【数学】2020届一轮复习(文)通用版7-1不等式的性质及一元二次不等式学案

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【数学】2020届一轮复习(文)通用版7-1不等式的性质及一元二次不等式学案

第七章 不等式 第一节 不等式的性质及一元二次不等式 ‎[考纲要求]‎ ‎1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.‎ ‎2.了解不等式(组)的实际背景.‎ ‎3.掌握不等式的性质及应用.‎ ‎4.会从实际问题情境中抽象出一元二次不等式模型.‎ ‎5.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.‎ ‎6.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.   ‎ 突破点一 不等式的性质 ‎1.比较两个实数大小的方法 ‎(1)作差法 ‎(2)作商法 ‎2.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔bb,b>c⇒a>c ‎⇒‎ 可加性 a>b⇔a+c>b+c ‎⇔‎ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒acb+d ‎⇒‎ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd>0‎ ‎⇒‎ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1)‎ 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N,n≥2)‎ a,b同为正数 ‎3.不等式的一些常用性质 ‎(1)倒数的性质 ‎①a>b,ab>0⇒<.②a<0b>0,0.④0b>0,m>0,则:①<;>(b-m>0).②>;<(b-m>0).‎ 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)‎ ‎(1) 若<<0,则<. (  )‎ ‎(2)若>,则a>b.(  )‎ ‎(3)若a>b,c>d,则ac>bd.(  )‎ 答案:(1)√ (2)× (3)×‎ 二、填空题 ‎1.若aa>ab,则实数b的取值范围是________.‎ 答案:(-∞,-1)‎ ‎1.设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有(  )‎ A.M>N        B.M≥N C.M0,所以M>N,故选A.‎ ‎2.(2018·吉安一中二模)已知下列四个关系式:①a>b⇒ac>bc;②a>b⇒<;③a>b>0,c>d>0⇒>;④a>b>1,c<0⇒ac0>b时,②不正确.‎ 由于c>d>0,所以>>0,‎ 又a>b>0,所以>>0,③正确.‎ 由于a>b>1,当x<0时,axx2}‎ R 一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集 ‎{x|x1<x<x2}‎ ‎∅‎ ‎∅‎ ‎2.不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件 ‎(1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或 ‎(2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)‎ ‎(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(  )‎ ‎(2)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为空集.(  )‎ ‎(3)若不等式ax2+bx+c≥0对x∈R恒成立,则其判别式Δ≤0.(  )‎ 答案:(1)√ (2)× (3)×‎ 二、填空题 ‎1.不等式≥-1的解集是________________.‎ 解析:原不等式可化为≥0,‎ 即x(x-1)≥0,且x-1≠0,解得x>1或x≤0.‎ 答案:(-∞,0]∪(1,+∞)‎ ‎2.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)<0的解集是________________.‎ 答案:(-∞,a)∪ ‎3.不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a+b的值是________.‎ 答案:-14‎ ‎4.若不等式ax2-ax+1<0的解集为∅,则实数a的取值范围为________.‎ 答案:[0,4]‎ 考法一 一元二次不等式的解法 ‎ 解一元二次不等式的方法和步骤 ‎[例1] (1)(2019·衡阳月考)不等式2x+3-x2>0的解集是(  )‎ A.{x|-13或x<-1}‎ C.{x|-31或x<-3}‎ ‎(2)(2019·深圳月考)已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-1,1)‎ C.(-2,1) D.(-1,2)‎ ‎[解析] (1)原不等式变形为x2-2x-3<0,‎ 即(x-3)(x+1)<0,解得-1f(a)等价于2-a2>a,即a2+a-2<0,‎ 解得-2a2.