山东省青岛市第二中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题

山东省青岛市第二中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题

青岛二中2018-2019学年第三学期段期中高一模块考试一 ‎（数学）试题 一、选择题 ‎1.下列命题正确的是 A. 若 a＞b,则a2＞b2 B. 若a＞b，则 ac＞bc C. 若a＞b，则a3＞b3 D. 若a>b，则 ＜‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 对于，若，，则不成立；对于，若，则不成立；对于，若，则，则正确；对于，，，则不成立.‎ 故选C ‎2.设直线是空间中两条不同的直线，平面是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 若∥，∥，则∥ B. 若∥，∥，则∥‎ C. 若∥，∥，则∥ D. 若∥，，则∥‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】A. 若∥，∥，则与平行或异面或相交，所以该选项不正确；‎ B. 若∥，∥，则∥或，所以该选项不正确；‎ C. 若∥，∥，则∥或，所以该选项不正确；‎ D. 若∥，，则∥，所以该选项正确.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎3.等腰直角三角形，直角边长为.‎ 以斜边所在直线为旋转迪，将该直角三角形旋转一周所得几何的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．‎ ‎【详解】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．‎ 由题得等腰直角三角形的斜边上的高为1.‎ 所以 ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．‎ ‎4.的三个内角的对边分别是.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用正弦定理求出角C,再求角A得解.‎ ‎【详解】由正弦定理得 因为c＞b,所以或.‎ 所以或.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎5.一个等差数列共有项，奇数项之和为，则这个数列的中间项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设数列为，由题得即得解.‎ ‎【详解】设数列为，由题得，‎ 所以.‎ 所以这个数列的中间项为13.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎6.在中，角所对的边分别为.若，，，则的形状可能是（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 钝角或锐角三角形 D. 锐角、钝角或直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理得, 求出角B的范围，再求出角C的范围得解.‎ ‎【详解】由正弦定理得,‎ 因为，，所以,且,‎ 所以.‎ 所以三角形是锐角三角形或钝角三角形.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎7.等差数列，的前项和分别为，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用即可得解.‎ ‎【详解】由题得.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎8.设，，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，再利用基本不等式求最值得解.‎ ‎【详解】因为是与的等比中项，‎ 所以.‎ 所以 当且仅当时取等 故选：A ‎【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎9.已知函数，若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得 对任意实数恒成立，再利用基本不等式求解即可.‎ ‎【详解】由题得已知函数对任意实数恒成立，‎ 所以 对任意实数恒成立，‎ 因为（当且仅当x=2时取等）‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎10.若等差数列单调递减，为函数两个零点，则数列的前项和取得最大值时，正整数的值为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再得到，即得解.‎ ‎【详解】因为等差数列单调递减，为函数的两个零点，‎ 所以.‎ 令.‎ 所以，‎ 所以数列前4项或前5项的和最大.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎11.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直棱柱成为“堑堵”.某个“堑堵”的高为，且该“堑堵”的外接球表面积为，则该“堑堵”的表面积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设底面直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,求出，再利用基本不等式求出a+b的范围，利用二次函数的图象得解.‎ ‎【详解】设底面直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,‎ 由题得.‎ 由题得该“堑堵”的表面积为.‎ 因为.‎ 所以 令，‎ 所以当t=4时，S最大为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎12.已知数列的前项和，数列满足，是数列的前项和，若，则与的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，，再利用数学归纳法证明即得解.‎ ‎【详解】因为，所以适合n=1,所以.‎ 所以，‎ 所以 ‎，‎ 下面利用数学归纳法证明不等式 ‎（1）当时，左边，右边，左边右边，不等式成立，‎ ‎（2），即．即，‎ ‎，‎ ‎，‎ 假设当时，原式成立，即，‎ 那么当时，即，‎ 即时结论成立．‎ 根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数都成立．所以，‎ 因为0＜a＜1，所以，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 二、填空题 ‎13.已知等比数列的前项和，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，，解方程即得解.‎ ‎【详解】当n=1时，，‎ 当n≥2时，，适合n=1.‎ 所以.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14.已知函数，，若实数，则的最小值为______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，再利用基本不等式求解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以.