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文档介绍
【真题】2017年哈尔滨市中考数学试卷含答案解析(Word版)
2017年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.﹣7的倒数是( ) A.7 B.﹣7 C. D.﹣ 2.下列运算正确的是( ) A.a6÷a3=a2 B.2a3+3a3=5a6 C.(﹣a3)2=a6 D.(a+b)2=a2+b2 3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 4.抛物线y=﹣(x+)2﹣3的顶点坐标是( ) A.(,﹣3) B.(﹣,﹣3) C.(,3) D.(﹣,3) 5.五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,其左视图是( ) A. B. C. D. 6.方程=的解为( ) A.x=3 B.x=4 C.x=5 D.x=﹣5 7.如图,⊙O中,弦AB,CD相交于点P,∠A=42°,∠APD=77°,则∠B的大小是( ) A.43° B.35° C.34° D.44° 8.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cosB的值为( ) A. B. C. D. 9.如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,点F为BC边上一点,连接AF交DE于点G,则下列结论中一定正确的是( ) A. = B. = C. = D. = 10.周日,小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报,看了一段时间后,他按原路返回家中,小涛离家的距离y(单位:m)与他所用的时间t(单位:min)之间的函数关系如图所示,下列说法中正确的是( ) A.小涛家离报亭的距离是900m B.小涛从家去报亭的平均速度是60m/min C.小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/min D.小涛在报亭看报用了15min 二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 11.将57600000用科学记数法表示为 . 12.函数y=中,自变量x的取值范围是 . 13.把多项式4ax2﹣9ay2分解因式的结果是 . 14.计算﹣6的结果是 . 15.已知反比例函数y=的图象经过点(1,2),则k的值为 . 16.不等式组的解集是 . 17.一个不透明的袋子中装有17个小球,其中6个红球、11个绿球,这些小球除颜色外无其它差别.从袋子中随机摸出一个小球,则摸出的小球是红球的概率为 .【来源:21cnj*y.co*m】 18.已知扇形的弧长为4π,半径为8,则此扇形的圆心角为 . 19.四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=6,对角线AC与BD相交于点O,点E在AC上,若OE=,则CE的长为 .【出处:21教育名师】 20.如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DE⊥AM,垂足为E.若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为 . 三、解答题(本大题共60分) 21.先化简,再求代数式÷﹣的值,其中x=4sin60°﹣2. 22.如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上. (1)在图中画出以AB为底、面积为12的等腰△ABC,且点C在小正方形的顶点上; (2)在图中画出平行四边形ABDE,且点D和点E均在小正方形的顶点上,tan∠EAB=,连接CD,请直接写出线段CD的长. 23.随着社会经济的发展和城市周边交通状况的改善,旅游已成为人们的一种生活时尚,洪祥中学开展以“我最喜欢的风景区”为主题的调查活动,围绕“在松峰山、太阳岛、二龙山和凤凰山四个风景区中,你最喜欢哪一个?(必选且只选一个)”的问题,在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图,请你根据图中提供的信息回答下列问题: (1)本次调查共抽取了多少名学生? (2)通过计算补全条形统计图; (3)若洪祥中学共有1350名学生,请你估计最喜欢太阳岛风景区的学生有多少名. 24.已知:△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接AE,BD交于点O,AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. (1)如图1,求证:AE=BD; (2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形. 25.威丽商场销售A,B两种商品,售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元,售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元. (1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元; (2)由于需求量大,A、B两种商品很快售完,威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件.