【数学】2020届一轮复习人教B版直线的参数方程的几何意义学案

【数学】2020届一轮复习人教B版直线的参数方程的几何意义学案

一、直线参数方程的几何意义概述：‎ ‎1、过定点、倾斜角为的直线的参数方程为（t为参数），其中t表示直线上以定点为起点，任意一点为终点的有向线段的数量，若,则的方向向上;若,则的方向向下;若则点与点重合.‎ ‎2、的几何意义是直线上点到的距离即.‎ 二、参数的性质及应用 易得参数t具有如下的性质：若直线上两点A、B所对应的参数分别为，‎ 性质1、两点到的距离分别为则 ‎，‎ ‎，‎ ‎。‎ 例：在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），再以原点为极点，以正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆的方程为．‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于点、，若点的坐标为，求的值．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【掌握练习】‎ ‎1、在直角坐标系中，直线过点，其倾斜角为，圆的参数方程为为参数. 再以原点为极点，以正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位.‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于点，求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）‎ ‎（2）9‎ ‎【解析】‎ ‎（1）消去参数可得圆的直角坐标方程式为 由极坐标与直角坐标互化公式得化简得 ‎（2）直线的参数方程为参数 即为参数代入圆方程得：‎ 设、对应的参数分别为、，则，‎ 于是.‎ ‎2、以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点的极坐标为，直线过点且与极轴所成的角为，圆的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出直线参数方程，并把圆的方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线圆交于、两点，求的值．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）直线参数方程（为参数）圆的直角坐标方程为；‎ ‎（2）.‎ ‎（2）将直线的参数方程代到圆的直角坐标方程中整理得：‎ ‎，设对应的参数分别为，‎ ‎∴‎ ‎3、在极坐标系中，点的坐标是，曲线的方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线经过点.‎ ‎（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线和曲线相交于两点，求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）直线的参数方程为为参数，曲线的直角坐标方程为，‎ ‎（2）4‎ ‎4、在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为 ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）过点作斜率为l直线与曲线交于两点，试求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）令代入得 ‎（2）设两点对应参数为,直线方程，代入得 ‎，‎ 则.‎ 性质2、两点之间的距离为。‎ 例：己知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）．‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值．‎ ‎【答案】‎ ‎（1），（2）或 ‎【掌握练习】‎ ‎1、在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线，过点的直线（为参数）与曲线相交于两点．‎ ‎（1）求曲线和直线的普通方程；‎ ‎（2）若成等比数列，求实数的值．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）；‎ ‎（2）1‎ ‎（2）直线的参数方程为 为参数，‎ 代入，得到，‎ 则有，．‎ 因为，所以 解得．‎ ‎2、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）试判断曲线与是否存在两个交点，若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）曲线，曲线；‎ ‎（2） .   ‎ 例：在直角坐标系中，设倾斜角为的直线，（为参数）与曲线，（为参数）相交于不同两点、．‎ ‎（1）若，求线段中点的坐标；‎ ‎（2）若，其中，求直线的斜率．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ 将曲线的参数方程化为普通方程．‎ ‎（1）当时，设点对应参数为．直线方程为（为参数），代入曲线的普通方程，‎ 得，设直线上的点对应参数分别为．‎ 则，所以点的坐标为．‎ ‎（2）将代入曲线的普通方程，得，‎ 因为，，所以，得．‎ 由于，故．所以直线的斜率为．‎ ‎【掌握练习】‎ ‎1、在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（I）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（II）若时，曲线上对应点记为，过点作的切线与曲线相交于两点，求线段中点与点之间的距离.‎ ‎【答案】‎ ‎（I）；（II）.‎ 设切线的参数方程为（为参数），‎ 代入得：， ‎ 即，‎ 设方程的两根为可得：，‎ 所以 所以 ‎ ‎2、在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）若直线与曲线有且仅有一个公共点，求点的直角坐标；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，线段的中点横坐标为，求直线的普通方程.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）；（2）.‎ ‎（2）设两点对应的参数分别为，则.‎ 线段的中点对应的参数为.‎ 则，解得.‎ ‎∴直线的普通方程为.‎