数学卷·2018届广东省北师大东莞石竹附中高二下学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届广东省北师大东莞石竹附中高二下学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年广东省北师大东莞石竹附中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.请把正确选项序号填在答题表内.）‎ ‎1．f（x）=x3，f′（x0）=6，则x0=（　　）‎ A． B．﹣ C．± D．±1‎ ‎2．如果质点A按照规律s=3t2运动，则在t0=3时的瞬时速度为（　　）‎ A．12 B．16 C．18 D．27‎ ‎3．过抛物线y=x2上的点的切线的倾斜角（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．135°‎ ‎4．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（　　）‎ A．假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角 C．假设没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 ‎5．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时，‎ 小赵说：我没去过；‎ 小钱说：小李去过；‎ 小孙说；小钱去过；‎ 小李说：我没去过．‎ 假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（　　）‎ A．小赵 B．小李 C．小孙 D．小钱 ‎6．函数f（x）=3x﹣4x3（x∈[0，1]）的最大值是（　　）‎ A．1 B． C．0 D．﹣1‎ ‎7．函数y=xcosx﹣sinx在下面哪个区间内是增函数（　　）‎ A．（，） B．（π，2π） C．（，） D．（2π，3π）‎ ‎8．观察按下列顺序排序的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×‎ ‎3+4=31，…，猜想第n（n∈N*）个等式应为（　　）‎ A．9（n+1）+n=10n+9 B．9（n﹣1）+n=10n﹣9‎ C．9n+（n﹣1）=10n﹣1 D．9（n﹣1）+（n﹣1）=10n﹣10‎ ‎9．利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（　　）‎ A．1项 B．k项 C．2k﹣1项 D．2k项 ‎10．已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：‎ ‎①对任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a；‎ ‎②对任意a∈R，a⊕0=a；‎ ‎③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）﹣2c．‎ 函数f（x）=x⊕（x＞0）的最小值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎12．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　） A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上．）‎ ‎13．函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为 　　．‎ ‎14．类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2．若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的三个侧面积S1，S2，S3与底面积S之间满足的关系为　　．‎ ‎15． dx=　　．‎ ‎16．已知f（x）=x2+3xf′（2），则f′（2）=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17．已知函数f（x）=xlnx﹣x，求函数f（x）的单调区间和极值．‎ ‎18．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx在区间（﹣2，1）内x=﹣1时取极小值，时取极大值．‎ ‎（1）求函数y=f（x）在x=﹣2处的切线方程；‎ ‎（2）求函数y=f（x）在[﹣2，1]上的最大值与最小值．‎ ‎19．求抛物线y2=2x与直线2x+y﹣2=0围成的平面图形的面积．‎ ‎20．如图，一矩形铁皮的长为8m，宽为3m，在四个角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以制成一个无盖的长方体容器，所得容器的容积V（单位：m3）是关于截去的小正方形的边长x（单位：m）的函数．‎ ‎（1）写出关于x（单位：m）的函数解析式；‎ ‎（2）截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？‎ ‎21．数列{an}满足Sn=2n﹣an（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；‎ ‎（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．‎ ‎22．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若x＞﹣1，证明：．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省北师大东莞石竹附中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.请把正确选项序号填在答题表内.）‎ ‎1．f（x）=x3，f′（x0）=6，则x0=（　　）‎ A． B．﹣ C．± D．±1‎ ‎【考点】导数的几何意义．‎ ‎【分析】用幂函数的导数公式求出f′（x），解方程可得答案．‎ ‎【解答】解：f′（x）=3x2‎ f′（x0）=3x02=6‎ x0=±‎ 故选项为C ‎　‎ ‎2．如果质点A按照规律s=3t2运动，则在t0=3时的瞬时速度为（　　）‎ A．12 B．16 C．18 D．27‎ ‎【考点】变化的快慢与变化率．‎ ‎【分析】已知质点A按照规律s=3t2运动，对其进行求导，再把t0=3代入求解．