中考数学分类解析159套63专题专题9一元二次方程

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中考数学分类解析159套63专题专题9一元二次方程

‎2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题)‎ 专题9:一元二次方程 今升数学工作室编辑 一、选择题 ‎1.(2012天津市3分)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1≠x2,有下列结论:‎ ‎①x1=2,x2=3;②;‎ ‎③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).‎ 其中,正确结论的个数是【】‎ ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点,一元二次方程的解,一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。‎ ‎【分析】①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2,‎ ‎∴x1=2,x2=3,只有在m=0时才能成立,故结论①错误。‎ ‎②一元二次方程(x-2)(x-3)=m化为一般形式得:x2-5x+6-m=0,‎ ‎∵方程有两个不相等的实数根x1、x2,∴△=b2-‎4ac=(-5)2-4(6-m)=‎4m+1>0,‎ 解得:。故结论②正确。‎ ‎③∵一元二次方程x2-5x+6-m=0实数根分别为x1、x2,∴x1+x2=5,x1x2=6-m。‎ ‎∴二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m=x2-(x1+x2)x+x1x2+m=x2-5x+(6-m)+m ‎=x2-5x+6=(x-2)(x-3)。‎ 令y=0,即(x-2)(x-3)=0,解得:x=2或3。‎ ‎∴抛物线与x轴的交点为(2,0)或(3,0),故结论③正确。‎ 综上所述,正确的结论有2个:②③。故选C。‎ ‎2.(2012广东佛山3分)用配方法解一元二次方程x2-2x-3=0时,方程变形正确的是【】    ‎ ‎ A.(x-1)2=2 B.(x-1)2=‎4 C.(x-1)2=1 D.(x-1)2=7‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】用配方法解一元二次方程。‎ ‎【分析】由x2-2x-3=0移项得:x2-2x=3,两边都加上1得:x2-2x+1=3+1,即(x-1)2=4。‎ 则用配方法解一元二次方程x2-2x-3=0时,方程变形正确的是(x-1)2=4。故选B。‎ ‎3.(2012江苏淮安3分)方程的解为【】‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】方程的解,因式分解法解一元二次方程。‎ ‎【分析】解出方程与所给选项比较即可:‎ ‎。故选D。‎ ‎4.(2012福建莆田4分)方程的两根分别为【】‎ ‎ A.=-1,=2 B.=1,=‎2 C.=―l,=-2 D.=1,=-2‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】因式分解法解一元二次方程。‎ ‎【分析】(x-1)(x+2)=0,可化为:x-1=0或x+2=0,解得:x1=1,x2=-2。故选D。‎ ‎5.(2012湖北武汉3分)若x1、x2是一元二次方程x2-3x+2=0的两根,则x1+x2的值是【】‎ A.-2 B.‎2 C.3 D.1‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系。‎ ‎【分析】根据一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=3。故选C。‎ ‎6.(2012湖北荆门3分)用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0,配方后的方程可以是【】‎ A.(x﹣1)2=4 B.(x+1)2=‎4 C.(x﹣1)2=16 D.(x+1)2=16‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】配方法。‎ ‎【分析】把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边,得到x2﹣2x=3,‎ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到x2﹣2x+1=3+1,‎ 即(x﹣1)2=4。故选A。‎ ‎7.(2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1,x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0,那么a的值为【】‎ A.3 B.﹣‎3 ‎‎ C.13 D.﹣13‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系。