数学中考压轴题大全含答案详细解析版

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

数学中考压轴题大全含答案详细解析版

‎【最新】中考数学压轴题大全 开始 y与x的关系式 结束 输入x 输出y ‎(安徽)按右图所示的流程,输入一个数据x,根据y与x的关系式就输出一个数据y,这样可以将一组数据变换成另一组新的数据,要使任意一组都在20~100(含20和100)之间的数据,变换成一组新数据后能满足下列两个要求:‎ ‎(Ⅰ)新数据都在60~100(含60和100)之间;‎ ‎(Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致,即原数据大的对应的新数据也较大。‎ ‎(1)若y与x的关系是y=x+p(100-x),请说明:当p=时,这种变换满足上述两个要求;‎ ‎(2)若按关系式y=a(x-h)2+k (a>0)将数据进行变换,请写出一个满足上述要求的这种关系式。(不要求对关系式符合题意作说明,但要写出关系式得出的主要过程)‎ ‎【解】(1)当P=时,y=x+,即y=。‎ ‎∴y随着x的增大而增大,即P=时,满足条件(Ⅱ)……3分 又当x=20时,y==100。而原数据都在20~100之间,所以新数据都在60~100之间,即满足条件(Ⅰ),综上可知,当P=时,这种变换满足要求;……6分 ‎(2)本题是开放性问题,答案不唯一。若所给出的关系式满足:(a)h≤20;(b)若x=20,100时,y的对应值m,n能落在60~100之间,则这样的关系式都符合要求。‎ 如取h=20,y=,……8分 ‎∵a>0,∴当20≤x≤100时,y随着x的增大…10分 令x=20,y=60,得k=60   ①‎ 令x=100,y=100,得a×802+k=100 ②‎ 145‎ 由①②解得, ∴。………14分 ‎2、(常州)已知与是反比例函数图象上的两个点.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若点,则在反比例函数图象上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)由,得,因此. 2分 ‎(2)如图1,作轴,为垂足,则,,,因此.‎ 由于点与点的横坐标相同,因此轴,从而.‎ 当为底时,由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点,‎ 故不符题意. 3分 当为底时,过点作的平行线,交双曲线于点,‎ 过点分别作轴,轴的平行线,交于点.‎ 由于,设,则,,‎ 由点,得点.‎ 因此,‎ 145‎ 解之得(舍去),因此点.‎ 图2‎ 图1‎ 此时,与的长度不等,故四边形是梯形. 5分 如图2,当为底时,过点作的平行线,与双曲线在第一象限内的交点为.‎ 由于,因此,从而.作轴,为垂足,‎ 则,设,则,‎ 由点,得点,‎ 因此.‎ 解之得(舍去),因此点.‎ 此时,与的长度不相等,故四边形是梯形. 7分 如图3,当过点作的平行线,与双曲线在第三象限内的交点为时,‎ 同理可得,点,四边形是梯形. 9分 综上所述,函数图象上存在点,使得以四点为顶点的四边形为梯形,点 145‎ 的坐标为:或或. 10分 图3‎ ‎3、(福建龙岩)如图,抛物线经过的三个顶点,已知轴,点在轴上,点在轴上,且.‎ ‎(1)求抛物线的对称轴;‎ ‎(2)写出三点的坐标并求抛物线的解析式;‎ ‎(3)探究:若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点,是否存在是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点坐标;不存在,请说明理由.‎ A C B y x ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ 解:(1)抛物线的对称轴………2分 ‎(2) …………5分 把点坐标代入中,解得………6分 ‎…………………………………………7分 A x ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ Q N M K y ‎(3)存在符合条件的点共有3个.以下分三类情形探索.‎ 设抛物线对称轴与轴交于,与交于.‎ 145‎ 过点作轴于,易得,,,‎ ① 以为腰且顶角为角的有1个:.‎ ‎ 8分 在中,‎ ‎ 9分 ‎②以为腰且顶角为角的有1个:.‎ 在中, 10分 ‎ 11分 ‎③以为底,顶角为角的有1个,即.‎ 画的垂直平分线交抛物线对称轴于,此时平分线必过等腰的顶点.‎ 过点作垂直轴,垂足为,显然.‎ ‎.‎ ‎ 于是 13分 ‎ 14分 注:第(3)小题中,只写出点的坐标,无任何说明者不得分.‎ 145‎ ‎4、(福州)如图12,已知直线与双曲线交于两点,且点的横坐标为.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若双曲线上一点的纵坐标为8,求的面积;‎ 图12‎ ‎(3)过原点的另一条直线交双曲线于两点(点在第一象限),若由点为顶点组成的四边形面积为,求点的坐标.‎ 解:(1)∵点A横坐标为4 , ∴当 = 4时, = 2 .‎ ‎∴ 点A的坐标为( 4,2 ). ‎ ‎∵ 点A是直线 与双曲线 (k>0)的交点 ,‎ ‎∴ k = 4 ×2 = 8 . ‎ ‎(2) 解法一:如图12-1,‎ ‎∵ 点C在双曲线上,当 = 8时, = 1‎ ‎∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ) . ‎ 过点A、C分别做轴、轴的垂线,垂足为M、N,得矩形DMON .‎ S矩形ONDM= 32 , S△ONC = 4 , S△CDA = 9, S△OAM = 4 . ‎ S△AOC= S矩形ONDM - S△ONC - S△CDA - S△OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 . ‎ 解法二:如图12-2,‎ 过点 C、A分别做轴的垂线,垂足为E、F,‎ ‎∵ 点C在双曲线上,当 = 8时, = 1 .‎ ‎∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ). ‎ ‎∵ 点C、A都在双曲线上 ,‎ 145‎ ‎∴ S△COE = S△AOF = 4 。 ‎ ‎∴ S△COE + S梯形CEFA = S△COA + S△AOF .‎ ‎∴ S△COA = S梯形CEFA . ‎ ‎∵ S梯形CEFA = ×(2+8)×3 = 15 , ‎ ‎∴ S△COA = 15 . ‎ ‎(3)∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ,‎ ‎∴ OP=OQ,OA=OB .‎ ‎∴ 四边形APBQ是平行四边形 .‎ ‎∴ S△POA = S平行四边形APBQ = ×24 = 6 . ‎ 设点P的横坐标为( > 0且),‎ 得P ( , ) .‎ 过点P、A分别做轴的垂线,垂足为E、F,‎ ‎∵ 点P、A在双曲线上,∴S△POE = S△AOF = 4 .‎ 若0<<4,如图12-3,‎ ‎∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF,‎ ‎∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .‎ ‎∴ .‎ 解得= 2,= - 8(舍去) .‎ ‎∴ P(2,4). ‎ 145‎ 若 > 4,如图12-4,‎ ‎∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE,‎ ‎∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .‎ ‎ ∴,‎ 解得 = 8, = - 2 (舍去) .‎ ‎∴ P(8,1).‎ ‎∴ 点P的坐标是P(2,4)或P(8,1). ‎ ‎5、(甘肃陇南)如图,抛物线交轴于A、B两点,交轴于点C,点P是它的 顶点,点A的横坐标是3,点B的横坐标是1.‎ ‎(1)求、的值;‎ ‎(2)求直线PC的解析式;‎ ‎(3)请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线 PC的位置关系,并说明理由.(参考数:,,)‎ 解: (1)由已知条件可知: 抛物线经过A(-3,0)、B(1,0)两点.‎ ‎∴ ……………………………………2分 解得 . ………………………3分 ‎ (2) ∵, ∴ P(-1,-2),C. …………………4分 设直线PC的解析式是,则 解得. ‎ 145‎ ‎∴ 直线PC的解析式是. …………………………6分 说明:只要求对,不写最后一步,不扣分.‎ ‎ (3) 如图,过点A作AE⊥PC,垂足为E.‎ 设直线PC与轴交于点D,则点D的坐标为(3,0). ………………………7分 在Rt△OCD中,∵ OC=,,‎ ‎∴ . …………8分 ‎∵ OA=3,,∴AD=6. …………9分 ‎∵ ∠COD=∠AED=90o,∠CDO公用,‎ ‎∴ △COD∽△AED. ……………10分 ‎∴ , 即. ∴ . …………………11分 ‎∵ ,‎ ‎∴ 以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离. …………12分 ‎6、(贵阳)如图14,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形.‎ ‎(1)求这个扇形的面积(结果保留).(3分)‎ ‎(2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由.(4分)‎ ‎(3)当的半径为任意值时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.(5分)‎ 解:(1)连接,由勾股定理求得:‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎ 1分 145‎ ‎ 2分 ‎(2)连接并延长,与弧和交于,‎ ‎ 1分 弧的长: 2分 圆锥的底面直径为: 3分 ‎,不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥. 4分 ‎(3)由勾股定理求得:‎ 弧的长: 1分 圆锥的底面直径为: 2分 且 ‎ 3分 145‎ 即无论半径为何值, 4分 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥.‎ ‎7、(河南)如图,对称轴为直线x=的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4).‎ ‎(1)求抛物线解析式及顶点坐标;‎ ‎(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎(3)①当四边形OEAF的面积为24时,请判断OEAF是否为菱形?‎ ‎②是否存在点E,使四边形OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;‎ 若不存在,请说明理由.‎ ‎8、(湖北黄岗)已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是菱形,且∠AOC=60°,点B的坐标是,点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动,设秒后,直线PQ交OB于点D.‎ B A C D P O Q x y ‎(1)求∠AOB的度数及线段OA的长;‎ ‎(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;‎ ‎(3)当时,求t的值及此时直线PQ的解析式;‎ ‎(4)当a为何值时,以O,P,Q,D为顶点的三角形与相似?当a 为何值时,以O,P,Q,D为顶点的三角形与不相似?请给出你的结论,并加以证明.‎ ‎9、(湖北荆门)如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合).现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB;再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合.‎ ‎(1)设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;‎ ‎(2)如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式;‎ ‎(3)在(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△PEQ是以PE 145‎ 为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标.‎ 图1‎ 图2‎ 解:(1)由已知PB平分∠APD,PE平分∠OPF,且PD、PF重合,则∠BPE=90°.∴∠OPE+∠APB=90°.又∠APB+∠ABP=90°,∴∠OPE=∠PBA.‎ ‎∴Rt△POE∽Rt△BPA.…………………………………………………………2分 ‎∴.即.∴y=(0<x<4).‎ 且当x=2时,y有最大值.