高考数学专题复习圆锥曲线文

高考数学专题复习圆锥曲线文

‎2017年高考数学专题复习：圆锥曲线(文）‎ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 一、选择题（题型注释）‎ ‎1．（2016高考新课标1文数）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．（2016高考新课标2文数）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（ ）‎ ‎（A） （B）1 （C） （D）2‎ ‎3．（2016高考新课标Ⅲ文数）已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4．（2016高考四川文数）抛物线的焦点坐标是（ ）‎ ‎（A）（0,2） （B）（0,1） （C）（2,0） （D）（1,0）‎ ‎5．（2016江西师大附中、鹰潭一中一联）已知抛物线C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为18．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）记，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．‎ ‎6．【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则 （ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7．【2015高考重庆，文9】设双曲线的右焦点是F，‎ 左、右顶点分别是，过F做的垂线与双曲线交于B，C两点，若，则双曲线的渐近线的斜率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎8．【2015高考四川，文7】过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝（ ）‎ ‎（A） （B）2 （C）6 （D）4‎ ‎9．【2015高考陕西，文3】已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．【2015高考广东，文8】已知椭圆（）的左焦点为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．【2015高考湖南，文6】若双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎12．【2015高考安徽，文6】下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎13．【2015高考福建，文11】已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（题型注释）‎ ‎14．（2016高考上海文数）已知平行直线，则的距离_______________．‎ ‎15．（2016高考北京文数）已知双曲线 （，）的一条渐近线为，一个焦点为，则_______；_____________．‎ ‎16．（2016高考浙江文数）设双曲线x2–=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是_______．‎ ‎17．（2016高考山东文数）已知双曲线E：–=1（a＞0，b＞0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．‎ ‎18．（2016江西南昌一模）已知抛物线C:x2 =4y的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点．设直线l是抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，则的最小值为___________．‎ ‎19．（2016湖南师大附中等四校联考）若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则_____．‎ ‎20．【2015高考浙江，文15】椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．‎ ‎21．【2015高考北京，文12】已知是双曲线（）的一个焦点，则 ．‎ ‎22．【2015高考上海，文7】抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则 ．‎ ‎23．【2015高考上海，文12】已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为 ．‎ ‎24．【2015高考山东，文15】过双曲线 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点．若点的横坐标为，则的离心率为 ．‎ 三、解答题（题型注释）‎ ‎25．（2016高考新课标1文数）在直角坐标系中,直线l:y=t（t≠0）交y轴于点M,交抛物线C：于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．‎ ‎26．（2016高考新课标2文数）已知是椭圆：的左顶点，斜率为的直线交与，两点，点在上，‎ ‎．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的面积；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：．‎ ‎27．（2016高考新课标Ⅲ文数）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．‎ ‎（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；‎ ‎（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程．‎ ‎28．