甘肃省天水市第一中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题 含解析

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甘肃省天水市第一中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题 含解析

天水一中2019-2020学年度高二级第一学期第一学段考试 数学试题(理科)‎ 一:选择题 ‎1.若与的等差中项为,则(  )‎ A. B. C. D. 不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差中项公式,得出,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,因为与的等差中项为,所以,即,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差中项公式的应用,其中解答中熟记等差中项公式,列出关于的方程是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.‎ ‎2.设是首项为,公差为的等差数列,为其前项和,若成等比数列,则( )‎ A. 8 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为成等比数列,所以,即,解得:,故选D.‎ 试题点睛:本题涉及等差数列的通项公式,等差数列的前n项和公式以及等比中项的概念,是中档题.解决这类问题主要是利用方程思想,根据已知量,求出未知量,本题可将各项表示为首项与公差的形式,利用等差数列n项和公式结合等比中项,建立方程,从而求解.‎ ‎3.在中,若,,,则中最大角的度数为( )‎ A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 比较三边的大小,最大边所对的角C为最大角,再利用余弦定理求解.‎ ‎【详解】由于,所以中的最大角为,所以,所以.‎ ‎【点睛】本题考查三角形边角关系以及余弦定理运用.三角形边与角之间满足:大边对大角,大角对大边;余弦定理在解三角形中常见的两种类型:1、已知三边求角;2、已知两边及夹角解三角形.‎ ‎4.设等差数列的前项和为,若,,则当取得最小值时( )‎ A. 6 B. ‎7 ‎C. 8 D. 9‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据等差数列的通项公式的基本运算求出公差,然后求出,从而根据二次函数的性质求得结果.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为,‎ 因为,所以,解得.‎ 因此,‎ 故当时,取最小值为,‎ 故本题正确答案为A.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式的基本运算,注意熟记公式,认真计算,属基础题.‎ ‎5.已知数列是等差数列,数列分别满足下列各式,其中数列必为等差数列的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每一个选项逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】设数列的公差为d,‎ 选项A,B,C,都不满足同一常数,所以三个选项都是错误的;‎ 对于选项D,,‎ 所以数列必为等差数列.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查等差数列的判定和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.‎ ‎6.已知等差数列的前项和为,若,则( )‎ A. 36 B. ‎72 ‎C. 91 D. 182‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过等差数列的性质可得,从而利用求和公式即可得到答案.‎ ‎【详解】由得,,即,所以 ‎,故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列性质,难度不大.‎ ‎7.已知为正项等比数列的前n项和.若,,则 A. 14 B. ‎24 ‎C. 32 D. 42‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为各项为正,根据等比数列中成等比数列的性质,知成等比数列,所以,,故选D.‎ ‎8.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:“一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯多少?”现有类似问题:一座5层塔共挂了363盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍,则塔的底层共有灯 A. 81盏 B. 112盏 C. 162盏 D. 243盏 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从塔顶到塔底每层灯盏数可构成一个公比为3的等比数列,其和为363.由等比数列的知识可得.‎ ‎【详解】从塔顶到塔底每层灯盏数依次记为,此数列是等比数列,公比为3,5项的和为363,则,,∴.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的应用,解题关键是根据实际意义构造一个等比数列,把问题转化为等比数列的问题.‎ ‎9.若关于的不等式的解集为,其中为常数,则不等式的解集是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的解集可利用韦达定理构造关于的方程求得;代入所求不等式,解一元二次不等式即可得到结果.‎ ‎【详解】由解集为可得:‎ 解得: 所求不等式为:,解得:‎ 本题正确选项:‎ ‎【点睛】本题考查根据一元二次不等式的解集求解参数、一元二次不等式的求解问题;关键是能够明确不等式解集的端点值与一元二次方程根之间的关系.‎ ‎10.已知正数满足,则(  )‎ A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值10 D. 有最小值10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由基本不等式及其应用得:()2,得()2≤50,由m>0,n>0,得解 详解】由不等式的性质有:()2,当且仅当,等号成立 即()2≤50,‎ 又m>0,n>0,‎ 所以,‎ 即m,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式及其应用,转化化归能力,注意等号成立条件,属中档题 ‎11.