高一数学教案：第3讲 指数方程与对数方程

高一数学教案：第3讲 指数方程与对数方程

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 指数方程与对数方程 教学内容 ‎1. 理解指数方程、对数方程的概念；‎ ‎2. 会解简单的指数、对数方程。‎ ‎（以提问的形式回顾）‎ 指数方程与对数方程的类型及其解法 答案：‎ 类型 指数方程的解法 对数方程的解法 最简型 同底型 换元型 此部分让学生回答，如出现学生不会的问题，可相互讨论，结合教师引导，5到10分钟完成。‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 解方程： 9x+6x=22x+1‎ 由原方程得：32x+3x·2x=2·22x，两边同除以22x得：()2x+（）x-2=0.‎ 因式分解得：‎ ‎[（）x-1]·[()x+2]=0.‎ ‎∵()x+2>0，∴ ()x-1=0，x=0.‎ 试一试：解下列方程：‎ ‎（1）； （2）；‎ 解：（1）原方程可化为 .‎ 令，得，解得，.‎ 由得，，；由，得.‎ 所以,方程的解是或.‎ ‎(2) 原方程可化为,两边同除以,得 ‎,令,得,解得,‎ 由得；由，得.‎ 所以,方程的解是或.‎ 例2. 解下列方程：‎ ‎（1）log4(3-x)+log(3+x)=log4(1-x)+log(2x+1) （2）log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)=2‎ ‎（1）由原方程得：log4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1)(3-x)·(2x+1)=(1-x)·(3+x)解之:x=0或7，经检验知：x=0为原方程解.‎ ‎（2）log2(9x-1-5)=log24·(3x-1-2) 9x-1-5=4·(3x-1)-8因式分解得：(3x-1-1)(3x-1-3)=03x-1=1或3x-1=3x ‎=1或2.经检验x=2是原方程解. 总结：指数方程与对数方程的求解思路是转化.将超越方程转化为代数方程，因转化过程中有时“不等价”，故须验根，“增根须舍去，失根要找回”是解方程的基本原则.‎ 试一试：解下列方程 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ 解：(1) 原方程可化为,即,所以.‎ 解得,或.经检验，当时，或为负数，不合题意，‎ 故不是原方程的解，应舍去. 当时，等式成立.‎ 所以,原方程的解是.‎ ‎(2)利用换底公式, 原方程可化为,即.‎ 令,得,解得,‎ 由得；由，得.‎ 经检验，,都是原方程的解.‎ ‎(3) 原方程可化为,即 令,得,解得,,‎ 由得；由，得.‎ 经检验，,都是原方程的解.‎ ‎（4）由题意得：= ∴，经检验，是原方程的解 点评:‎ ‎(1)运用换元法能使复杂问题变得简单.‎ ‎(2)解对数方程(根式、分式)要检验.‎ ‎（3指数与对数互写、换底、换元是解指数方程、对数方程的常用策略.‎ 例3. 解关于x的方程：a2·4x+(‎2a-1)·2x+1=0. 解：①当a=0时，2x=1，x=0； ‎ ‎②当a≠0时，Δ=(‎2a-1)2‎-4a2=1‎-4a；若Δ≥0则a≤ (a≠0). 关于t的一元二次方程a2·t2+(‎2a-1)t+1=0至少有一个正根，而两根之积为>0，故两根之和为正数，即>‎0a<，故a≤ (a≠0)时，2x=，故a≤ (a≠0)时，x=log2为原方程之根. 小结：方程经“换元”之后，如何保持“等价性”是关键所在，应确定“新元”和“旧元”的对应关系以及“新元”的取值范围.‎ 试一试：当a为何值时，关于x的方程4x-(‎2a+1)·2x+a2+2=0的根一个比另一个大1. 解：令y=2x，∵x1=x2+1，故2=2·2，即y2=2y1，故关于y的方程y2-(‎2a+1)y+(a2+2)=0中的根一个是另一个的两倍，不妨设为m，‎2m. 由 .‎ 例4. 关于的方程在区间上有解，求的取值范围。‎ 解法指导：有关方程的有解与无解的问题以及方程的解的个数问题，可转化为函数类的问题。本题可利用分离参数，数形结合求解。‎ 解：由，得，因为方程在上有解，所以在函数的值内取值即可，不难求得其值域为，‎ 所以。‎ 试一试：若关于的方程有实数解，求实数的范围。‎ 解：方程整理得 考虑图像有交点。‎ 由图像知：时有解 ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 方程：log (4-x)(x2-2x)=log(4-x)(5x-6)的根的个数是 ( )A A.0 B‎.1 C.2 D.无穷多个 ‎2. 若关于x的方程2x-1+2x2+a=0有实根，则a的取值范围是 ( )B A.(-∞，-1) B.(-∞，-) C.( ，+∞) D.(1，+∞) ‎3. 方程2x+3x=5·6x-1的解集是 ( )B A.{0} B.{1} C.{-1} D.以上都不是 ‎4. 方程的解是_______ ‎ ‎5. 方程的解是_______ ‎ ‎6. 解下列方程：‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ 答案：（1）；（2）；（3）；（4）‎ ‎7. 关于的方程有实数解，求实数的范围。‎ 解：令 方程整理得 ‎ 转化得 ‎ 所以时原方程有实数解。‎ ‎ ‎ 本节课主要知识：指数方程与对数方程基本类型的求解方法，换元法需要注意的问题 ‎【巩固练习】‎ ‎1. 函数在上最大值比最小值大，则 ‎ ‎2. 解方程：9x-4·3x+3=0. ‎ 由(3x)2-4(3x)+3=0 (3x-1)(3x-3)=03x=1或3x=0或1.‎ ‎3. 已知关于x的方程：2logx-7·logax+3=0有一个根是2，求a值及另一个根. ‎ 设另一根为m，∵Δ>0，故由根与系数关系得：loga2 (-loga2)= a=4或.‎ ‎4. 当a为何值时，关于x的方程：2lgx-lg(x-1)=lga有一解?有两解?无解?‎ 化方程为x2=a(x-1)(x>1，a>0)作函数y=x2(x>1)及y=a(x-1)(x>1，a>0)的草图，由Δ=0得a=4. ‎①当04时，原方程有不同的两解：x=.‎ ‎【预习思考】‎ ‎1. 与角终边相同的角的集合S如何表示？角有范围限制吗？‎ ‎2. 弧度制的定义是什么？弧度制与角度制是如何转化的？‎ ‎3. 任意角三角比是如何定义的？与我们初中学的锐角三角比的定义有什么不同？‎