（2016高考天津文数）（设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率．‎ ‎29．（2016高考上海文数）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．‎ ‎（1）若l的倾斜角为 ，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2）设，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．学科&网 ‎30．（2016广东广州综合测试一）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）以为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．‎ ‎31．【2015高考安徽，文20】设椭圆E的方程为点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足直线OM的斜率为．‎ ‎（Ⅰ）求E的离心率e；‎ ‎（Ⅱ）设点C的坐标为（0，-b），N为线段AC的中点，证明：MNAB．‎ ‎32．【2015高考北京，文20】（本小题满分14分）已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若垂直于轴，求直线的斜率；‎ ‎（Ⅲ）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．‎ ‎33．【2015高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线的焦点F也是椭圆 的一个焦点，与的公共弦长为，过点F的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向．‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求直线的斜率．‎ ‎34．【2015高考山东，文21】平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且点（，）在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线 交椭圆于两点，射线交椭圆于点．‎ ‎（ⅰ）求的值；‎ ‎（ⅱ）求面积的最大值．‎ ‎35．【2015高考陕西，文20】如图，椭圆经过点，且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2．‎ ‎36．【2015高考四川，文20】如图，椭圆E：（a>b>0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且＝－1‎ A D B C O x y P ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎37．【2015高考上海，文22】（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．‎ 已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，设的面积为．‎ ‎（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明 ‎；‎ ‎（2）设，，，求的值；‎ ‎（3）设与的斜率之积为，求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变．‎ 参考答案 ‎1．B ‎【解析】‎ 试题分析：如图,由题意得在椭圆中,‎ 在中,,且,代入解得 ‎,所以椭圆得离心率得,故选B．‎ y x O B F D 考点：椭圆的几何性质 ‎【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a,c的齐次方程,方程两边同时除以a的最高次幂,转化为关于e的方程,解方程求e ．‎ ‎2．D ‎【解析】‎ 试题分析：因为抛物线的焦点，所以，‎ 又因为曲线与交于点，轴，所以，所以，选D．‎ 考点： 抛物线的性质，反比例函数的性质．‎ ‎【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置．对函数y= ，当时，在，上是减函数，当时，在，上是增函数．‎ ‎3．A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意设直线的方程为，分别令与得点，，由，得，即 ‎，整理，得，所以椭圆离心率为，故选A．‎ 考点：椭圆方程与几何性质．‎ ‎【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；（3）通过特殊值或特殊位置，求出．‎ ‎4．D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，的焦点坐标为，故选D．‎ 考点：抛物线的定义．‎ ‎【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单的性质是我们重点要掌握的内容，一定要熟记掌握．‎ ‎5．（Ⅰ）；（Ⅱ）仅当，即时，t与m无关 ‎【解析】（Ⅰ）由题意，， ，‎ 抛物线C的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 设直线MN的方程为，联立得，‎ ‎∴， ， ， ‎ 由对称性，不妨设， ‎ ‎（ⅰ）时，， 同号，‎ 又，‎ ‎，‎ 不论a取何值，t均与m有关， 即时，A不是“稳定点”；‎ ‎（ⅱ）时，， 异号．‎ 又，‎ ‎，‎ 仅当，即时，t与m无关，‎ ‎6．B ‎【解析】∵抛物线的焦点为（2，0），准线方程为，∴椭圆E的右焦点为（2，0），‎ ‎∴椭圆E的焦点在x轴上，设方程为，c=2，‎ ‎∵，∴，∴，∴椭圆E方程为，‎ 将代入椭圆E的方程解得A（-2，3），B（-2，-3），∴|AB|=6，故选B．