江苏省苏州市中考数学试题及答案

江苏省苏州市中考数学试题及答案

2015 年苏州市初中毕业暨升学考试试卷 数 学 本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共 28 小题，满分 130 分，考试时间 120 分 钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用 0.5 毫米黑色墨水 签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人 的相符； 2．答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题 卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 3．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草 稿纸上一律无效． 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用 2B 铅笔涂在答题卡相应位置上． 1．2 的相反数是 A．2 B． C．−2 D．− 2．有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为 A．3 B．5 C．6 D．7 3．月球的半径约为 1 738 000m，1 738 000 这个数用科学记数法可表示为 A．1.738×106 B．1.738×107 C．0.1738×107 D．17.38×105 4．若 ，则有 A．0＜m＜1 B．-1＜m＜0 C．-2＜m＜-1 D．-3＜m＜-2 5．小明统计了他家今年 5 月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表： 通话时间 x/min 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 频数（通话次数） 20 16 9 5 则通话时间不超过 15min 的频率为 A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.9 6．若点 A（a，b）在反比例函数 的图像上，则代数式 ab-4 的值为 A．0 B．-2 C． 2 D．-6 1 2 1 2 ( )2 22m = × − 2y x = 7．如图，在△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点，∠BAD=35°，则∠C 的度数为 A．35° B．45° C．55° D．60° 8．若二次函数 y=x2+bx 的图像的对称轴是经过点（2，0）且平行于 y 轴的直线，则关于 x 的方程 x2+bx=5 的解为 A． B． C． D． 9．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为 B，连接 AO，AO 与⊙O 交于点 C，BD 为⊙O 的直径， 连接 CD．若∠A=30°，⊙O 的半径为 2，则图中阴影部分的面积为 A． B． C． D． 10．如图，在一笔直的海岸线 l 上有 A、B 两个观测站，AB=2km，从 A 测得船 C 在北偏东 45 °的方向，从 B 测得船 C 在北偏东 22.5°的方向，则船 C 离海岸线 l 的距离（即 CD 的 长）为 A． km B． km C． km D． km 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．把答案直接填在答题卡相应位置 上． 11．计算： = ▲ ． 12．如图，直线 a∥b，∠1=125°，则∠2 的度数为 ▲ °． 1 20, 4x x= = 1 21, 5x x= = 1 21, 5x x= = − 1 21, 5x x= − = 4 33 π − 4 2 33 π − 3π − 2 33 π − 4 ( )2 2+ 2 2 ( )4 2− 2a a⋅ D CB A （第 7 题） （第 9 题） D C B AO （第 10 题） l 北 西 南 东 C DBA 45° 22.5° 13．某学校在“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名学生（每名学生分别选了 一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛 球的人数比最喜欢乒乓球的人数少 6 人，则该校被调查的学生总人数为 ▲ 名． 