如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元,那么威丽商场至少需购进多少件A种商品? 26.已知:AB是⊙O的弦,点C是的中点,连接OB、OC,OC交AB于点D. (1)如图1,求证:AD=BD; (2)如图2,过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点M,点P是上一点,连接AP、BP,求证:∠APB﹣∠OMB=90°; (3)如图3,在(2)的条件下,连接DP、MP,延长MP交⊙O于点Q,若MQ=6DP,sin∠ABO=,求的值. 27.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,直线y=x﹣3经过B、C两点. (1)求抛物线的解析式; (2)过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D,点P是直线CD下方抛物线上的一个动点,且在抛物线对称轴的右侧,过点P作PE⊥x轴于点E,PE交CD于点F,交BC于点M,连接AC,过点M作MN⊥ AC于点N,设点P的横坐标为t,线段MN的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围); (3)在(2)的条件下,连接PC,过点B作BQ⊥PC于点Q(点Q在线段PC上),BQ交CD于点T,连接OQ交CD于点S,当ST=TD时,求线段MN的长. 2017年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.﹣7的倒数是( ) A.7 B.﹣7 C. D.﹣ 【考点】17:倒数. 【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数,可得一个数的倒数. 【解答】解:﹣7的倒数是﹣, 故选:D. 2.下列运算正确的是( ) A.a6÷a3=a2 B.2a3+3a3=5a6 C.(﹣a3)2=a6 D.(a+b)2=a2+b2 【考点】4I:整式的混合运算. 【分析】各项计算得到结果,即可作出判断. 【解答】解:A、原式=a3,不符合题意; B、原式=5a3,不符合题意; C、原式=a6,符合题意; D、原式=a2+2ab+b2,不符合题意, 故选C 3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【考点】R5:中心对称图形;P3:轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,不合题意; B、是轴对称图形,不是中心对称图形,不合题意; C、不是轴对称图形,是中心对称图形,不合题意; D、是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意. 故选:D. 4.抛物线y=﹣(x+)2﹣3的顶点坐标是( ) A.(,﹣3) B.(﹣,﹣3) C.(,3) D.(﹣,3) 【考点】H3:二次函数的性质. 【分析】已知抛物线解析式为顶点式,可直接写出顶点坐标. 【解答】解:y=﹣(x+)2﹣3是抛物线的顶点式, 根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(﹣,﹣3). 故选B. 5.五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,其左视图是( ) A. B. C. D. 【考点】U2:简单组合体的三视图. 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案. 【解答】解:从左边看第一层是两个小正方形,第二层左边是一个小正方形, 故选:C. 6.方程=的解为( ) A.x=3 B.x=4 C.x=5 D.x=﹣5 【考点】B3:解分式方程. 【分析】根据分式方程的解法即可求出答案. 【解答】解:2(x﹣1)=x+3, 2x﹣2=x+3, x=5, 令x=5代入(x+3)(x﹣1)≠0, 故选(C) 7.如图,⊙O中,弦AB,CD相交于点P,∠A=42°,∠APD=77°,则∠B的大小是( ) A.43° B.35° C.34° D.44° 【考点】M5:圆周角定理. 【分析】由同弧所对的圆周角相等求得∠A=∠D=42°,然后根据三角形外角的性质即可得到结论. 【解答】解:∵∠D=∠A=42°, ∴∠B=∠APD﹣∠D=35°, 故选B. 8.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cosB的值为( ) A. B. C. D. 【考点】T1:锐角三角函数的定义. 【分析】利用锐角三角函数定义求出cosB的值即可. 【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1, ∴BC==, 则cosB==, 故选A 9.