‎ ‎【考点定位】抛物线性质；椭圆标准方程与性质 ‎【名师点睛】本题是抛物线与椭圆结合的基础题目，解此类问题的关键是要熟悉抛物线的定义、标准方程与性质、椭圆的定义、标准方程与性质，先由已知曲线与待确定曲线的关系结合已知曲线方程求出待确定曲线中的量，写出待确定曲线的方程或求出其相关性质．‎ ‎7．C ‎【解析】由已知得右焦点 （其中，‎ ‎，，‎ 从而，又因为，‎ 所以，即，‎ 化简得到，即双曲线的渐近线的斜率为，‎ 故选C．‎ ‎【考点定位】双曲线的几何性质与向量数量积．‎ ‎【名师点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，利用向量垂直的条件来转化两直线垂直的条件而得到与的关系式来求解．本题属于中档题，注意运算的准确性．‎ ‎8．D ‎【解析】由题意，a＝1，b＝，故c＝2，‎ 渐近线方程为y＝±x 将x＝2代入渐近线方程，得y1，2＝±2‎ 故|AB|＝4，选D ‎【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力．‎ ‎【名师点睛】本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，考生在解题中要注意识别．本题需要首先求出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB的端点坐标，即可求得|AB|的值．属于中档题．‎ ‎9．B ‎【解析】由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，‎ 所以抛物线焦点坐标为，故答案选 ‎【考点定位】抛物线方程和性质．‎ ‎【名师点睛】1．本题考查抛物线方程和性质，采用待定系数法求出的值．本题属于基础题，注意运算的准确性．2．给出抛物线方程要求我们能够找出焦点坐标和直线方程，往往这个是解题的关键．‎ ‎10．C ‎【解析】由题意得：，因为，所以，故选C．‎ ‎【考点定位】椭圆的简单几何性质．‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的简单几何性质，属于容易题．解题时要注意椭圆的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是椭圆的简单几何性质，即椭圆（）的左焦点，右焦点，其中．‎ ‎11．D ‎【解析】因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），‎ ‎ 故选D．‎ ‎【考点定位】双曲线的简单性质 ‎【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口．与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线共渐近线的可设为；（2）若渐近线方程为，则可设为 ‎；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；（4）的一条渐近线的斜率为．可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置．‎ ‎12．A ‎【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A．‎ ‎【考点定位】本题主要考查双曲线的渐近线公式．‎ ‎【名师点睛】在求双曲线的渐近线方程时，考生一定要注意观察双曲线的交点是在轴，还是在轴，选用各自对应的公式，切不可混淆．‎ ‎13．A ‎【解析】设左焦点为，连接，．则四边形是平行四边形，故，所以 ‎，所以，设，则，故，从而，，‎ ‎，所以椭圆的离心率的取值范围是，故选A．‎ ‎【考点定位】1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．‎ ‎【名师点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，将转化为，进而确定 的值，是本题关键所在，体现了椭圆的对称性和椭圆概念的重要性，属于难题．求离心率取值范围就是利用代数方法或平面几何知识寻找椭圆中基本量满足的不等量关系，以确定的取值范围．‎ ‎14．‎ ‎【解析】试题分析：‎ 利用两平行线间距离公式得 考点：两平行线间距离公式．‎ ‎【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即 的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力．‎ ‎15．．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意有,结合,解得．‎ 考点：双曲线的基本概念 ‎【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容．对渐近线：（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．‎ 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似．因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线．‎ ‎16．．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，则，设是双曲线上任一点，由对称性不妨设在右支上，则，，，‎ 为锐角，则，即，解得，所以，．‎ 考点：双曲线的几何性质．‎ ‎【思路点睛】先由对称性可设点在右支上，进而可得和，再由为锐角三角形可得，进而可得的不等式，解不等式可得的取值范围．‎ ‎17． ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意，不妨设，作出图象如下图所示 则故离心率 ‎ 考点：双曲线的几何性质 ‎【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质．本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度．本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等．‎ ‎18．