【数学】2021届一轮复习人教A版函数的单调性与最值作业
第 2 节 函数的单调性与最值
1．(2019·阜阳市模拟)给定函数：①y＝x1
2
，②y＝log1
2
(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝
2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
解析：B [①y＝x 1
2
在(0,1)上递增；②∵t＝x＋1 在(0,1)上递增，且 0＜1
2
＜1，故 y
＝log1
2
(x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象可知 y＝|x－1|在(0,1)上递减；
④∵u＝x＋1 在(0,1)上递增，且 2＞1，故 y＝2x＋1 在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单
调递减的函数序号是②③.]
2．已知函数 f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5 在区间(－∞，3)上是减函数，则 a 的取值范围
是( )
A.
0，3
4 B.
0，3
4
C.
0，3
4 D.
0，3
4
解析：D [当 a＝0 时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；
当 a≠0 时，由
a>0
－4 a－3
4a
≥3 ，得 0
0 时，g(x)在[ a，＋∞)上是增函数，故在(1，＋∞)上为增函数，
∴g(x)在(1，＋∞)上一定是增函数．]
6．(2019·日照一模)已知奇函数 f(x)为 R 上的减函数，若 f(3a2)＋f(2a－1)≥0，则
实数 a 的取值范围是________．
解析：∵奇函数 f(x)为 R 上的减函数，
∴不等式 f(3a2)＋f(2a－1)≥0，
等价为 f(3a2)≥－f(2a－1)＝f(1－2a)，
即 3a2≤1－2a，即 3a2＋2a－1≤0，得(a＋1)(3a－1)≤0，得－1≤a≤1
3
，即实数 a 的取
值范围是
－1，1
3 .
答案：
－1，1
3
7．设函数 f(x)＝ax＋1
x＋2a
在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么 a 的取值范围是________．
解析：f(x)＝ax＋2a2－2a2＋1
x＋2a
＝a－2a2－1
x＋2a
，
定义域为(－∞，－2a)∪(－2a，＋∞)，
∵函数 f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数，
∴
2a2－1＞0
－2a≤－2
即
2a2－1＞0
a≥1
，解得 a≥1.
答案：[1，＋∞)
8．已知函数 f(x)＝
x3，x≤0，
ln x＋1 ，x>0，
若 f(2－x2)>f(x)，则实数 x 的取值范围是
________．
解析：函数 y＝x3 在(－∞，0]上是增函数，函数 y＝ln (x＋1)在(0，＋∞)上是增函数，
且 x>0 时，ln (x＋1)>0，所以 f(x)在 R 上是增函数，由 f(2－x2)>f(x)，得 2－x2>x，解得
－20 且 f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求 a 的取值范围．
解：(1)证明：任取 x10，x1－x2<0，
∴f(x1)0，x2－x1>0，
∴要使 f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0 恒成立，∴a≤1.
综上所述知 a 的取值范围是(0,1]．
10．(2019·西安模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，
②当 x>0 时，f(x)>－1.
(1)求 f(0)的值，并证明 f(x)在 R 上是单调增函数．
(2)若 f(1)＝1，解关于 x 的不等式 f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
解：(1)令 x＝y＝0 得 f(0)＝－1.
在 R 上任取 x1>x2，则 x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.
又 f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以，函数 f(x)在 R 上是单调
增函数．
(2)由 f(1)＝1，得 f(2)＝3，f(3)＝5.
由 f(x2＋2x)＋f(1－x)>4 得 f(x2＋x＋1)>f(3)，
又函数 f(x)在 R 上是增函数，故 x2＋x＋1>3，解得 x<－2 或 x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2，或 x>1}．
