2018年辽宁省大连市瓦房店市高考一模试卷数学文

2018年辽宁省大连市瓦房店市高考一模试卷数学文

2018 年辽宁省大连市瓦房店市高考一模试卷数学文 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.设集合 U={0，1，2，3，4，5}，A={x∈N|x2＜4}，B={x∈Z|1＜x＜4}，则 CU(A∪B)=( ) A.{0，1，2，3} B.{5} C.{1，2，4} D.{4，5} 解析：集合 U={0，1，2，3，4，5}， A={x∈N|x2＜4}={x∈N|-2＜x＜2}={0，1}， B={x∈Z|1＜x＜4}={2，3}， ∴A∪B={0，1，2，3}， ∴CU(A∪B)={4，5}. 答案：D 2.已知向量 ))2(2 (a m b m， ， ， ，若 a∥b，则实数 m 等于( ) A.-2 B.2 C.-2 或 2 D.0 解析：向量 a=(2，m)，b=(m，2)，若 a∥b，可得 m2=4，解得 m=±2. 答案：C 3.已知 i 是虚数单位，若复数(1-i)z=1+3i，则复数 z 的模为( ) A. 2 B. 5 C. 22 D. 10 解析：由(1-i)z=1+3i，得 131 3 1 3 10 5 1 1 1 2 iiizz i i i          ， ． 答案：B 4.a≤0 是方程 ax2+1=0 有一个负数根的( ) A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：若 a=0 时，满足 a≤0 时，方程 ax2+1=0 无解，充分性不成立，由 ax2+1=0 得 ax2=-1， 则 a≥0 时，方程无解，当 a＜0 时， 2 1x a  ，则 1x a    ，此时方程为一个正根一个 负根，即必要性成立，即 a≤0 是方程 ax2+1=0 有一个负数根的必要不充分条件. 答案：A 5.天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨 的概率，用骰子点数来产生随机数.依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现 1 点和 2 点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组.得到的 10 组随机数如下： 613，265，114，236，561，435，443，251，154，353.则在此次随机模拟试验中，每天下 雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为( ) A. 13 28 ， B. 11 28 ， C. 11 35 ， D. 12 39 ， 解析：投一次骰子，出现点数共有 6 种情况，∴每天下雨的概率为 21 63  . 在产生的 10 组随机数中，含有 1 或 2 的个数恰有 2 个的随机数共有 2 个，即 114，251， ∴三天中有两天下雨的概率为 21 10 5  ． 答案：C 6.已知双曲线 C： 22 221xy ab (a＞0，b＞0)的离心率为 5 2 ，则 C 的渐近线方程为( ) A.y=± 1 4 x B.y=± 1 3 x C.y=± 1 2 x D.y=x 解析：根据题意，双曲线 C： (a＞0，b＞0)的离心率为 ， 则有 2 2 2 2 2 2 2 2 51 4 c a b be a a a      ， 即 2 2 1 4 b a  ，即有 1 2 b a  12，又由双曲线的焦点在 x 轴上，则其渐近线方程为：y=± 1 2 x. 答案：C 7.已知等比数列{an}满足 a1= 1 4 ，a3a5=4(a4-1)，则 a2=( ) A.2 B.1 C. 1 2 D. 1 8 解析：设等比数列{an}的公比为 q， ∵a1= ，a3a5=4(a4-1)，∴ 2 631141 44 qq             ， 化为 q3=8，解得 q=2，则 2 112 42 a    ． 答案：C 8.在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos(2x+ 6  )，④y=tan(2x- 4  )中，最小正周期为 π 的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 解析：∵函数①y=cos|2x|=cos2x，它的最小正周期为 2 2  =π ， ②y=|cosx|的最小正周期为 12 21  =π ， ③y=cos(2x+ )的最小正周期为 =π ， ④y=tan(2x- 4  )的最小正周期为 2  . 答案：A 9.