2018年山东省枣庄市中考数学试卷含答案

2018年山东省枣庄市中考数学试卷含答案

‎2018年山东省枣庄市中考数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分 ‎1．（3分）的倒数是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C．2 D．‎ ‎2．（3分）下列计算，正确的是（　　）‎ A．a5+a5=a10 B．a3÷a﹣1=a2 C．a•2a2=2a4 D．（﹣a2）3=﹣a6‎ ‎3．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　）‎ A．20° B．30° C．45° D．50°‎ ‎4．（3分）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（　　）‎ A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0‎ ‎5．（3分）如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，若点A（3，m）在直线l上，则m的值是（　　）‎ A．﹣5 B． C． D．7‎ 28‎ ‎6．（3分）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（　　）‎ A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b ‎7．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为（　　）‎ A．（﹣3，﹣2） B．（2，2） C．（﹣2，2） D．（2，﹣2）‎ ‎8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　）‎ A． B．2 C．2 D．8‎ ‎9．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（　　）‎ A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0‎ ‎10．（3分）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（　　）‎ 28‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎11．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，满分24分，只填写最后结果，每小题填对得4分 ‎13．（4分）若二元一次方程组的解为，则a﹣b=　 　．‎ ‎14．（4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为　 　米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】‎ ‎15．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△‎ 28‎ ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为　 　．‎ ‎16．（4分）如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为　 　．‎ ‎17．（4分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是　 　．‎ ‎18．（4分）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：‎ 第1行 ‎1‎ 第2行 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 第3行 ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ 第4行 ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 第5行 ‎25‎ ‎24‎ ‎23‎ ‎22‎ ‎21‎ ‎20‎ ‎19‎ ‎18‎ ‎17‎ ‎…‎ 则2018在第　 　行．‎ ‎　‎ 28‎ 三、解答题：本大题共7小题，满分60分.解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ‎19．（8分）计算：|﹣2|+sin60°﹣﹣（﹣1）2+2﹣2‎ ‎20．（8分）如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．‎ ‎（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；‎ ‎（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；‎ ‎（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．‎ ‎21．（8分）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．‎ ‎（1）求一次函数与反比例函数的解析式；‎ ‎（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；‎ ‎（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．‎ ‎22．（8分）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：‎ 步数 频数 频率 ‎0≤x＜4000‎ ‎8‎ a ‎4000≤x＜8000‎ ‎15‎ ‎0.3‎ 28‎ ‎8000≤x＜12000‎ ‎12‎ b ‎12000≤x＜16000‎ c ‎0.2‎ ‎16000≤x＜20000‎ ‎3‎ ‎0.06‎ ‎20000≤x＜24000‎ d ‎0.04‎ 请根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎（1）写出a，b，c，d的值并补全频数分布直方图；‎ ‎（2）本市约有37800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？‎ ‎（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．‎ ‎23．（8分）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．‎ ‎（1）求线段AD的长度；‎ ‎（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．‎ ‎24．（10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．‎ ‎（1）求证：四边形EFDG是菱形；‎ 28‎ ‎（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．‎ ‎25．（10分）如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．‎ ‎（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；‎ ‎（2）判断△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；‎ ‎（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．‎ ‎　‎ ‎2018年山东省枣庄市中考数学试卷 28‎ 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分 ‎1．（3分）的倒数是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C．2 D．‎ ‎【解答】解：的倒数是﹣2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）下列计算，正确的是（　　）‎ A．a5+a5=a10 B．a3÷a﹣1=a2 C．a•2a2=2a4 D．（﹣a2）3=﹣a6‎ ‎【解答】解：a5+a5=2a5，A错误；‎ a3÷a﹣1=a3﹣（﹣1）=a4，B错误；‎ a•2a2=2a3，C错误；‎ ‎（﹣a2）3=﹣a6，D正确，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　）‎ A．20° B．30° C．45° D．50°‎ ‎【解答】解：∵直线m∥n，‎ ‎∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 28‎ ‎4．（3分）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（　　）‎ A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0‎ ‎【解答】解：从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；‎ A、|a|＞|b|，故选项正确；‎ B、a、c异号，则|ac|=﹣ac，故选项错误；‎ C、b＜d，故选项正确；‎ D、d＞c＞1，则a+d＞0，故选项正确．