…………………………………………………4分 ‎(2)由已知,△PAB、△POE均为等腰三角形,可得P(1,0),E(0,1),B(4,3).……6分 设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+c,则∴‎ y=.…………………………………………………………8分 ‎(3)由(2)知∠EPB=90°,即点Q与点B重合时满足条件.……………………9分 直线PB为y=x-1,与y轴交于点(0,-1).‎ 将PB向上平移2个单位则过点E(0,1),‎ ‎∴该直线为y=x+1.……………………………………………………………10分 145‎ 由得∴Q(5,6). ‎ 故该抛物线上存在两点Q(4,3)、(5,6)满足条件.……………………………12分 ‎(2009年重庆市)26.已知:如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.‎ ‎(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;‎ ‎(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,那么EF=2GO是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;‎ ‎(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎26题图 y x D B C A E E O ‎26.解:(1)由已知,得,,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎. (1分)‎ 设过点的抛物线的解析式为.‎ 将点的坐标代入,得.‎ 将和点的坐标分别代入,得 ‎ (2分)‎ 145‎ 解这个方程组,得 故抛物线的解析式为. (3分)‎ ‎(2)成立. (4分)‎ 点在该抛物线上,且它的横坐标为,‎ 点的纵坐标为. (5分)‎ y x D B C A E E O M F K G G 设的解析式为,‎ 将点的坐标分别代入,得 ‎ 解得 的解析式为. (6分)‎ ‎,. (7分)‎ 过点作于点,‎ 则.‎ ‎,‎ ‎.‎ 又,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎. (8分)‎ ‎.‎ ‎(3)点在上,,,则设.‎ ‎,,.‎ ‎①若,则,‎ 解得.,此时点与点重合.‎ ‎. (9分)‎ ‎②若,则,‎ 145‎ 解得 ,,此时轴.‎ 与该抛物线在第一象限内的交点的横坐标为1,‎ 点的纵坐标为.‎ ‎. (10分)‎ ‎③若,则,‎ 解得,,此时,是等腰直角三角形.‎ 过点作轴于点,‎ y x D B C A E E O Q P H G G ‎(P)‎ ‎(Q)‎ Q ‎(P)‎ 则,设,‎ ‎.‎ ‎.‎ 解得(舍去).‎ ‎. (12分)‎ 综上所述,存在三个满足条件的点,‎ 即或或.‎ ‎(2009年重庆綦江县)26.(11分)如图,已知抛物线经过点,抛物线的顶点为,过作射线.过顶点平行于轴的直线交射线于点,在轴正半轴上,连结.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式;‎ ‎(2)若动点从点出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线运动,设点运动的时间为.问当为何值时,四边形分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?‎ ‎(3)若,动点和动点分别从点和点同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为,连 145‎ x y M C D P Q O A B 接,当为何值时,四边形的面积最小?并求出最小值及此时的长.‎ ‎*26.解:(1)抛物线经过点,‎ ‎ 1分 二次函数的解析式为: 3分 ‎(2)为抛物线的顶点过作于,则,‎ ‎ 4分 x y M C D P Q O A B N E H 当时,四边形是平行四边形 ‎ 5分 当时,四边形是直角梯形 过作于,则 ‎(如果没求出可由求)‎ ‎ 6分 当时,四边形是等腰梯形 综上所述:当、5、4时,对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形. 7分 ‎(3)由(2)及已知,是等边三角形 则 过作于,则 8分 145‎ ‎= 9分 当时,的面积最小值为 10分 此时 ‎ 11分 ‎(2009年河北省)26.(本小题满分12分)‎ A C B P Q E D 图16‎ 如图16,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).‎ ‎(1)当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是 ;‎ ‎(2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与 t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)‎ ‎(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成 为直角梯形?若能,求t的值.若不能,请说明理由;‎ ‎(4)当DE经过点C 时,请直接写出t的值. ‎ A C ‎)‎ B P Q D 图3‎ E ‎)‎ F ‎26.解:(1)1,; ‎ ‎(2)作QF⊥AC于点F,如图3, AQ = CP= t,∴.‎ 由△AQF∽△ABC,, ‎ 得.∴. ‎ A C B P Q E D 图4‎ ‎∴,‎ 即.‎ ‎(3)能.‎ ‎ ①当DE∥QB时,如图4.‎ ‎ ∵DE⊥PQ,∴PQ⊥QB,四边形QBED是直角梯形.‎ ‎ 此时∠AQP=90°.‎ 由△APQ ∽△ABC,得,‎ 即. 解得. ‎ 145‎ A C B P Q E D 图5‎ A C(E)‎ ‎)‎ B P Q D 图6‎ G A C(E)‎ ‎)‎ B P Q D 图7‎ G ‎②如图5,当PQ∥BC时,DE⊥BC,四边形QBED是直角梯形.‎ 此时∠APQ =90°.‎ 由△AQP ∽△ABC,得 ,‎ 即. 解得. ‎ ‎(4)或.‎ ‎【注:①点P由C向A运动,DE经过点C.‎ 方法一、连接QC,作QG⊥BC于点G,如图6.‎ ‎,.‎ 由,得,解得.‎ 方法二、由,得,进而可得 ‎,得,∴.∴. ‎ ‎②点P由A向C运动,DE经过点C,如图7.‎ ‎,】‎ ‎(2009年河南省)23.(11分)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点. ‎ ‎(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;‎ ‎ (2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD 向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E ‎ ①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?‎ ‎②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?‎ 请直接写出相应的t值. ‎ 解.(1)点A的坐标为(4,8) …………………1分 将A (4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx ‎ 8=16a+4b ‎ 得 ‎ ‎ 0=64a+8b ‎ 解 得a=-,b=4‎ ‎∴抛物线的解析式为:y=-x2+4x …………………3分 145‎ ‎(2)①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE==,即=‎ ‎∴PE=AP=t.PB=8-t.‎ ‎∴点E的坐标为(4+t,8-t).‎ ‎∴点G的纵坐标为:-(4+t)2+4(4+t)=-t2+8. …………………5分 ‎∴EG=-t2+8-(8-t)‎ ‎ =-t2+t.‎ ‎∵-<0,∴当t=4时,线段EG最长为2. …………………7分 ‎②共有三个时刻. …………………8分 t1=, t2=,t3= . …………………11分 ‎(2009年山西省)26.(本题14分)如图,已知直线与直线相交于点分别交轴于两点.矩形的顶点分别在直线上,顶点都在轴上,且点与点重合.‎ ‎ (1)求的面积;‎ ‎(2)求矩形的边与的长;‎ ‎(3)若矩形从原点出发,沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设 移动时间为秒,矩形与重叠部分的面积为,求关 A D B E O C F x y y ‎(G)‎ ‎(第26题)‎ 的函数关系式,并写出相应的的取值范围.‎ ‎26.(1)解:由得点坐标为 由得点坐标为 ‎∴ (2分)‎ 145‎ 由解得∴点的坐标为 (3分)‎ ‎∴ (4分)‎ ‎ (2)解:∵点在上且 ‎ ∴点坐标为 (5分)‎ 又∵点在上且 ‎∴点坐标为 (6分)‎ ‎∴ (7分)‎ ‎ (3)解法一:当时,如图1,矩形与重叠部分为五边形(时,为四边形).过作于,则 A D B E O R F x y y M ‎(图3)‎ G C A D B E O C F x y y G ‎(图1)‎ R M A D B E O C F x y y G ‎(图2)‎ R M ‎∴即∴‎ ‎∴‎ 即 (10分)‎ ‎(2009年山西省太原市)29.(本小题满分12分)‎ 图(1)‎ A B C D E F M N 问题解决 如图(1),将正方形纸片折叠,使点落在边上一点(不与点,重合),压平后得到折痕.当时,求的值.‎ 方法指导:‎ 为了求得的值,可先求、的长,不妨设:=2‎ 145‎ 类比归纳 在图(1)中,若则的值等于 ;若则的值等于 ;若(为整数),则的值等于 .(用含的式子表示)‎ 联系拓广 图(2)‎ N A B C D E F M ‎ 如图(2),将矩形纸片折叠,使点落在边上一点(不与点重合),压平后得到折痕设则的值等于 .(用含的式子表示)‎ ‎29.问题解决 解:方法一:如图(1-1),连接.‎ N 图(1-1)‎ A B C D E F M ‎ 由题设,得四边形和四边形关于直线对称.‎ ‎ ∴垂直平分.∴ 1分 ‎ ∵四边形是正方形,∴‎ ‎ ∵设则 ‎ 在中,.‎ ‎ ∴解得,即 3分 ‎ 在和在中,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎ 5分 ‎ 设则∴‎ ‎ 解得即 6分 ‎ ∴ 7分 ‎ 方法二:同方法一, 3分 ‎ 如图(1-2),过点做交于点,连接 145‎ N 图(1-2)‎ A B C D E F M G ‎∵∴四边形是平行四边形.‎ ‎ ∴‎ ‎ 同理,四边形也是平行四边形.∴‎ ‎   ∵‎ ‎   ‎ ‎   在与中 ‎   ∴ 5分 ‎∵ 6分 ‎∴ 7分 类比归纳 ‎(或);; 10分 联系拓广 ‎ 12分 评分说明:1.如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时,可参照评分说明进行估分.‎ ‎ 2.如解答题由多个问题组成,前一问题解答有误或未答,对后面问题的解答没有影响,可依据参考答案及评分说明进行估分.‎ ‎(2009年安徽省)23.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图(1)所示.‎ 金额w(元)‎ O 批发量m(kg)‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎100‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎(1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义.‎ ‎【解】‎ O ‎60‎ ‎20‎ ‎4‎ 批发单价(元)‎ ‎5‎ 批发量(kg)‎ ‎①‎ ‎②‎ 第23题图(1)‎ ‎(2)写出批发该种水果的资金金额w(元)与批发量m(kg)之间的 函数关系式;在下图的坐标系中画出该函数图象;指出金额在什 么范围内,以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果.‎ 145‎ ‎【解】‎ ‎(3)经调查,某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函 数关系如图(2)所示,该经销商拟每日售出60kg以上该种水果,‎ 且当日零售价不变,请你帮助该经销商设计进货和销售的方案,‎ 使得当日获得的利润最大.‎ ‎【解】‎ O ‎6‎ ‎2‎ ‎40‎ 日 最高销量(kg)‎ ‎80‎ 零售价(元)‎ 第23题图(2)‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎(6,80)‎ ‎(7,40)‎ 金额w(元)‎ O 批发量m(kg)‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎100‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎240‎ ‎23.