‎ ‎【分析】∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根,‎ ‎∴x1+x2=﹣4,x1x2=a。‎ ‎∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2(x1+x2)﹣5=a﹣2×(﹣4)﹣5=0,即a+3=0,‎ 解得,a=﹣3。故选B。‎ ‎8.(2012湖北荆州3分)用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0,配方后的方程可以是【】‎ A.(x﹣1)2=4 B.(x+1)2=‎4 C.(x﹣1)2=16 D.(x+1)2=16‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】配方法。‎ ‎【分析】把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边,得到x2﹣2x=3,‎ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到x2﹣2x+1=3+1,‎ 即(x﹣1)2=4。故选A。‎ ‎9.(2012湖北襄阳3分)如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是【】‎ A.k<B.k<且k≠‎0 C.﹣≤k< D.﹣≤k<且k≠0‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】一元二次方程定义和根的判别式,二次根式有意义的条件。‎ ‎【分析】由题意,根据一元二次方程二次项系数不为0定义知: k≠0;根据二次根式被开方数非负数的条件得:2k+1≥0;根据方程有两个不相等的实数根,得△=2k+1﹣4k>0。三者联立,解得﹣≤k<且k≠0。‎ 故选D。 ‎ ‎10.(2012湖南常德3分)若一元二次方程有实数解,则m的取值范围是【】‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】由一元二次方程有实数根,得到根的判别式大于等于0,列出关于m的不等式,求出不等式的解集即可得到m的取值范围:‎ ‎∵一元二次方程有实数解,‎ ‎∴△=b2-‎4ac=22-‎4m≥0,解得:m≤1。‎ ‎∴m的取值范围是m≤1。故选B。‎ ‎11.(2012湖南株洲3分)已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1,x2=﹣2,则b与c的值分别为【】‎ A.b=﹣1,c=2B.b=1,c=﹣‎2‎C.b=1,c=2D.b=﹣1,c=﹣2‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系。‎ ‎【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1,x2=﹣2,‎ ‎∴x1+x2=b=1+(﹣2)=﹣1,x1•x2=c=1×(﹣2)=﹣2。‎ ‎∴b=﹣1,c=﹣2。故选D。‎ ‎12.(2012四川攀枝花3分)已知一元二次方程:x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2,则x12x2+x1x22的值为【】‎ ‎ A.﹣3 B.‎3 ‎C.﹣6 D. 6‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值。‎ ‎【分析】由一元二次方程:x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2,‎ 根据一元二次方程根与系数的关系得,x1+x2=3,x1x2=―1,‎ ‎∴x12x2+x1x22=x1x2(x1+x2)=(-1)·3=-3。故选A。‎ ‎13.(2012四川广安3分)已知关于x的一元二次方程(a﹣l)x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是【】‎ A.a>2 B.a<‎2 ‎‎ C.a<2且a≠l D.a<﹣2‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式,一元二次方程定义。‎ ‎【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式,解不等式求出a的取值范围,结合一元二次方程定义作出判断:‎ ‎∵由△=4﹣4(a﹣1)=8﹣‎4a>0解得:a<2。‎ 又根据一元二次方程二次顶系数不为0的定义,a﹣1≠0,∴a<2且a≠1。故选C。‎ ‎14.(2012四川泸州2分)若关于x的一元二次方程x2-4x + 2k = 0有两个实数根,则k的取值范围是【】‎ A、k≥2 B、k≤‎2 ‎C、k>-2 D、k<-2‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式,解一元一次不等式。‎ ‎【分析】由于已知方程有两个实数根,根据一元二次方程的根与判别式的关系,建立关于k的不等式,解不等式即可求出k的取值范围:‎ ‎∵a=1,b=-4,c=2k,且方程有两个实数根,‎ ‎∴△=b2-‎4ac=16-8k≥0,解得,k≤2。故选B。‎ ‎15.