14．因式分解： = ▲ ． 15．如图，转盘中 8 个扇形的面积都相等．任意转动转盘 1 次，当转盘停止转动时，指针指 向大于 6 的数的概率为 ▲ ． 16．若 ，则 的值为 ▲ ． 17．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE=CB，点 A、D 关于点 F 对称，过点 F 作 FG∥CD，交 AC 边于点 G，连接 GE．若 AC=18，BC=12，则△CEG 的周长为 ▲ ． 18．如图，四边形 ABCD 为矩形，过点 D 作对角线 BD 的垂线，交 BC 的延长线于点 E， 取 BE 的中点 F，连接 DF，DF=4．设 AB=x，AD=y，则 的值为 ▲ ． 2 24a b− 2 3a b− = 9 2 4a b− + ( )22 4x y+ − （第 17 题） G F E D C BA F E D CB A （第 18 题） c b a 2 1 （第 12 题） （第 13 题） 20% 10%30% 40% 其他 乒乓球 篮球 羽毛球 （第 15 题） 8 7 6 54 3 2 1 三、解答题：本大题共 10 小题，共 76 分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写 出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用 2B 铅笔或黑色墨水签字笔． 19．（本题满分 5 分） 计算： ． 20．（本题满分 5 分） 解不等式组： 21．（本题满分 6 分） 先化简，再求值： ，其中 ． 22．（本题满分 6 分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多 做 5 面彩旗，甲做 60 面彩旗与乙做 50 面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少 面彩旗？ 23．（本题满分 8 分）一个不透明的口袋中装有 2 个红球（记为红球 1、红球 2）、1 个白球、 1 个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． （1）从中任意摸出 1 个球，恰好摸到红球的概率是 ▲ ； （2）先从中任意摸出 1 个球，再从余下的 3 个球中任意摸出 1 个球，请用列举法（画树 状图或列表）求两次都摸到红球的概率． ( )0 9 5 2 3+ − − − ( ) 1 2, 3 1 5. x x x + ≥ − + ＞ 21 2 11 2 2 x x x x + + − ÷ + +  3 1x = − 24．（本题满分 8 分）如图，在△ABC 中，AB=AC．分别以 B、C 为圆心，BC 长为半径在 BC 下方画弧，设两弧交于点 D，与 AB、AC 的延长线分别交于点 E、F，连接 AD、BD、 CD． （1）求证：AD 平分∠BAC； （2）若 BC=6，∠BAC＝50°，求 、 的长度之和（结果保留 ）． 25．（本题满分 8 分）如图，已知函数 （x＞0）的图像经过点 A、B，点 B 的坐标为 （2，2）．过点 A 作 AC⊥x 轴，垂足为 C，过点 B 作 BD⊥y 轴，垂足为 D，AC 与 BD 交 于点 F．一次函数 y=ax+b 的图像经过点 A、D，与 x 轴的负半轴交于点 E． （1）若 AC= OD，求 a、b 的值； （2）若 BC∥AE，求 BC 的长． DE DF π ky x = 3 2 （第 24 题） FE D CB A y x F OE D C B A （第 25 题） 26．（本题满分 10 分）如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过 A、B、D 三点，过 点 B 作 BE∥AD，交⊙O 于点 E，连接 ED． （1）求证：ED∥AC； （ 2 ） 若 BD=2CD ， 设 △ EBD 的 面 积 为 ， △ ADC 的 面 积 为 ， 且 ，求△ABC 的面积． 27．（本题满分 10 分）如图，已知二次函数 （其中 0＜m＜1）的图像 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 l．设 P 为对称轴 l 上的点，连接 PA、PC，PA=PC． （1）∠ABC 的度数为 ▲ °； （2）求 P 点坐标（用含 m 的代数式表示）； （3）在坐标轴上是否存在点 Q（与原点 O 不重合），使得以 Q、B、C 为顶点的三角形 与△PAC 相似，且线段 PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点 Q 的坐标； 如果不存在，请说明理由． 