(1)解:图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果,‎ 可按5元/kg批发;……3分 图②表示批发量高于60kg的该种水果,可按4元/kg批发.‎ ‎………………………………………………………………3分 ‎(2)解:由题意得:,函数图象如图所示.‎ ‎………………………………………………………………7分 由图可知资金金额满足240<w≤300时,以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果.……………………………8分 ‎(3)解法一:‎ 设当日零售价为x元,由图可得日最高销量 当m>60时,x<6.5‎ 由题意,销售利润为 ‎………………………………12分 当x=6时,,此时m=80‎ 即经销商应批发80kg该种水果,日零售价定为6元/kg,‎ 当日可获得最大利润160元.……………………………………………14分 解法二:‎ 设日最高销售量为xkg(x>60)‎ 则由图②日零售价p满足:,于是 销售利润………………………12分 当x=80时,,此时p=6‎ 即经销商应批发80kg该种水果,日零售价定为6元/kg,‎ 当日可获得最大利润160元.……………………………………………14分 145‎ ‎(2009年江西省)25.如图1,在等腰梯形中,,是的中点,过点作交于点.,.‎ ‎(1)求点到的距离;‎ ‎(2)点为线段上的一个动点,过作交于点,过作交折线于点,连结,设.‎ ‎①当点在线段上时(如图2),的形状是否发生改变?若不变,求出的周长;若改变,请说明理由;‎ ‎②当点在线段上时(如图3),是否存在点,使为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的的值;若不存在,请说明理由.‎ A D E B F C 图4(备用)‎ A D E B F C 图5(备用)‎ A D E B F C 图1‎ 图2‎ A D E B F C P N M 图3‎ A D E B F C P N M ‎(第25题)‎ ‎25.(1)如图1,过点作于点 1分 图1‎ A D E B F C G ‎∵为的中点,‎ ‎∴‎ 在中,∴ 2分 ‎∴‎ 即点到的距离为 3分 ‎(2)①当点在线段上运动时,的形状不发生改变.‎ ‎∵∴‎ ‎∵∴,‎ 同理 4分 如图2,过点作于,∵‎ 图2‎ A D E B F C P N M G H ‎∴‎ ‎∴‎ 145‎ ‎∴‎ 则 在中,‎ ‎∴的周长= 6分 ‎②当点在线段上运动时,的形状发生改变,但恒为等边三角形.‎ 当时,如图3,作于,则 类似①,‎ ‎∴ 7分 ‎∵是等边三角形,∴‎ 此时, 8分 图3‎ A D E B F C P N M 图4‎ A D E B F C P M N 图5‎ A D E B F(P)‎ C M N G G R G ‎ 当时,如图4,这时 此时,‎ 当时,如图5,‎ 则又 ‎∴‎ 因此点与重合,为直角三角形.‎ ‎∴‎ 此时,‎ 综上所述,当或4或时,为等腰三角形. 10分 ‎(2009年广东广州)25.(本小题满分14分)‎ 如图13,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),ΔABC的面积为。‎ ‎(1)求该二次函数的关系式;‎ ‎(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与Δ 145‎ ABC的外接圆有公共点,求m的取值范围;‎ ‎(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。‎ ‎25.(本小题满分14分)‎ ‎ 解:(1)OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB=,得AB=,‎ ‎ 设A(a,0),B(b,0)AB=b-a==,解得p=,但p<0,所以p=。‎ ‎ 所以解析式为:‎ ‎ (2)令y=0,解方程得,得,所以A(,0),B(2,0),在直角三角形AOC ‎ 中可求得AC=,同样可求得BC=,,显然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC是直角三角形。AB ‎ 为斜边,所以外接圆的直径为AB=,所以.‎ ‎ (3)存在,AC⊥BC,①若以AC为底边,则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式 ‎ 为y=-2x+b,把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4,解方程组得D(,9)‎ ‎ ②若以BC为底边,则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b,把 ‎ ‎ A(,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25,解方程组得D()‎ ‎ 综上,所以存在两点:(,9)或()。‎ ‎(2009年广东省中山市)22. (本题满分9分)正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直.‎ ‎(1)证明:Rt△ABM∽Rt△MCN;‎ D B A M C N ‎(2)设BM=x,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时,四边形ABCN面积最大,并求出最大面积;‎ ‎(3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN,求此时x的值.‎ 145‎ ‎(2009 年哈尔滨市)28.(本题10分)‎ ‎ 如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(-3,4),‎ 点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.‎ ‎ (1)求直线AC的解析式;‎ ‎ (2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);‎ ‎ (3)在(2)的条件下,当 t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.‎ ‎ ‎ 145‎ 145‎ ‎(2009山东省泰安市)26(本小题满分10分)‎ 如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD。‎ (1) 求证:BE=AD;‎ (2) 求证:AC是线段ED的垂直平分线;‎ (3) ‎△DBC是等腰三角形吗?并说明理由。‎ ‎26、(本小题满分10分)‎ 证明:(1)∵∠ABC=90°,BD⊥EC,‎ ‎∴∠1与∠3互余,∠2与∠3互余,‎ ‎∴∠1=∠2…………………………………………………1分 ‎∵∠ABC=∠DAB=90°,AB=AC ‎∴△BAD≌△CBE…………………………………………2分 ‎∴AD=BE……………………………………………………3分 ‎(2)∵E是AB中点,‎ ‎∴EB=EA 由(1)AD=BE得:AE=AD……………………………5分 ‎∵AD∥BC ‎∴∠7=∠ACB=45°‎ ‎∵∠6=45°‎ ‎∴∠6=∠7‎ 由等腰三角形的性质,得:EM=MD,AM⊥DE。‎ 即,AC是线段ED的垂直平分线。……………………7分 ‎(3)△DBC是等腰三角(CD=BD)……………………8分 理由如下:‎ 由(2)得:CD=CE 由(1)得:CE=BD ‎∴CD=BD ‎∴△DBC是等腰三角形。……………………………10分 ‎(2009年威海市)25.(12分)‎ 一次函数的图象分别与轴、轴交于点,与反比例函数的图象相交于点.过点分别作轴,轴,垂足分别为;过点分别作轴,轴,垂足分别为与交于点,连接.‎ ‎(1)若点在反比例函数的图象的同一分支上,如图1,试证明:‎ ‎①;‎ 145‎ ‎②.‎ ‎(2)若点分别在反比例函数的图象的不同分支上,如图2,则与还相等吗?试证明你的结论.‎ O C F M D E N K y x ‎(第25题图1)‎ O C D K F E N y x M ‎(第25题图2)‎ O C F M D E N K y x 图1‎ ‎25.(本小题满分12分)‎ 解:(1)①轴,轴,‎ 四边形为矩形.‎ 轴,轴,‎ 四边形为矩形.‎ 轴,轴,‎ 四边形均为矩形. 1分 ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎ ,‎ ‎. 2分 ‎②由(1)知.‎ ‎.‎ 145‎ ‎. 4分 ‎,‎ ‎. 5分 ‎.‎ ‎. 6分 轴,‎ 四边形是平行四边形.‎ ‎. 7分 同理.‎ ‎. 8分 ‎(2)与仍然相等. 9分 ‎,‎ O C D K F E N y x M 图2‎ ‎,‎ 又,‎ ‎. 10分 ‎.‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎. 11分 轴,‎ 四边形是平行四边形.‎ ‎.‎ 同理.‎ ‎. 12分 ‎(2009年烟台市)26.(本题满分14分)‎ ‎ 如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于C点,且经过点,对称轴是直线,顶点是.‎ (1) 求抛物线对应的函数表达式;‎ (2) 经过两点作直线与轴交于点,在抛物线上是否存在这样的点,使以点为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由;‎ (3) 设直线与y轴的交点是,在线段上任取一点(不与重合),经过 145‎ 三点的圆交直线于点,试判断的形状,并说明理由;‎ O B x y A M C ‎1‎ ‎(第26题图)‎ (1) 当是直线上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出结论).‎ ‎26.(本题满分14分)‎ y x E D N O A C M P N ‎1‎ F ‎(第26题图)‎ 解:(1)根据题意,得 2分 解得 抛物线对应的函数表达式为. 3分 ‎(2)存在.‎ 在中,令,得.‎ 令,得,.‎ ‎,,.‎ 又,顶点. 5分 容易求得直线的表达式是.‎ 在中,令,得.‎ ‎,. 6分 在中,令,得.‎ ‎.‎ ‎,四边形为平行四边形,此时. 8分 ‎(3)是等腰直角三角形.‎ 理由:在中,令,得,令,得.‎ 145‎ 直线与坐标轴的交点是,.‎ ‎,. 9分 又点,.. 10分 由图知,. 11分 ‎,且.是等腰直角三角形. 12分 ‎(4)当点是直线上任意一点时,(3)中的结论成立. 14分 ‎(2009年山东省日照)24. (本题满分10分) ‎ 已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.‎ ‎(1)求证:EG=CG;‎ ‎(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. ‎ ‎(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)‎ D F B A C E 第24题图③‎ F B A D C E G 第24题图②‎ F B A D C E G 第24题图①‎ ‎ ‎ ‎24.(本题满分10分)‎ 解:(1)证明:在Rt△FCD中, ‎ ‎∵G为DF的中点,‎ ‎∴ CG= FD.………………1分 同理,在Rt△DEF中, ‎ EG= FD. ………………2分 ‎∴ CG=EG.…………………3分 ‎(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG.…………………………4分 证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.‎ 145‎ 在△DAG与△DCG中,‎ ‎∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,‎ ‎∴ △DAG≌△DCG.‎ ‎∴ AG=CG.………………………5分 在△DMG与△FNG中,‎ ‎∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,‎ ‎∴ △DMG≌△FNG.‎ ‎∴ MG=NG ‎ 在矩形AENM中,AM=EN. ……………6分 在Rt△AMG 与Rt△ENG中,‎ ‎∵ AM=EN, MG=NG,‎ ‎∴ △AMG≌△ENG.‎ ‎∴ AG=EG.‎ ‎∴ EG=CG. ……………………………8分 证法二:延长CG至M,使MG=CG,‎ 连接MF,ME,EC, ……………………4分 在△DCG 与△FMG中,‎ ‎∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,‎ ‎∴△DCG ≌△FMG.‎ ‎∴MF=CD,∠FMG=∠DCG. ‎ ‎∴MF∥CD∥AB.………………………5分 ‎∴ .‎ 在Rt△MFE 与Rt△CBE中,‎ ‎∵ MF=CB,EF=BE,‎ ‎∴△MFE ≌△CBE.‎ ‎∴ .…………………………………………………6分 ‎∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°. …………7分 ‎∴ △MEC为直角三角形.