高中人教a版数学必修4:习题课(四) word版含解析

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高中人教a版数学必修4:习题课(四) word版含解析

习题课(四) 一、选择题 1.若α∈(0,π),且 cosα+sinα=-1 3 ,则 cos2α=( ) A. 17 9 B.- 17 10 C.- 17 9 D. 17 10 答案:A 解析:因为 cosα+sinα=-1 3 ,α∈(0,π),所以 sin2α=-8 9 ,cosα<0,且α∈ 3π 4 ,π , 所以 2α∈ 3π 2 ,2π ,所以 cos2α= 1-sin22α= 17 9 .故选 A. 2.已知 sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα=3 5 ,β是第三象限角,则 sin(2β+7π)=( ) A.24 25 B.-24 25 C.-12 25 D.12 25 答案:B 解析:∵sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα=sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=sin[(α-β)-α] =sin(-β)=-sinβ=3 5 ,∴sinβ=-3 5.又β是第三象限角,∴cosβ=-4 5 ,∴sin(2β+7π)=-sin2β =-2sinβcosβ=-2× -3 5 × -4 5 =-24 25. 3.已知角α,β均为锐角,且 cosα=3 5 ,tan(α-β)=-1 3 ,则 tanβ=( ) A.1 3 B. 9 13 C.13 9 D.3 答案:D 解析:由于α,β均为锐角,cosα=3 5 ,则 sinα=4 5 ,tanα=4 3.又 tan(α-β)=-1 3 ,所以 tanβ =tan[α-(α-β)]= tanα-tanα-β 1+tanαtanα-β = 4 3 +1 3 1-4 3 ×1 3 =3.故选 D. 4.函数 f(x)=cos2x+sin2x+2(x∈R)的值域是( ) A.[2,3] B. 5 2 ,3 C.[1,4] D.[2,4] 答案:A 解析:因为 f(x)=cos2x+sin2x+2=3-2sin2x+sin2x=3-sin2x,sinx∈[-1,1],所以 f(x) ∈[2,3].故选 A. 5.已知 tanα,tanβ是方程 x2+3 3x+4=0 的两根,且α,β∈ -π 2 ,π 2 ,则α+β等于 ( ) A.π 3 B.-2π 3 C.π 3 或-2π 3 D.-π 3 或2π 3 答案:B 解析:由题意,得 tanα+tanβ=-3 3,tanαtanβ=4,∴tanα<0 且 tanβ<0.又∵α,β∈ -π 2 ,π 2 ,∴α,β∈(-π 2 ,0).tan(α+β)= tanα+tanβ 1-tanαtanβ =-3 3 1-4 = 3,又知α+β∈(-π,0), ∴α+β=-2π 3 . 6.化简 2+cos2-sin21的结果是( ) A.-cos1 B.cos1 C. 3cos1 D.- 3cos1 答案:C 解析:原式= 1+cos21+2cos21-1= 3cos21= 3cos1. 二、填空题 7.已知 sin x+π 4 =3 5 ,则 sin2x=________. 答案:- 7 25 解析:∵sin x+π 4 =3 5 ,∴sinx+cosx=3 2 5 ,两边平方,得 1+sin2x=18 25 ,∴sin2x=- 7 25. 8.已知 cos α-π 6 +cos π 2 -α =4 3 5 ,且α∈ 0,π 3 ,则 sin α+5π 12 =________. 答案:7 2 10 解析:因为cos α-π 6 +cos π 2 -α =4 3 5 ,所以cos α-π 6 +sinα=4 3 5 ,所以 3 2 cosα+1 2sinα +sinα=4 3 5 ,所以 3 1 2cosα+ 3 2 sinα =4 3 5 ,得 sin α+π 6 =4 5.因为α∈ 0,π 3 ,故α+π 6 ∈ π 6 ,π 2 ,所以 cos α+π 6 =3 5 ,所以 sin α+5π 12 =sin α+π 6 +π 4 =sin α+π 6 cosπ 4 +cos α+π 6 sinπ 4 =4 5 × 2 2 +3 5 × 2 2 =7 2 10 . 