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，若点A（3，m）在直线l上，则m的值是（　　）‎ A．﹣5 B． C． D．7‎ ‎【解答】解：将（﹣2，0）、（0，1）代入，得：‎ 解得：，‎ ‎∴y=x+1，‎ 将点A（3，m）代入，得：+1=m，‎ 即m=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 28‎ ‎6．（3分）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（　　）‎ A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b ‎【解答】解：依题意有 ‎3a﹣2b+2b×2‎ ‎=3a﹣2b+4b ‎=3a+2b．‎ 故这块矩形较长的边长为3a+2b．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为（　　）‎ A．（﹣3，﹣2） B．（2，2） C．（﹣2，2） D．（2，﹣2）‎ ‎【解答】解：点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，﹣2），即（2，﹣2），‎ 则点B关于x轴的对称点B′的坐标是（2，2），‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　）‎ 28‎ A． B．2 C．2 D．8‎ ‎【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，‎ ‎∵OH⊥CD，‎ ‎∴HC=HD，‎ ‎∵AP=2，BP=6，‎ ‎∴AB=8，‎ ‎∴OA=4，‎ ‎∴OP=OA﹣AP=2，‎ 在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，‎ ‎∴∠POH=60°，‎ ‎∴OH=OP=1，‎ 在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，‎ ‎∴CH==，‎ ‎∴CD=2CH=2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（　　）‎ 28‎ A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0‎ ‎【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，‎ ‎∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；‎ ‎∵抛物线开口向上，‎ ‎∴a＞0，‎ ‎∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，‎ ‎∴c＜0，‎ ‎∴ac＜0，所以B选项错误；‎ ‎∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，‎ ‎∴﹣=1，∴2a+b=0，所以C选项错误；‎ ‎∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，‎ ‎∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），‎ ‎∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，‎ 故选：B．‎ 28‎ ‎　‎ ‎11．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD=BC，AD∥BC，‎ ‎∵点E是边BC的中点，‎ ‎∴BE=BC=AD，‎ ‎∴△BEF∽△DAF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴EF=AF，‎ ‎∴EF=AE，‎ ‎∵点E是边BC的中点，‎ ‎∴由矩形的对称性得：AE=DE，‎ ‎∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，‎ ‎∴DF==2x，‎ ‎∴tan∠BDE===；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 28‎ ‎12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，‎ ‎∵∠ACB=90°，CD⊥AB，‎ ‎∴∠CDA=90°，‎ ‎∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，‎ ‎∵AF平分∠CAB，‎ ‎∴∠CAF=∠FAD，‎ ‎∴∠CFA=∠AED=∠CEF，‎ ‎∴CE=CF，‎ ‎∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，‎ ‎∴FC=FG，‎ ‎∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，‎ ‎∴△BFG∽△BAC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，‎ ‎∴BC=4，‎ ‎∴=，‎ ‎∵FC=FG，‎ ‎∴=，‎ 解得：FC=，‎ 即CE的长为．‎ 故选：A．‎ 28‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，满分24分，只填写最后结果，每小题填对得4分 ‎13．（4分）若二元一次方程组的解为，则a﹣b=　　．‎ ‎【解答】解：将代入方程组，得：，‎ ‎①+②，得：4a﹣4b=7，‎ 则a﹣b=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为　6.18　米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC中，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515=6.18（米），‎ 答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.18米．‎ 故答案为：6.18．‎ ‎　‎ 28‎ ‎15．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为　1　．‎ ‎【解答】解：∵S=，‎ ‎∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：‎ S==1，‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为　9﹣5　．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ ‎∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，‎ ‎∴PB=BC=AB，∠PBC=30°，‎ ‎∴∠ABP=60°，‎ ‎∴△ABP是等边三角形，‎ ‎∴∠BAP=60°，AP=AB=2，‎ 28‎ ‎∵AD=2，‎ ‎∴AE=4，DE=2，‎ ‎∴CE=2﹣2，PE=4﹣2，‎ 过P作PF⊥CD于F，‎ ‎∴PF=PE=2﹣3，‎ ‎∴三角形PCE的面积=CE•PF=×（2﹣2）×（2﹣3）=9﹣5，‎ 故答案为：9﹣5．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是　12　．‎ ‎【解答】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，‎ 由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，‎ 即BC=5，‎ 由于M是曲线部分的最低点，‎ ‎∴此时BP最小，‎ 即BP⊥AC，BP=4，‎ ‎∴由勾股定理可知：PC=3，‎ 由于图象的曲线部分是轴对称图形，‎ 28‎ ‎∴PA=3，‎ ‎∴AC=6，‎ ‎∴△ABC的面积为：×4×6=12‎ 故答案为：12‎ ‎　‎ ‎18．（4分）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：‎ 第1行 ‎1‎ 第2行 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 第3行 ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ 第4行 ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 第5行 ‎25‎ ‎24‎ ‎23‎ ‎22‎ ‎21‎ ‎20‎ ‎19‎ ‎18‎ ‎17‎ ‎…‎ 则2018在第　45　行．‎ ‎【解答】解：∵442=1936，452=2025，‎ ‎∴2018在第45行．‎ 故答案为：45．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共7小题，满分60分.解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ‎19．（8分）计算：|﹣2|+sin60°﹣﹣（﹣1）2+2﹣2‎ ‎【解答】解：原式=2﹣+﹣3﹣+‎ ‎=﹣．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．