【数学】2018届一轮复习人教A版第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形学案
第1课时 任意角和弧度制及任意角的
三角函数(对应学生用书(文)、(理)47～48页)
① 了解任意角的概念；了解终边相同的角的意义.
② 了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化.
③ 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；了解有向线段的概念，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切．
① 能准确进行角度与弧度的互化.
② 能够利用终边相同角的表示方法判断角所在的象限，会判断半角和倍角所在的象限.
③ 准确理解任意角的三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值，并能准确判断三角函数值的符号．
1. (必修4P10习题9改编)小明从家步行到学校需要15 min，则这段时间内钟表的分针走过的角度是________．
答案：－90°
解析：利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是负角，又周角为360°，所以×15＝90°，即分针走过的角度是－90°.
2. (必修4P10习题4改编)若角θ的终边与角的终边相同，则在[0，2π)内终边与角的终边相同的角的集合为__________________．(用列举法表示)
答案：
解析：由题意θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴ ＝＋kπ(k∈Z)．
由0≤<2π，即0≤＋kπ<2π知－≤k<，k∈Z.
∴ k＝0，1.故在[0，2π)内终边与角的终边相同的角的集合为.
3. (必修4P9例3改编)已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为__________．
答案：6
解析：设扇形的半径为R，则R2α＝2，R2×4＝2，R2＝1，∴ R＝1，∴ 扇形的周长为2R＋α·R＝2＋4＝6.
4. (2016·北京模拟)已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cos α＝－，则m＝________．
答案：－4
解析：∵ 角α的终边经过点P(m，－3)，∴ r＝.
又cos α＝－，∴ cos α＝＝－，∴ m＝－4.
5. 函数y＝lg(2cos x－1)的定义域为____________．
答案：(k∈Z)
解析：∵ 2cos x－1＞0，∴ cos x＞.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴ x∈(k∈Z)．
1. 任意角
(1) 角的概念的推广
① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
② 按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(2) 终边相同的角
终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．
(3) 弧度制
① 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③ 弧度与角度的换算：360°＝2π rad；180°＝π rad；1°＝ rad；1 rad＝度．
④ 弧长公式：l＝|α|r．
扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2．
2. 任意角的三角函数
(1) 任意角的三角函数的定义
设P(x，y)是角α终边上任意一点，且|PO|＝r(r＞0)，则有sin α＝，cos α＝，tan α＝，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．
(2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦．
(3) 特殊角的三角函数值
角α
α弧度数
sin α
cos α
tan α
0°
0
0
1
0
30°
45°
1
60°
90°
1
0
/
120°
－
－
续表
135°
－
－1
150°
－
－
180°
π
0
－1
0
270°
－1
0
1
3. 三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，
点P的坐标为(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT．我们把有向线段OM，MP，AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．
三角函数线
[备课札记]
, 1 象限角及终边相同的角)
, 1) (1) (2016·铜陵模拟)已知α＝－2 017°，则与角α终边相同的最小正角为________，最大负角为________．
(2) (必修4P10习题12改编)已知角α是第三象限角，试判断：
① π－α是第几象限角？② 是第几象限角？③ 2α的终边在什么位置？
(1) 答案：143° －217°
解析：α可以写成－6×360°＋143°的形式，则与α终边相同的角可以写成k·360°＋143°(k∈Z)的形式．当k＝0时，可得与角α终边相同的最小正角为143°，当k＝－1时，可得最大负角为－217°.
(2) 解：①∵ α是第三象限角，
∴ 2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z.
∴ －2kπ－<π－α<－2kπ，k∈Z.
∴ π－α是第四象限角．
② ∵ kπ＋<
0.
因为△ABC为锐角三角形，所以A＋B＞，
所以A＞－B，
所以sin A＞sin＝cos B，即sin A－cos B＞0，
所以点P(sin A－cos B，3cos A－1)位于第一象限．
1. (1) 要求适合某种条件且与已知角终边相同，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式．
(2) 已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角．
2. 已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解α的三角函数值．
3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．
4. 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤
(1) 用边界值定出角的终边位置．
(2) 根据不等式(组)定出角的范围．
(3) 求交集，找单位圆中公共的部分．
(4) 写出角的表达式．
第2课时 同角三角函数的基本关系式与
诱导公式(对应学生用书(文)、(理)49～50页)
① 会运用同角三角函数进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.
② 能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．
① 理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝ tanα.
② 理解正弦、余弦、正切的诱导公式[2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，±α]．
1. (2016·苏州期中)已知sin α＝，且α∈，则tan α＝__________．
答案：－
解析：由sin α＝，α∈，得cos α＝－，则tan α＝＝－.