‎ ‎∵ MG = CG,‎ ‎∴ EG= MC.‎ 145‎ ‎∴ .………………………………8分 ‎(3)(1)中的结论仍然成立,‎ 即EG=CG.其他的结论还有:EG⊥CG.……10分 ‎(2009年潍坊市)24.(本小题满分12分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,半径为1的圆的圆心在坐标原点,且与两坐标轴分别交于四点.抛物线与轴交于点,与直线交于点,且分别与圆相切于点和点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)抛物线的对称轴交轴于点,连结,并延长交圆于,求的长.‎ ‎(3)过点作圆的切线交的延长线于点,判断点是否在抛物线上,说明理由.‎ O x y N C D E F B M A ‎24.(本小题满分12分)‎ 解:(1)圆心在坐标原点,圆的半径为1,‎ 点的坐标分别为 抛物线与直线交于点,且分别与圆相切于点和点,‎ ‎. 2分 点在抛物线上,将的坐标代入 ‎,得: 解之,得:‎ 抛物线的解析式为:. 4分 ‎(2)‎ 145‎ 抛物线的对称轴为,‎ O x y N C D E F B M A P ‎. 6分 连结,‎ ‎,,‎ 又,‎ ‎,‎ ‎. 8分 ‎(3)点在抛物线上. 9分 设过点的直线为:,‎ 将点的坐标代入,得:,‎ 直线为:. 10分 过点作圆的切线与轴平行,点的纵坐标为,‎ 将代入,得:.‎ 点的坐标为, 11分 当时,,‎ 所以,点在抛物线上. 12分 说明:解答题各小题中只给出了1种解法,其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数.‎ ‎(2009年山东临沂市)26.(本小题满分13分)‎ 如图,抛物线经过三点.‎ ‎(1)求出抛物线的解析式;‎ O x y A B C ‎4‎ ‎1‎ ‎(第26题图)‎ ‎(2)P是抛物线上一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得的面积最大,求出点D的坐标.‎ 145‎ ‎26.解:(1)该抛物线过点,可设该抛物线的解析式为.‎ 将,代入,‎ 得解得 此抛物线的解析式为. (3分)‎ ‎(2)存在. (4分)‎ 如图,设点的横坐标为,‎ O x y A B C ‎4‎ ‎1‎ ‎(第26题图)‎ D P M E 则点的纵坐标为,‎ 当时,‎ ‎,.‎ 又,‎ ‎①当时,‎ ‎,‎ 即.‎ 解得(舍去),. (6分)‎ ‎②当时,,即.‎ 解得,(均不合题意,舍去)‎ 当时,. (7分)‎ 类似地可求出当时,. (8分)‎ 当时,.‎ 综上所述,符合条件的点为或或. (9分)‎ ‎(3)如图,设点的横坐标为,则点的纵坐标为.‎ 过作轴的平行线交于.‎ 145‎ 由题意可求得直线的解析式为. (10分)‎ 点的坐标为.‎ ‎. (11分)‎ ‎.‎ 当时,面积最大.‎ ‎. (13分)‎ ‎(2009年山东省济宁市)26. (12分)‎ 在平面直角坐标中,边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上,点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转,当点第一次落在直线上时停止旋转,旋转过程中,边交直线于点,边交轴于点(如图).‎ ‎(1)求边在旋转过程中所扫过的面积;‎ ‎(第26题)‎ O A B C M N ‎(2)旋转过程中,当和平行时,求正方形 ‎ 旋转的度数;‎ ‎(3)设的周长为,在旋转正方形 的过程中,值是否有变化?请证明你的结论.‎ ‎26.(1)解:∵点第一次落在直线上时停止旋转,‎ ‎∴旋转了.‎ ‎∴在旋转过程中所扫过的面积为.……………4分 ‎(2)解:∵∥,‎ ‎∴,.‎ 145‎ ‎∴.∴.‎ 又∵,∴.‎ 又∵,,∴.‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴旋转过程中,当和平行时,正方形旋转的度数为 ‎.……………………………………………8分 ‎(3)答:值无变化.‎ ‎ 证明:延长交轴于点,则,‎ ‎,‎ ‎∴.‎ 又∵,.‎ ‎∴.‎ ‎∴. ‎ 又∵,,‎ ‎ ∴.∴.‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎(第26题)‎ O A B C M N ‎∴在旋转正方形的过程中,值无变化. ……………12分 ‎(2009年四川遂宁市)25.如图,二次函数的图象经过点D(0,),且顶点C的横坐标为4,该图象在x 145‎ ‎ 轴上截得的线段AB的长为6.‎ ‎⑴求二次函数的解析式;‎ ‎⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;‎ ‎⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ ‎25.⑴设二次函数的解析式为:y=a(x-h)2+k ‎∵顶点C的横坐标为4,且过点(0,)‎ ‎∴y=a(x-4)2+k ………………①‎ 又∵对称轴为直线x=4,图象在x轴上截得的线段长为6‎ ‎∴A(1,0),B(7,0)‎ ‎∴0=9a+k ………………②‎ 由①②解得a=,k=‎ ‎∴二次函数的解析式为:y=(x-4)2-‎ ‎⑵∵点A、B关于直线x=4对称 ‎∴PA=PB ‎∴PA+PD=PB+PD≥DB ‎∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ‎∴DB与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x轴交于点M ‎∵PM∥OD,∴∠BPM=∠BDO,又∠PBM=∠DBO ‎∴△BPM∽△BDO 145‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴点P的坐标为(4,)‎ ‎⑶由⑴知点C(4,),‎ 又∵AM=3,∴在Rt△AMC中,cot∠ACM=,‎ ‎∴∠ACM=60o,∵AC=BC,∴∠ACB=120o ‎①当点Q在x轴上方时,过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ,由△ABC∽△ABQ有 BQ=6,∠ABQ=120o,则∠QBN=60o ‎∴QN=3,BN=3,ON=10,‎ 此时点Q(10,),‎ 如果AB=AQ,由对称性知Q(-2,)‎ ‎②当点Q在x轴下方时,△QAB就是△ACB,‎ 此时点Q的坐标是(4,),‎ 经检验,点(10,)与(-2,)都在抛物线上 综上所述,存在这样的点Q,使△QAB∽△ABC 点Q的坐标为(10,)或(-2,)或(4,).‎ ‎(2009年四川南充市)21.如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点.‎ ‎(1)求正比例函数和反比例函数的解析式;‎ ‎(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点,求的值和这个一次函数的解析式;‎ ‎(3)第(2)问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式;‎ ‎(4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E,使四边形OECD的面积与四边形OABD 145‎ 的面积S满足:?若存在,求点E的坐标;‎ 若不存在,请说明理由.‎ y x O C D B A ‎3‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎21.解:(1)设正比例函数的解析式为,‎ 因为的图象过点,所以 ‎,解得.‎ 这个正比例函数的解析式为. (1分)‎ 设反比例函数的解析式为.‎ 因为的图象过点,所以 ‎,解得.‎ 这个反比例函数的解析式为. (2分)‎ ‎(2)因为点在的图象上,所以 ‎,则点. (3分)‎ 设一次函数解析式为.‎ 因为的图象是由平移得到的,‎ 所以,即.‎ 又因为的图象过点,所以 ‎,解得,‎ 一次函数的解析式为. (4分)‎ ‎(3)因为的图象交轴于点,所以的坐标为.‎ 设二次函数的解析式为.‎ 145‎ 因为的图象过点、、和,‎ 所以 (5分) 解得 y x O C D B A ‎3‎ ‎3‎ ‎6‎ E 这个二次函数的解析式为. (6分)‎ ‎(4)交轴于点,点的坐标是,‎ 如图所示,‎ ‎.‎ 假设存在点,使.‎ 四边形的顶点只能在轴上方,,‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎,. (7分)‎ 在二次函数的图象上,‎ ‎.‎ 解得或.‎ 当时,点与点重合,这时不是四边形,故舍去,‎ 点的坐标为. (8分)‎ 145‎ ‎(2009年四川凉山州)26.如图,已知抛物线经过,两点,顶点为.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)将绕点顺时针旋转90°后,点落到点的位置,将抛物线沿轴平移后经过点,求平移后所得图象的函数关系式;‎ y x B A O D ‎(第26题)‎ ‎(3)设(2)中平移后,所得抛物线与轴的交点为,顶点为,若点在平移后的抛物线上,且满足的面积是面积的2倍,求点的坐标.‎ ‎26.解:(1)已知抛物线经过,‎ ‎ 解得 所求抛物线的解析式为. 2分 ‎(2),,‎ 可得旋转后点的坐标为 3分 当时,由得,‎ 可知抛物线过点 将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点.‎ 平移后的抛物线解析式为:. 5分 ‎(3)点在上,可设点坐标为 y x C B A O N D B1‎ D1‎ 图①‎ 将配方得,其对称轴为. 6分 ‎①当时,如图①,‎ 145‎ 此时 y x C B A O D B1‎ D1‎ 图②‎ N 点的坐标为. 8分 ‎②当时,如图②‎ 同理可得 此时 点的坐标为.‎ 综上,点的坐标为或. 10分 ‎(2009年武汉市)25.(本题满分12分)‎ 如图,抛物线经过、两点,与轴交于另一点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)已知点在第一象限的抛物线上,求点关于直线对称的点的坐标;‎ y x O A B C ‎(3)在(2)的条件下,连接,点为抛物线上一点,且,求点的坐标.‎ ‎25.解:(1)抛物线经过,两点,‎ 解得 145‎ 抛物线的解析式为.‎ y x O A B C D E ‎(2)点在抛物线上,,‎ 即,或.‎ 点在第一象限,点的坐标为.‎ 由(1)知.‎ 设点关于直线的对称点为点.‎ ‎,,且,‎ ‎,‎ 点在轴上,且.‎ ‎,.‎ 即点关于直线对称的点的坐标为(0,1).‎ ‎(3)方法一:作于,于.‎ y x O A B C D E P F 由(1)有:,‎ ‎.‎ ‎,且.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎,,,‎ ‎.‎ 设,则,,‎ ‎.‎ 点在抛物线上,‎ ‎,‎ ‎(舍去)或,.‎ y x O A B C D P Q G H 方法二:过点作的垂线交直线于点,过点作轴于.过点作于.‎ ‎.‎ 145‎ ‎,‎ 又,.‎ ‎,,.‎ 由(2)知,.‎ ‎,直线的解析式为.‎ 解方程组得 点的坐标为.‎ ‎(2009年鄂州市)27.如图所示,将矩形OABC沿AE折叠,使点O恰好落在BC上F处,以CF为边作正方形CFGH,延长BC至M,使CM=|CF—EO|,再以CM、CO为边作矩形CMNO ‎(1)试比较EO、EC的大小,并说明理由 ‎(2)令,请问m是否为定值?若是,请求出m的值;若不是,请说明理由 ‎(3)在(2)的条件下,若CO=1,CE=,Q为AE上一点且QF=,抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点,请求出此抛物线的解析式.‎ ‎ (4)在(3)的条件下,若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P,试问在直线BC上是否存在点K,使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在,请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在,请说明理由。