‎ ‎[解] ∵12x2-ax>a2,‎ ‎∴12x2-ax-a2>0,即(4x+a)(3x-a)>0.‎ 令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-,x2=.‎ ‎①当a>0时,-<,解集为xx<-,或x>;‎ ‎②当a=0时,x2>0,解集为{x|x∈R,且x≠0};‎ ‎③当a<0时,->,解集为xx<,或x>-.‎ 综上所述:当a>0时,不等式的解集为xx<-,或x>;‎ 当a=0时,不等式的解集为{x|x∈R,且x≠0};‎ 当a<0时,不等式的解集为.‎ 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 ‎(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.‎ ‎(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.‎ ‎(3)确定无实根时可直接写出解集,确定方程有两个实根时,要讨论两实根的大小关系,从而确定解集形式.     ‎ 考法二 由一元二次不等式恒成立求参数范围 ‎ 考向一 在实数集R上恒成立 ‎[例3] (2019·大庆期中)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,2) B.(-∞,2]‎ C.(-2,2] D.(-2,2)‎ ‎[解析] 当a-2=0,即a=2时,-4<0恒成立;当a-2≠0时,则有解得-2b,则ac2>bc2‎ B.若a2>b2,则a>b C.若a>b,c<0,则a+cbc2,所以A错;选项B中,当a=-2,b=-1时,满足a2>b2,不满足a>b,所以B错;选项C中,a+c>b+c,所以C错;选项D中,因为0≤<,所以a1”是“x2+2x>0”的(  )‎ A.充分不必要条件     B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A 由x2+2x>0,得x>0或x<-2,所以“x>1”是“x2+2x>0”的充分不必要条件,故选A.‎ ‎3.(2019·武汉武昌区调研)已知函数f(x)=2ax-a+3,若∃x0∈(-1,1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-3)∪(1,+∞) B.(-∞,-3)‎ C.(-3,1) D.(1,+∞)‎ 解析:选A 依题意可得f(-1)·f(1)<0,即(-2a-a+3)(2a-a+3)<0,解得a<-3或a>1,故选A.‎ ‎4.(2019·江淮十校联考)|x|·(1-2x)>0的解集为(  )‎ A.(-∞,0)∪ B. C. D. 解析:选A 原不等式等价于解不等式组可得实数x的取值范围是(-∞,0)∪.‎ ‎5.(2019·遂宁诊断)若a>b>0,则下列不等式中一定成立的是(  )‎ A.a+>b+ B.> C.a->b- D.> 解析:选A 不妨取a=2,b=1,排除B和D;另外,函数f(x)=x-是(0,+∞)上的增函数,但函数g(x)=x+在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以当a>b>0时,f(a)>f(b)必定成立,但g(a)>g(b)不一定成立,因此a->b-⇔a+>b+,故选A. ‎ ‎[B级 保分题——准做快做达标]‎ ‎1.(2019·郑州模拟)已知p:>,q:∀x∈R,ax2+ax+1>0,则p是q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A 由>得00,必有或则0≤a<4,所以p是q的充分不必要条件,故选A.‎ ‎2.(2019·青岛三地名校联考)已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是,则不等式x2-bx-a<0的解集是(  )‎ A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞)‎ C. D.∪ 解析:选A ∵不等式ax2-bx-1≥0的解集是,∴a<0,方程ax2-bx ‎-1=0的两个根为-,-,∴-=--,=,∴a=-6,b=5,又x2-bx-a<0,∴x2-5x+6<0,∴(x-2)(x-3)<0,∴不等式的解集为(2,3).‎ ‎3.(2019·深圳中学模拟)已知a>b>0,c<0,下列不等关系中正确的是(  )‎ A.ac>bc B.ac>bc C.loga(a-c)>logb(b-c) D.> 解析:选D 因为c<0,a>b,所以ac0,所以>成立,故D正确.选D.‎ ‎4.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则a的取值范围是(  )‎ A.[-4,1] B.[-4,3]‎ C.[1,3] D.[-1,3]‎ 解析:选B 原不等式为(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即10的解集为{x|-2x·10%,且(x-200)×20%>30,解得x>400,选B.‎ ‎7.(2019·南昌重点校联考)如果方程x2+(m-1)x+m2-2=0的两个实根一个小于-1,另一个大于1,那么实数m的取值范围是(  )‎ A.