【物理】2018届一轮复习人教版第5章第3节机械能守恒定律学案

【物理】2018届一轮复习人教版第5章第3节机械能守恒定律学案

第三节　机械能守恒定律 一、重力势能 ‎1．定义：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积．‎ ‎2．公式：Ep＝mgh．‎ ‎3．矢标性：重力势能是标量，正、负表示其大小．‎ ‎4．特点 ‎(1)系统性：重力势能是地球和物体共有的．‎ ‎(2)相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关．重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关．‎ ‎5．重力做功与重力势能变化的关系 重力做正功时，重力势能减小； 重力做负功时，重力势能增大；重力做多少正(负)功，重力势能就减小(增大)多少，即WG＝Ep1－Ep2．‎ ‎　1.判断正误 ‎(1)当重力对物体做正功时，物体的重力势能一定减少．(　　)‎ ‎(2)物体克服重力做功时，物体的重力势能一定增加．(　　)‎ ‎(3)地球上任何一个物体的重力势能都有一个确定值．(　　)‎ ‎(4)重力做功的多少与参考平面的选取无关．(　　)‎ ‎(5)被举高的物体重力势能一定不为零．(　　)‎ 提示：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×‎ 二、弹性势能 ‎1．定义：物体由于发生弹性形变而具有的能．‎ ‎2．大小：弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大．‎ ‎3．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增大．‎ ‎　2.(2017·杭州模拟)如图所示在光滑水平面上有一物体，它的左端连接着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是(　　)‎ A．弹簧的弹性势能逐渐减少 B．物体的机械能不变 C．弹簧的弹性势能先增加后减少 D．弹簧的弹性势能先减少后增加 提示：D 三、机械能守恒定律 ‎1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．‎ ‎2．表达式 ‎(1)守恒观点：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2(要选零势能参考平面)．‎ ‎(2)转化观点：ΔEk＝－ΔEp(不用选零势能参考平面)．‎ ‎(3)转移观点：ΔEA增＝ΔEB减(不用选零势能参考平面)．‎ ‎3．机械能守恒的条件：只有重力(或弹力)做功或虽有其他外力做功但其他力做功的代数和为零．‎ ‎　3. 如图所示，质量为m1、m2(m1＜m2)的两物体通过轻绳绕过光滑的定滑轮，现将m2由静止释放，m2落地时的速度为v.选地面为零势能面．‎ ‎(1)释放前系统的机械能E1＝m2gh，m2落地时系统的机械能E2＝______________________________________________________________；‎ 则E1＝E2.‎ ‎(2)m2下落到地面的过程，系统动能的增加量ΔEk增＝____________________，重力势能的减少量ΔEp减＝__________________；ΔEk增与ΔEp减的关系：ΔEk增＝ΔEp减．‎ ‎(3)m2下落到地面的过程，m1机械能的增加量ΔE1增＝________________，m2机械能的减少量ΔE2减＝m2gh－m2v2；ΔE1增与ΔE2减的关系：________________．‎ 提示：(1)m1gh＋m1v2＋m2v2‎ ‎(2)m1v2＋m2v‎2　m2gh－m1gh ‎(3)m1gh＋m1v2　ΔE1增＝ΔE2减 ‎　机械能守恒的判断 ‎【知识提炼】‎ ‎1．利用机械能的定义判断(直接判断)：分析动能和势能的和是否变化．‎ ‎2．用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．‎ ‎3．‎ 用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒．‎ ‎【典题例析】‎ ‎　(2015·高考天津卷)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为‎2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中(　　)‎ A．圆环的机械能守恒 B．弹簧弹性势能变化了mgL C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零 D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变 ‎[审题指导]　(1)圆环下滑过程中，弹簧拉力对圆环是否做功？弹簧和圆环(地球)系统外力是否做功？‎ ‎(2)圆环到最低点时，下降的高度是多少？此时圆环的速度为多少？‎ ‎(3)圆环所受合力为零时，其动能如何？