江苏省徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学

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江苏省宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试 数学Ⅰ 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1．本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的‎0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确涂写考试号。‎ ‎3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。‎ 参考公式：样本数据的方差，其中；‎ 锥体的体积公式：，其中为锥体的底面面积，是高．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ 结束 开始 输出 Y N ‎（第3题图）‎ ‎1. 已知是虚数单位，若，则的值为 ▲ ．‎ ‎2. 某射击选手连续射击枪命中的环数分别为：,,,,，‎ 则这组数据的方差为 ▲ ．‎ ‎3. 右图是一个算法流程图，则输出的的值是 ▲ ． ‎ ‎4. 若集合，，则 ▲ ．‎ ‎5. 方程表示双曲线的充要条件是 ▲ ．‎ ‎6．在中，已知，，则的值是 ▲ ．‎ ‎7. 已知实数满足则的最小值是 ▲ ．‎ ‎8. 已知是等差数列的前项和，若，，则数列的前20项和为 ▲ ．‎ ‎9. 已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿，，三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的体积为 ▲ ．‎ ‎10．已知为的外心，若，则等于 ▲ ．‎ ‎11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字或中的一个数字，则连续输出的个数字之和能被3整除的概率是 ▲ ．‎ ‎12. 若，且，则的最小值为 ▲ ．‎ ‎13．已知函数若，且，则的取值范围是 ▲ ． ‎ ‎14. 已知曲线：，直线：，在曲线上有一个动点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为.再过点作曲线的切线，分别与直线和轴相交于点，是坐标原点.若的面积为，则的面积为 ▲ ．‎ 二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A B C D O E F ‎（第15题图）‎ ‎15. 如图，，均为圆的直径，圆所在的平面，.求证：‎ ‎⑴平面平面； ‎ ‎⑵直线平面．‎ ‎16．已知的面积为，角的对边分别为，．‎ ‎⑴求的值；‎ ‎⑵若成等差数列，求的值．‎ A B O C D ‎（第17题甲图）‎ A B O C D ‎（第17题乙图）‎ E ‎17．已知一块半径为的残缺的半圆形材料，O为半圆的圆心，，残缺部分位于过点的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以为斜边；如图乙，直角顶点在线段上，且另一个顶点在上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．‎ ‎18．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，分别是椭圆的左、右两个顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点． ‎ ‎⑴求直线的方程；‎ ‎⑵求的值；‎ ‎⑶设为常数．过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点，分别交圆于点，记和的面积分别为，，求的最大值．‎ A1‎ A2‎ O P Q M N B C x y ‎（第18题图）‎ ‎19．已知数列满足：，，．‎ ‎⑴若，求数列的通项公式；‎ ‎⑵设，数列的前项和为，证明：．‎ ‎20．已知函数，．‎ ‎⑴若函数在其定义域内是单调增函数，求的取值范围；‎ ‎⑵设函数的图象被点分成的两部分为（点除外），该函数图象在点处的切线为，且分别完全位于直线的两侧，试求所有满足条件的的值．‎ 宿迁市高三年级第三次模拟考试 数学Ⅱ（附加题）‎ 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1．本试卷共2页，均为解答题（第21题~第23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将答题卡交回。‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的‎0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确涂写考试号。‎ ‎3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。‎ ‎21.【选做题】本大题包括A、B、C、D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4-1：几何证明选讲 E A B C D ‎（第21—A题图）‎ 如图，已知圆，圆都经过点，是圆的切线，圆交于点，连结并延长交 圆于点，连结.求证.‎ B．选修4-2：矩阵与变换 已知，若矩阵所对应的变换把直线：变换为自身，求.‎ C．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知直线被圆截得的弦长为，求的值.‎ D．选修4-5：不等式选讲 已知，且，求的最小值．‎ ‎22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 如图，在正三棱柱中，已知，，分别是棱，上的点，且，.‎ ‎⑴求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（第22题图）‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ M N ‎⑵求二面角的正弦值.‎ ‎23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 已知函数,．‎ ‎⑴当时，求函数的极大值和极小值；‎ ‎⑵是否存在等差数列，使得对一切都成立？并说明理由． ‎ 宿迁市高三年级第三次模拟考试 数学参考答案与评分标准 一、填空题 ‎1.； 2. ； 3. ； 4. ； 5.； 6.； 7.1；‎ ‎8.55； 9.； 10.