2. (必修4P19例1改编)sin(－ 585°)的值为__________．
答案：
解析：sin(－585°)＝－sin 585°＝－sin(360°＋225°)＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)＝sin 45°＝.
3. 已知tan(π＋ θ)＝2，则sin θsin＝________．
答案：
解析：由已知得tan θ＝2，所以sin θsin＝sin θcos θ
＝＝＝＝.
4. (必修4P23第11题改编)已知tan α＝2，则＝__________．
答案：1
解析：因为tan α＝2，所以＝＝＝1.
5. (必修4P21例4改编)若sin＝，则cos＋cos2＝__________．
答案：
解析：∵ sin ＝，
∴ sin＝，∴ cos ＝.
cos2＝1－sin2＝1－sin2
＝1－sin2＝1－＝.∴ cos＋cos2＝＋＝.
1. 同角三角函数的基本关系
(1) 平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2) 商数关系：tanα＝.
2. 诱导公式
记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．
[备课札记]
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sinα
－sinα
－sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
－cosα
cosα
－cosα
sinα
－sinα
正切
tanα
tanα
－tanα
－tanα
口诀
函数名不变符号看象限
函数名改变符号看象限
, 1 同角三角函数的基本关系式)
, 1) (必修4P23第20题改编)已知－0，即sin x－cos x<0.
则sin x－cos x＝－＝－＝－.
(1) sin2x－cos2x＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x)
＝×＝－.
(2) 由得则tan x＝－.
即＝＝.
变式训练
(2016·郑州一模)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x的方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，则sin θ－cos θ＝__________．
答案：
解析：∵ sin θ，cos θ是方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，∴ sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝.可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即＝1＋m，∴ m＝－.
∵ θ为第二象限角，∴ sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0.
∵ (sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ＝－2m＝1－＋＝，∴ sin θ－cos θ＝＝.
, 2) (必修4P23第10(2)题改编)化简：
(－)·(－)．
解：原式＝[－]·[－]＝(－)(－)＝·＝
(2016·阿勒泰二模)已知α为第二象限角，则cos α＋sin α
＝________．
答案：0
解析：原式＝cos α＋sin α＝cos α＋sin α，因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，即原式等于0.
, 2 诱导公式及其运用)
, 3) (2016·南通期末)已知sin＝，则sin＋sin2的值为__________．
答案：
解析：由诱导公式得sin ＝－sin＝－，sin2＝cos2＝，则sin＋sin2＝－＝.
变式训练
(2016·南通调研)已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin＝__________．
答案：0
解析：由题意知，cos＝cos
＝－cos＝－a.
sin＝sin＝cos＝a，
∴ cos＋sin＝0.
, 3 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用)
, 4) (1) (2016·泰兴模拟)设tan(5π＋α)＝m，求的值；
(2) 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
解：(1) 由tan(5π＋α)＝m，得tan α＝m，
∴ ＝＝＝.
(2) 由已知得
①2＋②2得2cos2A＝1，即cos A＝±.
(ⅰ) 当cos A＝时，cos B＝.
又A，B是三角形的内角，
∴ A＝，B＝，∴ C＝π－(A＋B)＝.
(ⅱ) 当cos A＝－时，cos B＝－.
又A，B是三角形的内角，
∴ A＝，B＝，不合题意．
综上知，A＝，B＝，C＝.
变式训练
(1) (2017·江西联考)已知tan(π－α)＝－，且α∈，求
的值；
(2) 在△ABC中，若sin(3π－A)＝sin(π－B)，cos＝cos(π－B)．试判断三角形的形状．
解：(1) 由已知得tan α＝，＝＝＝＝－.
(2) 由题设条件，得sin A＝sin B，－sin A＝－cos B，
∴ sin B＝cos B，∴ tan B＝1.
∵ B∈(0，π)，∴ B＝.
∴ sin A＝×＝1.
又A∈(0，π)，∴ A＝，∴ C＝.
∴ △ABC是等腰直角三角形．
1. (2016·厦门模拟改编)已知cos 31°＝a，则sin 239°·tan 149°的值是____________．
答案：
解析：sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos 31°)·(－tan 31°)＝sin 31°＝.
2. 已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α的值是________．
答案：
解析：(解法1)由tan(π－α)＋3＝0，得tan α＝3，即＝3，sin α＝3cos α，所以sin2α＝9(1－sin2α)，10sin2α＝9，sin2α＝.因为α为锐角，所以sin α＝.
