2019-2020学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高一上学期期末联考数学试题（解析版）

2019-2020学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高一上学期期末联考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高一上学期期末联考数学试题 一、单选题 ‎1．满足条件∪{1}={1，2，3}的集合的个数是（ ）‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意得，根据集合的运算可知，当集合中，只有两个元素时，此时；当集合中，只有三个元素时，此时,所以集合的个数为两个，故选B．‎ ‎【考点】集合的并集．‎ ‎2．已知点在第三象限，则角的终边在（　 ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】根据同角三角函数间基本关系和各象限三角函数符号的情况即可得到正确选项.‎ ‎【详解】‎ 因为点在第三象限，则，，‎ 所以，‎ 则可知角的终边在第二象限.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查各象限三角函数符号的判定，属基础题.相关知识总结如下：‎ 第一象限：；‎ 第二象限：；‎ 第三象限：；‎ 第四象限：.‎ ‎3．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）‎ A．与 B．与 C．与 D．与 ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ A中两函数定义域不同；‎ B中两函数定义域不同；‎ C中两函数对应关系不同；‎ D中两函数定义域相同，对应关系相同，是同一函数，‎ 故选D.‎ ‎4．若点是角终边上异于原点的任意一点，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用三角函数的定义以及诱导公式可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 由三角函数的定义可得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的定义，同时也考查了利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5．函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据对数真数大于零、偶次根式被开方数非负、分母不为零列不等式组解出的取值范围，即可得出该函数的定义域.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，解得，因此，函数的定义域是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查具体函数定义域的求解，解题时要熟悉几条常见的求函数定义域的基本原则，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎6．下列函数中，周期为，且在区间上单调递减的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出各选项中函数的周期，并判断出各选项中函数在区间上的单调性，可出得出结论.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，函数的最小正周期为，当时，，该函数在区间上不单调；‎ 对于B选项，函数的最小正周期为，当时，，‎ 该函数在区间上单调递减；‎ 对于C选项，函数的最小正周期为，当时，，‎ 该函数在区间上不单调；‎ 对于C选项，函数的最小正周期为，当时，，‎ 该函数在区间上单调递减.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数周期的求解，以及在某区间上单调性的判断，解题时要充分利用正弦函数或余弦函数的基本性质来进行判断，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎7．函数y=x2﹣2x﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（ ）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2‎ ‎∴当x=1时，函数取最小值﹣2，‎ 当x=3时，函数取最大值2‎ ‎∴最大值与最小值的和为0‎ 故选B ‎8．若是的一个内角，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：是的一个内角,，又，所以有，故本题的正确选项为D.‎ ‎【考点】三角函数诱导公式的运用.‎ ‎9．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　)‎ A．3 B．1 C．－1 D．－3‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ ‎∵f（x）是定义在R上的奇函数，‎ 当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），‎ ‎∴f（0）=1+b=0，‎ 解得b=-1‎ ‎∴f（1）=2+2-1=3．‎ ‎∴f（-1）=-f（1）=-3．‎ 故选D．‎ ‎10．若，，，则、、的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用对数的运算性质以及换底公式，结合对数函数的单调性可得出、、三个数的大小关系.‎ ‎【详解】‎ ‎，同理，，‎ ‎，，，即，‎ 因此，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的大小比较，涉及对数的运算性质、对数函数的单调性，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎11．把函数y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为(　　)‎ A．x＝－ B．x＝－‎ C．x＝ D．x＝‎ ‎【答案】A ‎【解析】把函数y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)得 ，再将图象向右平移个单位长度得，一条对称轴方程为x＝－ ，选A.‎ 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数 是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.‎ ‎12．已知关于不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得知关于的方程的根为，且有，从而可将不等式化为，解此不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得知关于的方程的根为，则，得，且有，‎ 不等式即为，即，解得.‎ 因此，不等式的解集为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分式不等式的解法，同时也考查了利用一次不等式的解求参数，考查运算求解能力，属于中等题.‎ 二、填空题 ‎13．如果幂函数的图象过点，那么___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，将点的坐标代入函数的解析式，可求出的值，从而可得出函数的解析式，由此可计算出的值.‎ ‎【详解】‎ 设，由题意可得，即，，得，‎ ‎，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数求函数值，在涉及幂函数的问题时，一般通过待定系数法求出幂函数的解析式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14．在R上定义运算⊙：⊙＝ ，则不等式⊙ 的解集是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由定义可知，原不等式可化为，解不等式即得解.‎ ‎【详解】‎ 由定义可知，原不等式可化为，解之得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查新定义和一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎15．