2021高考数学一轮复习课时作业24解三角形应用举例理

2021高考数学一轮复习课时作业24解三角形应用举例理

课时作业24　解三角形应用举例 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为‎50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　)‎ A．‎50 m B．‎50 m C．‎25 m D. m 解析：由正弦定理得 AB＝＝＝50(m)．‎ 答案：A ‎2．[2020·武汉三中月考]如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C南偏西40°方向上，灯塔B在观察站C南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的(　　)‎ A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上 C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上 解析：由条件及题图可知，∠A＝∠ABC＝40°，因为∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向上．‎ 答案：D ‎3.‎ 7‎ 如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)‎ A．‎5 m B．‎15 m C．‎5 m D．‎15 m 解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.‎ 由正弦定理得＝，解得BC＝15(m)．‎ 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15(m)．‎ 答案：D ‎4．[2020·云南曲靖月考]一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)‎ A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 解析：画出示意图如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．故选A.‎ 答案：A ‎5.‎ 如图，在离地面高400 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为(　　)‎ 7‎ A．‎700 m B．‎‎640 m C．‎600 m D．‎‎560 m 解析：根据题意，可得在Rt△AMD中，‎ ‎∠MAD＝45°，MD＝400，‎ 所以AM＝＝400.‎ 因为△MAC中，∠AMC＝45°＋15°＝60°，‎ ‎∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，‎ 所以∠MCA＝180°－∠AMC－∠MAC＝45°，‎ 由正弦定理，得AC＝＝＝400，‎ 在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝400×＝600(m)．‎ 答案：C 二、填空题 ‎6．[2020·山东省，湖北省部分中学质量检测]如图，在某岛附近海底某处有一条海防警戒线，在警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻B点接收到发自水中P处的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，假设声波在水中的传播速度是1.5千米/秒，则P到海防警戒线的距离为________千米．‎ 解析：通解　依题意知PA＝PC，设PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.在△PAB中，AB＝20，则cos∠PAB＝＝＝，在△PAC中，AC＝50，则cos∠PAC＝＝＝.因为cos∠PAB＝cos∠PAC，所以＝，解得x＝31，过点P作PD⊥AC于点D，则AD＝25，在Rt△ADP中，PD＝＝4.故P到海防警戒线的距离为4千米．‎ 优解　过点P作PD⊥AC于点D，设PB＝x，由题意知，PA＝PC＝x＋1.5×8＝x＋12，AD＝25，BD＝5，在Rt△PAD中，PD2＝PA2－AD2＝(x＋12)2－252，在Rt△PBD中，PD2＝PB2－BD2＝x2－52，则(x＋12)2－252＝x2－52，可得x＝19，故PD＝＝4，即P到海防警戒线的距离为4千米．‎ 答案：4 7‎ ‎7．[2020·南昌市模拟]已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处，以v公里/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处，若cos(α－β)＝，则v＝________.‎ 解析：如图所示，AB＝150，AC＝200，根据题意可知∠B＝α，∠C＝β，因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝＝.‎ 在三角形ABC中，由正弦定理＝，得＝，‎ 得4sin β＝3sin α，所以4sin β＝3sin[β＋(α－β)]＝3[sin βcos(α－β)＋cos βsin(α－β)]＝3，整理得4sin β＝3cos β.‎ 又sin2β＋cos2β＝1，所以sin β＝，进而sin α＝，所以有sin2α＋sin2β＝1，所以α＝90°－β，‎ 所以∠BAC＝180°－(α＋β)＝90°，所以BC＝＝＝250，故v＝＝100.‎ 答案：100‎ ‎8．[2020·福建检测]在平面四边形ABCD中，AB＝1，AC＝，BD⊥BC，BD＝2BC，则AD的最小值为________．‎ 解析：设∠BAC＝α，∠ABD＝β(β∈(0，π))，则∠ABC＝β＋.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos α＝6－2cos α，由正弦定理，得＝，即BC＝.在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋DB2－2AB·DBcos β＝1＋4BC2－4BCcos β＝1＋4(6－2cos α)－4··cos β＝25－8cos α－4sin α＝25－20sin(α＋θ)，所以当sin(α＋θ 7‎ ‎)＝1，即sin α＝，cos α＝时，AD2取得最小值5，所以AD的最小值为.‎ 答案： 三、解答题 ‎9．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝‎40 cm，求电视塔的高度．‎ 解析：如图，设电视塔AB高为x m，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝x.‎ 在△BDC中，由余弦定理得，‎ BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°，‎ 即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos 120°，‎ 即得x＝40，‎ 所以电视塔高为40 m.‎ ‎10．[2020·皖中名校联考]如图所示，位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45°＋θ(0°<θ<45°)的C处，AC＝10海里．在离观测站A的正南方某处D，tan∠DAC＝－7.‎ ‎(1)求cos θ；‎ ‎(2)求该船的行驶速度v(海里/小时)．‎ 解析：(1)∵tan∠DAC＝－7，‎ ‎∴sin∠DAC＝－7cos∠DAC，‎ ‎∵sin2∠DAC＋cos2∠DAC＝1，‎ 7‎ ‎∴sin∠DAC＝，cos∠DAC＝－，‎ ‎∴cos θ＝cos(135°－∠DAC)‎ ‎＝－cos∠DAC＋sin∠DAC ‎＝－×(－)＋× ‎＝.‎ ‎(2)由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－‎2AC·ABcos θ，‎ ‎∴BC2＝(10)2＋(20)2－2×10×20×＝360，‎ ‎∴BC＝6海里．∵t＝20分钟＝小时，‎ ‎∴v＝＝18海里/小时．‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11．[2019·湖南三湘名校教育联盟第二次大联考]如图，已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，acos∠ACB＋ccos∠CAB＝bsin B，且∠CAB＝.若D是△ABC外一点，DC＝2，DA＝3，则当四边形ABCD的面积最大时，求sin D的值．‎ 解析：因为acos∠ACB＋ccos∠CAB＝bsin B，所以由正弦定理可得sin∠CABcos∠ACB＋sin∠ACBcos∠CAB＝sin(∠CAB＋∠ACB)＝sin B＝sin2B，因为sin B≠0，所以sin B＝1，所以∠B＝90°.又∠CAB＝，所以BC＝AC，AB＝AC，由余弦定理可得cos D＝，即AC2＝13－12cos D，四边形ABCD的面积S＝×2×3×sin D＋×AC×AC＝3sin D＋(13－12cos D)＝＋3sin D－cos D＝sin(D－φ)＋，其中tan φ＝.当sin(D－φ)＝1，即D－φ＝时，四边形ABCD的面积最大，此时tan D＝tan(＋φ)＝－＝－，可得sin D＝.‎ 7‎ 7‎