(2012四川南充3分)方程x(x-2)+x-2=0的解是【】‎ ‎(A)2  (B)-2,1  (C)-1 (D)2,-1‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】因式分解法解一元二次方程。‎ ‎【分析】先利用提公因式因式分解,再化为两个一元一次方程,解方程即可:‎ 由x(x﹣2)+(x-2)=0,得(x-2)(x+1)=0,∴x-2=0或x+1=0,‎ ‎∴x1=2,x2=-1。故选D。‎ ‎16.(2012贵州安顺3分)已知1是关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+1=0的一个根,则m的值是【】‎ ‎ A. 1 B.﹣‎1 ‎C. 0 D.无法确定 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一元二次方程的解,一元二次方程的定义。‎ ‎【分析】根据题意得:(m﹣1)+1+1=0,解得:m=﹣1。故选B。‎ ‎17.(2012山东东营3分)方程有两个实数根,则k的取值范围是【】.‎ A. k≥1 B. k≤‎1 ‎‎ C. k>1 D. k<1‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】一元二次方程的意义和根的判别式。‎ ‎【分析】当k=1时,原方程不成立,故k≠1,‎ 当k≠1时,方程为一元二次方程。‎ ‎∵此方程有两个实数根,‎ ‎∴,解得:k≤1。‎ 综上k的取值范围是k<1。故选D。‎ ‎18.(2012山东莱芜3分)已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根,则代数式的值为【】‎ A.9 B.±‎3 C.3 D.5‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值。‎ ‎【分析】∵m、n是方程x2+2x+1=0的两根,∴m+n=,mn=1。‎ ‎∴。故选C。‎ ‎19.(2012山东临沂3分)用配方法解一元二次方程时,此方程可变形为【】‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】配方法解一元二次方程。‎ ‎【分析】。故选D。‎ ‎20.(2012山东日照4分)已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是【】‎ ‎(A) k>且k≠2 (B)k≥且k≠2 (C) k >且k≠2 (D)k≥且k≠2‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式,一元二次方程的定义。‎ ‎【分析】∵方程为一元二次方程,∴k-2≠0,即k≠2。‎ ‎∵方程有两个不相等的实数根,∴△>0,‎ ‎∴(2k+1)2-4(k-2)2>0,即(2k+1-2k+4)(2k+1+2k-4)>0,‎ ‎∴5(4k-3)>0,k>。‎ ‎∴k的取值范围是k>且k≠2。故选C。‎ ‎21.(2012山东烟台3分)下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【】‎ A.x2+2x﹣4=0B.x2﹣4x+4=0C.x2+4x+10=0D.x2+4x﹣5=0‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。‎ ‎【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,要使方程的两实数根和为﹣4,必须方程根的判别式△=b2﹣‎4ac≥0,且x1+x2=﹣=﹣4。据此逐一作出判断:‎ ‎ A.x2+2x﹣4=0:△=b2﹣‎4ac=20>0,x1+x2=﹣=﹣2,所以本选项不合题意;‎ ‎ B.x2﹣4x+4=0:△=b2﹣‎4ac=0,x1+x2=﹣=4,所以本选项不合题意;‎ ‎ C.x2+4x+10=0:△=b2﹣‎4ac=﹣28<0,方程无实数根,所以本选项不合题意;‎ ‎ D.x2+4x﹣5=0:b2﹣‎4ac=36>0,,x1+x2=﹣=﹣4,所以本选项符号题意。‎ 故选D。‎ ‎22.(2012广西桂林3分)关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是【】‎ A.k<1 B.k>‎1 C.k<-1 D.k>-1‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】∵关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根,∴△>0,即4-4k>0,k<1。故选A。‎ ‎23.(2012广西河池3分)一元二次方程的根的情况是【】‎ A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根D.无实数根 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】∵中,a=1,b=2,c=2,‎ ‎∴△。‎ ‎∴无实数根。故选D。‎ ‎24.(2012广西来宾3分)已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1,那么它的另一个实数根是【】‎ A.