设是定义在上的偶函数，则的值域是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出实数的值，再利用二次函数图象的对称轴为轴求出的值，最后利用二次函数的基本性质可求出该函数的值域.‎ ‎【详解】‎ 由于函数是定义在上的偶函数，则，解得，‎ 且该二次函数图象的对称轴为轴，则，得，‎ ‎，.‎ 可知，二次函数的单调递增区间为，单调递减区间为，‎ 所以，，.‎ 因此，函数的值域为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用奇偶性求参数，同时也考查了二次函数值域的求解，解题时不要忽略了偶函数定义域关于原点对称这一条件的应用，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎16．关于函数有如下四个结论：‎ ‎①是偶函数；②在区间上单调递增；③最大值为；④在上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性，可判断出命题①的正误；在时，去绝对值，化简函数的解析式，可判断函数在区间上的单调性，可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误.‎ ‎【详解】‎ 对于命题①，函数的定义域为，关于原点对称，‎ 且，该函数为偶函数，命题①正确；‎ 对于命题②，当时，，则，则函数在上单调递减，命题②错误；‎ 对于命题③，，，，又，所以，函数的最大值为，命题③正确；‎ 对于命题④，当时，，，‎ 由于该函数为偶函数，当时，，‎ 又，所以，该函数在区间上有且只有三个零点.‎ 因此，正确命题的序号为①③.‎ 故答案为：①③.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.‎ 三、解答题 ‎17．已知是第三象限的角，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）化简并求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系可求出的值；‎ ‎（2）先利用诱导公式将代数式化简，然后在分式的分子和分母中同时除以，代入的值，即可求出所求代数式的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，是第三象限的角，，‎ ‎；‎ ‎（2）原式.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，同时也考查了诱导公式以及弦化切思想求值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18．已知集合，.‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）将代入集合，可得出集合，然后利用交集的定义可求出集合；‎ ‎（2）由，可得出，然后分和两种情况讨论，根据列出关于实数的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，，因此，；‎ ‎（2）.‎ ‎①当时符合题意，此时，即； ‎ ‎②当时，要满足，则.‎ 综上所述，当时，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集的运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，解题的关键就是对含参集合分空集和非空集合两种情况讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎19．已知函数，将的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象．‎ ‎（1）求的单调增区间；‎ ‎（2）当时，求的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用图象变换规律求出函数的解析式，即为 ‎，然后解不等式，即可得出函数的单调递增区间；‎ ‎（2）由，可求出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求出函数的值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，‎ 再将所得函数图象向下平移个单位，得到函数的图象，‎ ‎.‎ 令，‎ 解得，‎ 因此，函数的单调增区间是；‎ ‎（2），可得出，.‎ ‎，因此，函数在区间上的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用三角函数的图象变换求函数解析式，同时也考查了正弦型函数的单调区间以及值域的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎20．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，过点；当时，图象是线段，其中 ‎．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．‎ ‎（Ⅰ）试求的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，理由见解析 ‎【解析】（I）当时，利用二次函数顶点式求得函数解析式，当时，一次函数斜截式求得函数解析式.由此求得的函数关系式.‎ ‎（II）利用分段函数解析式解不等式，由此求得学习效果最佳的时间段.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，设，过点代入得，则，‎ 当时，设，过点、，‎ 得，即，则函数关系式为.‎ ‎（Ⅱ）由题意，或，.‎ 得或，∴.则老师就在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，考查函数在实际生活中的应用，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎21．如图为函数的部分图象．‎ ‎（1）求函数解析式；‎ ‎（2）若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据图象得到关于的方程，解方程即得解；（2）先作出函数在上的图象，数形结合分析即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题中的图象知，，，‎ 即，所以，‎ 根据五点作图法，令，，‎ 得到，，∵，∴，‎ ‎∴解析式为；‎ ‎（2）由在上的图象如图所示：‎ 当，则，‎ 当时，；当时，.‎ 所以当方程在上有两个不相等的实数根时，‎ 观察函数的图象可知，上有两个不同的实根.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的解析式的求法，考查三角函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎22．已知函数是奇函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断并证明函数的单调性；‎ ‎（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）增函数，证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】（1）由奇函数的定义，化简变形得出对任意的恒成立，由此可求出实数的值；‎ ‎（2）任取，作差，因式分解后判断的符号，得出和的大小关系，即可证明出函数的单调性；‎ ‎（3）由得出，利用函数的单调性得出，则对恒成立，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数是奇函数，又，‎ ‎，即，‎ 整理得，即对任意的恒成立，‎ ‎，解得；‎ ‎（2）是上的增函数，理由如下：‎ 在上任取，‎ ‎，‎ ‎. ‎ 是上的增函数；‎ ‎（3），且函数是奇函数，‎ 所以，‎ 函数是上的增函数，，‎ 对恒成立， ，‎ ‎，‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用奇偶性求参数，同时也考查了利用定义证明函数的单调性，以及利用函数的奇偶性与单调性求解函数不等式问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