1．极大值g（lna）=﹣a[ln‎2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]． 当a=1时，函数g（x）在R上单调递增．无极值 当a＞1时，函数g（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；在（0，lna）上单调递减．‎ ‎ 极大值g（0）=﹣‎2a﹣1．极小值g（lna）=﹣a[ln‎2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]． -----------------------------------------------------------------------12分