-2 B.‎0 ‎‎ C.1 D.2‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】一元二次方程要挟与系数的关系。‎ ‎【分析】设方程的另一个实数根为x,则根据一元二次方程要挟与系数的关系,得x+1=-1,解得x=-2。‎ 故选A。‎ ‎25.(2012广西柳州3分)你认为方程x2+2x-3=0的解应该是【】‎ A.1 B.‎-3 ‎C.3 D.1或-3 ‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】因式分解法解一元二次方程。‎ ‎【分析】利用因式分解法,原方程可变为(x+3)(x-1)=0,即可得x+3=0或x-1=0,解得:x1=-3,x2=1。‎ 故选D。‎ ‎26.(2012河北省3分)用配方法解方程x2+4x+1=0,配方后的方程是【】‎ A.(x+2)2=3 B.(x-2)2=‎3 ‎‎ C.(x-2)2=5 D.(x+2)2=5‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】配方法解一元二次方程。‎ ‎【分析】把方程x2+4x+1=0的常数项移到等号的右边,得到x2+4x=-1,‎ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到x2+4x+4=-1+4,‎ ‎∴(x+2)2=3 。故选A。‎ ‎27.(2012江西南昌3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根,则a的值是【】‎ ‎ A. 1 B.﹣‎1 ‎C. D.﹣‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根,∴△=22+‎4a=0,解得a=﹣1。故选B。28.(2012江西南昌3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根,则a的值是【】‎ ‎ A. 1 B.﹣‎1 ‎C. D.﹣‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根,∴△=22+‎4a=0,解得a=﹣1。故选B。29.(2012内蒙古呼和浩特3分)已知:x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a、b的值分别是【】‎ A.a=﹣3,b=1B.a=3,b=‎1C.,b=﹣1D.,b=1‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系。‎ ‎【分析】∵x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,∴x1+x2=﹣‎2a,x1x2=b,‎ ‎∵x1+x2=3,x1x2=1,∴﹣‎2a=3,b=1,解得,b=1。故选D。‎ ‎30.(2012内蒙古包头3分)关于x的一元二次方程的两个正实数根分别为x1,x2‎ ‎,且2x1+x2=7,则m的值是【 】‎ A.2B.‎6C.2或6D .7‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系,解不等式和一元二次方程。‎ ‎【分析】∵方程有两个正实数根,‎ ‎∴。‎ ‎ 又∵2x1+x2=7,∴x1=7-m。‎ ‎ 将x1=7-m代入方程,得。‎ ‎ 解得m=2或m=6。‎ ‎∵,∴m=6。故选B。‎ ‎31.二、填空题 ‎1.(2012北京市4分)若关于的方程有两个相等的实数根,则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】-1。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别 ‎【分析】根据方程有两个相等的实数根,判断出根的判别式为0,据此求出m的值即可:‎ ‎∵关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根,∴△=0,‎ ‎∴(-2)2-4×1×(-m)=0,解得m=-1。‎ ‎2.(2012上海市4分)如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0(c是常数)没有实根,那么c的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】c>9。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0(c是常数)没有实根,‎ ‎∴△=(﹣6)2﹣‎4c<0,即36﹣‎4c<0,c>9。‎ ‎3.(2012广东广州3分)已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根,则k值为 ‎ ▲ .‎ ‎【答案】3。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根,‎ ‎∴△=(﹣2)2﹣4k=0,解得k=3。‎ ‎4.(2012江苏镇江2分)若,则x= ▲ 。‎ ‎【答案】±3。