2016年陕西省西安一中高考一模试卷数学文

2016年陕西省西安一中高考一模试卷数学文

2016 年陕西省西安一中高考一模试卷数学文 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1.设集合 A={-1，0，1，2，3}，B={x|x2-2x＞0}，则 A∩B=( ) A.{3} B.{2，3} C.{-1，3} D.{0，1，2} 解析：由 B 中不等式变形得：x(x-2)＞0， 解得：x＜0 或 x＞2，即 B={x|x＜0 或 x＞2}， ∵A={-1，0，1，2，3}， ∴A∩B={-1，3}. 答案：C. 2.若 z(1+i)=i(其中 i 为虚数单位)，则|z|等于( ) A. 2 2 B. 3 2 C.1 D. 1 2 解析：∵z(1+i)=i， ∴      1 1 11122 iiiiz iii  ， ∴ 2211 2 2 22z    . 答案：A. 3.设 a，b 是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关 键是对不等式性质的理解. 因为 a，b 都是实数，由 a＞b，不一定有 a2＞b2，如-2＞-3，但(-2)2＜(-3)2，所以“a＞b” 是“a2＞b2”的不充分条件； 反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如(-3)2＞(-2)2，但-3＜-2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的 不必要条件.即“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件. 答案：D 4.已知 51 25()sin   ＝ ，那么 cosα=( ) A. 2 5 B. 1 5 C. 1 5 D. 2 5 解析： 5122225sinsinsincos（ ） （ ） （ ） . 答案：C. 5.执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输出 s 的值是( ) A.1 B.2 C.4 D.7 解析：由已知中的程序框图及已知中输入 3，可得：进入循环的条件为 i≤3，即 i=1，2， 3.模拟程序的运行结果，即可得到输出的 S 值. 当 i=1 时，S=1+1-1=1； 当 i=2 时，S=1+2-1=2； 当 i=3 时，S=2+3-1=4； 当 i=4 时，退出循环，输出 S=4. 答案：C. 6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 2 3 D.1 解析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥， 其中 PA⊥底面 ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1. ∴ 21 1 112 2 2ABCS AB BC  ＝ ＝ ＝ . 因此 1111 23323 ABCVSPA . 答案：B. 7.在函数①y=cos 丨 2x 丨，②y=丨 cosx 丨，③y=cos(2x+ 6  )④y=tan(2x- 4  )中，最小正 周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 解析：根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论. ①y=cos 丨 2x 丨=cos2x，它的最小正周期为 2 2   ， ②y=丨 cosx 丨的最小正周期为 12 21   ， ③y=cos(2x+π6)的最小正周期为 ， ④y=tan(2x-π4)的最小正周期为 2  . 答案：A. 8.已知 D 为△ABC 的边 BC 的中点，△ABC 所在平面内有一个点 P，满足 PA PB PC，则 PD AD 的值为( ) A. 1 3 B. 1 2 C.1 D.2 解析：如图所示， ∵ PA PB PC ， ∴PA 是平行四边形 PBAC 的对角线，PA 与 BC 的交点即为 BC 的中点 D. ∴ 1 PD AD  . 答案：C. 9.已知 a＞0，实数 x，y 满足：   1 3 3 x xy yax       ，若 z=2x+y 的最小值为 1，则 a=( ) A.2 B.1 C. 1 2 D. 1 4 解析：作出不等式对应的平面区域，(阴影部分) 由 z=2x+y，得 y=-2x+z， 平移直线 y=-2x+z，由图象可知当直线 y=-2x+z 经过点 C 时，直线 y=-2x+z 的截距最小，此 时 z 最小. 即 2x+y=1， 由 1 21 x xy    ＝ ＝ ，解得 1 1 x y    ＝ ＝ ， 即 C(1，-1)， ∵点 C 也在直线 y=a(x-3)上， ∴-1=-2a， 解得 a= 1 2 . 答案：C. 10.