‎ ‎（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；‎ ‎（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；‎ ‎（3）在图3中，画出△‎ 28‎ ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，‎ ‎△DCE为所求作 ‎（2）如图所示，‎ ‎△ACD为所求作 ‎（3）如图所示 ‎△ECD为所求作 ‎　‎ ‎21．（8分）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．‎ 28‎ ‎（1）求一次函数与反比例函数的解析式；‎ ‎（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；‎ ‎（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．‎ ‎【解答】解：（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4‎ ‎∵CD⊥x轴 ‎∴OB∥CD ‎∴△ABO∽△ACD ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴CD=20‎ ‎∴点C坐标为（﹣4，20）‎ ‎∴n=xy=﹣80‎ ‎∴反比例函数解析式为：y=﹣‎ 把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：‎ 解得：‎ ‎∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12‎ ‎（2）当﹣=﹣2x+12时，解得 x1=10，x2=﹣4‎ 当x=10时，y=﹣8‎ ‎∴点E坐标为（10，﹣8）‎ 28‎ ‎∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=‎ ‎（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象 ‎∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0‎ ‎　‎ ‎22．（8分）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：‎ 步数 频数 频率 ‎0≤x＜4000‎ ‎8‎ a ‎4000≤x＜8000‎ ‎15‎ ‎0.3‎ ‎8000≤x＜12000‎ ‎12‎ b ‎12000≤x＜16000‎ c ‎0.2‎ ‎16000≤x＜20000‎ ‎3‎ ‎0.06‎ ‎20000≤x＜24000‎ d ‎0.04‎ 请根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎（1）写出a，b，c，d的值并补全频数分布直方图；‎ ‎（2）本市约有37800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？‎ ‎（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．‎ 28‎ ‎【解答】解：（1）a=8÷50=0.16，b=12÷50=0.24，c=50×0.2=10，d=50×0.04=2，‎ 补全频数分布直方图如下：‎ ‎（2）37800×（0.2+0.06+0.04）=11340，‎ 答：估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有11340名；‎ ‎（3）设16000≤x＜20000的3名教师分别为A、B、C，‎ ‎20000≤x＜24000的2名教师分别为X、Y，‎ 画树状图如下：‎ 28‎ 由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率为=．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．‎ ‎（1）求线段AD的长度；‎ ‎（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；‎ 连接CD，∵BC为直径，‎ ‎∴∠ADC=∠BDC=90°；‎ ‎∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，‎ ‎∴Rt△ADC∽Rt△ACB；‎ ‎∴，∴；‎ ‎（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；‎ 证明：连接OD，‎ ‎∵DE是Rt△ADC的中线；‎ ‎∴ED=EC，‎ ‎∴∠EDC=∠ECD；‎ ‎∵OC=OD，‎ ‎∴∠ODC=∠OCD；‎ ‎∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；‎ ‎∴ED⊥OD，‎ ‎∴ED与⊙O相切．‎ 28‎ ‎　‎ ‎24．（10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．‎ ‎（1）求证：四边形EFDG是菱形；‎ ‎（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，‎ ‎∴∠EGF=∠DFG．‎ ‎∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，‎ ‎∴∠DGF=∠DFG．‎ ‎∴GD=DF．‎ ‎∴DG=GE=DF=EF．‎ ‎∴四边形EFDG为菱形．‎ ‎（2）EG2=GF•AF．‎ 理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．‎ ‎∵四边形EFDG为菱形，‎ ‎∴GF⊥DE，OG=OF=GF．‎ 28‎ ‎∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，‎ ‎∴△DOF∽△ADF．‎ ‎∴，即DF2=FO•AF．‎ ‎∵FO=GF，DF=EG，‎ ‎∴EG2=GF•AF．‎ ‎（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．‎ ‎∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，‎ ‎∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．‎ 解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．‎ ‎∵DF=GE=2，AF=10，‎ ‎∴AD==4．‎ ‎∵GH⊥DC，AD⊥DC，‎ ‎∴GH∥AD．‎ ‎∴△FGH∽△FAD．‎ ‎∴，即=．‎ ‎∴GH=．‎ ‎∴BE=AD﹣GH=4﹣=．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．‎ ‎（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；‎ 28‎ ‎（2）判断△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；‎ ‎（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；‎ ‎（2）△ABC是直角三角形．‎ 令y=0，则﹣x2+x+4=0，‎ 解得x1=8，x2=﹣2，‎ ‎∴点B的坐标为（﹣2，0），‎ 由已知可得，‎ 在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，‎ 在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，‎ 又∵BC=OB+OC=2+8=10，‎ ‎∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2‎ ‎∴△ABC是直角三角形．‎ ‎（3）∵A（0，4），C（8，0），‎ ‎∴AC==4，‎ 28‎ ‎①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），‎ ‎②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）‎ ‎③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），‎ 综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．‎ ‎（4）如图，‎ 设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，‎ ‎∴MD∥OA，‎ ‎∴△BMD∽△BAO，‎ ‎∴=，‎ ‎∵MN∥AC ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∵OA=4，BC=10，BN=n+2‎ ‎∴MD=（n+2），‎ ‎∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN ‎=BN•OA﹣BN•MD ‎=（n+2）×4﹣×（n+2）2‎ ‎=﹣（n﹣3）2+5，‎ 当n=3时，△AMN面积最大是5，‎ 28‎ ‎∴N点坐标为（3，0）．‎ ‎∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．‎ ‎　‎ 28‎