2021高考数学一轮复习课时作业24解三角形应用举例理

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2021高考数学一轮复习课时作业24解三角形应用举例理

课时作业24 解三角形应用举例 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,选定一点C,测出AC的距离为‎50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点的距离为(  )‎ A.‎50 m B.‎50 m C.‎25 m D. m 解析:由正弦定理得 AB===50(m).‎ 答案:A ‎2.[2020·武汉三中月考]如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C南偏西40°方向上,灯塔B在观察站C南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的(  )‎ A.北偏东10°方向上 B.北偏西10°方向上 C.南偏东80°方向上 D.南偏西80°方向上 解析:由条件及题图可知,∠A=∠ABC=40°,因为∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向上.‎ 答案:D ‎3.‎ 7‎ 如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30 m,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于(  )‎ A.‎5 m B.‎15 m C.‎5 m D.‎15 m 解析:在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.‎ 由正弦定理得=,解得BC=15(m).‎ 在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=15×=15(m).‎ 答案:D ‎4.[2020·云南曲靖月考]一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是(  )‎ A.10海里 B.10海里 C.20海里 D.20海里 解析:画出示意图如图所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得=,解得BC=10(海里).故选A.‎ 答案:A ‎5.‎ 如图,在离地面高400 m的热气球上,观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°,已知∠BAC=60°,则山的高度BC为(  )‎ 7‎ A.‎700 m B.‎‎640 m C.‎600 m D.‎‎560 m 解析:根据题意,可得在Rt△AMD中,‎ ‎∠MAD=45°,MD=400,‎ 所以AM==400.‎ 因为△MAC中,∠AMC=45°+15°=60°,‎ ‎∠MAC=180°-45°-60°=75°,‎ 所以∠MCA=180°-∠AMC-∠MAC=45°,‎ 由正弦定理,得AC===400,‎ 在Rt△ABC中,BC=ACsin∠BAC=400×=600(m).‎ 答案:C 二、填空题 ‎6.[2020·山东省,湖北省部分中学质量检测]如图,在某岛附近海底某处有一条海防警戒线,在警戒线上的点A,B,C处各有一个水声监测点,B,C两点到A的距离分别为20千米和50千米,某时刻B点接收到发自水中P处的一个声波信号,8秒后A,C同时接收到该声波信号,假设声波在水中的传播速度是1.5千米/秒,则P到海防警戒线的距离为________千米.‎ 解析:通解 依题意知PA=PC,设PA=PC=x,PB=x-1.5×8=x-12.在△PAB中,AB=20,则cos∠PAB===,在△PAC中,AC=50,则cos∠PAC===.因为cos∠PAB=cos∠PAC,所以=,解得x=31,过点P作PD⊥AC于点D,则AD=25,在Rt△ADP中,PD==4.故P到海防警戒线的距离为4千米.‎ 优解 过点P作PD⊥AC于点D,设PB=x,由题意知,PA=PC=x+1.5×8=x+12,AD=25,BD=5,在Rt△PAD中,PD2=PA2-AD2=(x+12)2-252,在Rt△PBD中,PD2=PB2-BD2=x2-52,则(x+12)2-252=x2-52,可得x=19,故PD==4,即P到海防警戒线的距离为4千米.‎ 答案:4 7‎ ‎7.[2020·南昌市模拟]已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处,以v公里/时沿正西方向快速移动,2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处,若cos(α-β)=,则v=________.‎ 解析:如图所示,AB=150,AC=200,根据题意可知∠B=α,∠C=β,因为cos(α-β)=,所以sin(α-β)==.‎ 在三角形ABC中,由正弦定理=,得=,‎ 得4sin β=3sin α,所以4sin β=3sin[β+(α-β)]=3[sin βcos(α-β)+cos βsin(α-β)]=3,整理得4sin β=3cos β.‎ 又sin2β+cos2β=1,所以sin β=,进而sin α=,所以有sin2α+sin2β=1,所以α=90°-β,‎ 所以∠BAC=180°-(α+β)=90°,所以BC===250,故v==100.‎ 答案:100‎ ‎8.[2020·福建检测]在平面四边形ABCD中,AB=1,AC=,BD⊥BC,BD=2BC,则AD的最小值为________.‎ 解析:设∠BAC=α,∠ABD=β(β∈(0,π)),则∠ABC=β+.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos α=6-2cos α,由正弦定理,得=,即BC=.在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+DB2-2AB·DBcos β=1+4BC2-4BCcos β=1+4(6-2cos α)-4··cos β=25-8cos α-4sin α=25-20sin(α+θ),所以当sin(α+θ 7‎ ‎)=1,即sin α=,cos α=时,AD2取得最小值5,所以AD的最小值为.‎ 答案: 三、解答题 ‎9.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=‎40 cm,求电视塔的高度.‎ 解析:如图,设电视塔AB高为x m,则在Rt△ABC中,由∠ACB=45°得BC=x.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,则BD=x.‎ 在△BDC中,由余弦定理得,‎ BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos 120°,‎ 即(x)2=x2+402-2·x·40·cos 120°,‎ 即得x=40,‎ 所以电视塔高为40 m.‎ ‎10.[2020·皖中名校联考]如图所示,位于A处的雷达观测站,发现其北偏东45°,与A相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶,20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45°+θ(0°<θ<45°)的C处,AC=10海里.在离观测站A的正南方某处D,tan∠DAC=-7.‎ ‎(1)求cos θ;‎ ‎(2)求该船的行驶速度v(海里/小时).‎ 解析:(1)∵tan∠DAC=-7,‎ ‎∴sin∠DAC=-7cos∠DAC,‎ ‎∵sin2∠DAC+cos2∠DAC=1,‎ 7‎ ‎∴sin∠DAC=,cos∠DAC=-,‎ ‎∴cos θ=cos(135°-∠DAC)‎ ‎=-cos∠DAC+sin∠DAC ‎=-×(-)+× ‎=.‎ ‎(2)由余弦定理得BC2=AC2+AB2-‎2AC·ABcos θ,‎ ‎∴BC2=(10)2+(20)2-2×10×20×=360,‎ ‎∴BC=6海里.∵t=20分钟=小时,‎ ‎∴v==18海里/小时.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11.[2019·湖南三湘名校教育联盟第二次大联考]如图,已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,acos∠ACB+ccos∠CAB=bsin B,且∠CAB=.若D是△ABC外一点,DC=2,DA=3,则当四边形ABCD的面积最大时,求sin D的值.‎ 解析:因为acos∠ACB+ccos∠CAB=bsin B,所以由正弦定理可得sin∠CABcos∠ACB+sin∠ACBcos∠CAB=sin(∠CAB+∠ACB)=sin B=sin2B,因为sin B≠0,所以sin B=1,所以∠B=90°.又∠CAB=,所以BC=AC,AB=AC,由余弦定理可得cos D=,即AC2=13-12cos D,四边形ABCD的面积S=×2×3×sin D+×AC×AC=3sin D+(13-12cos D)=+3sin D-cos D=sin(D-φ)+,其中tan φ=.当sin(D-φ)=1,即D-φ=时,四边形ABCD的面积最大,此时tan D=tan(+φ)=-=-,可得sin D=.‎ 7‎ 7‎
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