‎ ‎【考点】解一元二次方程。‎ ‎【分析】根据平方根的定义,求数a的平方根,也就是求一个数x,使得x2=a,则x就是a的一个平方根:‎ ‎∵(±3)2=9,∴x=±3。‎ ‎5.(2012江苏常州2分)已知关于x的方程的一个根是2,则m= ▲ ,另一根为 ‎ ▲ 。‎ ‎7.(2012湖北随州4分)设,且1-ab2≠0,则=‎ ‎ ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】解一元二次方程,求代数式的值。‎ ‎【分析】解得,‎ 解得。‎ ‎∵,∴。‎ 又∵1-ab2≠0,∴。∴。∴。‎ ‎∴。‎ ‎8.(2012湖北鄂州3分)设x1、x2是一元二次方程x2+5x-3=0的两个实根,且,则a= ▲ .‎ ‎【答案】10。‎ ‎【考点】一元二次方程的解和根与系数的关系。‎ ‎【分析】∵x1、x2是一元二次方程x2+5x-3=0的两个实根,∴x22+5x2-3=0,x1x2=-3。‎ 又∵,即,即。‎ ‎∴,即,解得a=10。‎ ‎9.(2012湖南张家界3分)已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根,则= ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系,代数式化简。‎ ‎【分析】∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根,∴。‎ ‎∴。‎ ‎2.(2012湖南岳阳3分)若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k﹣1=0有两个实数根,则k的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】k≥,且k≠0。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】若一元二次方程有两不等实数根,则根的判别式△=b2﹣‎4ac≥0,建立关于k的不等式,求出k的取值范围.还要注意二次项系数不为0:‎ ‎∵a=k,b=2(k+1),c=k﹣1,‎ ‎∴△=[2(k+1)]2﹣4×k×(k﹣1)=8k+6≥0,解得:k≥。‎ ‎∵原方程是一元二次方程,∴k≠0。‎ ‎∴k的取值范围是:k≥,且k≠0。‎ ‎10.(2012四川资阳3分)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】k<且k≠0。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式,一元二次方程的定义。‎ ‎【分析】根据一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根,知△=b2-‎4ac>0,然后据此列出关于k的方程,解方程,结合一元二次方程的定义即可求解:‎ ‎∵有两个不相等的实数根,‎ ‎∴△=1-4k>0,且k≠0,解得,k<且k≠0。‎ ‎11.(2012四川泸州3分)设x1,x2是一元二次方程x2 – 3x – 1 =0的两个实数根,则的值为 ▲ ‎ ‎【答案】7。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值。‎ ‎【分析】∵x1,x2是一元二次方程x2 – 3x – 1 =0的两个实数根,∴x1+x2=3,x1•x2=-1。‎ ‎∴。‎ ‎12.(2012辽宁朝阳3分)一元二次方程有两个不相等的实数根,则a的取值范围为 ‎ ▲ 。‎ ‎【答案】a<且a≠0。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式,一元二次方程定义。‎ ‎【分析】∵方程有两个不相等的实数根,∴△>0,即4-‎16a>0,解得a<。‎ ‎∵程是一元二次方程,∴a≠0。‎ ‎∴a的取值范围为a<且a≠0。‎ ‎13.(2012辽宁大连3分)如果关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根,那么k的值为 ▲。‎ ‎ 【答案】±6。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式,解一元二次方程。‎ ‎【分析】∵关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根,∴△=k2-4·1·9=0。解得k=±6。‎ ‎14.(2012贵州铜仁4分)一元二次方程的解是 ▲ .‎ ‎【答案】x1=3,x2=﹣1。‎ ‎【考点】因式分解法解一元二次方程。‎ ‎【分析】原方程可化为:(x﹣3)(x+1)=0,得x﹣3=0或x+1=0,∴x1=3,x2=﹣1。‎ ‎15.(2012山东滨州4分)方程x(x﹣2)=x的根是 ▲ .‎ ‎【答案】0,3。‎ ‎【考点】因式分解法解一元二次方程。‎ ‎【分析】原方程可化为x(x﹣2)﹣x=0,‎ x(x﹣2﹣1)=0,‎ x=0或x﹣3=0,‎ 解得:x1=0,x2=3。‎ ‎16.(2012山东德州4分)若关于x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】a≥-1。