如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,点F为BC边上一点,连接AF交DE于点G,则下列结论中一定正确的是( ) A. = B. = C. = D. = 【考点】S9:相似三角形的判定与性质. 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案. 【解答】解:(A)∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴,故A错误; (B)∵DE∥BC, ∴,故B错误; (C)∵DE∥BC, ,故C正确; (D))∵DE∥BC, ∴△AGE∽△AFC, ∴=,故D错误; 故选(C) 10.周日,小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报,看了一段时间后,他按原路返回家中,小涛离家的距离y(单位:m)与他所用的时间t(单位:min)之间的函数关系如图所示,下列说法中正确的是( )21cnjy.com A.小涛家离报亭的距离是900m B.小涛从家去报亭的平均速度是60m/min C.小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/min D.小涛在报亭看报用了15min 【考点】E6:函数的图象. 【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案. 【解答】解:A、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m,故A不符合题意; B、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m,由横坐标看出小涛去报亭用了15分钟,小涛从家去报亭的平均速度是80m/min,故B不符合题意; C、返回时的解析式为y=﹣60x+3000,当y=1200时,x=30,由横坐标看出返回时的时间是50﹣30=20min,返回时的速度是1200÷20=60m/min,故C不符合题意;21教育网 D、由横坐标看出小涛在报亭看报用了30﹣15=15min,故D符合题意; 故选:D. 二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 11.将57600000用科学记数法表示为 5.67×107 . 【考点】1I:科学记数法—表示较大的数. 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.2·1·c·n·j·y 【解答】解:57600000用科学记数法表示为5.67×107, 故答案为:5.67×107. 12.函数y=中,自变量x的取值范围是 x≠2 . 【考点】E4:函数自变量的取值范围. 【分析】根据分式有意义的条件:分母不为0进行解答即可. 【解答】解:由x﹣2≠0得,x≠2, 故答案为x≠2. 13.把多项式4ax2﹣9ay2分解因式的结果是 a(2x+3y)(2x﹣3y) . 【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用. 【分析】原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可. 【解答】解:原式=a(4x2﹣9y2)=a(2x+3y)(2x﹣3y), 故答案为:a(2x+3y)(2x﹣3y) 14.计算﹣6的结果是 . 【考点】78:二次根式的加减法. 【分析】先将二次根式化简即可求出答案. 【解答】解:原式=3﹣6×=3﹣2= 故答案为: 15.已知反比例函数y=的图象经过点(1,2),则k的值为 1 . 【考点】G6:反比例函数图象上点的坐标特征. 【分析】直接把点(1,2)代入反比例函数y=,求出k的值即可. 【解答】解:∵反比例函数y=的图象经过点(1,2), ∴2=3k﹣1,解得k=1. 故答案为:1. 16.不等式组的解集是 2≤x<3 . 【考点】CB:解一元一次不等式组. 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分即可. 【解答】解:, 由①得:x≥2, 由②得:x<3, 则不等式组的解集为2≤x<3. 故答案为2≤x<3. 17.一个不透明的袋子中装有17个小球,其中6个红球、11个绿球,这些小球除颜色外无其它差别.从袋子中随机摸出一个小球,则摸出的小球是红球的概率为 .21·世纪*教育网 【考点】X4:概率公式. 【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.【版权所有:21教育】 【解答】解:∵不透明的袋子中装有17个小球,其中6个红球、11个绿球, ∴摸出的小球是红球的概率为; 故答案为:. 18.已知扇形的弧长为4π,半径为8,则此扇形的圆心角为 90° . 【考点】MN:弧长的计算. 【分析】利用扇形的弧长公式计算即可. 【解答】解:设扇形的圆心角为n°, 则=4π, 解得,n=90, 故答案为:90°. 19.四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=6,对角线AC与BD相交于点O,点E在AC上,若OE=,则CE的长为 4或2 .21*cnjy*com 【考点】L8:菱形的性质. 【分析】由菱形的性质证出△ABD是等边三角形,得出BD=AB=6,OB=BD=3,由勾股定理得出OC=OA==3,即可得出答案. 