备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题67 取球、比赛与闯关问题

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题67 取球、比赛与闯关问题

专题67 取球、比赛与闯关问题 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 纵观近几年的高考概率统计问题，往往以实际问题为背景，围绕比赛、娱乐“闯关”、取球等设计问题，考查概率、统计、离散型随机变量及其数字特征在实际问题中的应用．考查数据处理能力以及分析问题解决问题的能力．‎ 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.‎ ‎（一）取球问题 在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下：‎ ‎1、独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同.‎ ‎2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取”‎ ‎3、与条件概率相关：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的结果对后一步抽球的影响 ‎4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本事件为等可能事件），通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分子分母的计数.‎ ‎5、数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等），在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解.‎ ‎（二）比赛与闯关问题 ‎1、常见的比赛规则 ‎（1）局胜制：这种规则的特点为一旦某方获得次胜利即终止比赛.所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到胜.‎ 例如：甲，乙两队举行排球比赛，比赛采取5局3胜制，已知甲获胜的概率为，求甲以获胜的概率：‎ 解：本题不能认为“四局中甲赢得三局”，从而，因为如果前三局连胜，则结束比赛而不会开始第四局，所以若比分为，则第四局甲获胜，前三局的比分为，所以 ‎（2）连胜制：规定某方连胜场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后场连胜且之前没有达到场连胜.‎ 24‎ 例如：甲，乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终止.已知甲获胜的概率为，求甲在第5局终止比赛并获胜的概率 ‎ 解：若第5局比赛结束，根据连胜三局终止比赛的规则，可知甲在第3,4,5局获胜，且第二局失败（否则若第二局获胜，则第四局就达到三连胜），第一局无论胜负不影响获胜结果.所以 ‎ ‎（3）比分差距制：规定某方比对方多分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于 ‎ ‎（4）“一票否决制”：在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰.此类问题要注意若达到第阶段，则意味着前个阶段均能通关 ‎2、解答此类题目的技巧：‎ ‎（1）善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”.例如：表示“第局比赛胜利”，则表示“第局比赛失败”.‎ ‎（2）善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用解出所求事件概率.在处理离散性随机变量分布列时，也可利用概率和为1的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件概率 ‎【经典例题】‎ 例1.【2016高考北京文数】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.‎ 学生序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 立定跳远（单位：米）‎ ‎1.96‎ ‎1.92‎ ‎1.82‎ ‎1.80‎ ‎1.78‎ ‎1.76‎ ‎1.74‎ ‎1.72‎ ‎1.68‎ ‎1.60‎ ‎30秒跳绳（单位：次）‎ ‎63‎ a ‎75‎ ‎60‎ ‎63‎ ‎72‎ ‎70‎ a−1‎ b ‎65‎ 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则 A.2号学生进入30秒跳绳决赛 B.5号学生进入30秒跳绳决赛 ‎ C.8号学生进入30秒跳绳决赛 D.9号学生进入30秒跳绳决赛 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 24‎ 例2.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）‎ A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 ‎ C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球；A：由于抽到的两个球是红球和黑球的次数是奇数还是偶数无法确定，故无法判定乙盒和丙盒中异色球的大小关系，而抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故选C.‎ 例3.【2019届浙江省杭州市第二中学仿真考】已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.‎ 详解：根据题意有，如果交换一个球，‎ 有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，‎ 红球的个数就会出现三种情况；‎ 如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，‎ 24‎ 对应的红球的个数就是五种情况，所以分析可以求得，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.‎ 例4．【浙江省金华市浦江县2019年高考适应性考试】袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，去除后不放回，直到渠道有两种不同颜色的球时即终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量的数字期望是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 例5.【2017江苏，23】 已知一个口袋有个白球,个黑球(),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率;‎ ‎（2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,是的数学期望,证明:‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为: . ‎ ‎(2) 随机变量 X 的概率分布为: ‎ X ‎…‎ ‎…‎ 24‎ P ‎…‎ ‎…‎ 随机变量 X 的期望为：‎ 例6. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.‎ ‎（1）求甲在局以内（含局）赢得比赛的概率；‎ ‎（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和期望.