如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执 行该程序框图，若输入 a，b，i 的值分别为 6，8，0，则输出 a 和 i 的值分别为( ) A.0，3 B.0，4 C.2，3 D.2，4 解析：模拟执行程序框图，可得：a=6，b=8，i=0， i=1，不满足 a＞b，不满足 a=b，b=8-6=2，i=2 满足 a＞b，a=6-2=4，i=3 满足 a＞b，a=4-2=2，i=4 不满足 a＞b，满足 a=b，输出 a 的值为 2，i 的值为 4. 答案：D 10.如图为某几何体的三视图，则其体积为( ) A. 2 4 3   B. 24 3   C. 4 3   D. 4 3   解析：由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左面是一个圆柱的一半， 右面是多面体(可以看做是由一个三棱柱去掉一个三棱锥后剩下的几何体). 该几何体的体积= 2 1 1 1 1 41 2 2 1 2 2 1 2 2 2 3 2 3                ． 答案：D 11.若△ABC 的三边分别为 a，b，c，且圆 x2+y2=1 与直线 ax+by+c=0 没有公共点，则△ABC 一定是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 解析：∵△ABC 的三边分别为 a，b，c，且圆 x2+y2=1 与直线 ax+by+c=0 没有公共点， ∴圆心(0，0)到直线 ax+by+c=0 的距离 d 大于半径 r=1， 即 22 c d ab   ＞r=1，∴a2+b2＜c2，cosC= 2 2 2 2 a b c ab ＜0，∴C 是钝角，∴△ABC 一定是 钝角三角形. 答案：A 12.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(-x)，且当 x∈(-∞，0)时，f(x)+xf′(x)＜0 成立，若 a=(20.1)·f(20.1)，b=(ln2)·f(ln2)，c=(log2 1 8 )·f(log2 )，则 a，b，c 的大小 关系是( ) A.a＞b＞c B.c＞b＞a C.c＜a＜b D.a＞c＞b 解析：∵设 g(x)=xf(x)，∴g′(x)=[xf(x)]′=f(x)+xf′(x)， ∴当 x∈(-∞，0)时，g′(x)=f(x)+xf′(x)＜0，函数 y=g(x)单调递减， ∵f(x)满足 f(x)=f(-x)， ∴函数 y=f(x)为偶函数， ∴函数 y=g(x)为奇函数， ∴当 x∈(0，+∞)时，函数 y=g(x)单调递减. ∴20.1＞1，0＜ln2＜1，log2 1 8 =-3，∴g(-3)=-g(3)， ∴g(-3)＜g(20.1)＜g(ln2)，∴c＜a＜b. 答案：C 二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.化简 sin 20 cos 20 cos 50   = . 解析：原式  1 1 1sin 40 sin 90 50 cos 50 12 2 2 cos 50 cos 50 cos 50 2             . 答案： 1 2 14.若实数 x，y 满足约束条件 2 2 0 2 4 0 2 xy xy y          ， ， ， 则 y x 的取值范围是 . 解析：画出不等式组 2 2 0 2 4 0 2 xy xy y          ， ， ， 表示的平面区域，如图所示； 联立 2 2 0 2 4 0 xy xy        ， ， 解得 A( 3 2 ，1)， 联立 2 24 y xy    ， ， 解得 B(1，2)，由 kOA= 2 3 ，kOB=2 得 y x 的取值范围是[ 2 3 ，2]. 答案：[ ，2]. 15.设数列{an}的各项都是正数，且对任意 n∈N*，都有 Sn=an 2+2an，其中 Sn 为数列{an}的前 n 项和，则数列{an}的通项公式为 an= . 解析：当 n=1 时，由 4S1=a1 2+2a1，a1＞0，得 a1=2， 当 n≥2 时，由 4an=4Sn-4Sn-1=(an 2+2an)-(an-1 2+2an-1)， 得(an+an-1)(an-an-1-2)=0， 因为 an+an-1＞0，所以 an-an-1=2， 故 an=2+(n-1)×2=2n. 答案：2n. 16.已知以 F 为焦点的抛物线 y2=4x 上的两点 A，B 满足 2AF FB ，则弦 AB 中点到抛物线 准线的距离为 . 解析：设 BF=m，由抛物线的定义知 AA1=2m，BB1=m，∴△ABC 中，AC=m，AB=3m，∴ kAB= 22， 直线 AB 方程为 y= 22(x-1)，与抛物线方程联立消 y 得 2x2-5x+2=0，所以 AB 中点到准线 距离为 12 91 24 xx  . 答案： 9 4 三、解答题：(共 70 分) 17.△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 2sin 8 cos 2 ACB  ． (1)求 tanB； (2)若 a+c=6，△ABC 的面积为 2，求 b. 