【解答】解:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD=6,AC⊥BD,OB=OD,OA=OC, ∵∠BAD=60°, ∴△ABD是等边三角形, ∴BD=AB=6, ∴OB=BD=3, ∴OC=OA==3, ∴AC=2OA=6, ∵点E在AC上,OE=, ∴CE=OC+或CE=OC﹣, ∴CE=4或CE=2; 故答案为:4或2. 20.如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DE⊥AM,垂足为E.若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为 . 【考点】LB:矩形的性质;KD:全等三角形的判定与性质. 【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA,得出AM=AD,证出BC=AD=3EM,连接DM,由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM,得出EM=CM,因此BC=3CM,设EM=CM=x,则BM=2x,AM=BC=3x,在Rt△ABM中,由勾股定理得出方程,解方程即可. 【解答】解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC=1,∠B=∠C=90°,AD∥BC,AD=BC, ∴∠AMB=∠DAE, ∵DE=DC, ∴AB=DE, ∵DE⊥AM, ∴∠DEA=∠DEM=90°, 在△ABM和△DEA中,, ∴△ABM≌△DEA(AAS), ∴AM=AD, ∵AE=2EM, ∴BC=AD=3EM, 连接DM,如图所示: 在Rt△DEM和Rt△DCM中,, ∴Rt△DEM≌Rt△DCM(HL), ∴EM=CM, ∴BC=3CM, 设EM=CM=x,则BM=2x,AM=BC=3x, 在Rt△ABM中,由勾股定理得:12+(2x)2=(3x)2, 解得:x=, ∴BM=; 故答案为:. 三、解答题(本大题共60分) 21.先化简,再求代数式÷﹣的值,其中x=4sin60°﹣2. 【考点】6D:分式的化简求值;T5:特殊角的三角函数值. 【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子,然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题. 【解答】解:÷﹣ = = =, 当x=4sin60°﹣2=4×=﹣2时,原式=. 22.如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上. (1)在图中画出以AB为底、面积为12的等腰△ABC,且点C在小正方形的顶点上; (2)在图中画出平行四边形ABDE,且点D和点E均在小正方形的顶点上,tan∠EAB=,连接CD,请直接写出线段CD的长. 【考点】N4:作图—应用与设计作图;KQ:勾股定理;L6:平行四边形的判定;T7:解直角三角形. 【分析】(1)因为AB为底、面积为12的等腰△ABC,所以高为4,点C在线段AB的垂直平分线上,由此即可画出图形; (2)扇形根据tan∠EAB=的值确定点E的位置,由此即可解决问题,利用勾股定理计算CD的长; 【解答】解:(1)△ABC如图所示; (2)平行四边形ABDE如图所示,CD==. 23.随着社会经济的发展和城市周边交通状况的改善,旅游已成为人们的一种生活时尚,洪祥中学开展以“我最喜欢的风景区”为主题的调查活动,围绕“在松峰山、太阳岛、二龙山和凤凰山四个风景区中,你最喜欢哪一个?(必选且只选一个)”的问题,在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图,请你根据图中提供的信息回答下列问题:www.21-cn-jy.com (1)本次调查共抽取了多少名学生? (2)通过计算补全条形统计图; (3)若洪祥中学共有1350名学生,请你估计最喜欢太阳岛风景区的学生有多少名. 【考点】VC:条形统计图;V5:用样本估计总体;VB:扇形统计图. 【分析】(1)根据条形统计图与扇形统计图求出总人数即可; (2)根据题意作出图形即可; (3)根据题意列出算式,计算即可得到结果. 【解答】解:(1)10÷20%=50(名), 答:本次调查共抽取了50名学生; (2)50﹣10﹣20﹣12=8(名), 补全条形统计图如图所示, (3)1350×=540(名), 答:估计最喜欢太阳岛风景区的学生有540名. 24.已知:△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接AE,BD交于点O,AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. (1)如图1,求证:AE=BD; (2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形. 【考点】KD:全等三角形的判定与性质;KW:等腰直角三角形. 