－14‎ ‎【解析】设：，代入抛物线方程，得，因为与抛物线相切，所以，解得，所以：．由抛物线的方程，知，所以：．设，由，得，所以，所以．设，则，，所以＋＝＋＝，所以的最小值为－14．‎ ‎19．．‎ ‎【解析】抛物线的准线方程是，双曲线的一个焦点，‎ ‎∵抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，∴，解得．‎ ‎20．‎ ‎【解析】设关于直线的对称点为，则有，解得，所以在椭圆上，即有，解得，所以离心率．‎ ‎【考点定位】1．点关于直线对称；2．椭圆的离心率．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查椭圆的离心率．利用点关于直线对称的关系，计算得到右焦点的对称点，通过该点在椭圆上，代入方程，转化得到关于的方程，由此计算离心率．本题属于中等题。主要考查学生基本的运算能力．‎ ‎21．‎ ‎【解析】由题意知，，所以．‎ ‎【考点定位】双曲线的焦点．‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质，属于容易题．解题时要注意双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是双曲线的简单几何性质，即双曲线（，）的左焦点，右焦点，其中．‎ ‎22．2‎ ‎【解析】依题意，点为坐标原点，所以，即．‎ ‎【考点定位】抛物线的性质，最值．‎ ‎【名师点睛】由于抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，‎ 所以抛物线的顶点到焦点的距离最小．‎ ‎23．‎ ‎【解析】因为的方程为，所以的一条渐近线的斜率，所以的一条渐近线的斜率，因为双曲线、的顶点重合，即焦点都在轴上，‎ 设的方程为，‎ 所以，所以的方程为．‎ ‎【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率．‎ ‎【名师点睛】在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：（1）已知双曲线方程，求它的渐近线； （2）求已知渐近线的双曲线的方程； （3）渐近线的斜率与离心率的关系，如．‎ ‎24．‎ ‎【解析】双曲线的右焦点为．不妨设所作直线与双曲线的渐近线平行，其方程为，代入求得点的横坐标为，由，得，解之得，（舍去，因为离心率），故双曲线的离心率为．‎ ‎【考点定位】1．双曲线的几何性质；2．直线方程．‎ ‎【名师点睛】本题考查了双曲线的几何性质及直线方程，解答本题的关键，首先是将问题进一步具体化，即确定所作直线与哪一条渐近线平行，事实上，由双曲线的对称性可知，两种情况下结果相同；其次就是能对所得数学式子准确地变形，利用函数方程思想，求得离心率．‎ 本题属于小综合题，也是一道能力题，在较全面考查直线、双曲线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及函数方程思想．‎ ‎25．（Ⅰ）2（Ⅱ）没有 ‎【解析】‎ 试题分析：先确定,的方程为,代入整理得,解得,,得,由此可得为的中点,即．‎ ‎（Ⅱ）把直线的方程,与联立得,解得,即直线与只有一个公共点,所以除以外直线与没有其它公共点．‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知得,．‎ 又为关于点的对称点,故,的方程为,代入整理得,解得,,因此．‎ 所以为的中点,即．‎ ‎（Ⅱ）直线与除以外没有其它公共点．理由如下：‎ 直线的方程为,即．代入得,解得,即直线与只有一个公共点,所以除以外直线与没有其它公共点．‎ 考点：直线与抛物线 ‎【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题．其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用．‎ ‎26．（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示 ‎，从而表示，同理用表示，再由求．‎ 试题解析：（Ⅰ）设，则由题意知．‎ 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为，‎ 又，因此直线的方程为．‎ 将代入得，‎ 解得或，所以．‎ 因此的面积．‎ ‎（2）将直线的方程代入得 ‎．‎ 由得，故．‎ 由题设，直线的方程为，故同理可得．‎ 由得，即．‎ 设，则是的零点，，‎ 所以在单调递增，又，‎ 因此在有唯一的零点，且零点在内，所以．‎ 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系． ‎ ‎【名师点睛】本题中，分离变量，得，解不等式，即求得实数的取值范围．‎ ‎27．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设出与轴垂直的两条直线，然后得出 的坐标，然后通过证明直线与直线的斜率相等即可证明结果了；（Ⅱ）设直线与轴的交点坐标，利用面积可求得，设出的中点，根据与轴是否垂直分两种情况结合求解．‎ 试题解析：由题设．设，则，且 ‎．‎ 记过两点的直线为，则的方程为．‎ ‎（Ⅰ）由于在线段上，故．‎ 记的斜率为，的斜率为，则，‎ 所以． ‎ ‎（Ⅱ）设与轴的交点为，‎ 则．‎ 由题设可得，所以（舍去），．‎ 设满足条件的的中点为．‎ 当与轴不垂直时，由可得．‎ 而，所以．‎ 当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为．‎ 考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．‎ ‎【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．‎ ‎28．（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得 ‎，再利用，可解得，（Ⅱ）先化简条件：，即M再OA中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系解出直线斜率．