‎ 当且仅当时取等.‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎15.在中，，的角平分线交于点，若，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用余弦定理求出，得到，再利用正弦定理得解 ‎【详解】在△ABC中，由余弦定理得.‎ 所以.所以.‎ 在△ABD中，由正弦定理得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎16.如图所示，在正方体中，点是棱的中点，动点在体对角线上（点与点，不重合），则平面可能经过该正方体的顶点是______.（写出满足条件的所有顶点）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点E，取中点F, 在平面两侧，在平面两侧，分析即得解.‎ ‎【详解】‎ 见上面左图，取中点E，因为ME,所以A,M,E,四点共面，在平面两侧，所以和平面交于点N,此时平面AMN过点A, ;‎ 见上面右图，取中点F,因为,所以四点共面，在平面两侧，所以和平面交于点N,此时平面AMN过点A, ;‎ 综上，平面可能经过该正方体的顶点是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查棱柱的几何特征和共面定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 三、解答题 ‎17.证明：对任意实数，不等式恒成立.‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分析法证明即可.‎ ‎【详解】要证明对任意实数，不等式恒成立，‎ 只需证明，‎ 只需证明，‎ 只需证明，‎ 只需证明，‎ 只需证明，‎ 而显然成立，‎ 所以对任意实数，不等式恒成立.‎ 所以原题得证.‎ ‎【点睛】本题主要考查分析法证明不等式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎18.在中，角所对的边分别是，且.‎ ‎（Ⅰ）求角；‎ ‎（Ⅱ）若，的面积为，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用正弦定理化简即得角B的大小；（Ⅱ）先求出ac=15,再利用余弦定理求出a+c的大小即得解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题得,‎ 因为,所以.‎ ‎（Ⅱ）由题得.‎ 由，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎19.已知数列的前项和满足，且.求数列的前项和.‎ ‎【答案】数列的前项和 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过已知求出，再分类讨论求出数列的前项和.‎ ‎【详解】由题得，所以 ，‎ 所以.‎ 当n≥2时，‎ 当n=1时，.‎ 所以数列是一个以10为首项，以-2为公差的等差数列，‎ 所以.‎ 所以n≤6时，，n＞6时，.‎ 设数列的前项和为,‎ 当n≤6时，；‎ 当n＞6时，.‎ 所以数列的前项和.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等差数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎20.在正方体中，点为棱的中点.问：在棱上是否存在点，使得∥面？若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】在棱上存在点，使得∥面，就是的中点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图，取的中点N,的中点E,连接DE,.证明平面平面即得解.‎ ‎【详解】‎ 如图，取的中点N,的中点E,连接DE,.‎ 由题得,因为平面，平面，‎ 所以NE平面.‎ 由题得平面,平面,‎ 所以平面.‎ 因为平面,‎ 所以平面平面，‎ 因为平面,‎ 所以平面.‎ 所以在棱上存在点，使得∥面，就是的中点.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎21.已知是数列的前项和，当时，，且，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）等比数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据得到数列是一个以0为首项，以4为公差的等差数列，即得数列的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减求数列的前项和.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题得时，，‎ ‎，‎ 因为，.‎ 所以数列是一个以0为首项，以4为公差的等差数列.‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以.‎ 所以.‎ 所以，‎ 两式相减得，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎22.已知数列的前项和满足，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，且数列的前项和满足对任意正整数恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设，问：是否存在正整数，使得对一切正整数恒成立？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）m=3时，使得对一切正整数恒成立.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题得，所以数列是一个以1为首项，以1为公差的等差数列，‎ 所以.‎ 当n≥2时，，适合n=1.‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ），‎ 所以，‎ 所以或.‎ ‎（Ⅲ）,‎ 所以.‎ 所以n≤2时，.‎ n＞2时，‎ 所以m=3时，使得对一切正整数恒成立 ‎【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消法求和，考查数列的单调性和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎23.在数列中，，.当时，.若表示不超过的最大整数，求的值.‎ ‎【答案】2018‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造，推出数列是4为首项2为公差的等差数列，求出，利用累加法求解数列的通项公式．化简数列的通项公式．利用裂项消项法求解数列的和，然后求解即可．‎ ‎【详解】构造，则，‎ 由题意可得，(n≥2).‎ 故数列是以4为首项2为公差的等差数列，‎ 故，‎ 故，，，，‎ 以上个式子相加可得，‎ ‎．‎ 所以，‎ 则．‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