(解法2)因为α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，所以－tan α＋3＝0即tan α＝3.在如图所示的直角三角形中，令∠A＝α，BC＝3，则AC＝1，所以AB＝＝，故sin α＝＝.
3. (2016·太原二模改编)已知sin α＋cos α＝，α∈，则tan α＝__________．
答案：1
解析：把sin α＋cos α＝ ①，两边平方，得(sin α＋cos α)2＝2，即1＋2sin αcos α＝2，∴ 2sin αcos α＝1，∴ (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝0，即sin α－cos α＝0 ②，①＋②得2sin α＝，即sin α＝cos α＝，∴ tan α＝1.
4. (2016·北京海淀模拟改编)已知＝2，那么(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为__________．
答案：4
解析：因为＝2，所以sin2θ＋4＝2cos θ＋2，即cos2θ＋2cos θ－3＝0，解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍去)．由cos θ＝1得sin θ＝0，故(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝4.
1. 已知sin(3π－α)＝－2sin，则sin αcos α＝__________．
答案：－
解析：因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin，所以sin α＝－2cosα，所以tan α＝－2，所以sinαcosα＝＝＝－.
2. 记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝__________．
答案：－
解析：因为cos(－80°)＝cos80°＝k，所以sin80°＝＝.所以tan100°＝－tan80°＝－＝－.
3. (2016·贵阳调研改编)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为__________．
答案：
解析：因为<α<，所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，所以cos α－sin α>0.
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
所以cos α－sin α＝.
4. (2016·唐山模拟改编)已知sin α＋cos α＝，则tan α＝_________．
答案：
解析：∵ sin α＋cos α＝，∴ (sin α＋cos α)2＝3.
∴ sin2α＋2sin αcos α＋2cos2α＝3.
∴ ＝3.
∴ ＝3.∴ 2tan2α－2tan α＋1＝0.
∴ tan α＝.
1. 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．
2. 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2kπ＋α(k∈Z)，0≤α＜2π；② 转化为锐角．
3. 同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其它三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．
4. 三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：
① 弦切互化法：主要利用公式tan x＝进行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等类型可进行弦化切．
② 和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．
③ 注意变角技巧：如π＋α为π＋或2π－等．
④ 巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan
eq f(π,4)＝….
5. 在△ABC中常用到以下结论：
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，
sin＝sin＝cos，
cos＝cos＝sin .
[备课札记]
第3课时 三角函数的图象和性质(对应学生用书(文)、(理)51～54页)
① 知道三角函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的周期为T＝.
② 能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等).
③ 会画出y＝Asin(ωx＋φ)的简图，能由正弦曲线 y＝sinx通过平移、伸缩变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
① 了解三角函数的周期性.
② 能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在上的性质.
③ 了解三角函数 y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义及其参数A、ω、φ对函数图象变化的影响．
1. (2017·南京期初)若函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则f的值是________．
答案：
解析：由题意，得＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin.因此f＝sin＝sin ＝.
2. (2016·无锡期末)将函数f(x)＝2sin 2x的图象上每一点向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝____________．
答案：2sin
解析：将函数f(x)＝2sin 2x的图象上每一点向右平移个单位，得到函数g(x)＝2sin 2＝2sin.本题主要考查三角函数的图象变换(平移变换)．
3. (2016·江南十校联考改编)已知函数y＝2cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是__________．
答案：3
解析：因为x∈，所以cos x∈，故y＝2cos x的值域为[－2，1]，所以b－a＝3.
4. (必修4P32练习6改编)函数y＝cos的单调减区间为__________．
答案：(k∈Z)
解析：由y＝cos(－2x)＝cos，得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋
eq f(π,8)≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以函数的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
5. (必修4P45第9题改编)电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的部分图象如图所示，则当t＝ s时，电流强度是__________A.
答案：－5
解析：由图象知A＝10，＝－＝，∴ ω＝＝100π.∴ I＝10sin(100πt＋φ).为五点中的第二个点，∴ 100π×＋φ＝.∴ φ＝.∴ I＝10sin(100πt＋)，当t＝ s时，I＝－5 A.
1. 周期函数的定义
周期函数的概念：对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，则称y＝f(x)为周期函数；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝；
函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝．
2. 三角函数的图象和性质
三角函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
定义域
R
R
值域和最值
[－1，1]
最大值：1
最小值：－1
[－1，1]
最大值：1
最小值：－1
R
无最值
周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
关于原点对称
关于y轴对称
关于原点对称
单调区间
在[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)上单调递增；在[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)上单调递减
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减
在(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上单调递增
3. “五点法”作图
在确定正弦函数y＝sinx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)、、(π，0)、、 (2π，0)．
余弦函数呢？
4. 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的特征
若函数y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0，x∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．
[备课札记]
, 1 “五点法”与“变换法”作图)
, 1) (必修4P37例1改编)设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的周期为π.