‎ 试题解析：（1）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，‎ 设，由方程组 消去，‎ 整理得，解得或，‎ 由题意得，从而，‎ 由（1）知，设，有，，‎ 由，得，所以，‎ 解得，因此直线的方程为，‎ 设，由方程组 消去，得，‎ 在中，，‎ 即，化简得，即，‎ 解得或，‎ 所以直线的斜率为或．‎ 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 ‎【名师点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．‎ ‎29．（1）．（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设．根据是等边三角形，得到，解得．‎ ‎（2）设，，直线与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据与双曲线交于两点，可得，且．由得出的方程求解．‎ 试题解析：（1）设．‎ 由题意，，，，‎ 因为是等边三角形，所以，‎ 即，解得．‎ 故双曲线的渐近线方程为．‎ ‎（2）由已知，．‎ 设，，直线．‎ 由，得．‎ 因为与双曲线交于两点，所以，且．‎ 由，，得，‎ 故，‎ 解得，故的斜率为．‎ 考点：1．双曲线的几何性质；2．直线与双曲线的位置关系；3．弦长公式．‎ ‎【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题．解答此类题目，利用的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系及弦长公式，得到方程．本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出．．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．‎ ‎30．（Ⅰ）（Ⅱ）以为直径的圆经过两定点，．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设椭圆的方程为，‎ 因为椭圆的左焦点为，所以． ‎ 因为点在椭圆上，所以． ‎ 由①②解得，，．所以椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．‎ 因为直线与椭圆交于两点，，‎ 设点（不妨设），则点．‎ 联立方程组消去得．所以，则．‎ 所以直线的方程为．‎ 因为直线，分别与轴交于点，，‎ 令得，即点．‎ 同理可得点．‎ 所以．‎ 设的中点为，则点的坐标为．‎ 则以为直径的圆的方程为，‎ 即．‎ 令，得，即或．‎ 故以为直径的圆经过两定点，．‎ ‎31．（Ⅰ） （Ⅱ）详见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）解：由题设条件知，点，又从而．‎ 进而，故．‎ ‎（Ⅱ）证：由是的中点知，点的坐标为，可得．‎ 又，从而有 由（Ⅰ）得计算结果可知所以，故．‎ ‎【考点定位】本题主要考查椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系等基础知识．‎ ‎【名师点睛】本题主要将椭圆的性质与求椭圆的离心率相结合，同时考查了中点坐标公式，以及解析几何中直线与直线垂直的常用方法，本题考查了考生的基本运算能力和综合分析能力．‎ ‎32．（Ⅰ）；（Ⅱ）1；（Ⅲ）直线与直线平行．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．（Ⅰ）先将椭圆方程化为标准方程，得到，，的值，再利用计算离心率；（Ⅱ）由直线的特殊位置，设出，点坐标，设出直线的方程，由于直线与相交于点，所以得到点坐标，利用点、点的坐标，求直线的斜率；（Ⅲ）分直线的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线和直线的方程，将椭圆方程与直线的方程联立，消参，得到和，代入到中，只需计算出等于即可证明，即两直线平行．‎ 试题解析：（Ⅰ）椭圆的标准方程为．‎ 所以，，．‎ 所以椭圆的离心率．‎ ‎（Ⅱ）因为过点且垂直于轴，所以可设，．‎ 直线的方程为．‎ 令，得．‎ 所以直线的斜率．‎ ‎（Ⅲ）直线与直线平行．证明如下：‎ 当直线的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知．‎ 又因为直线的斜率，所以．‎ 当直线的斜率存在时，设其方程为．‎ 设，，则直线的方程为．‎ 令，得点．‎ 由，得．‎ 所以，．‎ 直线的斜率．‎ 因为 ‎，‎ 所以．‎ 所以．‎ 综上可知，直线与直线平行．‎ 考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系．‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线的斜率和两条直线的位置关系，属于中档题．解题时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是椭圆的离心率，直线的两点斜率公式和两条直线的位置关系，即椭圆（）的离心率，过，的直线斜率（），若两条直线，斜率都存在，则且．‎ ‎33．（Ⅰ） ；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由题通过F的坐标为，因为F也是椭圆的一个焦点，可得，根据与的公共弦长为，与都关于轴对称可得，然后得到对应曲线方程即可； （Ⅱ）设根据，可得 ‎，设直线的斜率为，则的方程为，联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果．‎ 试题解析：（Ⅰ）由知其焦点F的坐标为，因为F也是椭圆的一个焦点，所以 ①； 又与的公共弦长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为， ②，‎ 联立①②得，故的方程为。‎ ‎（Ⅱ）如图，设 ‎ 因与同向，且，‎ 所以，从而，即，于是 ‎ ③‎ 设直线的斜率为，则的方程为，‎ 由得，由是这个方程的两根，④‎ 由得，而是这个方程的两根，‎ ‎， ⑤‎ 将④、⑤代入③，得。