高考数学二轮考点专题突破圆锥曲线的概念及性质

高考数学二轮考点专题突破圆锥曲线的概念及性质

第二讲　圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 ‎1．(2010·安徽)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)‎ A.B.C.D．(，0)‎ 解析：∵原方程可化为－＝1，a2＝1，‎ b2＝，c2＝a2＋b2＝，‎ ‎∴右焦点为.‎ 答案：C ‎2．(2010·天津)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个 焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：∵渐近线方程是y＝x，∴＝.①‎ ‎∵双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上，‎ ‎∴c＝6.②‎ 又c2＝a2＋b2，③‎ 由①②③知，a2＝9，b2＝27，‎ 此双曲线方程为－＝1.‎ 答案：B ‎4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，‎ A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　)‎ A．4 B．8 C．8D．16‎ 解析：解法一：AF直线方程为：‎ y＝－(x－2)，‎ 当x＝－2时，y＝4，∴A(－2,4)．‎ 当y＝4时代入y2＝8x中，x＝6，‎ ‎∴P(6,4)，‎ ‎∴|PF|＝|PA|＝6－(－2)＝8.故选B.‎ 解法二：∵PA⊥l，∴PA∥x轴．‎ 又∵∠AFO＝60°，∴∠FAP＝60°，‎ 又由抛物线定义知PA＝PF，‎ ‎∴△PAF为等边三角形．‎ 又在Rt△AFF′中，FF′＝4，‎ ‎∴FA＝8，∴PA＝8.故选B.‎ 答案：B ‎5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点的轨迹为(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，＝，从而 PC＝2PA.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图 ‎2)，则A(－5,0)，C(5,0)，设P(x，y)，得＝2 化简得x2＋y2＋x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆．‎ 答案：A 二、填空题 解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在 抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．‎ 解析：F，则B，‎ ‎∴2p×＝1，解得p＝.‎ ‎∴B，因此B到该抛物线的准线的距离为＋＝.‎ 答案： ‎8．(2010·北京)已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，‎ 那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．‎ 解析：∵椭圆＋＝1的焦点为(±4,0)，∴双曲线的焦点坐标为(±4,0)，‎ ‎∴c＝4，＝2，c2＝a2＋b2，‎ ‎∴a＝2，b2＝12，‎ ‎∴双曲线方程为－＝1，‎ ‎∴渐近线方程为y＝±x＝±x，‎ 即x±y＝0.‎ 答案：(±4,0)　x±y＝0‎ 即xD＝，由椭圆的第二定义得|FD|＝e＝a－.又由|BF|＝2|FD|，得a＝‎ ‎2a－，整理得a2＝3c2，‎ 即e2＝，解得e＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎10．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，‎ 过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．‎ 解：解法一：设椭圆的标准方程是＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，两个焦点 分别为F1、F2，则由题意，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，∴a＝.在方程＋＝1‎ 中，令x＝±c，得|y|＝.在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝.依题意知＝，‎ ‎∴b2＝.即椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.‎ 解法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，‎ 则|PF1|＝，|PF2|＝.‎ 由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，即a＝.‎ 由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴．‎ 故在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝，‎ ‎∴c2＝，于是b2＝a2－c2＝.‎ 又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋ ‎＝1或＋＝1.‎ ‎11．(2010·湖北)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到 y轴距离的差都是1.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，‎ 都有·<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由 解：(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足－x＝1(x>0)，‎ 化简得y2＝4x(x>0)．‎ ‎(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 设l的方程为x＝ty＋m，由得 y2－4ty－4m＝0，‎ Δ＝16(t2＋m)>0，于是①‎ 又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，‎ ·<0⇔(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0.②‎ 又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－＋1<0⇔＋y1y2－[(y1＋‎ y2)2－2y1y2]＋1<0，③‎ 由①式，不等式③等价于m2－6m＋1<4t2，④‎ 对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1<0，‎ 即3－20，b>0)，离心率e＝，顶点 到渐近线的距离为.‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎ (2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两 条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若＝λ，λ∈‎ ，求△AOB面积的取值范围．‎ 解：解法一：(1)由题意知，双曲线C的顶点(0，a)到渐近线ax－by＝0的距离为，‎ ‎∴＝，即＝.‎ 由得 ‎∴双曲线C的方程为－x2＝1.‎ ‎(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y＝±2x.‎ 设A(m,2m)，B(－n,2n)，m>0，n>0.‎ 由＝λ＝λ得P点的坐标为，‎ 将P点坐标代入－x2＝1，‎ 化简得mn＝，‎ 设∠AOB＝2θ，∵tan＝2，‎ ‎∴tan θ＝，sin 2θ＝.‎ 又|OA|＝m，|OB|＝n，‎ ‎∴S△AOB＝|OA|·|OB|·sin 2θ ‎＝2mn＝＋1.‎ 记S(λ)＝＋1，λ∈，‎ 则S′(λ)＝ 由S′(λ)＝0得λ＝1，又S(1)＝2，‎ S＝，S(2)＝，‎ ‎∴当λ＝1时，△AOB的面积取得最小值2，当λ＝时，△AOB的面积取得最大值.∴△AOB面积的取值范围是.‎ 解法二：(1)同解法一．‎ ‎(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m 由题意知|k|<2，m>0.‎ 由 得A点的坐标为，‎ 由，得B点的坐标为.‎ 由=λ得P点的坐标为 ，‎ 将P点坐标代入－x2＝1得＝.‎ 设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为(0，m)．‎ S△AOB＝S△AOQ＋S△BOQ＝|OQ|·|xA|＋|OQ|·|xB|＝m·(xA－xB)＝m＝· ‎＝＋1.‎ 以下同解法一