解析：解析：(1)利用三角形的内角和定理与同角的三角函数关系求得 tan 2 B 的值，再利用 二倍角公式求出 tanB 的值； (2)由二倍角公式求出 sinB、cosB 的值， 再根据三角形面积公式和余弦定理求出 b 的值. 答案：△ABC 中，A+C=π -B， cos cos sin 2 2 2 2 2 2 2 A C B A C B B        ， ； 又 221sin 8 cos 2 sin cos 8 sin tan 2 2 2 2 2 4 A C B B B BB     ， ， ， ∴ 2 2 12 tan 2 824tan . 1511 tan 12 4 B B B          (2) 2 2 12 tan 21824tan sin 2 sin cos 2 4 2 2 171tan 1 12 4 B B B BB B           ， ； ∴cosB= 2 151 sin 17 B， 又△ABC 的面积为 1 1 8sin 2 2 2 17 ac B ac   ，解得 17 2 a c  ； 又 a+c=6，∴a2+c2=(a+c)2-2ac=62-17=19； ∴b2=a2+c2-2accosB=19-17× 15 17 =4，∴b=2. 18.某校高二奥赛班 N 名学生的物理测评成绩(满分 120 分)的频率分布直方图如图，已知分 数在 100-110 的学生有 21 人. (1)求总人数 N 和分数在 110-115 分的人数 n； (2)现准备从分数在 110-115 的 n 名学生(女生占 1 3 )中任选 2 人，求其中恰好含有一名女生 的概率； (3)为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前 7 次考试 的数学成绩 x(满分 150 分)，物理成绩 y 进行分析，如表是该生 7 次考试的成绩. 已知该学生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到 130 分，请你 估计他的物理成绩大约是多少？ 附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程 y=bx+a 的斜率和截距的最 小二乘估计分别为     1 2 1 n i n i i xi x yi y b a y b x xx         ， ． 其中 12×6+17×9+17×8+8×4+8×4+12×6=497，122+172+172+82+122=994. 解析：(1)根据频率分布直方图的意义，分数在 100-110 的学生有 21 人.110-115 的频率为 0.35，可得总人数 21 0.35 =60.直方图面积之和=1，可得 110-115 的频率为 0.1，即人数为 0.1 ×60=6 人. (2)根据(1)可得 110-115 的人数为 0.1×60=6 人.(女生占 1 3 )，可得女生为 2，男生 4 人. 任选 2 人，采用组合基本事件，即可求解概率. (3)根据表中数据求出 xy， ，代入公式求值，从而得到回归直线方程；代入 x=130 即可估计 他的物理成绩. 答案：(1)根据频率分布直方图的意义，分数在 100-110 的学生有 21 人，110-115 的频率为： (0.04+0.03)×5=0.35，可得总人数 210.35=60.直方图面积之和=1，可得 110-115 的频率为 0.1，即人数为 0.1×60=6 人. (2)根据(1)可得 110-115 的人数为 0.1×60=6 人.(女生占 )，可得女生为 2：用 A1，A2 表 示，男生 4 人用：B1，B2，B3，B4 任选 2 人的基本事件：(A1，A2)(A1，B1)：(A1，B2)，(A1，B3)， (A1，B4)，(A2，B1)：(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)(B2， B4)，(B3，B4)共 15 种，其中恰好含有一名女生的有 8 种，其概率为 8 15 ； (3)由表中数据： 12 17 17 8 8 12 6 9 8 4 4 1 6100 100 77 xy               ， ， ∵     1 2 1 497 0.5 100 0.5 100 50. 994 n i n i i xi x yi y b a y b x xx                ， ∴物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性其回归方程为：y=0.5x+50. 当 x=130 时，可得 y=115，即可估计他的物理成绩为 115 分. 19.响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程.