高一数学教案：第15讲 数列的基本概念

高一数学教案：第15讲 数列的基本概念

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 数列的基本概念 教学内容 ‎1. 理解数列的概念和基本数列类型；‎ ‎2. 理解通项公式和递推公式，会求解某些特殊数列的通项公式。‎ ‎（以提问的形式回顾）‎ ‎1. 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.‎ 注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；‎ ‎（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.‎ 这两点注意是数列与集合的区别，集合具有无序性和互异性，而数列是有顺序的而且可以出现相同数字，教师讲解时可以深入提问学生。‎ ‎2. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….‎ 此处如果学生理解不好，可以举一个具体数列，说明一下第1项，第2项….‎ ‎3. 数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项 这部分要重点强调带大括号的和不带大括号的的区别。‎ ‎4. 数列的分类：‎ ‎1）根据数列项数的多少分：‎ 有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6.是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6….是无穷数列 ‎2）根据数列项的大小分：‎ 递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。‎ 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。‎ 常数数列：各项相等的数列。‎ 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 ‎5. 数列的表示方法：‎ 列举法；图像法；‎ 解析法（通项公式）数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．‎ 递推法：数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前n项)及相邻两项间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．‎ ‎(1)－1,7，－13,19，…‎ ‎(2)0.8,0.88,0.888，…‎ ‎(3)，，－，，－，，…‎ ‎(4)，1，，，…‎ ‎(5)0,1,0,1，…‎ 解　(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，‎ 故通项公式为an＝(－1)n(6n－5) (n∈N*)．‎ ‎(2)数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，‎ ‎∴an＝ (n∈N*)．‎ ‎(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，因此原数列可化为－，，－，，…，‎ ‎∴an＝(－1)n· (n∈N*)．‎ ‎ (4)将数列统一为，，，，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，‎ ‎∴可得它的一个通项公式为an＝ (n∈N*)．‎ ‎(5)an＝或an＝ (n∈N*)或an＝ (n∈N*)．‎ 试一试：写出下面数列的一个通项公式．‎ ‎(1)2，4，6，8，…；　 (2)10,11,10,11,10,11，…；　‎ ‎(3)－1，，－，，….‎ 解　(1)这是个混合数列，‎ 可看成2＋，4＋，6＋，8＋，….‎ 故通项公式an＝2n＋ (n∈N*)．‎ ‎(2)该数列中各项每两个元素重复一遍，可以利用这个周期性求an.原数列可变形为：‎ ‎10＋0,10＋1,10＋0,10＋1，….‎ 故其一个通项为：an＝10＋，或an＝.‎ ‎ (3)通项符号为(－1)n，如果把第一项－1看作－，则分母为3,5,7,9，…，分母通项为2n＋1；分子为3,8,15,24，…，分子通项为(n＋1)2－1即n(n＋2)，‎ 所以原数列通项为：an＝(－1)n (n∈N*)．‎ 例2. 设数列{an}满足写出这个数列的前5项．‎ 解　由题意可知 a1＝1，‎ a2＝1＋＝1＋＝2，‎ a3＝1＋＝1＋＝，‎ a4＝1＋＝1＋＝，‎ a5＝1＋＝1＋＝.‎ 试一试：在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，写出此数列的前6项．‎ 解　a1＝2，a2＝3，‎ a3＝‎3a2－‎2a1＝3×3－2×2＝5，‎ a4＝‎3a3－‎2a2＝3×5－2×3＝9，‎ a5＝‎3a4－‎2a3＝3×9－2×5＝17，‎ a6＝‎3a5－‎2a4＝3×17－2×9＝33.‎ 例3. 已知数列；‎ ‎(1)求这个数列的第10项；‎ ‎(2)是不是该数列中的项，为什么？‎ ‎(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；‎ ‎(4)在区间内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．‎ ‎(1)解　设f(n)＝＝＝.‎ 令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.‎ ‎(2)解　令＝，得9n＝300.‎ 此方程无自然数解，所以不是该数列中的项．‎ ‎(3)证明　∵an＝＝＝1－，‎ 又n∈N*，∴0<<1，∴00，∴an>an＋1.‎ ‎ ‎ 本节课主要知识：数列的通项公式和递推公式，如何求解数列中的项，如何判断某个数是否是数列中的项。‎ ‎【巩固练习】‎ ‎1. 在数列{}中，对所有的正整数n都成立，且，则等于（ ） A A 1 B -1 C D ‎ ‎2. 在数列中,,，且，则 . -3‎ ‎3. 已知数列{}对任意的}满足，且，那么 . -30‎ ‎4. 数列满足，若，则 ； . , ‎ ‎5. 在数列中，若, (≥),则该数列的通项 . ‎ ‎【预习思考】‎ ‎1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起， 等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的 .‎ ‎2.通项公式与前项和公式 ‎（1）通项公式 ，为首项，为公差.‎ ‎（2）前项和公式 或 .‎ ‎3.等差中项 如果 成等差数列，那么叫做与的等差中项.‎ 即：是与的等差中项 ，，成等差数列.‎ ‎4.等差数列的判定方法 ‎（1）定义法： （，是常数）是等差数列；‎ ‎（2）中项法： ()是等差数列.‎