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，离心率等于 1 2 ，则 C 的方程是( ) A. 22 134 xy ＝ B. 22 143 xy ＝ C. 22 142 xy ＝ D. 22 143 xy ＝ 解析：由题意设椭圆的方程为 22 221xy ab ＝ (a＞0，b＞0). 因为椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，所以 c=1，又离心率等于 1 2 ， 即 1 2 c a ＝ ，所以 a=2，则 b2=a2-c2=3. 所以椭圆的方程为 22 143 xy ＝ . 答案：D. 11.在△ABC 中，A=60°，BC= 10 ，D 是 AB 边上的一点，CD= 2 ，△BCD 的面积为 1，则 AC 的长为( ) A.2 3 B. 3 C. 3 3 D. 23 3 解析：∵BC= 10 ，CD= 2 ，△BCD 的面积为 1， ∴ 0 12 21 1 sinDCB ， ∴ 5 5sinDCB，则 25 5cosDCB， 则 BD2=CB2+CD2-2CD·CBcos∠DCB=4，得 BD=2， 在△BDC 中，由余弦定理可得 4 2 10 22 2 22 cos BDC      ， ∴∠BDC=135°，∠ADC=45°， 在△ADC 中，∠ADC=45°，A=60°，DC= 2 ， 由正弦定理可得， 45 60 2AC sin sin ＝ ， ∴ 23 3AC  . 答案：D. 12.已知函数   2 lnxfxx x ，则函数 y=f(x)的大至图象是( ) A. B. C. D. 解析：由题意可得，函数的定义域 x≠0，并且可得函数为非奇非偶函数，满足 f(-1)=f(1)=1， 可排除 B、C 两个选项. ∵当 x＞0 时， lnx lnxt xx在 x=e 时，t 有最小值为 1 e ， ∴函数   2 lnxyfxx x ，当 x＞0 时满足   2 1 0yfxe e ＞ ， 因此，当 x＞0 时，函数图象恒在 x 轴上方，排除 D 选项. 答案：A 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，若向量 ab 与向量 kab 垂直，则实数 k= . 解析：∵向量 与向量 垂直， ∴它们的数量积为零，即：   0a b ka b   . ∴  22 10kakabb …①. ∵ a 与 b 为两个单位向量， ∴ 22 1ab. 所以①式化为：  110kkab 即：  1 1 0k a b   ∵单位向量 与 不共线， ∴ 1 1 0a b a b＜ . 因此：k=1. 答案：1 14.若曲线 y=ax2-lnx 在点(1，a)处的切线平行于 x 轴，则 a= . 解析：由题意得 y′＝2ax- 1 x ， ∵在点(1，a)处的切线平行于 x 轴， ∴2a-1=0，得 a= 1 2 . 答案： 1 2 . 15.设数列{an}是首项为 1，公比为-2 的等比数列，则 a1+|a2|+a3+|a4|= . 解析：∵数列{an}是首项为 1，公比为-2 的等比数列，∴an=a1·qn-1=(-2)n-1， ∴a1=1，a2=-2，a3=4，a4=-8，∴则 a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15， 答案：15. 16.A、B、C、D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD⊥平面 ABC，AD=4，AB=2 3 ，则该球的表面积为 . 解析：由题意画出几何体的图形如图， 把 A、B、C、D 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与 A 的距离 为球的半径， AD=4，AB=2 3 ，△ABC 是正三角形，所以 AE=2，AO=2 2 . 所求球的表面积为：4π×(2 2 )2=32π. 答案：32π. 三、解答题(本大题 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解 答写在答卷纸的相应位置上) 17.已知{an}中，a1=1，其前 n 项和为 Sn，且满足 22 21 n n n Sa S  . (Ⅰ)求证：数列{ 1 nS }是等差数列. 解析：(Ⅰ)根据数列的递推关系进行化简结合等差数列的定义即可证明数列{ }是等差数 列. 答案：(Ⅰ)当 n≥2 时， 2 1 2 21 n nnn n SaSS S  ， 即 Sn-1-Sn=2SnSn-1， 则 1 112 nnSS  ＝ ， 从而{1Sn}构成以 1 为首项，2 为公差的等差数列. (Ⅱ)证明： 123 1113 232 nSSSS n ＜ . 解析：(Ⅱ)求出 1 nSn 的通项公式，利用放缩法进行证明不等式. 答案： (Ⅱ)∵{ 1 nS }构成以 1 为首项，2 为公差的等差数列， ∴ =1+2(n-1)=2n-1，即 1 21nS n  ， ∴当 n≥2 时，     111 2122nSnnnnn  ＜ . 从而 123 111111111313 112322231222 nSSSS nnnn  ＜ （ ）＜ ＜ . 18.截至 2014 年 11 月 27 目，我国机动车驾驶人数量突破 3 亿大关，年均增长超过两千万. 