(1) 求它的振幅、初相；
(2) 用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(3) 说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．
解：(1) f(x)＝sin ωx＋cos ωx
＝2＝2sin.
∵ T＝π，∴ ＝π，即ω＝2.
∴ f(x)＝2sin.
∴ 函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx的振幅为2，初相为.
(2) 令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X.
列表，并描点画出图象：
x
－
X
0
π
2π
y＝sin X
0
1
0
－1
0
y＝2sin
0
2
0
－2
0
(3) (解法1)把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上的点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．
(解法2)将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x变为原来的，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin的图象．
已知f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.
(1) 求ω和φ的值；
(2) 在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；
(3) 若f(x)>，求x的取值范围．
2x－
－
0
π
π
π
x
0
π
π
π
π
f(x)
1
0
－1
0
解：(1) 周期T＝＝π，∴ ω＝2，
∵ f＝cos＝cos＝－sinφ＝，又－<φ<0，∴ φ＝－.
(2) f(x)＝cos，列表如下：
图象如图：
(3)∵ cos>，∴ 2kπ－<2x－<2kπ＋，∴ 2kπ＋<2x<2kπ＋，
∴ kπ＋0)的形式，再按复合函数将ωx＋φ看成整体，利用正弦函数y＝sin x的性质进行求解．
●题组练透
1. (2016·宿迁期中)将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点，则φ的最小值为__________．
答案：
解析：易知y＝sin 2(x＋φ)，即y＝sin(2x＋2φ)．∵ 图象过点，∴ sin＝，∴ ＋2φ＝＋2kπ或＋2φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝kπ或φ＝＋kπ，k∈Z.∵ φ>0，∴ φ的最小值为.
2. (2016·南通、扬州、泰州一模)设函数y＝sin(0＜x＜π)，当且仅当x＝时，y取得最大值，则正数ω的值为__________．
答案：2
解析：x＝时，ωx＋＝，则正数ω＝2.
3. (2016·苏州期中)函数y＝sin x－cos x－2(x＞0)的值域是__________．
答案：[－4，0]
解析：由y＝sin x－cos x－2＝2sin－2，则－4≤y≤0.
4. 设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)．
(1) 求函数f(x)的单调增区间；
(2) 当x∈时，试求y＝f的最值，并写出取得最值时自变量x的值．
解：(1) 因为f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sin的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)，所以ω＝2，φ＝－，所以f(x)＝2sin 2x.令2x∈(k∈Z)，解得函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(2) 当x∈时，2x－∈，y＝ f＝2sin 2＝2sin.
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值－.
, 3 根据图形式性质确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式)
, 3) (2016·南京、盐城期末)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1) 求函数y＝f(x)的解析式；
(2) 当x∈时，求f(x)的取值范围．
解：(1) 由图象知，A＝2，
又＝－＝，ω＞0，所以T＝2π＝，得ω＝1.所以f(x)＝2sin(x＋φ)，将点代入，得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)．
又－＜φ＜，所以φ＝.所以f(x)＝2sin.
(2) 当x∈时，x＋∈，
所以sin∈，
即f(x)∈[－，2]．
变式训练
已知函数f(x)＝2sin(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(
x)图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1) 求f的值；
(2) 将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)的单调递减区间．
解：(1) ∵ f(x)为偶函数，
∴ φ－＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝＋kπ.
∵ 0＜φ＜π，∴ φ＝.
由题意＝2×，得ω＝2.
故f(x)＝2cos 2x，f＝2cos ＝.
(2) 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f的图象，所以g(x)＝f(－)＝2cos＝2cos.
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．
因此g(x)的单调递减区间为[4kπ＋，4kπ＋](k∈Z)．
, 4 三角函数的应用)
, 4) (必修4P42例2改编)如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1) 将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2) 点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
解：(1) 建立如图所示直角坐标系，
设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为＝.
则OP在时间t(s)内所转过的角为t.
由题意可知水轮逆时针转动，得z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
故所求函数关系式为z＝4sin＋2.
(2) 令z＝4sin＋2＝6，得sin＝1.
令t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4 s.
如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，且60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.
(1) 求h与θ间关系的函数解析式；
(2) 设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？
解：(1) 以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，
故点B的坐标为，
∴ h＝5.6＋4.8sin.
(2) 点A在圆上转动的角速度是 rad/s，
故t s转过的弧度数为t，
∴ h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)．
到达最高点时，h＝10.4 m.