‎ 24‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 期望.‎ ‎（2）思路：首先依题意能确定可取的值为，若提前结束比赛，则按（1）的想法，除了最后两场要连胜（或连败），其余各场应“胜负交替”.在每个事件中要分甲获胜和乙获胜两种情况进行讨论 解：可取的值为 的分布列为：‎ 例7. ‎ 24‎ 袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍，每次从袋中摸出一个球，然后放回，若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第5次摸球后结束 ‎ ‎（1）求摸球四次就停止的事件发生的概率 ‎（2）记摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及其期望 ‎【答案】（1）；（2）‎ 期望.‎ ‎（2）思路：可知可取的值为，当时，摸球是通过完成5次后停止，所以可利用独立重复试验模型计算概率；当时，按照规则有可能摸球提前结束，所以要按摸球的次数（3次，4次，5次）分类讨论后再汇总 解：可取的值为 ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ 24‎ 例8. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲，乙两个盒内各任取2个球 ‎（1）求取出的4个球中没有红球的概率 ‎（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率 ‎（3）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望 ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】思路：本题这三问的关键在于所取球中红球的个数，考虑红球个数来自于两个盒内拿出红球个数的总和，所以可将红球总数进行分配，从而得到每个盒中出红球的情况，进而计算出概率 ‎（1）设事件为“甲盒中取出个红球”，事件为“乙盒中取出个红球”‎ ‎（3）可取的值为 24‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ 例9.【2016高考山东文数】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：‎ ‎①若，则奖励玩具一个； ‎ ‎②若，则奖励水杯一个；‎ ‎③其余情况奖励饮料一瓶.‎ 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.‎ ‎（I）求小亮获得玩具的概率；‎ ‎（II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.‎ ‎【答案】（）.（）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.‎ ‎【解析】‎ 24‎ 试题分析：用数对表示儿童参加活动先后记录的数，写出基本事件空间与点集一一对应.得到基本事件总数.‎ ‎（）利用列举法，确定事件包含的基本事件，计算即得.‎ ‎（）记“”为事件，“”为事件.‎ 确定事件包含的基本事件共有个， ‎ 事件包含的基本事件共有个，计算得到，比较即知.‎ ‎（）记“”为事件，“”为事件.‎ 则事件包含的基本事件共有个，即 所以，‎ 则事件包含的基本事件共有个，即 所以，‎ 因为 所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.‎ 例10.【2016高考山东理数】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：‎ ‎（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；‎ ‎（2）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.‎ 24‎ ‎【答案】（1）（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.‎ 由题意， ‎ 由事件的独立性与互斥性，‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.‎ ‎ (Ⅱ)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.‎ 由事件的独立性与互斥性，得 ‎ ,‎ ‎,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ 24‎ ‎ ,‎ ‎.‎ 可得随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ P 所以数学期望.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．一袋中有6个黑球，4个白球 ‎（1）不放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率 ‎（2）有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率 ‎（3）有放回的依次取出3个球，求取到白球个数的分布列，期望和方差 ‎ ‎【答案】（1）（2）（3）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎（2）思路：因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独立重复试验模型，所以第三次取球时依然是6个黑球，3个白球，取得黑球的概率为 解：设事件为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”‎ 24‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2.甲、乙两袋中各装有大小相同的小球个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为、、，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．‎ ‎（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；‎ ‎（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记成功取法次数为随机变量，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ 解：（1）设事件为“两只手中所取的球颜色不同”，则为“两只手中所取的球颜色相同”‎ ‎（2）可取的值为 左手取球成功的概率 24‎ 右手取球成功的概率 ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为 ‎3.某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．‎ ‎（1）求分别获得一、二、三等奖的概率；‎ ‎（2）设摸球次数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎（2）摸球次数可取的值为 24‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎4.