为了解我地区驾驶预考人员的现状，选择 A，B，C 三个驾校进行调查.参加各驾校科目一预 考人数如下： 若用分层抽样的方法从三个驾校随机抽取 24 人进行分析，他们的成绩如下： (Ⅰ)求三个驾校分别应抽多少人？ 解析：(Ⅰ)求出 A、B、C 三个驾校的总人数，根据同一比例求出从三个驾校分别应抽的人数. 答案：(Ⅰ)∵A、B、C 三个驾校的人数分别是 150、200、250， ∴从三个驾校分别应抽的人数是 150246 150200250 ， 20024 8150 200 250 ， 25024 10150 200 250 . (Ⅱ)补全下面的茎叶图，并求样本的众数和极差. 解析：(Ⅱ)根据表中数据，补全茎叶图，求出样本的众数与极差. 答案：(Ⅱ)根据表中数据，补全茎叶图如图所示： 根据茎叶图，得； 样本的众数是 92， 极差是 99-64=35. (3)在对数据进一步分析时，满足|x-96.5|≤4 的预考成绩，称为具有 M 特性.在样本中随机 抽取一人， 求此人的预考成绩具有 M 特性的概率. 解析：(3)求出满足|x-96.5|≤4 的预考成绩的个数，计算满足条件的概率. 答案：(3)根据题意，满足|x-96.5|≤4 的预考成绩，有 99、99、99、98、97、97、94、93、 93 共 9 个， 在样本数据中随机抽取一人，则此人的预考成绩具有 M 特性的概率是 3 8 9 24P . 19.如图，已知 AF⊥平面 ABCD，四边形 ABEF 为矩形，四边形 ABCD 为直角梯形，∠DAB=90°， AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4. (Ⅰ)求证：AF∥平面 BCE. 解析：(Ⅰ)AF∥BE，BE 平面BCE，AF 平面BCE，运用判定定理可判断. 答案：(Ⅰ)∵四边形 ABEF 为矩形，  ∴AF∥BE，BE  平面 BCE，AF  平面 BCE， ∴AF∥平面 BCE. (Ⅱ)求证：AC⊥平面 BCE. 解析：(Ⅱ)运用勾股定理可判断 AC⊥BC，再根据线面的转化，AF⊥平面 ABCD，AF∥BE，BE ⊥平面 ABCD，BE⊥AC，得出 AC⊥平面 BCE. 答案：(Ⅱ)过 C 作 CM⊥AB，垂足为 M， ∵AD⊥DC，∴四边形 ADCM 为矩形， ∴AM=MB=2 ∵AD=2，AB=4. ∴AC=2 2 ，CM=2，BC=2 2 ， ∴AC2+BC2=AB2， ∴AC⊥BC， ∵AF⊥平面 ABCD，AF∥BE， ∴BE⊥平面 ABCD， ∴BE⊥AC， ∵BE  平面 BCE，BC  平面 BCE，BC∩BE=B， ∴AC⊥平面 BCE. (Ⅲ)求三棱锥 E-BCF 的体积. 解析：(Ⅲ)CM⊥平面 ABEF，VE-BCF=VC-BEF 得出体积即可判断. 答案：(Ⅲ)∵AF⊥平面 ABCD，AF⊥CM， ∵CM⊥AB，AF  平面 ABEF，AB 平面 ABEF，AF∩AB=A， ∴CM⊥平面 ABEF， ∴ 111 242326E BCFC BEFVVBECM . 20.已知椭圆 C：x2+2y2=4. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率. 解析：(Ⅰ)椭圆 C：x2+2y2=4 化为标准方程为 22 142 xy ＝ ，求出 a，c，即可求椭圆 C 的离 心率. 答案：(Ⅰ)椭圆 C：x2+2y2=4 化为标准方程为 22 142 xy ＝ ， ∴a=2，b= 2 ，c= 2 ， ∴椭圆 C 的离心率 2 2 ce a . (Ⅱ)设 O 为原点，若点 A 在直线 y=2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA⊥OB，求线段 AB 长度的最 小值. 解析：(Ⅱ)先表示出线段 AB 长度，再利用基本不等式，求出最小值. 答案：(Ⅱ)设 A(t，2)，B(x0，y0)，x0≠0，则 ∵OA⊥OB， ∴ 0OA OB  ， ∴tx0+2y0=0，∴ 0 0 2 yt x ， ∵x0 2+2y0 2＝4， ∴         2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 222 02 2 200 0 0 022 00 2 20 02 0 222 2 ( 444442 8 4 0 42 ) yAB x t y x yx xyxx y xxx x xx                      ＜ ， 因为 2 0 2 0 8 42 x x (0＜x0 2≤4)，当且仅当 2 0 2 0 8 2 x x ，即 x0 2=4 时等号成立，所以|AB|2≥ 8. ∴线段 AB 长度的最小值为 2 2 . 21.已知函数   1 alnxbfx xx ，曲线 y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 x+2y-3=0. (Ⅰ)求 a、b 的值. 解析：(Ⅰ)根据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切 线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出 a，b 的值. 