专题13-4 热点题型三 含绝对值不等式的解法-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点 题型全突破

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专题13-4 热点题型三 含绝对值不等式的解法-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点 题型全突破

热点题型三 含绝对值不等式的解法 高考中对不等式选讲部分的考查中，绝对值不等式求解为常见题型，其根本方向是去除绝对值符号．零点分段法为基本方法，即以绝对值的零点为界点进行分段，这样在某一个区间段内绝对值式子可变为不等式或不等式组．然后将求得的结果与前面分段的区间求交集，最后再对几个不同分段的区间求并集，则得该绝对值不等式的解集．归纳如下：‎ ‎【基础知识整合】‎ 绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎{x|x＞a或x＜－a}‎ ‎{x∈R|x≠0}‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法 ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. ‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.‎ ‎【典例1】【2015课标Ⅰ理24】　已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ ‎【答案】见解析 ‎（Ⅱ）由题设可得，‎ 所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，‎ ‎，，的面积为. ‎ 由题设得，故. 所以a的取值范围为. ‎ ‎【考点】绝对值的意义和含绝对值不等式的求解.‎ ‎【思路点拨】本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式与三角形面积结合求范围问题，‎ 体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题，是高考常考题型.‎ ‎【典例2】【2016课标Ⅰ理24】已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．‎ ‎（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；‎ ‎（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】 (Ⅰ) ‎ 函数的图象如图所示．‎ ‎ (Ⅱ) 由的表达式及图象，‎ 当时，可得或；‎ 当时，可得或．‎ 故的解集为；‎ 的解集为或．‎ 所以的解集为或或．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法、分段函数图像的画法.‎ ‎【思路点拨】本题考查绝对值函数的图象，绝对值不等式的图象实质是分段函数的图象.含绝对值不等式的解法及其应用，注意运用分段函数的图象的画法和去绝对值的方法。注意分类讨论思想，考查运算能力，属于基础题.是高考题中的常见题型.‎ ‎【变式练习】‎ ‎1. 【2017衡水金卷】已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；‎ ‎(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．‎ ‎【答案】见解析 ‎ ‎ ‎(2) 记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)＝|2x|－2|x－a|，则h(x)＝ 由|h(x)|≤2，又a>1，所以|4x－2a|≤2，解得≤x≤.‎ 又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，所以解得a＝3.‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法、含参数问题 ‎2. 【2016哈尔滨模拟】已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.‎ ‎(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含1,2]，求a的取值范围．‎ ‎【答案】见解析 ‎【考点】绝对值不等式的解法、含参数问题 ‎3.【2016兰州模拟】已知函数f(x)＝|x－a|.‎ ‎(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；‎ ‎(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】　(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3. 解得a－3≤x≤a＋3.‎ 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}．‎ 所以解得a＝2.‎ ‎(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|. 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.‎ 由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，∴g(x)的最小值为5.‎ 因此，若g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m对x∈R恒成立，知实数m的取值范围是(－∞，5]．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法、恒成立问题 ‎【解题技巧与方法总结】‎ 含绝对值不等式的常用解法 ‎1．基本性质法：对a∈R＋，|x|a⇔x<－a或x>a.‎ ‎2．平方法：两边平方去掉绝对值符号．‎ ‎3．零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．‎ ‎4．几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．‎ ‎5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．‎
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