‎ ‎【解答】解：∵质点A按照规律s=3t2运动，‎ ‎∴s′=6t，‎ 当t0=3时，瞬时速度为s′=6×3=18．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．过抛物线y=x2上的点的切线的倾斜角（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．135°‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求得函数的导数，求得切线的斜率，由直线的斜率公式，可得倾斜角．‎ ‎【解答】解：y=x2的导数为y′=2x，‎ 在点的切线的斜率为k=2×=1，‎ 设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），‎ 由k=tanα=1，‎ 解得α=45°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（　　）‎ A．假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角 C．假设没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 ‎【考点】反证法与放缩法．‎ ‎【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应先假设“至少有两个钝角”，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时，‎ 小赵说：我没去过；‎ 小钱说：小李去过；‎ 小孙说；小钱去过；‎ 小李说：我没去过．‎ 假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（　　）‎ A．小赵 B．小李 C．小孙 D．小钱 ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】利用3人说真话，1人说假话，验证即可．‎ ‎【解答】解：如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；‎ 如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙，小李说真话，满足题意；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．函数f（x）=3x﹣4x3（x∈[0，1]）的最大值是（　　）‎ A．1 B． C．0 D．﹣1‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】先求导数，根据函数的单调性研究出函数的极值点，连续函数f（x）在区间（0，1）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，从而求出所求．‎ ‎【解答】解：f'（x）=3﹣12x2=3（1﹣2x）（1+2x）‎ 令f'（x）=0，解得：x=或（舍去）‎ 当x∈（0，）时，f'（x）＞0，当x∈（，1）时，f'（x）＜0，‎ ‎∴当x=时f（x）（x∈[0，1]）的最大值是f（）=1‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．函数y=xcosx﹣sinx在下面哪个区间内是增函数（　　）‎ A．（，） B．（π，2π） C．（，） D．（2π，3π）‎ ‎【考点】余弦函数的单调性；函数单调性的判断与证明；正弦函数的单调性．‎ ‎【分析】分析知函数的单调性用三角函数的相关性质不易判断，易用求其导数的方法来判断其在那个区间上是减函数．‎ ‎【解答】解：y'=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx 欲使导数为正，只需x与sinx符号总相反，‎ 分析四个选项知，B选项符合条件，‎ 故应选B．‎ ‎　‎ ‎8．观察按下列顺序排序的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…，猜想第n（n∈N*）个等式应为（　　）‎ A．9（n+1）+n=10n+9 B．9（n﹣1）+n=10n﹣9‎ C．9n+（n﹣1）=10n﹣1 D．9（n﹣1）+（n﹣1）=10n﹣10‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及各个部分与式子编号之间的关系，易得等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，等式右边的是一个等差数列，归纳后即可推断出第n（n∈N*）个等式．‎ ‎【解答】解：由已知中的式了，我们观察后分析：‎ 等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，‎ 等式右边的是一个等差数列，‎ 根据已知可以推断：‎ 第n（n∈N*）个等式为：‎ ‎9（n﹣1）+n=10n﹣9‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（　　）‎ A．1项 B．k项 C．2k﹣1项 D．2k项 ‎【考点】数学归纳法．‎ ‎【分析】依题意，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边为1+++…++++…+，与n=k时不等式的左边比较即可得到答案．‎ ‎【解答】解：用数学归纳法证明等式1+++…+＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，‎ 假设n=k时不等式成立，左边=1+++…+，‎ 则当n=k+1时，左边=1+++…++++…+，‎ ‎∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了： ++…+，‎ 共（2k+1﹣1）﹣2k+1=2k项，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】通过观察函数y=xf′（x）的图象即可判断f′（x）的符号以及对应的x的所在区间，从而判断出函数f（x）的单调性及单调区间，所以观察选项中的图象，找出符合条件的即可．‎ ‎【解答】解：由图象看出，﹣1＜x＜0，和x＞1时xf′（x）＞0；x≤﹣1，和0≤x≤1时xf′（x）≤0；‎ ‎∴﹣1＜x≤1时，f′（x）≤0；x＞1，或x≤﹣1时，f′（x）≥0；‎ ‎∴f（x）在（﹣1，1]上单调递减，在（﹣∞，﹣1]，（1，+∞）上单调递增；‎ ‎∴f（x）的大致图象应是B．