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球；乙箱子里面装有1个白球，2个黑球；这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏后将球放回原箱）‎ ‎（1）求在一次游戏中 ‎① 摸出3个白球的概率 ‎② 获奖的概率 ‎（2）求在三次游戏中获奖次数的分布列与期望 ‎【答案】（1）（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎② 设事件为“获奖”（即白球不少于2个）‎ ‎ ‎ 24‎ ‎（2）思路：三次游戏可视为独立重复试验，所以获奖次数服从二项分布，由（1）可得 ，从而可利用公式计算概率，列出分布列 解：可取的值为，依题意可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎5.一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的.‎ ‎（1）从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；‎ ‎（2）一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”（每次操作完成后将球放回），某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为，求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ 24‎ 的取值为，依题意可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎6.袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等.‎ ‎（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；‎ ‎（2）用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎（1）思路：本题的特点在于每个编号都有3个球，若将这12个球视为不同元素，则可利用古典概型进行计算，设为“12个球中任取3个”，则，事件为“三个球数字各不相同”，则计数时第一步要先选出不同的三个编号，即，然后每个编号中都有3个小球可供选择，即，所以.进而可计算出 解：设事件为“三个球数字各不相同”‎ 24‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎7.一个盒子中装有大小相同的小球个，在小球上分别标有的号码，已知从盒子中随机的取出两个球，两球的号码最大值为的概率为，‎ ‎（1）盒子中装有几个小球？‎ ‎（2）现从盒子中随机的取出4个球，记所取4个球的号码中，连续自然数的个数的最大值为随机变量（如取2468时，；取1246时，，取1235时，）‎ ‎【答案】（1）（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎（1）思路：以两球号码最大值为的概率为入手点，则该叙述等价于“取出一个号球和一个其它号码球的概率为，从而利用古典概型列出关于的方程并解出 24‎ 解：设事件为 “两球号码最大值为”‎ 即 解得：‎ ‎（2）思路：由（1）可得小球的编号为，结合所给的例子可知的取值为，其概率可用古典概 解：的取值为 ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎8.甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是，规定有一方累计2胜或者累计2和时，棋局结束.棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累计2胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军.设结束时对弈的总局数为X．‎ ‎（1）设事件：“且甲获得冠军”，求A的概率；‎ ‎（2）求X的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ 24‎ ‎（1）思路：事件代表“对弈3局且甲获胜”所以甲必须在第三场获胜，且前两场为一胜一和或一胜一负（胜负先后顺序均可）.按照这几种情况找到对应概率相乘即可 解：设事件为“甲在第局取胜”，事件为“第局和棋”，‎ 事件为“乙在第局取胜”‎ ‎ ‎ ‎（2）思路：依题意可得只要有两个相同的结果就结束比赛，所以最多进行4次比赛，最少进行2次比赛，‎ 的分布列为 点睛：在随机变量所取的值中，如果只有一个值的概率包含情况较多不易计算，那么可以考虑先计算出其他取值的概率，再用1减去其他概率即可 ‎ ‎9．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．‎ ‎（1）求该选手被淘汰的概率；‎ ‎（2）记该选手在考核中回答问题的个数为，求随机变量的分布列与数学期望．‎ 24‎ ‎【答案】（1）（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎（1）思路：依题可知，比赛规则为：只要打错一个即被淘汰，如果从问题的正面考虑，则要考虑到是第几轮被淘汰，情况较多.但此问题的反面为“答对所有问题”，概率易于表示，所以考虑利用对立事件进行求解 ‎ ‎ 的分布列为 ‎10.某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要进行比赛，根据规则：每两支队伍之间都要比赛一场；每场比赛胜者得分，负者得分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为，乙队获得第一名的概率为．‎ ‎（1）求甲队分别战胜乙队和丙队的概率；‎ ‎（2）设在该次比赛中，甲队得分为，求的分布列及期望．‎ ‎【答案】（1）（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ 24‎ ‎（1）思路：解决要通过甲队第一的概率与乙队第一的概率两个条件.若甲队第一名，则甲战胜乙且战 ‎（2）思路：依题意可知可取的值为，即两战全负；即一胜一负，要分成“胜乙负丙”和“负乙胜丙”两种情况讨论；即两战全胜；分别求出概率即可.‎ ‎ 可取的值为 的分布列为 ‎11.甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为． ‎ ‎（1）求甲队分别以，获胜的概率；‎ ‎（2）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】（1）（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ 24‎ ‎ ‎ ‎（2）思路：比赛的场数取决于甲是否取胜，所以可取的值为，若，则甲获胜，即胜第五场；若则甲获胜，即乙胜第五场，甲胜第六场；若，则只需前六场打成即可，所以只需乙连赢两场.分别计算概率即可得到分布列和期望 比赛场数可取的值为 ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为 ‎12.某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会（后两关总共只有一次机会），已知某人前三关每关通过的概率都是，后两关每关通过的概率都是 ‎ ‎（1）求该人获得奖金的概率 ‎（2）设该人通过的关数为，求随机变量的分布列及数学期望 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 24‎ ‎【解析】‎ ‎（1）思路：若该人获得奖金，则前三关必须通过，后两关可以通过，或者只有一次未通过，借助机会再次为第四关通过且第五关失利两次；为五关全部通过获得奖金（即第一问的结果），其中由于情况较为复杂，所以考虑利用进行处理 ‎ 的取值为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 24‎