‎ ‎27、(1)EO>EC,理由如下:‎ 145‎ 由折叠知,EO=EF,在Rt△EFC中,EF为斜边,∴EF>EC, 故EO>EC …2分 ‎(2)m为定值 ‎∵S四边形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)‎ S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO ‎∴ ……………………………………………………4分 ‎(3)∵CO=1, ∴EF=EO=‎ ‎∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60°,‎ ‎∴‎ ‎∴△EFQ为等边三角形, …………………………………………5分 作QI⊥EO于I,EI=,IQ=‎ ‎∴IO= ∴Q点坐标为 ……………………………………6分 ‎∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0,1), Q ,m=1‎ ‎∴可求得,c=1‎ ‎∴抛物线解析式为 ……………………………………7分 ‎(4)由(3),‎ 当时,<AB ‎∴P点坐标为 …………………8分 ‎∴BP=AO 方法1:若△PBK与△AEF相似,而△AEF≌△AEO,则分情况如下:‎ ‎①时,∴K点坐标为或 145‎ ‎②时, ∴K点坐标为或…………10分 故直线KP与y轴交点T的坐标为 ‎ …………………………………………12分 方法2:若△BPK与△AEF相似,由(3)得:∠BPK=30°或60°,过P作PR⊥y轴于R,则∠RTP=60°或30°‎ ‎①当∠RTP=30°时,‎ ‎②当∠RTP=60°时,‎ ‎∴ ……………………………12分 ‎(2009年湖北省黄石市)24、(本题满分9分)‎ 如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。‎ 解答下列问题:‎ ‎(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为 ,数量关系为 。‎ ‎②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?‎ ‎(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。‎ 试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?画出相应图形,并说明理由。(画图不写作法)‎ ‎(3)若AC=4,BC=3,在(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值。‎ ‎24、解:(1)①CF⊥BD,CF=BD ‎ ‎②成立,理由如下:‎ ‎∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF 又 BA=CA AD=AF ‎∴△BAD≌△CAF ‎∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45°‎ ‎∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD ……(1分)‎ 145‎ ‎(2)当∠ACB=45°时可得CF⊥BC,理由如下:‎ 如图:过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G 则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45°‎ ‎∵AG=AC AD=AF ………(1分)‎ ‎∴△GAD≌△CAF(SAS) ∴∠ACF=∠AGD=45°‎ ‎∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC …………(2分)‎ ‎(3)如图:作AQBC于Q ‎∵∠ACB=45° AC=4 ∴CQ=AQ=4‎ ‎∵∠PCD=∠ADP=90°‎ ‎∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°‎ ‎∴△ADQ∽△DPC …(1分)‎ ‎∴=‎ 设CD为x(0<x<3)则DQ=CQ-CD=4-x 则= …………(1分)‎ ‎∴PC=(-x2+4x)=-(x-2)2+1≥1‎ 当x=2时,PC最长,此时PC=1 ………(1分)‎ ‎(2009年湖北省孝感市)25.(本题满分12分)‎ 如图,点P是双曲线上一动点,过点P作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线y= (0<k2<|k1|)于E、F两点.‎ ‎(1)图1中,四边形PEOF的面积S1= ▲ (用含k1、k2的式子表示);(3分)‎ ‎(2)图2中,设P点坐标为(-4,3).‎ ‎①判断EF与AB的位置关系,并证明你的结论;(4分)‎ ‎②记,S2是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由.(5分)‎ 145‎ ‎25.解:(1); … ………………………………3分 ‎(2)①EF∥AB. ……………………………………4分 证明:如图,由题意可得A(–4,0),B(0,3),, .‎ ‎∴PA=3,PE=,PB=4,PF=.‎ ‎∴,‎ ‎∴. ………………………… 6分 ‎ 又∵∠APB=∠EPF.‎ ‎∴△APB ∽△EPF,∴∠PAB=∠PEF.‎ ‎∴EF∥AB. …………………………… 7分 ‎②S2没有最小值,理由如下:‎ 过E作EM⊥y轴于点M,过F作FN⊥x轴于点N,两线交于点Q.‎ 由上知M(0,),N(,0),Q(,). ……………… 8分 而S△EFQ= S△PEF,‎ ‎∴S2=S△PEF-S△OEF=S△EFQ-S△OEF=S△EOM+S△FON+S矩形OMQN ‎=‎ ‎=‎ ‎=. ………………………… 10分 当时,S2的值随k2的增大而增大,而0<k2<12. …………… 11分 ‎∴0<S2<24,s2没有最小值. …………………………… 12分 说明:1.证明AB∥EF时,还可利用以下三种方法.方法一:分别求出经过A、B两点和经过E、F两点的直线解析式,利用这两个解析式中x的系数相等来证明AB∥EF;方法二:利用=来证明AB∥EF;方法三:连接AF、BE,利用S△AEF=S△BFE得到点A、点B到直线EF的距离相等,再由A、B两点在直线EF同侧可得到AB∥EF.‎ ‎2.求S2的值时,还可进行如下变形:‎ S2= S△PEF-S△OEF=S△PEF-(S四边形PEOF-S△PEF)=2 S△PEF-S四边形PEOF,再利用第(1)题中的结论.‎ ‎(2009年湖北省荆门市)25.(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC.‎ ‎(1)若m为常数,求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点?‎ ‎(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BCD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.‎ 145‎ 第25题图 ‎25.解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x-m+2)(x-m-2)=a(x-m)2-4a.…………2分 ‎∵AC⊥BC,由抛物线的对称性可知:△ACB是等腰直角三角形,又AB=4,‎ ‎∴C(m,-2)代入得a=.∴解析式为:y=(x-m)2-2.…………………………5分 ‎(亦可求C点,设顶点式)‎ ‎(2)∵m为小于零的常数,∴只需将抛物线向右平移-m个单位,再向上平移2个单位,可以使抛物线y=(x-m)2-2顶点在坐标原点.………………………………………7分 ‎(3)由(1)得D(0,m2-2),设存在实数m,使得△BOD为等腰三角形.‎ ‎∵△BOD为直角三角形,∴只能OD=OB.……………………………………………9分 ‎∴m2-2=|m+2|,当m+2>0时,解得m=4或m=-2(舍).‎ 当m+2<0时,解得m=0(舍)或m=-2(舍);‎ 当m+2=0时,即m=-2时,B、O、D三点重合(不合题意,舍)‎ 综上所述:存在实数m=4,使得△BOD为等腰三角形.……………………………12分 ‎(2009年襄樊市)26.(本小题满分13分)‎ 如图13,在梯形中,点是的中点,是等边三角形.‎ ‎ (1)求证:梯形是等腰梯形;‎ ‎ (2)动点、分别在线段和上运动,且保持不变.设求与的函数关系式;‎ ‎ (3)在(2)中:①当动点、运动到何处时,以点、和点、、、中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?并指出符合条件的平行四边形的个数;‎ ‎②当取最小值时,判断的形状,并说明理由.‎ A D C B P M Q ‎60°‎ 图13‎ 145‎ A D C B P M Q ‎60°‎ ‎26.(1)证明:∵是等边三角形 ‎∴ 1分 ‎∵是中点 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴ 2分 ‎∴‎ ‎∴梯形是等腰梯形. 3分 ‎(2)解:在等边中,‎ ‎∴‎ ‎∴ 4分 ‎∴ ∴ 5分 ‎∵ ∴ 6分 ‎∴ ∴ 7分 ‎(3)解:①当时,则有 则四边形和四边形均为平行四边形 ‎∴ 8分 当时,则有 则四边形和四边形均为平行四边形 ‎∴ 9分 ‎∴当或时,以P、M和A、B、C、 D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形.‎ 此时平行四边形有4个. 10分 ‎②为直角三角形 11分 ‎∵‎ ‎∴当取最小值时, 12分 145‎ ‎∴是的中点,而 ‎∴∴ 13分 ‎(2009年湖南省株洲市)23.(本题满分12分)如图,已知为直角三角形,,,点、在轴上,点坐标为(,)(),线段与轴相交于点,以(1,0)为顶点的抛物线过点、.‎ ‎(1)求点的坐标(用表示);‎ ‎(2)求抛物线的解析式;‎ ‎(3)设点为抛物线上点至点之间的一动点,连结并延长交于点,连结 并延长交于点,试证明:为定值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23.(1)由可知,,又△ABC为等腰直角三角形,∴,,所以点A的坐标是(). ………………… 3分 ‎(2)∵ ∴,则点的坐标是().‎ 又抛物线顶点为,且过点、,所以可设抛物线的解析式为:,得: ‎ ‎ 解得 ∴抛物线的解析式为 ………7分 ‎(3)过点作于点,过点作于点,设点的坐标是,则,.‎ ‎∵ ∴∽ ∴ 即,得 ‎∵ ∴∽ ∴ 即,得 又∵‎ ‎∴‎ 145‎ 即为定值8. ……………………12分 本答案仅供参考,若有其他解法,请参照本评分标准评分.‎ ‎(2009年衡阳市)26、(本小题满分9分)‎ 如图12,直线与两坐标轴分别相交于A、B点,点M是线段AB上任意一点(A、B两点除外),过M分别作MC⊥OA于点C,MD⊥OB于D.‎ ‎ (1)当点M在AB上运动时,你认为四边形OCMD的周长是否发生变化?并说明理由;‎ ‎ (2)当点M运动到什么位置时,四边形OCMD的面积有最大值?最大值是多少?‎ ‎(3)当四边形OCMD为正方形时,将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动,设平移的距离为,正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S.试求S与的函数关系式并画出该函数的图象.‎ B x y M C D O A 图12(1)‎ B x y O A 图12(2)‎ B x y O A 图12(3)‎ ‎ 解:(1)设点M的横坐标为x,则点M的纵坐标为-x+4(00,-x+4>0);‎ ‎ 则:MC=∣-x+4∣=-x+4,MD=∣x∣=x;‎ ‎ ∴C四边形OCMD=2(MC+MD)=2(-x+4+x)=8‎ ‎∴当点M在AB上运动时,四边形OCMD的周长不发生变化,总是等于8;‎ ‎(2)根据题意得:S四边形OCMD=MC·MD=(-x+4)· x=-x2+4x=-(x-2)2+4‎ ‎∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x(0PA,∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P.‎ 如图2,过点Q1作Q1M⊥AP,垂足为点M,Q1M交AC于点F,则AM=.‎ 由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得 145‎ ‎, ∴,‎ ‎∴. ………………1分 ‎∴CQ1==.则,‎ ‎∴ .……………………………1分 第二种情况:当点Q在BA上时,存在两点Q2,Q3,‎ 分别使A P= A Q2,PA=PQ3.‎ ‎①若AP=AQ2,如图3,CB+BQ2=10-4=6.‎ 则,∴.……1分 ‎ ‎②若PA=PQ3,如图4,过点P作PN⊥AB,垂足为N,‎ 由△ANP∽△AEB,得. ‎ ‎∵AE= , ∴AN=.‎ ‎∴AQ3=2AN=, ∴BC+BQ3=10-‎ 则.∴. ‎ ‎………………………1分 综上所述,当t= 4秒,以所得的等腰三角形APQ 沿底边翻折,翻折后得到菱形的k值为或或 ‎.‎ ‎(2009年浙江省嘉兴市)C A B N M ‎(第24题)‎ 24.如图,已知A、B是线段MN上的两点,,,.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设.‎ ‎(1)求x的取值范围;‎ ‎(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;‎ ‎(3)探究:△ABC的最大面积?‎ ‎24.(1)在△ABC中,∵,,.‎ ‎∴,解得.  4分 ‎(2)①若AC为斜边,则,即,无解.‎ ‎②若AB为斜边,则,解得,满足.‎ 145‎ ‎③若BC为斜边,则,解得,满足.‎ C A B N M ‎(第24题-1)‎ D ‎∴或.  9分 ‎(3)在△ABC中,作于D,‎ 设,△ABC的面积为S,则.‎ ‎①若点D在线段AB上,‎ 则.