‎ ‎【考点】一元一次方程和一元二次方程的定义,一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】当a=0时,方程是一元一次方程,有实数根,‎ 当a≠0时,方程是一元二次方程,‎ 若关于x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有实数解,则△=[2(a+2)]2-‎4a•a≥0,解得:a≥-1。‎ ‎∴若关于x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是a≥-1。‎ ‎17.(2012山东聊城3分)一元二次方程x2﹣2x=0的解是 ▲ .‎ ‎【答案】x1=0,x2=2。‎ ‎【考点】因式分解法解一元二次方程。‎ ‎【分析】对方程左边进行变形,提取公因式x,可得x(x﹣2)=0,将原式化为两式相乘的形式,再根据“两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为0.”,即可求得方程的解:x1=0,x2=2。‎ ‎18.(2012山东日照4分)已知x1、x2是方程2x2+14x-16=0的两实数根,那么的值为 ▲ . ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系,代数式化简。‎ ‎【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求得x1+x2和x1•x2的值,然后将所求的代数式转化为含有x1+‎ x2和x1•x2形式,并将其代入求值即可:‎ ‎∵x1、x2是方程2x2+14x-16=0的两实数根,∴x1+x2=-7,x1•x2=-8。‎ ‎∴。‎ ‎19.(2012山东威海3分)若关于x的方程的两根互为倒数,则a= ▲ .‎ ‎【答案】-1。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系,倒数。‎ ‎【分析】∵关于x的方程的两根互为倒数,∴设两根为x和。‎ 则根据一元二次方程根与系数的关系,得。‎ 由得。‎ 但当时,无意义。‎ ‎∴a=-1。‎ ‎20.(2012山东枣庄4分)已知关于x的方程的一个根为2,则这个方程的另一个根是 ‎▲.‎ ‎【答案】-3。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系。‎ ‎【分析】∵方程的一个根为2,设另一个为a,∴‎2a=-6,解得:a=-3。‎ ‎21.(2012广西柳州3分)一元二次方程3x2+2x-5=0的一次项系数是 ▲ .‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】一元二次方程的一般形式。‎ ‎【分析】一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),其中a,b,c分别叫二次项 系数,一次项系数,常数项。因此,一元二次方程3x2+2x-5=0的一次项系数是2。‎ ‎22.(2012江西省3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根,则m的值是 ▲ ‎ ‎【答案】﹣1。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根,∴△=22+‎4m=0,解得m=﹣1。‎ ‎23.(2012吉林省3分)若方程,的两个根为,则=_ ▲____. ‎ ‎【答案】1。‎ ‎【考点】解一元二次方程,求代数式的值。‎ ‎【分析】∵,‎ ‎∴。‎ ‎24.(2012黑龙江绥化3分)设a,b是方程x2+x-2013=0的两个不相等的实数根,则a2+‎2a+b的值为 ‎ ▲ ‎ ‎【答案】2012。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程的解。‎ ‎【分析】∵a,b是方程x2+x-2013=0的两个不相等的实数根,∴a2+a-2013=0,即a2+a=2013‎ 又∵a+b=-1,∴a2+‎2a+b=(a2+a)+(a+b)=2013-1=2012。‎ 三、解答题 ‎1.(2012安徽省8分)解方程:‎ ‎【答案】解:原方程化为:x2-4x=1‎ 配方,得x2-4x+4=1+4‎ 整理,得(x-2)2=5‎ ‎∴x-2=,即,。‎ ‎【考点】解一元二次方程 ‎【分析】根据一元二次方程的几种解法,本题不能直接开平方,也不可用因式分解法.先将方程整理一下,可以考虑用配方法或公式法。‎ ‎2.(2012广东珠海6分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.‎ ‎(1)当m=3时,判断方程的根的情况;‎ ‎(2)当m=﹣3时,求方程的根.‎ ‎【答案】解:(1)∵当m=3时,△=b2﹣‎4ac=22﹣4×3=﹣8<0,‎ ‎∴原方程无实数根。‎ ‎(2)当m=﹣3时,原方程变为x2+2x﹣3=0,‎ ‎∵(x﹣1)(x+3)=0,∴x﹣1=0,x+3=0。‎ ‎∴x1=1,x2=﹣3。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式,因式分解法解一元二次方程。