【分析】(1)根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD,从而可知AE=BD; (2)根据条件即可判断图中的全等直角三角形; 【解答】解:(1)∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形, ∠ACB=∠DCE=90°, ∴AC=BC,DC=EC, ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD, ∴∠BCD=∠ACE, 在△ACE与△BCD中, ∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴AE=BD, (2)∵AC=DC, ∴AC=CD=EC=CB, △ACB≌△DCE(SAS); 由(1)可知:∠AEC=∠BDC,∠EAC=∠DBC ∴∠DOM=90°, ∵∠AEC=∠CAE=∠CBD, ∴△EMC≌△BCN(ASA), ∴CM=CN, ∴DM=AN, △AON≌△DOM(AAS), ∵DE=AB,AO=DO, ∴△AOB≌△DOE(HL) 25.威丽商场销售A,B两种商品,售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元,售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元. (1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元; (2)由于需求量大,A、B两种商品很快售完,威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件.如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元,那么威丽商场至少需购进多少件A种商品?21·cn·jy·com 【考点】C9:一元一次不等式的应用;9A:二元一次方程组的应用. 【分析】(1)设A种商品售出后所得利润为x元,B种商品售出后所得利润为y元.由售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元,售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程,构成方程组求出其解就可以;【来源:21·世纪·教育·网】 (2)设购进A种商品a件,则购进B种商品(34﹣a)件.根据获得的利润不低于4000元,建立不等式求出其解就可以了.www-2-1-cnjy-com 【解答】解:(1)设A种商品售出后所得利润为x元,B种商品售出后所得利润为y元.由题意,得 , 解得: 答:A种商品售出后所得利润为200元,B种商品售出后所得利润为100元. (2)设购进A种商品a件,则购进B种商品(34﹣a)件.由题意,得 200a+100(34﹣a)≥4000, 解得:a≥6 答:威丽商场至少需购进6件A种商品. 26.已知:AB是⊙O的弦,点C是 的中点,连接OB、OC,OC交AB于点D. (1)如图1,求证:AD=BD; (2)如图2,过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点M,点P是上一点,连接AP、BP,求证:∠APB﹣∠OMB=90°;2-1-c-n-j-y (3)如图3,在(2)的条件下,连接DP、MP,延长MP交⊙O于点Q,若MQ=6DP,sin∠ABO=,求的值. 【考点】MR:圆的综合题. 【分析】(1)如图1,连接OA,利用垂径定理和圆周角定理可得结论; (2)如图2,延长BO交⊙O于点T,连接PT,由圆周角定理可得∠BPT=90°,易得∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°,利用切线的性质定理和垂径定理可得∠ABO=∠OMB,等量代换可得∠ABO=∠APT,易得结论; (3)如图3,连接MA,利用垂直平分线的性质可得MA=MB,易得∠MAB=∠MBA,作∠PMG=∠AMB,在射线MG上截取MN=MP,连接PN,BN,易得△APM≌△BNM,由全等三角形的性质可得AP=BN,∠MAP=∠ MBN,延长PD至点K,使DK=DP,连接AK、BK,易得四边形APBK是平行四边形,由平行四边形的性质和平行线的性质可得∠PAB=∠ABK,∠APB+∠PBK=180°,由(2)得∠APB﹣(90°﹣∠MBA)=90°,易得∠NBP=∠KBP,可得△PBN≌△PBK,PN=2PH,利用三角函数的定义可得sin∠PMH=,sin∠ABO=,设DP=3a,则PM=5a,可得结果. 【解答】(1)证明:如图1,连接OA, ∵C是的中点, ∴, ∴∠AOC=∠BOC, ∵OA=OB, ∴OD⊥AB,AD=BD; (2)证明:如图2,延长BO交⊙O于点T,连接PT ∵BT是⊙O的直径 ∴∠BPT=90°, ∴∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°, ∵BM是⊙O的切线, ∴OB⊥BM, 又∠OBA+∠MBA=90°, ∴∠ABO=∠OMB 又∠ABO=∠APT ∴∠APB﹣90°=∠OMB, ∴∠APB﹣∠OMB=90°; (3)解:如图3,连接MA, ∵MO垂直平分AB, ∴MA=MB, ∴∠MAB=∠MBA, 作∠PMG=∠AMB, 在射线MG上截取MN=MP, 连接PN,BN, 则∠AMP=∠BMN, ∴△APM≌△BNM, ∴AP=BN,∠MAP=∠MBN, 延长PD至点K, 使DK=DP, 连接AK、BK, ∴四边形APBK是平行四边形; AP∥BK, ∴∠PAB=∠ABK,∠APB+∠PBK=180°, 由(2)得∠APB﹣(90°﹣∠MBA) =90°, ∴∠APB+∠MBA=180° ∴∠PBK=∠MBA, ∴∠MBP=∠ABK=∠PAB, ∴∠MAP=∠PBA=∠MBN, ∴∠NBP=∠KBP, ∵PB=PB, ∴△PBN≌△PBK, ∴PN=PK=2PD, 过点M作MH⊥PN于点H, ∴PN=2PH, ∴PH=DP,∠PMH=∠ABO, ∵sin∠PMH=,sin∠ABO=, ∴, ∴,设DP=3a,则PM=5a, ∴MQ=6DP=18a, ∴. 