‎ ‎∴,即.‎ ‎∴,即.‎ ‎∴().  11分 当时(满足),取最大值,从而S取最大值. 13分 C B A D M N ‎(第24题-2)‎ ‎②若点D在线段MA上,‎ 则.‎ 同理可得,‎ ‎(),‎ 易知此时.‎ 综合①②得,△ABC的最大面积为. 14分 ‎(2009年浙江省湖州市)‎ ‎24.(本小题12分)‎ 已知抛物线()与轴相交于点,顶点为.直线分别与轴,轴相交于两点,并且与直线相交于点.‎ ‎(1)填空:试用含的代数式分别表示点与的坐标,则; ‎ ‎(2)如图,将沿轴翻折,若点的对应点′恰好落在抛物线上,′与轴交于点,连结,求的值和四边形的面积;‎ ‎(3)在抛物线()上是否存在一点,使得以为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点的坐标;若不存在,试说明理由.‎ 145‎ 第(2)题 x y B C O D A M N N′‎ x y B C O A M N 备用图 ‎(第24题)‎ 四、自选题:(本题5分)‎ A C B 第(25)题 请注意:本题为自选题,供考生选做,自选题得分将计入本学科总分,但考试总分最多为120分.‎ ‎25.若P为所在平面上一点,且,则点叫做的费马点.‎ ‎(1)若点为锐角的费马点,且,则的值为________;‎ ‎(2)如图,在锐角外侧作等边′连结′.‎ 求证:′过的费马点,且′=.‎ 第(2)题 x y B C O D A M N N′‎ x y B C O A M N P1‎ P2‎ 备用图 ‎24.(本小题12分)‎ ‎(1).……………4分 ‎(2)由题意得点与点′关于轴对称,,‎ 将′的坐标代入得,‎ ‎(不合题意,舍去),.……………2分 ‎,点到轴的距离为3.‎ 145‎ ‎, ,直线的解析式为,‎ 它与轴的交点为点到轴的距离为.‎ ‎.……………2分 ‎(3)当点在轴的左侧时,若是平行四边形,则平行且等于,‎ 把向上平移个单位得到,坐标为,代入抛物线的解析式,‎ 得:‎ ‎(不舍题意,舍去),,‎ ‎.……………2分 当点在轴的右侧时,若是平行四边形,则与互相平分,‎ ‎.‎ ‎ 与关于原点对称,,‎ 将点坐标代入抛物线解析式得:,‎ ‎(不合题意,舍去),,.……………2分 存在这样的点或,能使得以为顶点的四边形是平行四边形.‎ 四、自选题(本题5分)‎ ‎25.(1)2. ……………2分 ‎(2)证明:在上取点,使,‎ 连结,再在上截取,连结.‎ ‎,‎ 为正三角形,……………1分 A C B P E 第(25)题 ‎=,‎ 为正三角形,‎ 145‎ ‎=,‎ ‎=,‎ ‎′,‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎,‎ 为的费马点,‎ 过的费马点,且=+.……………2分 ‎(2009年甘肃省兰州市)29.(本题满分9分)如图①,正方形 ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4), ‎ 点C在第一象限.动点P在正方形 ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动, ‎ 同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动,当P点到达D点时,两点同时停止运动, ‎ 设运动的时间为t秒.‎ ‎(1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图②所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度;‎ ‎(2)求正方形边长及顶点C的坐标;‎ ‎(3)在(1)中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标;‎ ‎(4)如果点P、Q保持原速度不变,当点P沿A→B→C→D匀速运动时,OP与PQ能否相等,若能,写出所有符合条件的t的值;若不能,请说明理由.‎ ‎29. (本题满分9分)‎ 解:(1)(1,0) 1分 ‎ 点P运动速度每秒钟1个单位长度. 2分 ‎(2) 过点作BF⊥y轴于点,⊥轴于点,则=8,.‎ ‎ ∴.‎ ‎ 在Rt△AFB中, 3分 ‎ 过点作⊥轴于点,与的延长线交于点.‎ ‎∵ ∴△ABF≌△BCH. ‎ ‎ ∴. ‎ ‎∴.‎ 145‎ ‎∴所求C点的坐标为(14,12). 4分 ‎(3) 过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥轴于点N,‎ 则△APM∽△ABF.‎ ‎ ∴. . ‎ ‎ ∴. ∴.‎ 设△OPQ的面积为(平方单位)‎ ‎∴(0≤≤10) 5分 说明:未注明自变量的取值范围不扣分.‎ ‎ ∵<0 ∴当时, △OPQ的面积最大. 6分 ‎ 此时P的坐标为(,) . 7分 ‎(4) 当 或时, OP与PQ相等. 9分 ‎ 对一个加1分,不需写求解过程.‎ ‎63.(2009年山东德州)23. (本题满分10分) ‎ 已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.‎ ‎(1)求证:EG=CG;‎ ‎(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. ‎ ‎(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)‎ F B A C E 第23题图③‎ F B A D C E G 第23题图②‎ F B A D C E G 第23题图①‎ ‎ ‎ ‎(2009年山东德州23题解析)解:(1)证明:在Rt△FCD中, ‎ ‎∵G为DF的中点,∴ CG=FD.………… 1分 同理,在Rt△DEF中, ‎ EG=FD. ………………2分 ‎∴ CG=EG.…………………3分 ‎(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG.…………………………4分 145‎ 证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.‎ F B A D C E G M N N 图 ②(一)‎ 在△DAG与△DCG中,‎ ‎∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,‎ ‎∴ △DAG≌△DCG.‎ ‎∴ AG=CG.………………………5分 在△DMG与△FNG中,‎ ‎∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,‎ ‎∴ △DMG≌△FNG.‎ ‎∴ MG=NG ‎ 在矩形AENM中,AM=EN. ……………6分 在Rt△AMG 与Rt△ENG中,‎ ‎∵ AM=EN, MG=NG,‎ F B A D C E G M 图 ②(二)‎ ‎∴ △AMG≌△ENG.‎ ‎∴ AG=EG.‎ ‎∴ EG=CG. ……………………………8分 证法二:延长CG至M,使MG=CG,‎ 连接MF,ME,EC, ……………………4分 在△DCG 与△FMG中,‎ ‎∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,‎ ‎∴△DCG ≌△FMG.‎ ‎∴MF=CD,∠FMG=∠DCG. ‎ ‎∴MF∥CD∥AB.………………………5分 F B A D C E 图③‎ G ‎∴.‎ 在Rt△MFE 与Rt△CBE中,‎ ‎∵ MF=CB,EF=BE,‎ ‎∴△MFE ≌△CBE.‎ ‎∴.…………………………………………………6分 ‎∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°. …………7分 ‎∴ △MEC为直角三角形.‎ ‎∵ MG = CG,‎ ‎∴ EG=MC.‎ ‎∴ .………………………………8分 ‎(3)(1)中的结论仍然成立,‎ 即EG=CG.其他的结论还有:EG⊥CG.……10分[来源:学科网]‎ ‎74.(2009年山东德州)23. (本题满分10分) ‎ 已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.‎ ‎(1)求证:EG=CG;‎ ‎(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. ‎ F B A D C E G 第23题图①‎ ‎(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)‎ 145‎ ‎ ‎ F B A D C E G 第23题图②‎ ‎(2009年山东德州23题解析)解:(1)证明:在Rt△FCD中, ‎ ‎∵G为DF的中点,∴ CG=FD.………… 1分 同理,在Rt△DEF中, ‎ EG=FD. ………………2分 ‎∴ CG=EG.…………………3分 ‎(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG.…………………………4分 D F B A C E 第23题图③‎ 证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ F B A D C E G M N N 图 ②(一)‎ 在△DAG与△DCG中,‎ ‎∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,‎ ‎∴ △DAG≌△DCG.‎ ‎∴ AG=CG.………………………5分 在△DMG与△FNG中,‎ ‎∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,‎ ‎∴ △DMG≌△FNG.‎ ‎∴ MG=NG ‎ 在矩形AENM中,AM=EN. ……………6分 在Rt△AMG 与Rt△ENG中,‎ ‎∵ AM=EN, MG=NG,‎ ‎∴ △AMG≌△ENG.‎ ‎∴ AG=EG.‎ F B A D C E G M 图 ②(二)‎ ‎∴ EG=CG. ……………………………8分 证法二:延长CG至M,使MG=CG,‎ 连接MF,ME,EC, ……………………4分 在△DCG 与△FMG中,‎ ‎∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,‎ ‎∴△DCG ≌△FMG.‎ ‎∴MF=CD,∠FMG=∠DCG. ‎ ‎∴MF∥CD∥AB.………………………5分 ‎∴.‎ 在Rt△MFE 与Rt△CBE中,‎ ‎∵ MF=CB,EF=BE,‎ ‎∴△MFE ≌△CBE.‎ ‎∴.…………………………………………………6分 F B A D C E 图③‎ G ‎∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°. …………7分 ‎∴ △MEC为直角三角形.‎ ‎∵ MG = CG,‎ ‎∴ EG=MC.‎ ‎∴ .………………………………8分 145‎ ‎(3)(1)中的结论仍然成立,‎ 即EG=CG.其他的结论还有:EG⊥CG.……10分 ‎76.(2009年山东济南)24.(本小题满分9分)‎ 已知:抛物线的对称轴为与轴交于两点,与轴交于点其中、‎ ‎(1)求这条抛物线的函数表达式.‎ ‎(2)已知在对称轴上存在一点P,使得的周长最小.请求出点P的坐标.‎ ‎(3)若点是线段上的一个动点(不与点O、点C重合).过点D作交轴于点连接、.设的长为,的面积为.求与之间的函数关系式.试说明是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.‎ A C x y B O ‎(第24题图)‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎(第24题图)‎ O A C x y B E P D ‎(2009年山东济南24题解析)解:(1)由题意得 2分 解得 ‎∴此抛物线的解析式为 3分 ‎(2)连结、.因为的长度一定,所以周长最小,就是使最小.点关于对称轴的对称点是点,与对称轴的交点即为所求的点.‎ 设直线的表达式为 145‎ 则 ‎ 4分 解得 ‎∴此直线的表达式为 5分 把代入得 ‎∴点的坐标为 6分 ‎(3)存在最大值 7分 理由:∵即 ‎∴‎ ‎∴即 ‎∴‎ 方法一:‎ 连结 ‎=[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎= 8分 ‎∵‎ 145‎ ‎∴当时, 9分 方法二:‎ ‎ =‎ ‎= 8分 ‎∵‎ ‎∴当时, 9分 ‎77.(2009年山东临沂)26.(本小题满分13分)‎ 如图,抛物线经过三点.‎ ‎(1)求出抛物线的解析式;‎ ‎(2)P是抛物线上一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得的面积最大,求出点D的坐标.‎ O x y A B C ‎4‎ ‎1‎ ‎(第26题图)‎ ‎(2009年山东临沂26题解析)解:(1)该抛物线过点,可设该抛物线的解析式为.‎ 将,代入,‎ 得解得 此抛物线的解析式为. (3分)‎ ‎(2)存在. (4分)‎ 如图,设点的横坐标为,‎ 145‎ 则点的纵坐标为,‎ O x y A B C ‎4‎ ‎1‎ ‎(第26题图)‎ D P M E 当时,‎ ‎,.‎ 又,‎ ‎①当时,‎ ‎,‎ 即.‎ 解得(舍去),. (6分)‎ ‎②当时,,即.