即 所以，解得，即直线的斜率为 ‎【考点定位】直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的性质 ‎【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单．‎ ‎34．（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意知又，解得，‎ 所以椭圆的方程为 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆的方程为．‎ ‎（ⅰ）设由题意知．‎ 因为又，即 所以，即 ‎（ⅱ）设将代入椭圆的方程，可得，由可得①‎ 则有所以因为直线与轴交点的坐标为，所以的面积 设将直线代入椭圆的方程，可得，由可得②‎ 由①②可知故．‎ 当且仅当，即时取得最大值 由（Ⅰ）知，的面积为，所以面积的最大值为 ‎【考点定位】1．椭圆的标准方程及其几何性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．距离与三角形面积；4．转化与化归思想．‎ ‎【名师点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系、距离与三角形面积、二次函数的性质等，解答本题的主要困难是（Ⅱ）中两小题，首先是通过研究的坐标关系，使（Ⅰ）得解，同时为解答（Ⅱ）提供简化基础，即认识到与的面积关系，从而将问题转化成研究面积的最大值．通过联立直线方程、椭圆方程，并应用韦达定理确定“弦长”，进一步确定三角形面积表达式，对考生复杂式子的变形能力及逻辑思维能力要求较高．‎ 本题是一道能力题，属于难题．在考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系、距离与三角形面积、二次函数的性质等基础知识的同时，考查考生的计算能力及转化与化归思想．本题梯度设计较好，层层把关，有较强的区分度，有利于优生的选拔．‎ ‎35．（Ⅰ）； （Ⅱ）证明见解析．①②③‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由题意知，由，解得，继而得椭圆的方程为；‎ ‎（Ⅱ）设，，则，由题设知，直线的方程为，代入，化简得，则①，②，由已知， 从而直线与的斜率之和 化简得，把①②式代入方程得．‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意知，综合，解得，所以，椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由题设知，直线的方程为，代入，得 ‎，‎ 由已知，设，‎ 则，‎ 从而直线与的斜率之和 ‎．‎ ‎【考点定位】1．椭圆的标准方程；2．圆锥曲线的定值问题．‎ ‎【名师点睛】定值问题的处理常见的方法：（1）通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性的证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形形式，证明该式是恒定的，如果以客观题形式出现，特殊方法往往比较快速奏效；（2）进行一般计算推理求出其结果．‎ ‎36．（Ⅰ）（Ⅱ）存在常数λ＝－1，使得为定值－3‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知，点C，D的坐标分别为（0，－b），（0，b）‎ 又点P的坐标为（0，1），且＝－1‎ 于是，解得a＝2，b＝‎ 所以椭圆E方程为．‎ ‎（Ⅱ）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1‎ A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）‎ 联立，得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0‎ 其判别式△＝（4k）2＋8（2k2＋1）＞0‎ 所以 从而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋（y1－1）（y2－1）]‎ ‎＝（1＋λ）（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1‎ ‎＝‎ ‎＝－‎ 所以，当λ＝1时，－＝－3‎ 此时，＝－3为定值 当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD 此时＝－2－1＝－3‎ 故存在常数λ＝－1，使得为定值－3．‎ ‎【考点定位】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想．‎ ‎【名师点睛】本题属于解析几何的基本题型，第（Ⅰ）问根据“离心率是，且＝－1”建立方程组可以求出椭圆方程；第（Ⅱ）问设出直线方程后，代入椭圆方程，利用目标方程法，结合韦达定理，得到两交点横坐标的和与积，再代入中化简整理．要得到定值，只需判断有无合适的λ，使得结论与k无关即可，对考生代数式恒等变形能力要求较高．属于较难题．‎ ‎37．（1）详见解析；（2）或；（3）．‎ ‎【解析】（1）直线的方程为，‎ 由点到直线的距离公式得点到的距离为，‎ 因为，‎ 所以．‎ ‎（2）由，消去解得，‎ 由（1）得 由题意知，‎ 解得或．‎ ‎（3）设，则，设，，‎ 由，的，‎ 同理，‎ 由（1）知，‎ ‎ ，‎ 整理得，‎ 由题意知与无关，‎ 则，解得．‎ 所以．‎ ‎【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【名师点睛】直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．当直线（斜率为k）与圆锥曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）时，则，而|x1－x2|＝，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．‎