答案：(Ⅰ)    2 2 1 1 xa lnx bxfx xx      ＝ . 由于直线 x+2y-3=0 的斜率为 1 2 ，且过点(1，1) 所以 1 1 22 b a b   ＝ ＝ ， 解得 1 1 a b    . (Ⅱ)证明：当 x＞0，且 x≠1 时，   1 lnxfx x  ＞ . 解析：(Ⅱ)构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函 数的最值，证得不等式. 答案：(Ⅱ)由(I)知   1 1 lnxfx xx ， 所以   2 2 11211 lnxxfxlnx xxx     ＝ . 考虑函数   2 1 )20(xhxlnxx x ＝ ＞ ， 则      222 22 2112 xx xhx xxx   ＝ ＝ ， 所以当 x≠1 时，h′(x)＜0 而 h(1)=0， 当 x∈(0，1)时，h(x)＞0 可得  2 1 01 hxx ＞ ； 当 x∈(1，+∞)时，h(x)＜0，可得  2 1 01 hxx ＞ . 从而当 x＞0 且 x≠1 时，   01 lnxfx x  ＞ 即   1 lnxfx x  ＞ . 请考生在 22.23.24 三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分. 22.已知四边形 ABCD 内接于⊙O，AD：BC=1：2，BA、CD 的延长线交于点 E，且 EF 切⊙O 于 F. (Ⅰ)求证：EB=2ED. 解析：(Ⅰ)根据圆内接四边形的性质，可得∠EAD=∠C，进而可得△AED∽△CEB，结合相似 三角形的性质及已知可得结论. 答案：(Ⅰ)∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠EAD=∠C， 又∵∠DEA=∠BEC， ∴△AED∽△CEB， ∴ED：EB=AD：BC=1：2， 即 EB=2ED. (Ⅱ)若 AB=2，CD=5，求 EF 的长. 解析：(Ⅱ)根据切割线定理可得 EF2=ED·EC=EA·EB，设 DE=x，由 AB=2，CD=5 构造方程， 解得 DE，进而可得 EF 长. 答案：(Ⅱ)∵EF 切⊙O 于 F. ∴EF2=ED·EC=EA·EB， 设 DE=x，则由 AB=2，CD=5 得： x(x+5)=2x(2x-2)，解得：x=3， ∴EF2=24，即 EF=2 6 . 23.在平面直角坐标系 xoy 中，以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线 l 的参数方程为： 2 4 2 2 2 2 xt yt     ＝ ＝ (t 为参数)，两 曲线相交于 M，N 两点. (Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程. 解析：(Ⅰ)根据 x=ρcosθ、y=ρsinθ，写出曲线 C 的直角坐标方程；用代入法消去参数 求得直线 l 的普通方程. 答案：(Ⅰ)根据 x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线 C 的直角坐标方程为 y2=4x， 用代入法消去参数求得直线 l 的普通方程 x-y-2=0. (Ⅱ)若 P(-2，-4)，求|PM|+|PN|的值. 解析：(Ⅱ)把直线 l 的参数方程代入 y2=4x，得到 2 12 4 02 8tt＝ ，设 M，N 对应的参数 分别为 t1，t2，利用韦达定理以及|PM|+|PN|=|t1+t2|，计算求得结果. 答案：(Ⅱ)直线 l 的参数方程为： 2 4 2 2 2 2 xt yt     ＝ ＝ (t 为参数)， 代入 y2=4x，得到 2 12402 8tt＝ ，设 M，N 对应的参数分别为 t1，t2， 则 t1+t2=12 2 ，t1·t2=48，∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=12 2 . 24.设函数 f(x)=|x-4|+|x-a|(a＞1)，且 f(x)的最小值为 3. (Ⅰ)求 a 的值. 解析：(Ⅰ)由条件利用绝对值的意义可得|a-4|=3，再结合 a＞1，可得 a 的值. 答案：(Ⅰ)函数 f(x)=|x-4|+|x-a|表示数轴上的 x 对应点到 4、a 对应点的距离之和，它的 最小值为|a-4|=3， 再结合 a＞1，可得 a=7. (Ⅱ)若 f(x)≤5，求满足条件的 x 的集合. 解析：(Ⅱ)把 f(x)≤5 等价转化为的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集， 即得所求. 答案：(Ⅱ) 2114 47347 2117 xx fxxxx xx      ， ＜ （ ） ， ， ＞ ，故由 f(x)≤5 可得， 4 2115 x x   ＜ ①，或 47 35 x   ②，或 7 2115 x x    ＞ ③. 解①求得 3≤x＜4，解②求得 4≤x≤7，解③求得 7＜x≤8， 所以不等式的解集为[3，8].