高考真题——理科数学北京卷解析

高考真题——理科数学北京卷解析

本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第一部分（选择题共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C 考点：集合交集.‎ ‎2.若，满足，则的最大值为（ ）‎ A.0 B.3 C.4 D.5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C. ‎ 考点：线性规划.‎ ‎3.执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为（ ）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】B 考点：算法与程序框图 ‎4.设，是向量，则“”是“”的（ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由，故是既不充分也不必要条件，故选D.‎ 考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积.‎ ‎5.已知，，且，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C 考点： 函数性质 ‎6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥，其体积，故选A.‎ 考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算.‎ ‎7.将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）‎ A.，的最小值为 B. ，的最小值为 ‎ C.，的最小值为 D.，的最小值为 ‎ ‎【答案】A 考点：三角函数图象平移 ‎8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）‎ A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 ‎ C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽 到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球；A：由于抽到的两个球是红球和黑球的次数是奇数还是偶数无法确定，故无法判定乙盒和丙盒中异色球的大小关系，而抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故选C.‎ 考点：概率统计分析.‎ 第二部分（非选择题　共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9.设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_______________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，故填：.‎ 考点：复数运算 ‎10.在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）‎ ‎【答案】60.‎ 考点：二项式定理.‎ ‎11.在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为过圆圆心，因此，故填：.‎ 考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.‎ ‎12.已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______..‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵是等差数列，∴，，，，‎ ‎∴，故填：6．‎ 考点：等差数列基本性质.‎ ‎13.双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则_______________.‎ ‎【答案】2‎ 考点：双曲线的性质 ‎14.设函数.‎ ‎ ①若，则的最大值为______________；‎ ‎ ②若无最大值，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】，.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图作出函数与直线的图象，它们的交点是，，，由，知是函数的极大值点，‎ ‎①当时，，因此的最大值是；‎ ‎②由图象知当时，有最大值是；只有当时，由，因此无最大值，∴所求的范围是，故填：，‎ ‎．‎ 考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.‎ 三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎15.（本小题13分）‎ 在ABC中，.‎ ‎（1）求 的大小；‎ ‎（2）求 的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎，因为，所以当时，取得最大值.‎ 考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理.‎ 16. ‎（本小题13分）‎ A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；‎ A班 ‎6 6. 5 7 7.5 8‎ B班 ‎6 7 8 9 10 11 12‎ C班 ‎3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5‎ ‎（1）试估计C班的学生人数；‎ ‎（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；‎ ‎（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断和的大小，（结论不要求证明）‎ ‎【答案】（1）40；（2）；（3）.‎ 因此 ‎（3）根据平均数计算公式即可知，.‎ 考点：1.分层抽样；2.独立事件的概率；3.平均数 ‎17.（本小题14分）‎ 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，‎ ‎，，.‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由面面垂直性质定理知AB⊥平面；根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理可知平面；（2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值；（3）假设存在，根据A，P，M三点共线，设，根据平面，即，求的值，即可求出的值.‎ 试题解析：（1）因为平面平面，，‎ 所以平面，所以，‎ 又因为，所以平面；‎ 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.‎ ‎18.（本小题13分）‎ 设函数，曲线在点处的切线方程为，‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求的单调区间.‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题意求出，根据，，求，的值；‎ ‎（2）由题意知判断，即判断的单调性，知，即，由此求得的单调区间.‎ 考点：导数的应用.‎ ‎19.（本小题14分）‎ 已知椭圆C： （）的离心率为 ，，，，的面积为1.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.‎ 求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据离心率为，即，的面积为1，即，椭圆中列方程求解；（2）根据已知条件分别求出，的值，求其乘积为定值.‎ ‎.‎ 当时，，‎ 所以.‎ 综上，为定值.‎ 考点：1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.‎ ‎20.（本小题13分）‎ ‎ 设数列A： ， ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 ＜ ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.‎ ‎（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；‎ ‎（2）证明：若数列A中存在使得>，则 ；‎ ‎（3）证明：若数列A满足- ≤1（n=2,3, …,N）,则的元素个数不小于 -.‎ ‎【答案】（1）的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解析.‎ 如果，取，则对任何.‎ 从而且.‎ 又因为是中的最大元素，所以.‎ 考点：数列、对新定义的理解.‎ ‎ ‎