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文档介绍
全国高考文科数学试题及答案湖南卷
2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(文史类) 一、选择题:本大题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M={-1,0,1},N={x|x2=x},则M∩N= A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{1} D.{0} 【答案】 【解析】 M={-1,0,1} M∩N={0,1} 【点评】本题考查了集合的基本运算,较简单,易得分.先求出,再利用交集定义得出M∩N. 2.复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 【答案】 【解析】由z=i(i+1)=,及共轭复数定义得. 【点评】本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念,考查基本运算能力.先把Z化成标准的形式,然后由共轭复数定义得出. 3.命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是 A.若α≠,则tanα≠1 B. 若α=,则tanα≠1 C. 若tanα≠1,则α≠ D. 若tanα≠1,则α= 【答案】 【解析】因为“若,则”的逆否命题为“若,则”,所以 “若α=,则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1,则α≠”. 【点评】本题考查了“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,考查分析问题的能力. 4.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是 【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知,原图下面图为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C,都可能是该几何体的俯视图,D不可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩形. 【点评】本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.是近年来热点题型. 5.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是 A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(,) C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg D.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg 【答案】D 【解析】由回归方程为=0.85x-85.71知随的增大而增大,所以y与x具有正的线性相关关系,由最小二乘法建立的回归方程得过程知,所以回归直线过样本点的中心(,),利用回归方程可以预测估计总体,所以D不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念,并且是找不正确的答案,易错. 6. 已知双曲线C :-=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C的方程为 A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 【答案】A 【解析】设双曲线C :-=1的半焦距为,则. 又C 的渐近线为,点P (2,1)在C 的渐近线上,,即. 又,,C的方程为-=1. 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能力,是近年来常考题型. 7 . 设 a>b>1, ,给出下列三个结论: ① > ;② < ; ③ , 其中所有的正确结论的序号是. A.① B.① ② C.② ③ D.① ②③ 【答案】D 【解析】由不等式及a>b>1知,又,所以>,①正确;由指数函数的图像与性质知②正确;由a>b>1,知,由对数函数的图像与性质知③正确. 【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质,不等关系,考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点. 8 . 在△ABC中,AC= ,BC=2,B =60°,则BC边上的高等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设,在△ABC中,由余弦定理知, 即,又 设BC边上的高等于,由三角形面积公式,知 ,解得. 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容. 9. 设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,是f(x)的导函数,当 时,0<f(x)<1;当x∈(0,π) 且x≠时 ,,则函数y=f(x)-sinx在[-2π,2π] 上的零点个数为 A .2 B .4 C.5 D. 8 【答案】B 【解析】由当x∈(0,π) 且x≠时 ,,知 又时,0<f(x)<1,在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,在同一坐标系中作出和草图像如下,由图知y=f(x)-sinx在[-2π,2π] 上的零点个数为4个. 【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题. 二、填空题,本大题共7小题,考生作答6小题.每小题5分共30分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. (一)选做题,(请考生在第10,,1两题中任选一题作答,如果全做 ,则按前一题记分) 10.在极坐标系中,曲线:与曲线:的一个交点在极轴上,则a=_______. 【答案】 【解析】曲线的直角坐标方程是,曲线的普通方程是直角坐标方程 ,因为曲线C1:与曲线C2:的一个交点在极轴上,所以与轴交点横坐标与值相等,由,知=. 【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程,直线与圆的位置关系,考查转化的思想、方程的思想,考查运算能力;题型年年有,难度适中.把曲线与曲线的极坐标方程都转化为直角坐标方程,求出与轴交点,即得. 11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定,需要优选培养温度,实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时,能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______. 【答案】7 【解析】用分数法计算知要最少实验次数为7. 【点评】本题考查优选法中的分数法,考查基本运算能力. (二)必做题(12~16题) 12.不等式x2-5x+6≤0的解集为______. 【答案】 【解析】由x2-5x+6≤0,得,从而的不等式x2-5x+6≤0的解集为. 【点评】本题考查一元二次不等式的解法,考查简单的运算能力. 13.图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________. (注:方差,其中为x1,x2,…,xn的平均数) 【答案】6.8 【解析】, . 【点评】本题考查统计中的茎叶图方差等基础知识,考查分析问题、解决问题的能力. 14.如果执行如图3所示的程序框图,输入,则输出的数 = . 【答案】4 【解析】算法的功能是赋值,通过四次赋值得,输出. 【点评】本题考查算法流程图,考查分析问题解决问题的能力,平时学习时注意对分析问题能力的培养. 15.如图4,在平行四边形ABCD中 ,AP⊥BD,垂足为P,且= . 【答案】18 【解析】设,则,= . 【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法. 16.对于,将n表示为,当时,当时为0或1,定义如下:在的上述表示中,当,a2,…,ak中等于1的个数为奇数时,bn=1;否则bn=0. (1)b2+b4+b6+b8=__; (2)记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数,则cm的最大值是___. 【答案】(1)3;(2)2. 【解析】(1)观察知;; 一次类推;; ;,,, b2+b4+b6+b8=3;(2)由(1)知cm的最大值为2. 【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数(人) 30 25 10 结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%. (Ⅰ)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率) 【解析】(Ⅰ)由已知得,该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为: (分钟). (Ⅱ)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率,得 . 是互斥事件, . 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为. 【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%,知从而解得,再用样本估计总体,得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率. 18.(本小题满分12分) 已知函数的部分图像如图5所示. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数的单调递增区间. 【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期. 因为点在函数图像上,所以. 又即. 又点在函数图像上,所以,故函数f(x)的解析式为 (Ⅱ) 由得 的单调递增区间是 【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期从而求得.再利用特殊点在图像上求出,从而求出f(x)的解析式;第二问运用第一问结论和三角恒等变换及的单调性求得. 19.(本小题满分12分) 如图6,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD. (Ⅰ)证明:BD⊥PC; (Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积. 【解析】(Ⅰ)因为 又是平面PAC内的两条相较直线,所以BD平面PAC, 而平面PAC,所以. (Ⅱ)设AC和BD相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC, 所以是直线PD和平面PAC所成的角,从而. 由BD平面PAC,平面PAC,知. 在中,由,得PD=2OD. 因为四边形ABCD为等腰梯形,,所以均为等腰直角三角形, 从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积 在等腰三角形AOD中, 所以 故四棱锥的体积为. 【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可,第二问由(Ⅰ)知,BD平面PAC,所以是直线PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面积和棱锥的高,由算得体积. 20.(本小题满分13分) 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. (Ⅰ)用d表示a1,a2,并写出与an的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示). 【解析】(Ⅰ)由题意得, , . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 . 整理得 . 由题意, 解得. 故该企业每年上缴资金的值为缴时,经过年企业的剩余资金为4000元. 【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用,考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型,得出与an的关系式,第二问,只要把第一问中的迭代,即可以解决. 21.(本小题满分13分) 在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心. (Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2.当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标. 【解析】(Ⅰ)由,得.故圆C的圆心为点 从而可设椭圆E的方程为其焦距为,由题设知 故椭圆E的方程为: (Ⅱ)设点的坐标为,的斜分率分别为则的方程分别为且由与圆相切,得 , 即 同理可得 . 从而是方程的两个实根,于是 ① 且 由得解得或 由得由得它们满足①式,故点P的坐标为 ,或,或,或. 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程,求出即得椭圆E的方程,第二问设出点P坐标,利用过P点的两条直线斜率之积为,得出关于点P坐标的一个方程,利用点P在椭圆上得出另一方程,联立两个方程得点P坐标. 22.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0. (1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合; (2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1查看更多
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