27.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,直线y=x﹣3经过B、C两点. (1)求抛物线的解析式; (2)过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D,点P是直线CD下方抛物线上的一个动点,且在抛物线对称轴的右侧,过点P作PE⊥x轴于点E,PE交CD于点F,交BC于点M,连接AC,过点M作MN⊥ AC于点N,设点P的横坐标为t,线段MN的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);21世纪教育网版权所有 (3)在(2)的条件下,连接PC,过点B作BQ⊥PC于点Q(点Q在线段PC上),BQ交CD于点T,连接OQ交CD于点S,当ST=TD时,求线段MN的长.21*cnjy*com 【考点】HF:二次函数综合题. 【分析】(1)首先求出点B、C的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式; (2)根据S△ABC=S△AMC+S△AMB,由三角形面积公式可求y与m之间的函数关系式; (3)如图2,由抛物线对称性可得D(2,﹣3),过点B作BK⊥CD交直线CD于点K,可得四边形OCKB为正方形,过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H,OR⊥BQ交BQ于点I交BK于点R,可得四边形OHQI为矩形,可证△OBQ≌△OCH,△OSR≌△OGR,得到tan∠QCT=tan∠TBK,设ST=TD=m,可得SK=2m+1,CS=2﹣2m,TK=m+1=BR,SR=3﹣m,RK=2﹣m,在Rt△SKR中,根据勾股定理求得m,可得tan∠PCD=,过点P作PE′⊥ x轴于E′交CD于点F′,得到P(t,﹣ t﹣3),可得﹣t﹣3=t2﹣2t﹣3,求得t,再根据MN=d求解即可.21教育名师原创作品 【解答】解:(1)∵直线y=x﹣3经过B、C两点, ∴B(3,0),C(0,﹣3), ∵y=x2+bx+c经过B、C两点, ∴, 解得, 故抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3; (2)如图1,y=x2﹣2x﹣3, y=0时,x2﹣2x﹣3=0, 解得x1=﹣1,x2=3, ∴A(﹣1,0), ∴OA=1,OB=OC=3, ∴∠ABC=45°,AC=,AB=4, ∵PE⊥x轴, ∴∠EMB=∠EBM=45°, ∵点P的横坐标为1, ∴EM=EB=3﹣t, 连结AM, ∵S△ABC=S△AMC+S△AMB, ∴AB•OC=AC•MN+AB•EM, ∴×4×3=×d+×4(3﹣t), ∴d=t; (3)如图2, ∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4, ∴对称轴为x=1, ∴由抛物线对称性可得D(2,﹣3), ∴CD=2, 过点B作BK⊥CD交直线CD于点K, ∴四边形OCKB为正方形, ∴∠OBK=90°,CK=OB=BK=3, ∴DK=1, ∵BQ⊥CP, ∴∠CQB=90°, 过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H,OR⊥BQ交BQ于点I交BK于点R, ∴∠OHC=∠OIQ=∠OIB=90°, ∴四边形OHQI为矩形, ∵∠OCQ+∠OBQ=180°, ∴∠OBQ=∠OCH, ∴△OBQ≌△OCH, ∴QG=OS,∠GOB=∠SOC, ∴∠SOG=90°, ∴∠ROG=45°, ∵OR=OR, ∴△OSR≌△OGR, ∴SR=GR, ∴SR=CS+BR, ∵∠BOR+∠OBI=90°,∠IBO+∠TBK=90°, ∴∠BOR=∠TBK, ∴tan∠BOR=tan∠TBK, ∴=, ∴BR=TK, ∵∠CTQ=∠BTK, ∴∠QCT=∠TBK, ∴tan∠QCT=tan∠TBK, 设ST=TD=m, ∴SK=2m+1,CS=2﹣2m,TK=m+1=BR,SR=3﹣m,RK=2﹣m, 在Rt△SKR中, ∵SK2+RK2=SR2, ∴(2m+1)2+(2﹣m)2=(3﹣m)2, 解得m1=﹣2(舍去),m2=; ∴ST=TD=,TK=, ∴tan∠TBK==÷3=, ∴tan∠PCD=, 过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′, ∵CF′=OE′=t, ∴PF′=t, ∴PE′=t+3, ∴P(t,﹣ t﹣3), ∴﹣t﹣3=t2﹣2t﹣3, 解得t1=0(舍去),t2=. ∴MN=d=t=×=. 2017年7月5日查看更多