‎ ‎【分析】(1)判断一元二次方程根的情况,只要看根的判别式△=b2-‎4ac的值的符号即可判断:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根。‎ ‎(2)把m的值代入方程,用因式分解法求解即可。‎ ‎3.(2012浙江温州5分)解方程:x²-2x=5‎ ‎【答案】解:配方得(x-1)2=6‎ ‎∴x-1=±。‎ ‎∴x1=1+,x2=1-。‎ ‎【考点】配方法解一元二次方程。‎ ‎【分析】方程两边同时加上1,左边即可化成完全平方式的形式,然后进行开方运算,转化成两个一元一次方程,即可求解。‎ ‎4.(2012江苏无锡4分)解方程:x2﹣4x+2=0‎ ‎【答案】解:∵△=42﹣4×1×2=8,∴,‎ ‎∴原方程的解为。‎ ‎【考点】公式法解一元二次方程。‎ ‎【分析】首先找出方程中得a、b、c,再根据公式法求出b2﹣‎4ac的值,用公式计算,即可得到答案。‎ ‎5.(2012湖北孝感12分)已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.‎ ‎(1)求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;‎ ‎(2)若x1、x2是原方程的两根,且|x1-x2|=2,求m的值和此时方程的两根.‎ ‎【答案】解:(1)证明:由关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0得 ‎△=(m+3)2-4(m+1)=(m+1)2+4,‎ ‎∵无论m取何值,(m+1)2+4恒大于0,‎ ‎∴原方程总有两个不相等的实数根。‎ ‎(2)∵x1,x2是原方程的两根,∴x1+x2=-(m+3),x1•x2=m+1。‎ ‎∵|x1-x2|=2,∴(x1-x2)2=8,即(x1+x2)2-4x1x2=8。‎ ‎∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8,即m2+‎2m-3=0。‎ 解得:m1=-3,m2=1。‎ 当m=-3时,原方程化为:x2-2=0,解得:x1=,x2=-。‎ 当m=1时,原方程化为:x2+4x+2=0,解得:x1=-2+,x2=-2-。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。‎ ‎【分析】(1)根据关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0的根的判别式△=b2-‎4ac的符号来判定该方程的根的情况。‎ ‎(2)根据根与系数的关系求得x1+x2和x1•x2,由已知条件|x1-x2|=2平方后可以得到关于x1+x2和x1•x2的等式,从而列出关于m的方程,通过解该方程即可求得m的值,最后将m值代入原方程并解方程。‎ ‎6.(2012湖北鄂州8分)关于x的一元二次方程.‎ ‎(1)证明:方程总有两个不相等的实数根;‎ ‎(2)设这个方程的两个实数根为x1,x2,且|x1|=|x2|-2,求m的值及方程的根。‎ ‎【答案】解:(1)证明:∵关于x的一元二次方程中,‎ ‎∴方程总有两个不相等的实数根。‎ ‎(2)∵这个方程的两个实数根为x1,x2,∴x1+x2=m-3,x1x2= 。‎ ‎∵|x1|=|x2|-2,∴|x2|-|x1|=2。‎ 两边平方,得,即。‎ ‎∴,即,解得或。‎ 当时,方程为,解得。‎ 当时,方程为,解得。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,解一元二次方程。‎ ‎【分析】(1)只要证得即可。‎ ‎(2)由根与系数的关系,得x1+x2=m-3,x1x2= 。将|x1|=|x2|-2变形,平方,求出m的值。根据m的不同值得方程求解即可。‎ ‎7.(2012湖南永州6分)解方程:(x﹣3)2﹣9=0.‎ ‎【答案】解:移项得:(x﹣3)2=9,‎ 开平方得:x﹣3=±3,‎ 则x﹣3=3或x﹣3=﹣3,‎ 解得:x1=6,x2=0。‎ ‎【考点】直接开平方法解一元二次方程。‎ ‎【分析】这个式子先移项,变成(x﹣3)2=9,从而把问题转化为求9的平方根(也可用因式分解法求解)。 ‎ ‎8.(2012湖南怀化10分)已知是一元二次方程的两个实数根.‎ ‎(1)是否存在实数a,使成立?若存在,求出a的值;若不存在,请你说明理由;‎ ‎(2)求使为负整数的实数a的整数值.‎ ‎【答案】解:(1)成立。‎ ‎∵是一元二次方程的两个实数根,‎ ‎∴由根与系数的关系可知,;‎ ‎∵一元二次方程有两个实数根,‎ ‎∴△=‎4a2-4(a-6)•a≥0,且a-6≠0,解得,a≥0,且a≠6。‎ 由得,即。‎ 解得,a=24>0,且a-6≠0。‎ ‎∴存在实数a,使成立,a的值是24。‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴当为负整数时,a-6>0,且a-6是6的约数。‎ ‎∴a-6=6,a-6=3,a-6=2,a-6=1。∴a=12,9,8,7。‎ ‎∴使为负整数的实数a的整数值有12,9,8,7。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式,解分式方程。