9.已知θ为第二象限角,tan2θ=-2 2,则 2cos2θ 2 -sinθ-tan5π 4 2sin θ+π 4 =________. 答案:3+2 2 解析:∵tan2θ= 2tanθ 1-tan2θ =-2 2,∴tanθ=- 2 2 或 tanθ= 2.∵π 2 +2kπ<θ<π+2kπ,k∈ Z,∴tanθ<0,∴tanθ=- 2 2 , 2cos2θ 2 -sinθ-tan5π 4 2sin θ+π 4 = 2cos2θ 2 -sinθ-1 2sin θ+π 4 =cosθ-sinθ cosθ+sinθ =1-tanθ 1+tanθ = 1+ 2 2 1- 2 2 =3+2 2. 三、解答题 10.已知函数 f(x)=2sin 1 3x-π 6 ,x∈R. (1)求 f(0)的值; (2)设α、β∈ 0,π 2 , f(3α+π 2)=10 13 , f(3β+2π)=6 5 ,求 sin(α+β)的值. 解:(1)f(0)=2sin 1 3 ×0-π 6 =-2sinπ 6 =-1. (2)f 3α+π 2 =2sin 1 3 3α+π 2 -π 6 =2sinα=10 13 ,∴sinα= 5 13. 又α∈ 0,π 2 ,∴cosα=12 13. 同理 f(3β+2π)=2sin 1 3 3β+2π-π 6 =2sin β+π 2 =2cosβ=6 5 , ∴cosβ=3 5 ,又β∈ 0,π 2 ,∴sinβ=4 5. ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ = 5 13 ×3 5 +12 13 ×4 5 =63 65. 11.已知α是第一象限的角,且 cosα= 5 13 , 求 sin α+π 4 cos2α+4π 的值. 解: sin α+π 4 cos2α+4π = 2 2 cosα+sinα cos2α = 2 2 cosα+sinα cos2α-sin2α = 2 2 · 1 cosα-sinα . 由已知可得 sinα=12 13 , ∴原式= 2 2 × 1 5 13 -12 13 =-13 2 14 . 能力提升 12.向量 a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),a 与 b 的夹角为 60°,则直线 xcosα- ysinα=1 2 与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=1 2 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.随α、β的值而定 答案:B 解析:cos60°= a·b |a||b| =6cosαcosβ+6sinαsinβ 2×3 =cos(α-β)=1 2. 圆心(cosβ,-sinβ)到直线 xcosα-ysinα=1 2 的距离为 |cosαcosβ+sinαsinβ-1 2| cos2α+-sinα2 =0, 所以圆心在直线上,圆与直线相交. 13.已知向量 m=( 3sinx,1- 3cosx),n=(1-sinx,cosx),函数 f(x)=m·n+ 3. (1)求函数 f(x)的零点; (2)若 f(α)=8 5 ,且α∈ π 2 ,π ,求 cosα的值. 解 :(1)f(x)= m·n + 3 = 3 sinx - 3 sin2x + cosx - 3 cos2x + 3 = 3 sinx +cosx = 2sin x+π 6 . 由 2sin x+π 6 =0,得 x+π 6 =kπ(k∈Z),所以 x=kπ-π 6(k∈Z), 所以函数 f(x)的零点为 x=kπ-π 6(k∈Z). (2)由(1),知 f(α)=2sin α+π 6 =8 5 ,所以 sin α+π 6 =4 5 , 因为α∈ π 2 ,π ,所以2π 3 <α+π 6<7π 6 , 则 cos α+π 6 =-3 5 , 所以 cosα=cos α+π 6 -π 6 = cos α+π 6 cosπ 6 +sin α+π 6 sinπ 6 =-3 5 × 3 2 +4 5 ×1 2 =4-3 3 10 .
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