为了解 市民阅读需求，随机抽取市民 200 人做调查，统计数据表明，样本中所有人每天用于阅读的 时间(简称阅读用时)都不超过 3 小时，其频数分布表如下：(用时单位：小时) (1)用样本估计总体，求该市市民每天阅读用时的平均值； (2)为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书经验交流会，从这 200 人中筛选出 男女代表各 3 名，其中有 2 名男代表和 1 名女代表喜欢古典文学.现从这 6 名代表中任选 2 名男代表和 2 名女代表参加交流会，求参加交流会的 4 名代表中，喜欢古典文学的男代表多 于喜欢古典文学的女代表的概率. 解析：(1)根据阅读用时频数分布列表能求出该市市民每天阅读用时的平均值. (2)设参加交流会的男代表为 A1，A2，a，其中 A1，A2 喜欢古典文学，则男代表参加交流会的 方式有：A1A2，A1a，A2a，共 3 种，设选出的女代表为：B，b1，b2，其中 B 喜欢古典文学， 利用列举法能求出喜欢古典文学的男代表多于喜欢古典文学的女代表的概率. 答案：(1)根据阅读用时频数分布列表知： 该市市民每天阅读用时的平均值为： 0 0.5 10 20 1 1.5 50 1.5 2 60 2 2.5 40 2.5 3 200.5 12 1.65 2 200 200 2 200 2 200 2 200 2 200                  ， 故该市市民每天阅读用时的平均值为 1.65 小时. (2)设参加交流会的男代表为 A1，A2，a，其中 A1，A2 喜欢古典文学， 则男代表参加交流会的方式有：A1A2，A1a，A2a，共 3 种， 设选出的女代表为：B，b1，b2，其中 B 喜欢古典文学， 则女代表参加市交流会的方式有：Bb1，Bb2，b1b2，共 3 种， 所以参加市交流会代表的组成方式有：{Bb1，A1A2}，{Bb1，A1a}，{Bb1，A2a}，{Bb2，A1A2}， {Bb2，A1a}，{Bb2，A2a}，{b1b2，A1A2}，{b1b2，A1a}，{b1b2，A2a}共 9 种， 其中喜欢古典文学的男代表多于喜欢古典文学的女代表的是：{Bb1，A1A2}，{Bb2，A1A2}，{b1b2， A1A2}，{b1b2，A1a}，{b1b2，A2a}共 5 种， 所以，喜欢古典文学的男代表多于喜欢古典文学的女代表的概率是 P= 5 9 . 20.已知椭圆 C： 22 221xy ab (a＞b＞c)的左右顶点分别为 A，B，a=2b，点 E 在 C 上，E 在 x 轴上的射影为 C 的右焦点 F，且|EF|= 1 2 . (1)求 C 的方程； (2)若 M，N 是 C 上异于 A，B 的不同两点，满足 BM⊥BN，直线 AM，BN 交于点 P，求证：P 在 定直线上. 解析：(1)根据题意求出 a、b 的值，写出椭圆 C 的方程； (2)设直线 BM 的方程为 y=k(x-2)，代入椭圆 C 的方程，求出点 M、N 的坐标，求出直线 AM、 BN 的斜率，写出 AM、BN 的方程，求出两直线的交点 P 的横坐标即可. 答案：(1)因为|EF|= 1 2 ，所以 2 1 2 b a  ；. 又因为 a=2b，所以 a=2，b=1； 故椭圆 C 的方程： 2 2 1 4 x y； (2)设直线 BM 的方程为 y=k(x-2)， 代入椭圆 C 的方程，得(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0， 设 M(x1，y1)(x1 2≠4)，则 2x1= 2 2 16 4 14 k k   ， 解得 x1=8k2-21+4k2，y1=-4k1+4k2，所以 M( 2 22 8 2 4 1 4 1 4 kk kk   ， )； 用 1 k  替换 k，可得 N( 2 22 8 2 4 44 kk kk   ， )； 解得直线 AM 的斜率为 2 2 2 4 114 82 42 14 k k k k k       ，直线 BN 的斜率 1 k  ， 所以直线 AM 的方程为：y= 1 4 k  (x+2)①， 直线 BN 的方程为：y= (x-2)②， 由①②两直线的交点 P 的横坐标 x=10 3 ， 所以点 P 在定直线 x= 上. 21.已知 f(x)=x2-alnx，a∈R. (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)当 a＞0 时，若 f(x)的最小值为 1，求 a 的值； (3)设 g(x)=f(x)-2x，若 g(x)有两个极值点 x1，x2(x1＜x2)，证明：g(x1)+g(x2)＞ 5 2  . 解析：(1)求出 f(x)的导数，对 a 讨论，导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区 间； (2)由(1)可得 f(x)的最小值为 ln 1 2 2 2 a a a，令 h(x)=x-xlnx，求出导数，单调区间和最 值，即可得到 a=2； (3)求出 g(x)=f(x)-2x=x2-2x-alnx，x＞0.