1S 2S 2 1 216 4 0S S− + = ( )2 1y x m x m= + − − y xO P C BA l （第 27 题） E B CD A O （第 26 题） 28．（本题满分 10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半径为 2cm 的⊙O 在矩形内且与 AB、AD 均相切．现有动点 P 从 A 点出发，在矩形边上沿着 A→B →C→D 的方向匀速移动，当点 P 到达 D 点时停止移动；⊙O 在矩形内部沿 AD 向右匀 速平移，移动到与 CD 相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O 回到出发时的位置（即再 次与 AB 相切）时停止移动．已知点 P 与⊙O 同时开始移动，同时停止移动（即同时到 达各自的终止位置）． （1）如图①，点 P 从 A→B→C→D，全程共移动了 ▲ cm（用含 a、b 的代数式表示）； （2）如图①，已知点 P 从 A 点出发，移动 2s 到达 B 点，继续移动 3s，到达 BC 的中 点．若点 P 与⊙O 的移动速度相等，求在这 5s 时间内圆心 O 移动的距离； （3）如图②，已知 a=20，b=10．是否存在如下情形：当⊙O 到达⊙O1 的位置时（此 时圆心 O1 在矩形对角线 BD 上），DP 与⊙O1 恰好相切？请说明理由． （第 28 题） O1 A B C D O P （图②）（图①） P O D CB A 2015 年苏州市初中毕业暨升学考试 数学试题答案 一、选择题 1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 二、填空题 11． 12．55 13．60 14． 15． 16．3 17．27 18．16 三、解答题 19.解：原式 ＝ 3+5−1 ＝ 7． 20.解：由 ，解得 ， 由 ，解得 ， ∴不等式组的解集是 ． 21.解：原式＝ ＝ ． 当 时，原式＝ ． 22.解：设乙每小时做 x 面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗． 根据题意，得 ． 解这个方程，得 x=25．经检验，x=25 是所列方程的解． ∴x+5=30． 答：甲每小时做 30 面彩旗，乙每小时做 25 面彩旗． 23.解：（1） ． （2）用表格列出所有可能的结果： 第二次 第一次 红球 1 红球 2 白球 黑球 红球 1 （红球 1，红球 2）（红球 1，白球） （红球 1，黑球） 红球 2 （红球 2，红球 1） （红球 2，白球） （红球 2，黑球） 白球 （白球，红球 1） （白球，红球 2） （白球，黑球） 黑球 （黑球，红球 1） （黑球，红球 2） （黑球，白球） 由表格可知，共有 12 种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次都摸 到红球”有 2 种可能． 3a ( )( )2 2a b a b+ − 1 4 1 2x + ≥ 1x ≥ ( )3 1 5x x− +＞ 4x＞ 4x＞ ( )211 2 2 xx x x ++ ÷+ + ( )2 1 2 1 2 11 x x x xx + +× =+ ++ 3 1x = − 1 1 3 33 1 1 3 = = − + 60 50 5x x =+ 1 2 ∴P（两次都摸到红球）= = ． 24.证明：（1）由作图可知 BD=CD． 在△ABD 和△ACD 中， ∴△ABD≌△ACD（SSS）． ∴∠BAD＝∠CAD，即 AD 平分∠BAC． 解：（2）∵AB=AC，BAC=50°，∴∠ABC＝∠ACB=65°． ∵BD= CD = BC，∴△BDC 为等边三角形． ∴∠DBC＝∠DCB=60°． ∴∠DBE＝∠DCF=55°． ∵BC=6，∴BD= CD =6． ∴ 的长度= 的长度= ． ∴ 、 的长度之和为 ． 25．