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：‎ ‎①对任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a；‎ ‎②对任意a∈R，a⊕0=a；‎ ‎③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）﹣2c．‎ 函数f（x）=x⊕（x＞0）的最小值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】进行简单的合情推理；函数的值域．‎ ‎【分析】根据题中给出的对应法则，可得f（x）=（x⊕）⊕0=1+x+，利用基本不等式求最值可得x+≥2，当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．‎ ‎【解答】解：根据题意，得 f（x）=x⊕=（x⊕）⊕0=0⊕（x•）+（x⊕0）+（⊕0）﹣2×0=1+x+‎ 即f（x）=1+x+‎ ‎∵x＞0，可得x+≥2，当且仅当x==1，即x=1时等号成立 ‎∴1+x+≥2+1=3，可得函数f（x）=x⊕（x＞0）的最小值为f（1）=3‎ 故选：B ‎　‎ ‎12．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　） A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．‎ ‎【解答】解：设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时， ‎∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．‎ ‎∴F（x）在当x＜0时为增函数． ‎∵F（﹣x）=f （﹣x）g （﹣x）=﹣f （x）•g （x）=﹣F（x）． 故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数． ‎∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数． 已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0． 构造如图的F（x）的图象，可知 F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）． 故选D ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上．）‎ ‎13．函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为 　　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的截距式方程．‎ ‎【分析】欲求在点x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得到直线方程，最后令即可求得在x轴上的截距．从而问题解决．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x3+4x+5，‎ ‎∴f'（x）=3x2+4，当x=1时，y'=7得切线的斜率为7，所以k=7；‎ 所以曲线在点（1，10）处的切线方程为：‎ y﹣10=7×（x﹣1），令y=0得x=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2．若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的三个侧面积S1，S2，S3与底面积S之间满足的关系为　　．‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面．‎ ‎【解答】解：由边对应着面，边长对应着面积，‎ 由类比可得，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎15． dx=　　．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】由定积分的几何意义知，要求的定积分为以（3，0）为圆心，以1为半径的四分之一圆的面积．‎ ‎【解答】解：由，得（x﹣3）2+y2=1．‎ ‎∴dx的几何意义为以（3，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方，‎ 与两直线x=2、x=3所围成图形的面积．‎ 即四分之一圆的面积，等于．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知f（x）=x2+3xf′（2），则f′（2）=　﹣2　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】把给出的函数求导，在其导函数中取x=2，则f′（2）可求．‎ ‎【解答】解：由f（x）=x2+3xf′（2），‎ 得：f′（x）=2x+3f′（2），‎ 所以，f′（2）=2×2+3f′（2），‎ 所以，f′（2）=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17．已知函数f（x）=xlnx﹣x，求函数f（x）的单调区间和极值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】由已知得f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间和极值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=xlnx﹣x，‎ ‎∴f（x）的定义域为（0，+∞），‎ f′（x）=lnx，‎ 由f′（x）＞0，得x＞1；由f′（x）＜0，得0＜x＜1．‎ ‎∴f（x）的增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）．‎ ‎∴x=1时，f（x）极小值=f（1）=﹣1．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx在区间（﹣2，1）内x=﹣1时取极小值，时取极大值．‎ ‎（1）求函数y=f（x）在x=﹣2处的切线方程；‎ ‎（2）求函数y=f（x）在[﹣2，1]上的最大值与最小值．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出f′（x）=﹣3x2+2ax+b．