‎ 解得,(均不合题意,舍去)‎ 当时,. (7分)‎ 类似地可求出当时,. (8分)‎ 当时,.‎ 综上所述,符合条件的点为或或. (9分)[来源:Zxxk.Com]‎ ‎(3)如图,设点的横坐标为,则点的纵坐标为.‎ 过作轴的平行线交于.‎ 由题意可求得直线的解析式为. (10分)‎ 点的坐标为.‎ ‎. (11分)‎ ‎.‎ 当时,面积最大.‎ ‎. (13分)‎ 145‎ ‎78.(2009年山东青岛)24.(本小题满分12分)‎ 如图,在梯形ABCD中,,,,,点由B出发沿BD方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s,交于Q,连接PE.若设运动时间为(s)().解答下列问题:‎ ‎(1)当为何值时,?‎ ‎(2)设的面积为(cm2),求与之间的函数关系式;‎ ‎(3)是否存在某一时刻,使?若存在,求出此时的值;若不存在,说明理由.‎ ‎(4)连接,在上述运动过程中,五边形的面积是否发生变化?说明理由.‎ A E D Q P B F C 第24题图 ‎(2009年山东青岛24题解析)解:(1)∵‎ A E D Q P B F C N M ‎∴.‎ 而,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴当. 2分 ‎(2)∵平行且等于,[来源:学科网]‎ ‎∴四边形是平行四边形.‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎.‎ ‎∴.‎ 过B作,交于,过作,交于.‎ ‎.‎ ‎∵,‎ 145‎ ‎∴.‎ 又,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎. 6分 ‎(3).‎ 若,‎ 则有,‎ 解得. 9分 ‎(4)在和中,‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎∴在运动过程中,五边形的面积不变. 12分 ‎79.(2009年陕西)25.(本题满分12分)‎ 问题探究 ‎(1)请在图①的正方形内,画出使的一个点,并说明理由.‎ ‎(2)请在图②的正方形内(含边),画出使的所有的点,并说明理由.‎ 问题解决 D C B A ‎①‎ D C B A ‎③‎ D C B A ‎②‎ ‎(第25题图)‎ ‎(3)如图③,现在一块矩形钢板.工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的和钢板,且.请你在图③中画出符合要求的点和,并求出的面积(结果保留根号).‎ 145‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎(2009年陕西25题解析)解:(1)如图①,‎ 连接交于点,则.‎ 点为所求. (3分)‎ ‎(2)如图②,画法如下:‎ D C B A ‎①‎ P D C B A ‎②‎ O P E F D C B A ‎③‎ E G O P ‎(第25题答案图)‎ ‎1)以为边在正方形内作等边;‎ ‎2)作的外接圆,分别与交于点.‎ 在中,弦所对的上的圆周角均为,‎ 上的所有点均为所求的点. (7分)‎ ‎(3)如图③,画法如下:‎ ‎1)连接;‎ ‎2)以为边作等边;‎ ‎3)作等边的外接圆,交于点;‎ ‎4)在上截取.‎ 则点为所求. (9分)‎ ‎(评卷时,作图准确,无画法的不扣分)‎ 过点作,交于点.‎ 在中,.‎ ‎.‎ ‎. (10分)‎ 在中,,‎ ‎.‎ 在中,,‎ ‎.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎.‎ ‎. (12分)‎ ‎80.(2009年山东泰安)(本小题满分10分)‎ 如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD。‎ (1) 求证:BE=AD;‎ (2) 求证:AC是线段ED的垂直平分线;‎ 145‎ (1) ‎△DBC是等腰三角形吗?并说明理由。‎ ‎(2009年山东泰安26题解析)证明:(1)∵∠ABC=90°,BD⊥EC,‎ ‎∴∠1与∠3互余,∠2与∠3互余,‎ ‎∴∠1=∠2…………………………………………………1分 ‎∵∠ABC=∠DAB=90°,AB=AC ‎∴△BAD≌△CBE…………………………………………2分 ‎∴AD=BE……………………………………………………3分 ‎(2)∵E是AB中点,‎ ‎∴EB=EA 由(1)AD=BE得:AE=AD……………………………5分 ‎∵AD∥BC ‎∴∠7=∠ACB=45°‎ ‎∵∠6=45°‎ ‎∴∠6=∠7‎ 由等腰三角形的性质,得:EM=MD,AM⊥DE。‎ 即,AC是线段ED的垂直平分线。……………………7分 ‎(3)△DBC是等腰三角(CD=BD)……………………8分 理由如下:‎ 由(2)得:CD=CE 由(1)得:CE=BD ‎∴CD=BD ‎∴△DBC是等腰三角形。……………………………10分 ‎81.(2009年山东威海)25.(12分)‎ 一次函数的图象分别与轴、轴交于点,与反比例函数的图象相交于点.过点分别作轴,轴,垂足分别为;过点分别作轴,轴,垂足分别为与交于点,连接.‎ ‎(1)若点在反比例函数的图象的同一分支上,如图1,试证明:‎ ‎①;‎ ‎②.‎ ‎(2)若点分别在反比例函数的图象的不同分支上,如图2,则与还相等吗?试证明你的结论.‎ O C F M D E N K y x ‎(第25题图1)‎ O C D K F E N y x M ‎(第25题图2)‎ 145‎ ‎(2009年山东威海25题解析)解:(1)①轴,轴,‎ 四边形为矩形.‎ 轴,轴,‎ 四边形为矩形.‎ 轴,轴,‎ 四边形均为矩形. 1分 ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎ ,‎ ‎. 2分 ‎②由(1)知.‎ ‎.‎ ‎. 4分 ‎,‎ ‎. 5分 ‎.‎ ‎. 6分 轴,[来源:Z+xx+k.Com]‎ 四边形是平行四边形.‎ ‎. 7分 O C D K F E N y x M 图2‎ 同理.‎ ‎. 8分 ‎(2)与仍然相等. 9分 ‎,‎ 145‎ ‎,‎ 又,‎ ‎. 10分 ‎.‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎. 11分 轴,‎ 四边形是平行四边形.‎ ‎.‎ 同理.‎ ‎. 12分 ‎82.(2009年山东烟台)26.(本题满分14分)‎ ‎ 如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于C点,且经过点,对称轴是直线,顶点是.‎ (1) 求抛物线对应的函数表达式;‎ (2) 经过两点作直线与轴交于点,在抛物线上是否存在这样的点,使以点为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由;‎ (3) 设直线与y轴的交点是,在线段上任取一点(不与重合),经过三点的圆交直线于点,试判断的形状,并说明理由;[来源:Z*xx*k.Com]‎ (4) 当是直线上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出结论).‎ O B x y A M C ‎1‎ ‎(第26题图)‎ y x E D N O A C M P N ‎1‎ F ‎(第26题图)‎ ‎(2009年山东烟台26题解析)解:(1)根据题意,得 2分 145‎ 解得 抛物线对应的函数表达式为. 3分 ‎(2)存在.‎ 在中,令,得.‎ 令,得,.‎ ‎,,.‎ 又,顶点. 5分 容易求得直线的表达式是.‎ 在中,令,得.‎ ‎,. 6分 在中,令,得.‎ ‎.‎ ‎,四边形为平行四边形,此时. 8分 ‎(3)是等腰直角三角形.‎ 理由:在中,令,得,令,得.‎ 直线与坐标轴的交点是,.‎ ‎,. 9分 又点,.. 10分 由图知,. 11分 ‎,且.是等腰直角三角形. 12分 ‎(4)当点是直线上任意一点时,(3)中的结论成立. 14分 ‎83.(2009年山东枣庄)25.(本题满分10分)‎ 第25题图 如图,在平面直角坐标系中,点C(-3,0),点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,且满足.‎ ‎(1)求点A、点B的坐标;‎ ‎(2)若点P从C点出发,以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动,连结AP,设的面积为S,点P的运动时间为t秒,求S与t 145‎ 的函数关系式;‎ ‎(3)在(2)的条件下,是否存在点P,使以点A,B,P为顶点的三角形与相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(2009年山东枣庄25题解析)(1)∵,‎ ‎∴,.‎ ‎∴,.…………………1分 点,点分别在轴,轴的正半轴上,‎ ‎∴A(1,0),B(0,). ……………2分 ‎(2)由(1),得AC=4,,.‎ ‎   ∴.‎ ‎∴△ABC为直角三角形,. …………………………………………4分 设CP=t,过P作PQ⊥CA于Q,由△CPQ∽△CBO,易得PQ=.‎ ‎∴S=‎ ‎==-t(0≤t<). …………………………7分 ‎ (说明:不写t的范围不扣分)‎ ‎(3)存在,满足条件的的有两个.‎ ‎, ………………………………………………………………………8分 ‎.…………………………………………………………………10分 ‎84.(2009年上海)25.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分5分)‎ 已知为线段上的动点,点在射线上,且满足(如图8所示).‎ ‎(1)当,且点与点重合时(如图9所示),求线段的长;‎ ‎(2)在图8中,联结.当,且点在线段上时,设点之间的距离为,,其中表示的面积,表示的面积,求关于的函数解析式,并写出函数定义域;‎ 145‎ ‎(3)当,且点在线段的延长线上时(如图10所示),求的大小.‎ A D P C B Q 图8‎ D A P C B ‎(Q)‎ ‎)‎ 图9‎ 图10‎ C A D P B Q ‎ ‎ ‎(2009年上海25题解析)解:(1)AD=2,且Q点与B点重合,根据题意,∠PBC=∠PDA,因为∠A=90。 PQ/PC=AD/AB=1,所以:△PQC为等腰直角三角形,BC=3,所以:PC=3 /2,‎ ‎(2)如图:添加辅助线,根据题意,两个三角形的面积可以分别表示成S1,S2, 高分别是H,h,‎ 则:S1=(2-x)H/2=(2*3/2)/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2‎ S2=3*h/2 因为两S1/S2=y,消去H,h,得:‎ Y=-(1/4)*x+(1/2), ‎ 定义域:当点P运动到与D点重合时,X的取值就是最大值,当PC垂直BD时,这时X=0,连接DC,作QD垂直DC,由已知条件得:B、Q、D、C四点共圆,则由圆周角定理可以推知:三角形QDC相似于三角形ABD QD/DC=AD/AB=3/4,令QD=3t,DC=4t,则:QC=5t,由勾股定理得:‎ 直角三角形AQD中:(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2‎ 直角三角形QBC中:3^2+x^2=(5t)^2‎ 整理得:64x^2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0‎ ‎ 得 x1=7/8 x2=(43/8)>2(舍去) 所以函数:‎ Y=-(1/4)*x+1/2的定义域为[0,7/8]‎ ‎(3)因为:PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC,则可以作一条直线PQ′垂直于PC,与AB交于Q′点,‎ 则:B,Q′,P,C四点共圆,由圆周角定理,以及相似三角形的性质得:‎ PQ′/PC=AD/AB,‎ 又由于PQ/PC=AD/AB 所以,点Q′与点Q重合,所以角∠QPC=90。 ‎ A D P C B Q 图8‎ D A P C B ‎(Q)‎ ‎)‎ 图9‎ 图10‎ C A D P B Q ‎72(08黑龙江齐齐哈尔28题)(本小题满分10分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,点,点分别在轴,轴的正半轴上,且满足.‎ ‎(1)求点,点的坐标.‎ ‎(2)若点从点出发,以每秒1个单位的速度沿射线运动,连结.设的面积为,点的运动时间为秒,求与的函数关系式,并写出自变量的取值范围.‎ ‎(3)在(2)的条件下,是否存在点,使以点为顶点的三角形与相似?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 145‎ ‎(08黑龙江齐齐哈尔28题解析)解:(1)‎ ‎, (1分)‎ ‎,‎ 点,点分别在轴,轴的正半轴上 ‎ (2分)‎ ‎(2)求得 (3分)‎ ‎(每个解析式各1分,两个取值范围共1分) (6分)‎ ‎(3);;;(每个1分,计4分)‎ ‎ (10分)‎ 注:本卷中所有题目,若由其它方法得出正确结论,酌情给分.