在数列中,若,则数列的通项公式为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为,所以,数列是等差数列,由等差数列通项公式得,所以,选A.‎ ‎12.已知,,则的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用待定系数法,令‎4a﹣2b=x(a﹣b)+y(a+b),求出满足条件的x,y,利用不等式的基本性质,可得‎4a﹣2b的取值范围.‎ ‎【详解】令‎4a﹣2b=x(a﹣b)+y(a+b),即,解得:x=3,y=1,即‎4a﹣2b=3(a﹣b)+(a+b).‎ ‎∵1≤a﹣b≤2,2≤a+b≤4,∴3≤3(a﹣b)≤6,∴5≤(a﹣b)+3(a+b)≤10‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了利用不等式的性质求取值范围,其中令‎4a﹣2b=x(a﹣b)+y(a+b),并求出满足条件的x,y,是解答的关键,属于基础题.‎ 二、选择题.‎ ‎13.设是等差数列,且,,则的通项公式为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件列关于公差的方程,求出公差后,代入等差数列通项公式即可.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为,‎ ‎【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时,有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差(公比)问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确:二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用.‎ ‎14.不等式组的解集为________.‎ ‎【答案】{x|0<x<1}‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用二次不等式的解法求解即可.‎ ‎【详解】解:∵x2-1<0,‎ ‎∴-1<x<1,‎ ‎∵x2-3x<0,‎ ‎∴0<x<3,‎ ‎∴0<x<1.‎ 故答案:{x|0<x<1}‎ ‎【点睛】本题考查二次不等式的解法,考查计算能力.‎ ‎15.若,且,则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】根据题意,由于,且,‎ 那么可知1=2x+y≥2,‎ ‎∴xy≤,‎ 因此答案为.‎ 考点:均值不等式运用 点评:主要是考查了一正二定三相等的均值不等式的求解最值的运用,属于基础题。‎ ‎16.已知x,y满足,则z=2x+y的最大值为__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出不等式组对应的区域,由图形判断出最优解,代入目标函数计算出最大值即可.‎ ‎【详解】解:由已知不等式组得到平面区域如图:‎ 目标函数变形为,‎ 此直线经过图中A时在轴截距最大,‎ 由得到,‎ 所以的最大值为;‎ 故答案为:4.‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划,其中数形结合的应用是解决本题的关键,属于基础题.‎ 三、解答题.‎ ‎17.在中,角、、的对边分别为、、,且 ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,且,求和的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)由正弦定理得,,‎ 又,∴,‎ 即,∴,‎ ‎∴,又,∴.‎ ‎(2)由得,又,∴‎ 由,,可得,‎ ‎∴,即,∴.‎ 考点:本题主要考查平面向量的数量积,两角和与差的三角函数,正弦定理、余弦定理的应用。‎ 点评:典型题,近些年来,将平面向量、三角函数、三角形问题等结合考查,已成较固定模式。研究三角函数问题时,往往要利用三角公式先行“化一”。本题(2)通过构建a,c 的方程组,求得a,c。‎ ‎18.已知数列的前项和为.‎ ‎(1)求这个数列的通项公式;‎ ‎(2)若,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当且时,利用求得,经验证时也满足所求式子,从而可得通项公式;(2)由(1)求得,利用错位相减法求得结果.‎ ‎【详解】(1)当且时,…①‎ 当时,,也满足①式 数列的通项公式为:‎ ‎(2)由(1)知:‎ ‎【点睛】本题考查利用求解数列通项公式、错位相减法求解数列的前项和的问题,关键是能够明确当数列通项为等差与等比乘积时,采用错位相减法求和,属于常考题型.‎ ‎19.已知数列中,,.‎ ‎(1)求数列的通项公式:‎ ‎(2)设,求数列的通项公式及其前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 利用累加法得到答案.‎ ‎(2)计算,利用裂项求和得到前项和.‎ ‎【详解】(1)由题意可知 左右累加得.‎ ‎(2) ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的累加法,裂项求和法,是数列的常考题型.‎ ‎20.已知数列中,,.‎ ‎(1)令,求证:数列为等比数列;‎ ‎(2)求数列的通项公式;‎ ‎(3)令,为数列的前项和,求.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2);(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)依题意,求出,再求的值,从而根据等比数列的定义证明结论;(2)由(1)可求数列的通项公式,从而根据求得数列的通项公式;(3)根据分组求和法求出即可.‎ ‎【详解】(1),,‎ ‎,故数列是以为首项,以为公比的等比数列.‎ ‎(2)由(1)知,由,‎ 得数列的通项公式为.‎ ‎(3)由(2)知,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式,考查构造数列的方法和由分组求和法求数列的前n项和,注意认真计算,规范书写,属中档题.‎ ‎21.(1)已知,,,比较与的大小;‎ ‎(2)已知,,,,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用作差比较法即可得出结果;‎ ‎(2)先对乘以1结果保持不变,将看为一个整体代入得,展开运用基本不等式可求得最小值,得到结果.‎ ‎【详解】(1).‎ ‎∵,,,∴,,,.‎ 又,∴.∴.‎ ‎(2)∵,,,∴,‎ 当且仅当即当时等号成立.‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关不等式的问题,涉及到的知识点应用作差法比较式子的大小,利用基本不等式求最值,属于简单题目.‎
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