‎ ‎[解析]　圆环沿杆下滑的过程中，圆环与弹簧组成的系统动能、弹性势能、重力势能之和守恒，选项A、D错误；弹簧长度为‎2L时，圆环下落的高度h＝L，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能增加了ΔEp＝mgh＝mgL，选项B正确；圆环释放后，圆环向下先做加速运动，后做减速运动，当速度最大时，合力为零，下滑到最大距离时，具有向上的加速度，合力不为零，选项C错误．‎ ‎[答案]　B ‎　木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起共同摆到一定高度如图所示，从子弹开始射入到共同上摆到最大高度的过程中，下列说法正确的是(　　)‎ A．子弹的机械能守恒 B．木块的机械能守恒 C．子弹和木块总机械能守恒 D．子弹和木块上摆过程中机械能守恒 解析：选D.子弹射入木块过程，系统中摩擦力做负功，机械能减少；而共同上摆过程，系统只有重力做功，机械能守恒．综上所述，整个过程机械能减少，减少部分等于克服摩擦力做功产生的热量．‎ ‎　单个物体的机械能守恒问题 ‎【知识提炼】‎ 单个物体的机械能守恒往往会与平抛运动、圆周运动、人造卫星等结合到一起，‎ 构成综合性问题．求解这类问题时除了掌握机械能守恒的条件、规律外，还应熟练掌握以下内容：‎ ‎1．平抛运动的特点和规律：平抛运动是初速度沿水平方向只在重力作用下的运动，其水平方向是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动．‎ ‎2．圆周运动的特点和规律：物体做圆周运动时合力充当向心力，物体在竖直面内沿光滑轨道或由绳子系着做圆周运动时，由于重力做功，物体速度大小是变化的，在竖直面内达到圆周最高点的临界条件是弹力等于零．‎ ‎3．卫星进入圆形轨道稳定运行时机械能不变，卫星自由地绕地球做椭圆轨道运动时只有地球引力做功，其机械能守恒，而卫星在人为变轨的过程中，机械能是不守恒的．‎ ‎【典题例析】‎ ‎　(2015·高考海南卷)如图，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点．已知h＝‎2 m，s＝ m．取重力加速度大小g＝‎10 m/s2.‎ ‎(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；‎ ‎(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小．‎ ‎[审题指导]　根据运动过程中机械能守恒可求解下滑到各点的速度，再根据运动的分解知识，进而求解问题．‎ ‎[解析]　(1)设环到b点时速度为vb，圆弧轨道半径为r，小环从a到b由机械能守恒有 mgr＝mv①‎ 环与bc段轨道间无相互作用力，从b到c环做平抛运动 h＝gt2②‎ s＝vbt③‎ 联立可得r＝④‎ 代入数据得r＝0.25 m.‎ ‎(2)环从b点由静止下滑至c点过程中机械能守恒，设到c点时速度为vc，则 mgh＝mv⑤‎ 在bc段两次过程中环沿同一轨迹运动，经过同一点时速度方向相同 设环在c点时速度与水平方向间的夹角为θ，则环做平抛运动时 tan θ＝⑥‎ vy＝gt⑦‎ 联立①②⑥⑦式可得 tan θ＝2⑧‎ 则环从b点由静止开始滑到c点时速度的水平分量vcx为vcx＝vccos θ⑨‎ 联立⑤⑧⑨三式可得 vcx＝ m/s.‎ ‎[答案]　(1)‎0.25 m　(2) m/s ‎【跟进题组】‎ 考向1　机械能守恒定律与圆周运动的综合应用 ‎1．(2016·高考全国卷丙)如图，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．‎ ‎(1)求小球在B、A两点的动能之比；‎ ‎(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．‎ 解析：(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为 EkA＝mg①‎ 设小球在B点的动能为EkB，同理有 EkB＝mg②‎ 由①②式得EkB∶EkA＝5∶1.③‎ ‎(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力FN应满足FN≥0④‎ 设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心加速度公式有 FN＋mg＝m⑤‎ 由④⑤式得，vC应满足mg≤m⑥‎ 由机械能守恒有mg＝mv⑦‎ 由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点．‎ 答案：(1)5∶1　(2)恰好能到达C点 考向2　机械能守恒定律与平抛运动的综合应用 ‎2．(2016·高考全国卷乙)如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态．直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC＝7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内．