‎ ‎73(08海南省卷24题)(本题满分14分)如图13,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C,直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m),且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.‎ ‎(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式;‎ ‎(2)求证:① CB=CE ;② D是BE的中点;‎ A B C O D E x y x=2‎ 图13‎ ‎(3)若P(x,y)是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在,试求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(08海南省卷24题解析)(1)∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上,‎ 145‎ ‎∴ m=-2×(-2)-1=3. ………………………………(2分)‎ ‎∴ B(-2,3)‎ ‎∵ 抛物线经过原点O和点A,对称轴为x=2,‎ ‎∴ 点A的坐标为(4,0) . ‎ 设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). ……………………(3分)‎ 将点B(-2,3)代入上式,得3=a(-2-0)(-2-4),∴ .‎ ‎∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为,即. (6分)‎ ‎ (2)①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).‎ ‎ 过点B作BG∥x轴,与y轴交于F、直线x=2交于G,‎ A B C O D E x y x=2‎ G F H ‎ 则BG⊥直线x=2,BG=4.‎ ‎ 在Rt△BGC中,BC=.‎ ‎∵ CE=5,‎ ‎∴ CB=CE=5. ……………………(9分)‎ ‎②过点E作EH∥x轴,交y轴于H,‎ 则点H的坐标为H(0,-5).‎ 又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1),‎ ‎∴ FD=DH=4,BF=EH=2,∠BFD=∠EHD=90°.‎ ‎ ∴ △DFB≌△DHE (SAS),‎ ‎∴ BD=DE.‎ 即D是BE的中点. ………………………………(11分)‎ ‎ (3) 存在. ………………………………(12分)‎ ‎ 由于PB=PE,∴ 点P在直线CD上,‎ ‎∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.‎ ‎ 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.‎ ‎ 将D(0,-1) C(2,0)代入,得. 解得 .‎ ‎ ∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.‎ ‎∵ 动点P的坐标为(x,),‎ ‎∴ x-1=. ………………………………(13分)‎ 解得 ,. ∴ ,.‎ ‎∴ 符合条件的点P的坐标为(,)或(,).…(14分)‎ ‎(注:用其它方法求解参照以上标准给分.)‎ ‎74.(08广东东莞22题)(本题满分9分)将两块大小一样含30°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边 AB重合,直角边不重合,已知AB=8,BC=AD=4,AC与BD相交于点E,连结CD.‎ ‎(1)填空:如图9,AC= ,BD= ;四边形ABCD是 梯形.‎ 145‎ ‎(2)请写出图9中所有的相似三角形(不含全等三角形).‎ ‎(3)如图10,若以AB所在直线为轴,过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系,保持ΔABD不动,将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置,FH与BD相交于点P,设AF=t,ΔFBP面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值值范围.‎ E D C H F G B A P y x 图10‎ ‎10‎ D C B A E 图9‎ ‎(08广东东莞22题解析)解:(1),,…………………………1分 等腰;…………………………2分 ‎ (2)共有9对相似三角形.(写对3-5对得1分,写对6-8对得2分,写对9对得3分)‎ ‎  ①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似,分别是:△DCE∽△ABE,△DCE∽△ACD,△DCE∽△BDC,△ABE∽△ACD,△ABE∽△BDC;(有5对)‎ ‎②△ABD∽△EAD,△ABD∽△EBC;(有2对)‎ ‎③△BAC∽△EAD,△BAC∽△EBC;(有2对)‎ 所以,一共有9对相似三角形.…………………………………………5分 K ‎(3)由题意知,FP∥AE,‎ ‎ ∴ ∠1=∠PFB,‎ 又∵ ∠1=∠2=30°,‎ ‎ ∴ ∠PFB=∠2=30°,‎ ‎∴ FP=BP.…………………………6分 过点P作PK⊥FB于点K,则.‎ ‎∵ AF=t,AB=8,‎ ‎∴ FB=8-t,.‎ 在Rt△BPK中,. ……………………7分 ‎∴ △FBP的面积,‎ ‎∴ S与t之间的函数关系式为:‎ ‎ ,或. …………………………………8分 t的取值范围为:. …………………………………………………………9分 145‎ ‎75(08甘肃兰州28题)(本题满分12分)如图19-1,是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,为原点,点在轴的正半轴上,点在轴的正半轴上,,.‎ ‎(1)在边上取一点,将纸片沿翻折,使点落在边上的点处,求两点的坐标;‎ ‎(2)如图19-2,若上有一动点(不与重合)自点沿方向向点匀速运动,运动的速度为每秒1个单位长度,设运动的时间为秒(),过点作的平行线交于点,过点作的平行线交于点.求四边形的面积与时间之间的函数关系式;当取何值时,有最大值?最大值是多少?‎ ‎(3)在(2)的条件下,当为何值时,以为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点的坐标.‎ y x B C O A D E 图19-1‎ y x B C O A D E 图19-2‎ P M N ‎(08甘肃兰州28题解析)(本题满分12分)‎ 解:(1)依题意可知,折痕是四边形的对称轴,‎ 在中,,.‎ ‎..‎ 点坐标为(2,4). 2分 在中,, 又.‎ ‎ . 解得:.‎ 点坐标为 3分 ‎(2)如图①,.‎ ‎,又知,,‎ ‎, 又.‎ 而显然四边形为矩形.‎ ‎ 5分 ‎,又 145‎ 当时,有最大值. 6分 ‎(3)(i)若以为等腰三角形的底,则(如图①)‎ 在中,,,为的中点,‎ y x B C O A D E 图①‎ P M N F ‎.‎ 又,为的中点.‎ 过点作,垂足为,则是的中位线,‎ ‎,,‎ 当时,,为等腰三角形.‎ 此时点坐标为. 8分 ‎(ii)若以为等腰三角形的腰,则(如图②)‎ y x B C O A D E 图②‎ P M N F 在中,.‎ 过点作,垂足为.‎ ‎,.‎ ‎.‎ ‎,.‎ ‎,,‎ 当时,(),此时点坐标为. 11分 综合(i)(ii)可知,或时,以为顶点的三角形为等腰三角形,相应点的坐标为或. 12分 ‎76.(08天津市卷26题)(本小题10分)‎ 已知抛物线,‎ ‎(Ⅰ)若,,求该抛物线与轴公共点的坐标;‎ ‎(Ⅱ)若,且当时,抛物线与轴有且只有一个公共点,求的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)若,且时,对应的;时,对应的,试判断当时,抛物线与 145‎ 轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由.‎ ‎(08天津市卷26题解析)解(Ⅰ)当,时,抛物线为,‎ 方程的两个根为,. ‎ ‎∴该抛物线与轴公共点的坐标是和. 2分 ‎(Ⅱ)当时,抛物线为,且与轴有公共点.‎ 对于方程,判别式≥0,有≤. 3分 ‎①当时,由方程,解得.‎ 此时抛物线为与轴只有一个公共点. 4分 ‎②当时, ‎ 时,,‎ 时,.‎ 由已知时,该抛物线与轴有且只有一个公共点,考虑其对称轴为,‎ 应有 即 解得.‎ 综上,或. 6分 ‎(Ⅲ)对于二次函数,‎ 由已知时,;时,,‎ 又,∴.‎ 于是.而,∴,即.‎ ‎∴. 7分 ‎∵关于的一元二次方程的判别式 145‎ ‎, ‎ ‎∴抛物线与轴有两个公共点,顶点在轴下方. 8分 又该抛物线的对称轴,‎ x 由,,,‎ 得,‎ ‎∴.‎ 又由已知时,;时,,观察图象,‎ 可知在范围内,该抛物线与轴有两个公共点. 10分 ‎77(08湖北宜昌25题)如图1,已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0,0),A(0,n),C(m,0).动点P从点O出发依次沿线段OA,AB,BC向点C移动,设移动路程为z,△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示.m,n是常数, m>1,n>0.‎ ‎(1)请你确定n的值和点B的坐标;‎ ‎(图1) (图2) ‎ ‎(第25题)‎ ‎(2)当动点P是经过点O,C的抛物线y=ax+bx+c的顶点,且在双曲线y=上时,求这时四边形OABC的面积.‎ ‎(08湖北宜昌25题解析)解:(1) 从图中可知,当P从O向A运动时,△POC的面积S=mz, z由0逐步增大到2,则S由0逐步增大到m,故OA=2,n=2 . (1分)‎ 同理,AB=1,故点B的坐标是(1,2).(2分)‎ ‎(2)解法一:‎ ‎∵抛物线y=ax+bx+c经过点O(0,0),C(m ,0),∴c=0,b=-am,(3分)‎ ‎∴抛物线为y=ax-amx,顶点坐标为(,-am2).(4分)‎ ‎(25题图1)‎ 如图1,设经过点O,C,P的抛物线为l.‎ 当P在OA上运动时,O,P都在y轴上,‎ 这时P,O,C三点不可能同在一条抛物线上,‎ 145‎ ‎∴这时抛物线l不存在, 故不存在m的值..①‎ 当点P与C重合时,双曲线y=不可能经过P,‎ 故也不存在m的值.②(5分)‎ ‎(说明:①②任做对一处评1分,两处全对也只评一分)‎ 当P在AB上运动时,即当02,与 x=≤1不合,舍去.(6分)③‎ 容易求得直线BC的解析式是:,(7分)‎ 当P在BC上运动,设P的坐标为 (x,y),当P是顶点时 x=,‎ 故得y==,顶点P为(,),‎ ‎∵1< x=2,又∵P在双曲线y=上,‎ 于是,×=,化简后得5m-22m+22=0, ‎ 解得,,(8分)‎ 与题意20),则N(R+1,R),‎ 代入抛物线的表达式,解得 …………6分 ‎②当直线MN在x轴下方时,设圆的半径为r(r>0),‎ 则N(r+1,-r),‎ 145‎ 代入抛物线的表达式,解得 ………7分 ‎∴圆的半径为或. ……………7分 ‎(4)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,‎ 易得G(2,-3),直线AG为.……………8分 设P(x,),则Q(x,-x-1),PQ.‎ ‎ ……………………9分 当时,△APG的面积最大 此时P点的坐标为,. ……………………10分 ‎6.(08湖北恩施)六、(本大题满分12分)‎ ‎24. 如图11,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2,若∆ABC固定不动,∆AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m,CD=n.‎ ‎(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明.‎ ‎(2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围.‎ ‎ (3)以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D,使BD=CE,求出D点的坐标,并通过计算验证BD+CE=DE.‎ G y x 图12‎ O F E D C B A G 图11‎ F E D C B A ‎ (4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD+CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(08湖北恩施24题解析)六、(本大题满分12分)‎ 145‎ ‎24. 解:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA 1分 ‎ ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°‎ ‎ ∴∠BAE=∠CDA ‎ 又∠B=∠C=45°‎ ‎ ∴∆ABE∽∆DCA 3分 ‎ (2)∵∆ABE∽∆DCA ‎ ∴‎ ‎ 由依题意可知CA=BA=‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴m= 5分 ‎ 自变量n的取值范围为1
查看更多