2020届衡阳市八中第六次月考试题 理科数学

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2020届衡阳市八中第六次月考试题 理科数学

衡阳市八中2020届高三第六次月考试题 理科数学 命题:彭 源 审题:蒋金元 考试时量:120分钟 试卷满分:150分 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.设集合,则 A. B. C. D. ‎ ‎2. 设为虚数单位,若是纯虚数,则 ‎ A. B. C.1 D.‎ ‎3. 已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示:‎ 根据该折线图可知,下列说法错误的是 A.该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高 B.该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低 C.该超市2019年1~6月份的总收益低于2019年7~12月份的总收益 D.该超市2019年7~12月份的总收益比2019年1~6月份的总收益增长了90万元 ‎4.已知,则 A. B. C. D.‎ ‎5. 已知,满足,则 A. B. C. D.‎ ‎6. 函数图象的大致形状是 ‎ ‎ A B C D ‎7.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米,当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟先他10米,当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟先他1米,……所以,阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时,乌龟爬行的总距离为 ‎ A.米 B.米 C.米 D.米 ‎8.已知函数,且在上单调.则下列说法正确的是 A. B. ‎ C.函数在上单调递增 D.函数的图象关于点对称 ‎9.在中,,满足,则的面积的最大值为 A. B. 2 C. D. ‎ ‎10.已知双曲线C:,分别为其左、右焦点,为坐标原点,‎ 若点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心,为半径的圆上,则C的离心率是 A. B. C.2 D.‎ ‎11. 在正方体中,,分别为,上的动点,且满足,则下列4个命题中:‎ ‎①存在,某一位置,使; ②的面积为定值;‎ ‎③当时,直线与直线一定异面; ‎ ‎④无论,运动到何位置,均有. 其中所有正确命题的序号是 ‎ A. ①②④ B. ①③④ C. ①③ D. ②④‎ ‎12.若函数在区间内有两个不同的零点,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分. 把答案填在答题卡中的横线上)‎ ‎13.若的展开式中的系数为,则实数__ __.‎ ‎14.在菱形中,,将这个菱形沿对角线折起,使得平面平 面,若此时三棱锥的外接球的表面积为,则的长为 .‎ ‎15.已知数列满足,,,则(1) ,‎ ‎(2) .‎ ‎16.如图,衡阳市有相交于点的一条东西走向的公路与一条南北走向的公路,有一商城的部分边界是椭圆的四分之一,这两条公路为椭圆的对称轴,椭圆的长半轴长为2,短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议,欲新建一条公路,点分别在公路上,且要求与椭圆形商城相切,当公路长最短时,的长为________千米.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎(一)必考题:60分.‎ ‎17.(本小题满分12分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.‎ ‎(1)求角B的值;‎ ‎(2)若△ABC的面积为,设D为边AC的中点,求线段BD长的最小值.‎ ‎18.(本小题满分12分) 已知正方形ABCD,E,F分别为AB,CD的中点,将△ADE沿DE折起,使△ACD为等边三角形,如图所示,记二面角A-DE-C的大小为.‎ ‎(1)证明:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上;‎ ‎(2)求角的正弦值.‎ ‎19.(本小题满分12分) 如图,已知椭圆的长轴长为4,过椭圆的右焦点为F作斜率为的直线交椭圆于B,C两点,直线的斜率之积为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)已知直线,直线分别与相交于 两点,设为线段的中点,求证:‎ ‎20.(本小题满分12分)已知函数.‎ ‎(1)当时,求函数在区间上的值域;‎ ‎(2)对于任意,都有,求实数的取值范围.‎ ‎21. (本小题满分12分) 随着科学技术的飞速发展,网络也已经逐渐融入了人们的日常生活,网购作为一种新的消费方式,因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数,得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年,“x=2”表示2016年,依次类推;y表示人数):‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y(万人)‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎180‎ ‎(1)试根据表中的数据,求出y关于x的线性回归方程,并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人;‎ ‎(2)该公司为了吸引网购者,特别推出“玩网络游戏,送免费购物券”活动,网购者可根据抛掷骰子的结果,操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”,则网购者可获得免费购物券500元;若遥控车最终停在“失败大本营”,则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是,方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格,网购者每抛掷一次骰子,遥控车向前移动一次。若掷出奇数,遥控车向前移动一格(从到)若掷出偶数遥控车向前移动两格(从到),直到遥控车移到第19格胜利大本营)或第20格(失败大本营)时,游戏结束。设遥控车移到第格的概率为,试证明是等比数列,并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值。‎ 附:在线性回归方程中,.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22. (本小题满分10分) [选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中,点,直线的参数方程为(t为参数),在以 为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程,直线与曲线C交于A、B两点.‎ ‎(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎23. (本小题满分10分) [选修4-5:不等式选讲] ‎ 已知函数.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;;‎ ‎(2)证明:.‎
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