(0,1) B.(-2,1)‎ C.(-2,0) D.(-,)‎ 解析:选A 记f(x)=x2+(m-1)x+m2-2,依题意有即解得0b>1,c<0,在不等式①>;②ln(a+c)>ln(b+c);③(a-c)c<(b-c)c;④bea>aeb中,所有正确命题的序号是(  )‎ A.①②③ B.①③④‎ C.②③④ D.①②④‎ 解析:选B ∵a>b>1,∴0<<,又c<0,∴>,∴①正确;∵a>b>1,c<0,∴不妨取a=3,b=2,c=-4,此时ln(a+c)>ln(b+c)不成立,∴②错误;易知函数y=xα(α<0)在(0,+∞)上单调递减,∵a-c>b-c>0,c<0,∴(a-c)c<(b-c)c,∴③正确;令y=(x≠0),则y′=,令y′=0,得x=1,令y′>0,得x>1,故函数y=在(1,+∞)上单调递增,∵a>b>1,∴>,即bea>aeb,∴④正确,故选B.‎ ‎10.(2019·启东中学调研)已知△ABC的三边分别为a,b,c,且满足b+c≤3a,则的取值范围为________.‎ 解析:由已知及三角形的三边关系得 ‎∴∴ 两式相加得,0<2×<4,∴的取值范围为(0,2).‎ 答案:(0,2)‎ ‎11.(2019·青岛模拟)设a,b为正实数,现有下列命题:①若a2-b2=1,则a-b<1;②若-=1,则a-b<1;③若|-|=1,则|a-b|<1;④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1.‎ 其中的真命题有____________.(写出所有真命题的序号)‎ 解析:对于①,由条件可得a>1,b>0,则a+b>1,又a2-b2=(a+b)(a-b)=1,所以a-b<1,故①正确.对于②,令a=2,b=,则-=1,但a-b=>1,故②错.对于③,令a=4,b=1,则|-|=1,但|a-b|=3>1,故③错.对于④,|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=1,由条件可得,a,b中至少有一个大于等于1,则a2+ab+b2>1,则|a-b|<1,故④正确.综上,真命题有①④.‎ 答案:①④‎ ‎12.(2019·江苏海安高级中学月考)已知对于任意的x∈(-∞,1)∪(5,+∞),都有x2-2(a-2)x+a>0,则实数a的取值范围是________.‎ 解析:设f(x)=x2-2(a-2)x+a.因为对于任意的x∈(-∞,1)∪(5,+∞),都有f(x)=x2-2(a-2)x+a>0,所以令f(x)=0,有Δ<0或解得10.所以原不等式即为k(x-4)<0,等价于(x-4)<0,依题意应有3≤≤5且k>0,所以1≤k≤4.‎ 答案:[1,4]‎ ‎14.(2019·南昌模拟)定义域为R的函数f(x)满足f(x+3)=2f(x),当x∈[-1,2)时,f(x)=若存在x∈[-4,-1),使得不等式t2-3t≥4f(x)成立,则实数t的取值范围是__________________________________________________________________.‎ 解析:由题意知f(x)=f(x+3).当x∈[-1,0)时,f(x)=x2+x=2-∈;当x∈[0,2)时,f(x)=-|x-1|∈.所以当x∈[-1,2)时,f(x)min=-1.故当x∈[-4,-1)时,x+3∈[-1,2),所以f(x+3)min=-1,此时f(x)min=×(-1)=-.由存在 x∈[-4,-1),使得不等式t2-3t≥4f(x)成立,可得t2-3t≥4×,解得t≤1或t≥2.‎ 答案:(-∞,1]∪[2,+∞)‎ ‎15.(2019·南昌摸底)已知函数f(x)=ax2+bx-a+2.‎ ‎(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是(-1,3),求实数a,b的值;‎ ‎(2)若b=2,a>0,解关于x的不等式f(x)>0.‎ 解:(1)由题意知a<0,且-1,3是方程ax2+bx-a+2=0的两个根,则∴ ‎(2)当b=2时,f(x)=ax2+2x-a+2=(ax-a+2)(x+1),‎ ‎∵a>0,∴f(x)>0可化为(x+1)>0,‎ ‎①当≥-1,即a≥1时,‎ 不等式的解集为;‎ ‎②当<-1,即0(a-1)x2+(2a+1)x-3a-1对任意的实数x∈[-1,1]恒成立,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若a<0,解不等式f(x)>1.‎ 解:(1)原不等式等价于x2-2ax+2a+1>0对任意的实数x∈[-1,1]恒成立,‎ 设g(x)=x2-2ax+2a+1=(x-a)2-a2+2a+1(x∈[-1,1]),‎ ‎①当a<-1时,g(x)min=g(-1)=1+2a+2a+1>0,得a>-,所以a∈∅;‎ ‎②当-1≤a≤1时,g(x)min=g(a)=-a2+2a+1>0,得1-1时,g(x)min=g(1)=1-2a+2a+1>0,得a>1.‎ 综上,a的取值范围为(1-,+∞).‎ ‎(2)ax2+x-a-1>0,即(x-1)(ax+a+1)>0,‎ 因为a<0,所以(x-1)<0,‎ 因为1-=,‎ 所以当--,解集为.‎
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