由题意知﹣1，为方程﹣3x2+2ax+b=0的两个根，求出a=﹣，b=2，从而f（x）=﹣x3﹣x2+2x．由此利用导数的几何意义能求出函数y=f（x）在x=﹣2处的切线方程．‎ ‎（2）当x变化时，f′（x）及f（x）的变化情况进行列表，由此能求出f（x）在[﹣2，1]上的最大值，最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=﹣x3+ax2+bx，‎ ‎∴f′（x）=﹣3x2+2ax+b．‎ 又x=﹣1，x=分别对应函数取得极小值、极大值，‎ ‎∴﹣1，为方程﹣3x2+2ax+b=0的两个根．‎ ‎∴a=﹣1+，﹣=（﹣1）×．解得a=﹣，b=2，‎ ‎∴f（x）=﹣x3﹣x2+2x．‎ 当x=﹣2时，f（﹣2）=2，即（﹣2，2）在曲线上．‎ 又切线斜率为k=f′（﹣2）=﹣8，‎ 故所求切线方程为y﹣2=﹣8（x+2），即为8x+y+14=0．‎ ‎（2）当x变化时，f′（x）及f（x）的变化情况如下表：‎ x ‎﹣2‎ ‎（﹣2，﹣1）‎ ‎﹣1‎ ‎（﹣1，）‎ ‎（，1）‎ ‎1‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f（x）‎ ‎2‎ ‎↓‎ ‎﹣‎ ‎↑‎ ‎↓‎ ‎∴f（x）在[﹣2，1]上的最大值为2，最小值为﹣．‎ ‎　‎ ‎19．求抛物线y2=2x与直线2x+y﹣2=0围成的平面图形的面积．‎ ‎【考点】定积分在求面积中的应用．‎ ‎【分析】首先求出两个曲线的几点，利用定积分表示曲边梯形的面积，然后计算定积分．‎ ‎【解答】解：方程组，解得交点坐标为（，1），（2，﹣2），‎ 所求面积为S=（1﹣y﹣y2）dy ‎=（y﹣y2﹣y3）|=（1﹣﹣）﹣（﹣2﹣1+）=．‎ ‎　‎ ‎20．如图，一矩形铁皮的长为8m，宽为3m，在四个角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以制成一个无盖的长方体容器，所得容器的容积V（单位：m3）是关于截去的小正方形的边长x（单位：m）的函数．‎ ‎（1）写出关于x（单位：m）的函数解析式；‎ ‎（2）截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？‎ ‎【考点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）设小正方形的边长为xcm，则盒子容积为：y=（8﹣2x）•（3﹣2x）•x为三次函数，‎ ‎（2）用求导法，可得x=1时，函数y取得最大值，此时盒子容积最大．‎ ‎【解答】解：（1）设小正方形的边长为xcm，则x∈（0，1.5）；‎ 盒子容积为：y=（8﹣2x）•（3﹣2x）•x=4x3﹣22x2+24x，‎ ‎（2）对y求导，得y′=12x2﹣44x+24，令y′=0，得12x2﹣44x+24=0，解得：x=1，x=（舍去），‎ 所以，当0＜x＜1时，y′＞0，函数y单调递增；当1＜x＜1.5时，y′＜0，函数y单调递减；‎ 所以，当x=1时，函数y取得最大值6；‎ 所以，小正方形的边长为1cm，盒子容积最大，最大值为6cm3．‎ ‎　‎ ‎21．数列{an}满足Sn=2n﹣an（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；‎ ‎（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．‎ ‎【考点】数学归纳法；数列递推式；归纳推理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过n=1，2，3，4，直接计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式；‎ ‎（Ⅱ）直接利用数学归纳法证明．检验n取第一个值时，等式成立，假设，证明．‎ ‎【解答】（本小题满分8分）‎ 解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=2﹣a1，所以a1=1．‎ 当n=2时，a1+a2=s2=2×2﹣a2，所以．‎ 同理：，．‎ 由此猜想…‎ ‎（Ⅱ）证明：①当n=1时，左边a1=1，右边=1，结论成立．‎ ‎②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即，‎ 那么n=k+1时，ak+1=sk+1﹣sk=2（k+1）﹣ak+1﹣2k+ak=2+ak﹣ak+1，‎ 所以2ak+1=2+ak，所以，‎ 这表明n=k+1时，结论成立．‎ 由①②知对一切n∈N*猜想成立．…‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若x＞﹣1，证明：．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；对数函数的定义域；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．f'（x）=﹣，由此能求出函数f（x）的单调递减区间．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，故ln（x+1）﹣x≤0，ln（x+1）≤x．令，则=．由此能够证明当x＞﹣1时，．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．‎ f'（x）=﹣1=﹣…‎ 由f'（x）＜0及x＞﹣1，得x＞0．‎ ‎∴当x∈（0，+∞）时，f（x）是减函数，‎ 即f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．…4‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，‎ 当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＞0，‎ 当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，‎ 因此，当x＞﹣1时，f（x）≤f（0），‎ 即ln（x+1）﹣x≤0，‎ ‎∴ln（x+1）≤x．…‎ 令，‎ 则=．…‎ ‎∴当x∈（﹣1，0）时，g'（x）＜0，‎ 当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0．…10‎ ‎∴当x＞﹣1时，g（x）≥g（0），‎ 即≥0，‎ ‎∴．‎ 综上可知，当x＞﹣1时，‎ 有．…‎