2019届福建省晋江市（安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校）高三上学期期中考试数学（理）试题

2019届福建省晋江市（安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校）高三上学期期中考试数学（理）试题

‎2019届福建省晋江市（安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校）高三上学期期中考试数学（理）试题 考试科目：数学（理科） 满分：150分 考试时间：120分钟 ‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）‎ 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知集合，，则下列关系中正确的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）若复数满足，则的共轭复数为（ ）‎ ‎（A）　　　 （B）　　　 （C）　　　 　（D）‎ ‎（3） ( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）‎ ‎（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位 ‎（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位 ‎（6）已知等差数列的前项和为，则“的最大值是”是“”的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（7）已知满足约束条件，且的最小值为，则实数的值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）曲线，直线及轴所围成的图形的面积为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）已知函数（，）的部分图象 如图，则（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（10）在边长为1的正方形中，且，，则( )‎ ‎　（A）1　　　　 （B）　　　　 （C）　　　 （D）‎ ‎（11）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是( ) ‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（12） 若函数，在区间上任取三个实数均存在以,,为边长的三角形，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题--第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题--第（23）题为选考题，考生根据要求作答。‎ 一. 填空题. （本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎（13）已知，则______________.‎ ‎（14）已知向量，满足，，，则在上的投影的最小值是 .‎ ‎（15）已知等比数列，，的公比分别为，，，记 ‎，，‎ 则 .‎ ‎（16）在中，分别是角的对边，若，则的最大值是 ．‎ 一. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎(Ⅰ) 求在区间上的最大值和最小值；‎ ‎(Ⅱ) 若，求的值.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列的前项和为，求以及的最小值．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，‎ ‎,底面.‎ ‎(Ⅰ)证明：；‎ ‎(Ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的大小.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，．‎ ‎（Ⅰ）求和的大小；‎ ‎（Ⅱ）若是边上的点，，求的面积的最小值．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎(Ⅰ)求的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)设的最小值为，证明：‎ 请考生从第（22）、（23）题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积.‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）对任意，都有成立，求实数的取值范围．‎ 安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学 ‎2018年秋季高三期中联考参考答案及评分说明 一. 选择题 ‎1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. ‎ 二. 填空题 ‎13. 14. 15. （都可以） 16. ‎ 三．解答题 ‎17. 解：‎ ‎(Ⅰ) ∵在区间上是增函数，在上是减函数…………5分 ‎…………6分 ‎∴…………8分 ‎(Ⅱ)∵∴…………9分 ‎∵ ‎ ‎…………12分 18. 解：‎ ‎（Ⅰ）当时，。………………1分 当时，，………………2分 所以，即，　………………4分 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故.　………………6分 ‎（Ⅱ）令， ‎ ‎，…………①　　………………7分 ‎①×，得，…………②………………8分 ‎①－②，得，……………9分 整理，得，……………10分 又令，则，是所以，是单调递减数列…………11分 所以.的最小值为………………12分 ‎19. 解：‎ ‎(Ⅰ)因为,由余弦定理得 …………1分 从而，故…………3分 又底面，可得…………4分 所以平面. …………5分 故…………6分 ‎(Ⅱ)如图，以为坐标原点，的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系，…………7分 则,,，‎ 易得平面的一个法向量为 …………8分 设平面PBC的法向量为，则 …………9分 可取…………10分 ‎…………11分 故平面与平面所成的锐二面角的大小为 …………12分 ‎20. 解：（Ⅰ）已知，由正弦定理，得，‎ 因为，所以，所以． …………………………2分 ‎ 由，得，由余弦定理，得，……4分 ‎（Ⅱ）设，在中由正弦定理，得 所以 ，同理…………………8分 故 ‎，此时……12分 ‎21. 解：(Ⅰ) …………1分， 设 ‎…………2分 所以在上单调递减，在上单调递增…………3分 ‎，即…………4分 所以在上单调递增…………5分 ‎(Ⅱ) ，…………6分， 设 ‎，…………7分， 设 ‎，所以在上单调递增 ‎，即，所以在上单调递增…………8分 所以在上恰有一个零点且…………9分 在上单调递减，在上单调递增…………10分 ‎，…………11分 由(Ⅰ)知在上单调递增 所以 所以…………12分 ‎22. 解：（Ⅰ）曲线化为普通方程为：,………………………2分 由，得，……………………4分 所以直线的直角坐标方程为.……………………………………5分 ‎（2）直线的参数方程为（为参数），……………………7分 代入化简得：，…………………9分 设两点所对应的参数分别为，则， ∴. ………10分 23. 解：‎ ‎（Ⅰ），‎ 当时，，即，所以；……………1分 当时，，即，所以；……………2分 当时，，即，所以；……………3分 综上，不等式的解集为．……………4分 ‎（Ⅱ）设……………5分 因为对任意，都有成立，所以．‎ ① 当时，，……………6分 所以 所以，符合．……………7分 ② 当时，，……………8分 所以 所以，符合．……………9分 综上，实数的取值范围是．……………10分