； 11. ； 12. ； 13.； 14. ‎ 二、解答题 ‎15.⑴因为圆所在的平面，圆所在的平面，‎ 所以，………………………………………………………………………………2分 因为为圆的直径，点在圆上，所以， ……………………………3分 因为，平面，‎ 所以平面，………………………………………………………………………5分 因为平面，所以平面平面．…………………………………7分 ‎⑵由⑴，又因为为圆的直径，‎ 所以，‎ 因为在同一平面内，所以，…………………………………………9分 因为平面，平面，所以平面．………………………11分 因为，同理可证平面，‎ 因为，平面，‎ 所以平面平面，‎ 因为平面，所以平面．……………………………………………14分 ‎16.⑴由，得，即．……………2分 代入，化简整理得，．……………………………………4分 由，知，所以．………………………………………6分 ‎⑵由及正弦定理，得，‎ 即，………………………………………………………………8分 所以．①‎ 由及，得，……………………………………………10分 代入①，整理得．‎ 代入，整理得，……………………………12分 解得或．‎ 因为，所以．…………………………………………………………14分 ‎17．如图甲，设，‎ 则，， ………………………………………………2分 所以………………………………………………………………………4分 ‎，‎ 当且仅当时取等号， …………………………………………………6分 此时点到的距离为，可以保证点在半圆形材料内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为． …………………………………………………7分 A B O C D ‎（第17题甲图）‎ A B O C D ‎（第17题乙图）‎ E 如图乙，设，则，，‎ 所以， ． …………………………………10分 设，则，‎ 当时，，所以时，即点与点重合时，‎ 的面积最大值为． ………………………………………………………13分 因为，‎ 所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为．…………14分 ‎18．⑴连结，则，且，‎ 又，所以.‎ 所以，所以直线的方程为.……………………………………3分 ‎⑵由⑴知，直线的方程为，的方程为，‎ 联立解得. ………………………………………………………………………5分 因为，即，所以，，故椭圆的方程为.‎ 由解得，…………………………………………………………7分 所以． ………………………………………………………………8分 ‎⑶不妨设的方程为，‎ 联立方程组解得，‎ 所以；……………………………………………………………………10分 用代替上面的，得．‎ 同理可得，，．…………………………………………13分 所以．………………………14分 因为，‎ 当且仅当时等号成立，所以的最大值为．………………………………16分 ‎19．⑴若时，，，所以，且．‎ 两边取对数，得，……………………………………………………2分 化为，‎ 因为，‎ 所以数列是以为首项，为公比的等比数列．……………………4分 所以，所以．………………………………………6分 ‎⑵由，得，①‎ 当时，，②‎ ‎①②，得，…………………………………………8分 由已知，所以与同号．…………………………………………10分 因为，且，所以恒成立，‎ 所以，所以．………………………………………………………12分 因为，所以，‎ 所以 ‎．…………………………………………………………16分 ‎20．⑴，………………………………………2分 只需要，即，‎ 所以．…………………………………………………………………………………4分 ‎⑵因为．‎ 所以切线的方程为．‎ 令，则．‎ ‎．………………………………………6分 若，则，‎ 当时，；当时，，‎ 所以，在直线同侧，不合题意；…………………………………8分 若，，‎ 若，，是单调增函数，‎ 当时，；当时，，符合题意；…10分 若，当时，，，‎ 当时，，，不合题意； …………………………12分 若，当时，，，‎ 当时，，，不合题意； ……………………………14分 若，当时，，，‎ 当时，，，不合题意．‎ 故只有符合题意． ………………………………………………………………16分 附加题 F E A B C D ‎（第21—A题图）‎ ‎21．‎ A．由已知，，因为，‎ ‎，，‎ 所以，，‎ 因为，所以，‎ 所以.……………………………………………5分 延长交于点，连结，则，，‎ 所以，所以，所以∽，‎ 所以，所以，因为，‎ 所以.…………………………………………………………………10分 B．对于直线上任意一点，在矩阵对应的变换作用下变换成点，‎ 则，‎ 因为，所以， ………………………………………4分 所以解得 所以， …………………………………………………………………………7分 所以. ………………………………………………………………10分 C．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为， …………………………3分 圆的极坐标方程化为直角坐标方程为，即 ，…………6分 因为截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为，‎ 即，因为，所以. ………………………………………10分 D．由柯西不等式，得，‎ 即， ……………………………………………………5分 即.‎ 所以，即的最小值为. …………………………………10分 ‎（第22题图）‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ M N x y z O ‎22．⑴以的中点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系（如图）. 则，，，，，，，‎ ‎.‎ 所以，.‎ 所以，‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为.…………………………………………5分 ‎⑵平面的一个法向量为.‎ 设平面的法向量为，因为，， ‎ 由得令，则.‎ 所以，‎ 所以二面角的正弦值为. ……………………………………………10分 ‎23．（1） =，‎ ‎=，‎ 令得，‎ 因为，所以．…………………………………………………2分 当为偶数时的增减性如下表：‎ 无极值 极大值 极小值 所以当时，；当时，．………4分 当为奇数时的增减性如下表：‎ 极大值 极小值 无极值 所以时，；当时，．…………6分 ‎（2）假设存在等差数列使成立，‎ 由组合数的性质，‎ 把等式变为，‎ 两式相加，因为是等差数列，所以，‎ 故，‎ 所以． …………………………………………………………………8分 再分别令，得且，‎ 进一步可得满足题设的等差数列的通项公式为．………10分