求得导数 g′(x)=2x-2- 222a x x a xx  ，由题 意可得 x1 ，x2(x1 ＜x2)为 2x2-2x-a=0 的两根，运用判别式大于 0 和韦达定理，求出 g(x1)+g(x2)=x1 2-2x1-alnx1+x2 2-2x2-alnx2，化简整理可得 m(a)=a-aln( 2 a )-1， 1 2  ＜a＜0， 求得导数和单调性，即可得证. 答案：(1)f(x)=x2-alnx 的导数为 f′(x)= 222 a x ax xx  ，x＞0， 当 a≤0 时，f′(x)＞0，f(x)在(0，+∞)递增； 当 a＞0 时，当 x＞ 2 a 时，f′(x)＞0，f(x)递增； 当 0＜x＜ 时，f′(x)＜0，f(x)递减； (2)当 a＞0 时，由(1)可得 x= 处 f(x)取得极小值， 也为最小值，且为 ln 2 2 2 a a a ，由题意可得 ， 令 h(x)=x-xlnx，h′(x)=1-(1+lnx)=-lnx， 当 x＞1 时，h′(x)＜0，g(x)递减； 当 0＜x＜1 时，h′(x)＞0，g(x)递增. 即有 x=1 处 h(x)取得极大值，且为最大值 1， 则 的解为 a=2； (3)证明：g(x)=f(x)-2x=x2-2x-alnx，x＞0. g′(x)=2x-2- ， 由题意可得 x1，x2(x1＜x2)为 2x2-2x-a=0 的两根， 即有△=4+8a＞0，解得 1 2  ＜a＜0， x1+x2=1，x1x2= 2 a ， g(x1)+g(x2)=x1 2-2x1-alnx1+x2 2-2x2-alnx2 =(x1+x2)2-2x1x2-2(x1+x2)-aln(x1x2) =1+a-2-aln( )=a-aln( )-1， 令 m(a)=a-aln( 2 a )-1， 1 2  ＜a＜0， 可得 m′(a)=1-(ln( )+1)=-ln( )＞0， 即有 m(a)在( ，0)递增，可得 m(a)＞m( )， 由 1 1 1 2 2 2 1 3 3 5ln 1 ln 2 1 4 2 2 2 m              ＞ ． 则有 g(x1)+g(x2)＞ 5 2  . 22.已知直线 l 的极坐标方程是ρ sin(θ - 3  )=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线 C 的参数方程是 2 cos 2 2 sin x y      ， (α 为参数). (Ⅰ)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长； (Ⅱ)从极点作曲线 C 的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程. 解析：(I)直线 l 的极坐标方程是ρ sin(θ - )=0，展开可得：ρ ( 1 2 3sin cos 2  )=0， 化为直角坐标方程. 曲线 C 的参数方程是 2 cos 2 2 sin x y      (α 为参数)，利用平方关系消去参数α 可得普通方程， 求出圆心 C 到直线 l 的距离 d，可得直线 l 被曲线 C 截得的弦长= 222 rd . (II)设 Q 圆 C 上的任意一点，P(x，y)为线段 OQ 的中点，则 Q(2x，2y)，代入圆 C 的方程可 得各弦中点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可. 答案：(I)直线 l 的极坐标方程是ρ sin(θ - )=0，展开可得：ρ ( )=0， 化为：y-3x=0.曲线 C 的参数方程是 (α 为参数)，消去参数α 可得： x2+(y-2)2=4，圆心 C(0，2)，半径 r=2. ∴圆心 C 到直线 l 的距离   22 20 1 13 d    ， ∴直线 l 被曲线 C 截得的弦长= 2 2 2 22 2 2 1 2 3.rd    (II)设 Q 圆 C 上的任意一点，P(x，y)为线段 OQ 的中点，则 Q(2x，2y)， 代入圆 C 的方程可得：(2x)2+(2y-2)2=4，化为：x2+y2-2y=0， 可得ρ 2-2ρ sinθ =0，即ρ =2sinθ ，即为各弦中点轨迹的极坐标方程. 23.已知函数 f(x)=|x-1|+|x+a| (Ⅰ)当 a=3 时，解关于 x 的不等式|x-1|+|x+a|＞6 (Ⅱ)若函数 g(x)=f(x)-|3+a|存在零点，求实数 a 的取值范围. 解析：(Ⅰ)当 a=-1 时，不等式|x-1|+|x+3|＞6 等价变形，可得结论； (Ⅱ)利用|x-1|+|x+a|≥|a+1|，即可求实数 a 的取值范围. 答案：(Ⅰ)当 a=3 时，不等式|x-1|+|x+3|＞6 可化为 3 1 3 6 x xx    ， ＞ 或 31 1 3 6 x xx      ＜ ＜ ， ＞ 或 1 1 3 6 x xx      ＞ ， ＞ ， 解得 x＜-4 或 x＞2， ∴不等式 f(x)＞5 的解集为{x|x＜-4 或 x＞2}. (Ⅱ)若函数 g(x)=f(x)-|3+a|存在零点， 则|x-1|+|x+a|≥|a+1|，∴|3+a|≥|a+1|，解得 a≥-2.