解：（1）∵点 B（2，2）在 的图像上， ∴k=4， ． ∵BD⊥y 轴，∴D 点的坐标为（0，2），OD=2． ∵AC⊥x 轴，AC= OD，∴AC=3，即 A 点的纵坐标为 3． ∵点 A 在 的图像上，∴A 点的坐标为（ ，3）． ∵一次函数 y=ax+b 的图像经过点 A、D， ∴ 解得 （2）设 A 点的坐标为（m， ），则 C 点的坐标为（m，0）． ∵BD∥CE，且 BC∥DE，∴四边形 BCED 为平行四边形． ∴CE= BD=2． ∵BD∥CE，∴∠ADF=∠AEC． ∴在 Rt△AFD 中，tan∠ADF= ， 在 Rt△ACE 中，tan∠AEC= ， 2 12 1 6 , , , AB AC BD CD AD AD =  =  = DE DF 55 6 11 180 6 π π× × = DE DF 11 11 11 6 6 3 π π π+ = ky x = 4y x = 3 2 4y x = 4 3 4 3,3 2. a b b  + =  = 3 ,4 2. a b  =  = 4 m 4 2AF m DF m − = 4 2 AC m EC = ∴ ，解得 m=1． ∴C 点的坐标为（1，0），BC= ． 26．证明：（1）∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD =∠DAC． ∵∠E=∠BAD，∴∠E =∠DAC． ∵BE∥AD，∴∠E =∠EDA． ∴∠EDA =∠DAC． ∴ED∥AC． 解：（2）∵BE∥AD，∴∠EBD =∠ADC． ∵∠E =∠DAC， ∴△EBD∽△ADC，且相似比 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ∴ ，即 ． ∵ ，∴ ，即 ． ∴ ． ∵ ，∴ ． 27．解：（1）45． 理由如下：令 x=0，则 y=-m，C 点坐标为（0，-m）． 令 y=0，则 ，解得 ， ． ∵0＜m＜1，点 A 在点 B 的左侧， ∴B 点坐标为（m，0）．∴OB=OC=m． ∵∠BOC＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∠OBC＝45°． （2）解法一：如图①，作 PD⊥y 轴，垂足为 D，设 l 与 x 轴交于点 E， 由题意得，抛物线的对称轴为 ． 设点 P 坐标为（ ，n）． ∵PA= PC， ∴PA2= PC2，即 AE2+ PE2=CD2+ PD2． ∴ ． 解得 ．∴P 点的坐标为 ． 解法二：连接 PB． 由题意得，抛物线的对称轴为 ． 4 42 2 m m m − = 5 2BDk DC = = 21 2 4S kS = = 1 24S S= 2 1 216 4 0S S− + = 2 2 216 16 4 0S S− + = ( )2 24 2 0S − = 2 1 2S = 2 3 3ABCS BC BD CD CD S CD CD CD += = = = 3 2ABCS =  ( )2 1 0x m x m+ − − = 1 1x = − 2x m= 1 2 mx − += 1 2 m− + ( )2 2 221 112 2 m mn n m − + −   + + = + +       1 2 mn −= 1 1,2 2 m m− + −     1 2 mx − += ∵P 在对称轴 l 上，∴PA=PB． ∵PA=PC，∴PB=PC． ∵△BOC 是等腰直角三角形，且 OB=OC， ∴P 在 BC 的垂直平分线 上． ∴P 点即为对称轴 与直线 的交点． ∴P 点的坐标为 ． （3）解法一：存在点 Q 满足题意． ∵P 点的坐标为 ， ∴PA2+ PC2=AE2+ PE2+CD2+ PD2 = ． ∵AC2= ，∴PA2+ PC2=AC2．∴∠APC＝90°． ∴△PAC 是等腰直角三角形． ∵以 Q、B、C 为顶点的三角形与△PAC 相似， ∴△QBC 是等腰直角三角形． ∴由题意知满足条件的点 Q 的坐标为（-m，0）或（0，m）． ①如图①，当 Q 点的坐标为（-m，0）时， 若 PQ 与 x 轴垂直，则 ，解得 ，PQ= ． 若 PQ 与 x 轴不垂直， 则 ． ∵0＜m＜1，∴当 时， 取得最小值 ，PQ 取得最小值 ． ∵ ＜ ， y x y x 图① 图② O P E D C BA l Q Q l A B C D E P O y x= − 1 2 mx − += y x= − 1 1,2 2 m m− + −     1 1,2 2 m m− + −     2 2 2 2 21 1 1 11 12 2 2 2 m m m mm m − + − − −       + + + + + = +               21 m+ 1 2 m m − + = − 1 3m = 1 3 2 2 2 2 2 2 21 1 5 1 5 2 122 2 2 2 2 5 10 m mPQ PE EQ m m m m − − +     = + = + + = − + = − +           2 5m = 2PQ 1 10 10 10 10 10 1 3 ∴当 ，即 Q 点的坐标为（ ，0）时， PQ 的长度最小． ②如图②，当 Q 点的坐标为（0，m）时， 若 PQ 与 y 轴垂直，则 ，解得 ，PQ= ． 