质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点(未画出)．随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF＝4R.已知P与直轨道间的动摩擦因数μ＝，重力加速度大小为g.(取sin 37°＝，cos 37°＝)‎ ‎(1)求P第一次运动到B点时速度的大小；‎ ‎(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能；‎ ‎(3)改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放．已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点．G点在C点左下方，与C点水平相距R、竖直相距R.求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量．‎ 解析：(1)根据题意知，B、C之间的距离为 l＝7R－2R①‎ 设P到达B点时的速度为vB，由动能定理得 mglsin θ－μmglcos θ＝mv②‎ 式中θ＝37°.‎ 联立①②式并由题给条件得 vB＝2.③‎ ‎(2)设BE＝x.P到达E点时速度为零，设此时弹簧的弹性势能为Ep.P由B点运动到E点的过程中，由动能定理有 mgxsin θ－μmgxcos θ－Ep＝0－mv④‎ E、F之间的距离为l1＝4R－2R＋x⑤‎ P到达E点后反弹，从E点运动到F点的过程中，由动能定理有 Ep－mgl1sin θ－μmgl1cos θ＝0⑥‎ 联立③④⑤⑥式并由题给条件得x＝R⑦‎ Ep＝mgR.⑧‎ ‎(3)设改变后P的质量为m1.D点与G点的水平距离x1和竖直距离y1分别为x1＝R－Rsin θ⑨‎ y1＝R＋R＋Rcos θ⑩‎ 式中，已应用了过C点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为θ的事实．‎ 设P在D点的速度为vD，由D点运动到G点的时间为t.由平抛运动公式有y1＝gt2⑪‎ x1＝vDt⑫‎ 联立⑨⑩⑪⑫式得vD＝⑬‎ 设P在C点速度的大小为vC.在P由C点运动到D点的过程中机械能守恒，有 m1v＝m1v＋m‎1g⑭‎ P由E点运动到C点的过程中，由动能定理有 Ep－m‎1g(x＋5R)sin θ－μm‎1g(x＋5R)cos θ＝m1v⑮‎ 联立⑦⑧⑬⑭⑮式得m1＝m.‎ 答案：(1)2　(2)mgR　(3)　m ‎　多个物体(连接体)的机械能守恒问题 ‎【知识提炼】‎ 多个物体的机械能守恒问题，往往涉及“轻绳模型”“轻杆模型”以及“轻弹簧模型”．‎ ‎1．轻绳模型 ‎(1)绳上各点及连接物体的端点速度满足线速度相等．‎ ‎(2)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能守恒．‎ ‎2．轻杆模型 ‎(1)模型构建：轻杆两端(或两处)各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型．‎ ‎(2)轻杆模型的四个特点 ‎①忽略空气阻力和各种摩擦．‎ ‎②平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．‎ ‎③杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．‎ ‎④对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒．‎ ‎【典题例析】‎ ‎　(多选)(2015·高考全国卷Ⅱ)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则(　　)‎ A．a落地前，轻杆对b一直做正功 B．a落地时速度大小为 C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg ‎[审题指导]　首先判断机械能是否守恒，然后把两滑块的速度关系找出来，利用机械能守恒定律求解问题．‎ ‎[解析]　由题意知，系统机械能守恒．设某时刻a、b的速度分别为va、vb.此时刚性轻杆与竖直杆的夹角为θ，分别将va、vb分解，如图．因为刚性杆不可伸长，所以沿杆的分速度v∥与v′∥是相等的，即vacos θ＝vbsin θ.当a滑至地面时θ＝90°，此时vb＝0，由系统机械能守恒得mgh＝mv，解得va＝，选项B正确．同时由于b初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即杆对b先做正功后做负功，选项A错误．杆对b的作用力先是推力后是拉力，对a则先是阻力后是动力，即a的加速度在受到杆的向下的拉力作用时大于g，选项C错误．b的动能最大时，杆对a、b的作用力为零，此时a的机械能最小，b只受重力和支持力，所以b对地面的压力大小为mg，选项D正确．‎ ‎　‎ ‎[答案]　BD ‎1．多物体机械能守恒问题的分析方法 ‎ ‎(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒．‎ ‎(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．‎ ‎(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式．‎ ‎2．多物体机械能守恒问题的三点注意 ‎(1)正确选取研究对象. ‎ ‎(2)合理选取物理过程．‎ ‎(3)正确选取机械能守恒定律常用的表达形式列式求解．　 ‎ ‎【跟进题组】‎ 考向1　机械能守恒定律在轻绳模型问题中的应用 ‎1.如图所示，质量都为m＝‎1 kg的A、B两金属环用细线相连后，分别套在两互成直角的水平光滑细杆和竖直光滑细杆上．细线长L＝‎0.4 m，今将细线拉直后使A和B从同一高度上都由静止释放，求从开始运动到使细线与水平方向成θ＝30°角的过程中，细线对A、B做的功．(g取‎10 m/s2)．‎ 解析：设当两环运动到使细线与水平方向成θ＝30°角时，A和B的速度分别为vA、vB，将vA、vB分别沿细线和垂直细线方向分解，如图所示，由分析知，它们在沿细线方向上的分速度v1和v2相等．所以有 vAsin θ＝vBcos θ①‎ 在这一过程中A下降的高度为Lsin θ，因两环组成的系统机械能守恒，则有 mgLsin θ＝mv＋mv②‎ 由①②代入数值得：vA＝ m/s，vB＝1 m/s.‎ 设细线对A、B环做功分别为WA、WB，由动能定理得：‎ mgLsin θ＋WA＝mv－0③‎ WB＝mv－0④‎ 由③④代入数值解得：WA＝－0.5 J，WB＝0.5 J.‎ 答案：－0.5 J　0.5 J 考向2　机械能守恒定律在轻杆模型问题中的应用 ‎2.如图所示，竖直平面内的半圆形光滑轨道，其半径为R.小球A、B质量分别为mA、mB，A和B之间用一根长为l(lmB，B在右侧上升的最大高度与A的起始高度相同 C．在A下滑过程中轻杆对A做负功，对B做正功 D．A在下滑过程中减少的重力势能等于A与B增加的动能 解析：选C.选轨道最低点为零势能点，根据系统机械能守恒条件可知A和B组成的系统机械能守恒，如果B在右侧上升的最大高度与A的起始高度相同，则有mAgh－mBgh＝0，则有mA＝mB，故选项A、B错误；小球A下滑、B上升过程中小球B机械能增加，则小球A机械能减少，说明轻杆对A做负功，对B做正功，故选项C正确；A下滑过程中减少的重力势能等于B上升过程中增加的重力势能和A与B增加的动能之和，故选项D错误．‎ 考向3　机械能守恒定律在轻弹簧模型问题中的应用 ‎3．(2016·高考全国卷甲)轻质弹簧原长为‎2l ‎，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为‎5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l.现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为‎5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示．物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动．重力加速度大小为g.‎ ‎(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；‎ ‎(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围．‎ 解析：(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能．由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能为 Ep＝5mgl①‎ 设P的质量为M，到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得 Ep＝Mv＋μMg·‎4l②‎ 联立①②式，取M＝m并代入题给数据得vB＝③‎ 若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足 －mg≥0④‎ 设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得 mv＝mv＋mg·‎2l⑤‎ 联立③⑤式得vD＝⑥‎ vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出．设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得‎2l＝gt2⑦‎ P落回到AB上的位置与B点之间的距离为s＝vDt⑧‎ 联立⑥⑦⑧式得s＝2l.⑨‎ ‎(2)为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零．由①②式可知5mgl>μMg·‎4l⑩‎ 要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C.由机械能守恒定律有 Mv≤Mgl⑪‎ 联立①②⑩⑪式得m≤M

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