‎ ‎【分析】根据根与系数的关系求得;根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围。‎ ‎(1)将已知等式变形为x1x2=4+(x2+x1),即,通过解该关于a的方程即可求得a的值;‎ ‎(2)根据限制性条件“(x1+1)(x2+1)为负整数”求得a的取值范围,然后在取值范围内取a的整数值。‎ ‎9.(2012四川内江12分)如果方程的两个根是,那么请根据以上结论,解决下列问题:‎ (1) 已知关于的方程求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数;‎ (2) 已知满足,求;‎ (3) 已知满足求正数的最小值。‎ ‎【答案】解:(1)设关于的方程的两根为,则有:‎ ‎,且由已知所求方程的两根为 ‎∴,。‎ ‎∴所求方程为,即。‎ ‎(2)∵满足,‎ ‎∴是方程的两根。∴。‎ ‎∴。‎ ‎(3)∵且∴。‎ ‎∴是一元二次方程的两个根,‎ 代简,得。‎ 又∵此方程必有实数根,∴此方程的,即,。‎ 又∵∴。∴。‎ ‎∴正数的最小值为4。.‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式,代数式化简。‎ ‎【分析】(1)设方程的两根为,得出,,再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数,即可求出答案。‎ ‎(2)根据满足,得出是一元二次方程的两个根,由,即可求出的值。‎ ‎(3)根据,得出,是一元二次方程的两个根,再根据,即可求出c的最小值。‎ ‎10.(2012四川巴中5分)解方程:‎ ‎11.(2012四川南充8分)关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2.‎ ‎(1)求m的取值范围.‎ ‎(2)若2(x1+x2)+ x1x2+10=0.求m的值.‎ ‎【答案】解:(1)∵方程有两个实数根,∴△≥0。‎ ‎∴9-4×1×(m-1)≥0,解得m≤。‎ ‎(2)∵x1+x2=-3,x1x2=m-1,2(x1+x2)+ x1x2+10=0,‎ ‎∴2×(-3)+m-1+10=0,解得m=-3。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,解一元一次不等式和一元一次方程。‎ ‎【分析】(1)因为方程有两个实数根,所以△≥0,据此即可求出m的取值范围。‎ ‎(2)根据一元二次方程根与系数的关系,将x1+x2=-3,x1x2=m-1代入2(x1+x2)+ x1x2+10=0,解关于m的方程即可。‎ ‎12.(2012四川内江12分)如果方程的两个根是,那么 请根据以上结论,解决下列问题:‎ (1) 已知关于的方程求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数;‎ (2) 已知满足,求;‎ (3) 已知满足求正数的最小值。‎ ‎【答案】解:(1)设关于的方程的两根为,则有:‎ ‎,且由已知所求方程的两根为 ‎∴,。‎ ‎∴所求方程为,即。‎ ‎(2)∵满足,‎ ‎∴是方程的两根。∴。‎ ‎∴。‎ ‎(3)∵且∴。‎ ‎∴是一元二次方程的两个根,‎ 代简,得。‎ 又∵此方程必有实数根,∴此方程的,即,。‎ 又∵∴。∴。‎ ‎∴正数的最小值为4。.‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式,代数式化简。‎ ‎【分析】(1)设方程的两根为,得出,,再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数,即可求出答案。‎ ‎(2)根据满足,得出是一元二次方程的两个根,由,即可求出的值。‎ ‎(3)根据,得出,是一元二次方程的两个根,再根据,即可求出c的最小值。‎ ‎13.(2012山东菏泽6分)解方程:.‎ ‎【答案】解:原方程可化为,即 ‎ 解得。‎ ‎【考点】因式分解法解一元二次方程。‎ ‎【分析】把方程整理成标准形式,再运用因式分解法解方程。‎ ‎14.(2012山东淄博9分)一元二次方程的某个根,也是一元二次方程的根,求k的值.‎ ‎【答案】解:解得。‎ 把代入得,解得k=8。‎ 把代入得,解得k=。‎ ‎∴k的值为8或。‎ ‎【考点】解一元二次方程和一元二次方程的根。‎ ‎【分析】求出一元二次方程的两个根,分别代入求k即可。‎ ‎15.(2012甘肃兰州6分)已知x是一元二次方程x2-2x+1=0的根,求代数式的值.‎ ‎【答案】解:∵x2-2x+1=0,∴x1=x2=1,‎ 原式=。‎ ‎∴当x=1时,原式=。‎ ‎【考点】分式的化简求值,一元二次方程的解。‎ ‎【分析】解一元二次方程,求出x的值,再将分式化简,将x的值代入分式即可求解。‎ ‎16.(2012黑龙江大庆4分)若方程的两实根为、,求的值.‎ ‎【答案】解:∵方程x2﹣x﹣1=0的两实根为a、b,∴a+b=1,ab=﹣1,‎ ‎∴。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值。‎ ‎【分析】由方程x2﹣x﹣1=0的两实根为a、b,根据一元二次方程根与系数的关系即可得a+b和ab的值,又由,即可求得答案。‎
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