若 PQ 与 y 轴不垂直， 则 ． ∵0＜m＜1，∴当 时， 取得最小值 ，PQ 取得最小值 ． ∵ ＜ ， ∴当 ，即 Q 点的坐标为（0， ）时， PQ 的长度最小． 综上：当 Q 点坐标为（ ，0）或（0， ）时，PQ 的长度最小． 解法二： 如图①，由（2）知 P 为△ABC 的外接圆的圆心． ∵∠APC 与∠ABC 对应同一条弧 ，且∠ABC＝45°， ∴∠APC＝2∠ABC＝90°． 下面解题步骤同解法一． 28．解：（1）a+2b． （2）∵在整个运动过程中，点 P 移动的距离为 cm， 圆心 O 移动的距离为 cm， 由题意，得 ． ① ∵点 P 移动 2s 到达 B 点，即点 P 用 2s 移动了 bcm， 点 P 继续移动 3s，到达 BC 的中点，即点 P 用 3s 移动了 cm． ∴ ． ② 由①②解得 ∵点 P 移动的速度与⊙O 移动的速度相等， ∴⊙O 移动的速度为 （cm/s）． ∴这 5s 时间内圆心 O 移动的距离为 5×4=20（cm）． （3）存在这种情形． 2 5m = 2 5 − 1 2 m m − = 1 3m = 1 3 2 2 2 2 2 2 21 1 5 1 5 2 122 2 2 2 2 5 10 m mPQ PD DQ m m m m − −     = + = + − = − + = − +           2 5m = 2PQ 1 10 10 10 10 10 1 3 2 5m = 2 5 2 5 − 2 5 AC ( )2a b+ ( )2 4a − ( )2 2 4a b a+ = − 1 2 a 1 2 2 3 ab = 24, 8. a b =  = 42 b = 解法一：设点 P 移动的速度为 v1cm/s，⊙O 移动的速度为 v2cm/s， 由题意，得 ． 如图，设直线 OO1 与 AB 交于点 E，与 CD 交于点 F，⊙O1 与 AD 相切于点 G． 若 PD 与⊙O1 相切，切点为 H，则 O1G=O1H． 易得△DO1G≌△DO1H，∴∠ADB=∠BDP． ∵BC∥AD，∴∠ADB=∠CBD． ∴∠BDP=∠CBD．∴BP=DP． 设 BP=xcm，则 DP=xcm，PC=（20-x）cm， 在 Rt△PCD 中，由勾股定理，可得 ， 即 ，解得 ． ∴此时点 P 移动的距离为 （cm）． ∵EF∥AD，∴△BEO1∽△BAD． ∴ ，即 ． ∴EO1=16cm．∴OO1=14cm． ①当⊙O 首次到达⊙O1 的位置时，⊙O 移动的距离为 14cm， ∴此时点 P 与⊙O 移动的速度比为 ． ∵ ， ∴此时 PD 与⊙O1 不可能相切． ②当⊙O 在返回途中到达⊙O1 的位置时，⊙O 移动的距离为 2×(20-4)-14=18 （cm）， ∴此时点 P 与⊙O 移动的速度比为 ． ∴此时 PD 与⊙O1 恰好相切． 解法二：∵点 P 移动的距离为 cm（见解法一）， OO1=14cm（见解法一）， ， H G FE P O D CB A O1 ( ) ( )1 2 2 20 2 10 5 2 4 2 20 4 4 v a b v a + + ×= = =− − 2 2 2PC CD PD+ = ( )2 2 220 10x x− + = 25 2x = 25 4510 2 2 + = 1EO BE AD BA = 1 8 20 10 EO = 45 452 14 28 = 45 5 28 4 ≠ 45 45 52 18 36 4 = = 45 2 1 2 5 4 v v = ∴⊙O 应该移动的距离为 （cm）． ①当⊙O 首次到达⊙O1 的位置时，⊙O 移动的距离为 14cm≠18 cm， ∴此时 PD 与⊙O1 不可能相切． ②当⊙O 在返回途中到达⊙O1 的位置时，⊙O 移动的距离为 2×(20-4)-14=18 （cm）， ∴此时 PD 与⊙O1 恰好相切． 解法三：点 P 移动的距离为 cm，（见解法一） OO1=14cm，（见解法一） 由 可设点 P 的移动速度为 5k cm/s，⊙O 的移动速度为 4k cm/s， ∴点 P 移动的时间为 （s）． ①当⊙O 首次到达⊙O1 的位置时，⊙O 移动的时间为 ， ∴此时 PD 与⊙O1 不可能相切． ② 当 ⊙ O 在 返 回 途 中 到 达 ⊙ O1 的 位 置 时 ， ⊙ O 移 动 的 时 间 为 ， ∴此时 PD 与⊙O1 恰好相切． 45 4 182 5 × = 45 2 1 2 5 4 v v = 45 92 5 2k k = 14 7 9 4 2 2k k k = ≠ 2 (20 4) 14 9 4 2k k × − − =