由sin＝1，得t－＝，∴ t＝30 s，
∴ 缆车到达最高点时，用的最少时间为30 s.
1. (2016·南京、盐城、徐州、连云港一模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且它的图象过点，则φ的值为__________．
答案：－
解析：f(x)＝2sin(ωx＋φ) 的最小正周期为π，则ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，它的图象过点，则sin＝－，故φ＝－.
2. (2016·苏北四市期末)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．若AB＝5，则ω的值为________．
答案：
解析：AB＝5，|yA－yB|＝4，则|xA－xB|＝3＝，则T＝6＝，ω＝.
3. (2017·南师附中等四校联考)将函数y＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象．若函数y＝f(x)的图象过原点，则φ＝__________．
答案：
解析：由题意得y＝f(x)＝sin[2(x＋)＋φ]＝sin过原点，从而有sin
＝0，所以＋φ＝kπ，即φ＝kπ－.又0<φ<π，所以φ＝.
4. (2016·苏州期中)将函数y＝sin的图象向右平移φ个单位后，得到函数f(x)的图象．若函数f(x)是偶函数，则φ的值为__________．
答案：
解析：由函数y＝sin的图象向右平移φ(0＜φ＜)个单位后，得到函数f(x)＝sin的图象．又函数f(x)是偶函数，所以－2φ＝＋kπ，而φ为锐角，则k＝－1 时φ＝.
5. 函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图象如图所示．
(1) 求出φ及图中x0的值；
(2) 求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1) 由图可知，f(0)＝f(x0)＝，
即cos φ＝，cos＝.
又φ∈，x0>0，所以φ＝，x0＝.
(2) 由(1)可知f(x)＝cos.
因为x∈，所以－≤πx＋≤.
所以当πx＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值1；
当πx＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值0.
1. (2016·九江模拟改编)下列关系式中正确的是________．(填序号)
① sin 11°sin α，∴ cos α－sin α>0，
∴ cos α－sin α＝＝＝，
∴ ＝＝(cos α－sin α)＝
.
, 2 二倍角公式的逆用与变用)
, 2) (2016·合肥检测)已知coscos＝－，α∈.
(1) 求sin 2α的值；
(2) 求tan α－的值．
解：(1) 原式＝cossin＝sin＝－，
即sin＝－.
因为α∈，所以2α＋∈，
所以cos＝－.
所以sin 2α＝sin
＝sincos －cossin＝.
(2) 由(1)知tan α－＝－＝＝＝＝2.
变式训练
已知sin α＋cos α＝，则sin2＝________．
答案：
解析： 由sin α＋cos α＝两边平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－，所以sin2＝＝＝＝.
, 3 二倍角公式在研究三角函数中的应用)
, 3) (2016·苏州期中)已知函数f(x)＝2cos (cos －sin )(ω＞0)的最小正周期为2π.
(1) 求函数f(x)的表达式；
(2) 设θ∈，且f(θ)＝＋，求cos θ的值．
解：(1) f(x)＝2cos
＝2cos2－2cos sin
＝(1＋cos ωx)－sin ωx＝－2sin.
∵ 函数f(x)的最小正周期为2π，∴ ＝2π，ω＝1.
∴ f(x)＝－2sin.
(2) 由f(θ)＝＋，得sin＝－.
∵ θ∈，∴ θ－∈
，
∴ cos ＝.
∴ cos θ＝cos＝cos cos －sinsin ＝×－×＝.
变式训练
(2016·山东卷)设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.
(1) 求f(x)的单调递增区间；
(2) 把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．
解：(1) f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2
＝2sin2x－(1－2sin xcos x)
＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1
＝sin 2x－cos 2x＋－1
＝2sin＋－1.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)[或(kπ－，kπ＋)(k∈Z)]．
(2) 由(1)知f(x)＝2sin＋－1，把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin＋－1的图象．再把得到的图象向左平移个单位，得到y＝2sin x＋－1的图象，即g(x)＝2sin x＋－1.
所以g＝2sin ＋－1＝.
1. (2016·新课标Ⅲ改编)若tan θ＝－，则cos 2θ＝__________．
答案：
解析：tan θ＝－，则cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝.
2. 已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝________．
答案：－
解析：依题意得(sin α＋2cos α)2＝，即＋2sin 2α＋2(1＋cos 2α)＝，sin 2α＝－cos 2α，tan 2α＝－.
3. (2016·新课标Ⅱ改编)函数f(x)＝cos 2x＋6cos(－x)的最大值为__________．
答案：5
解析：由f(x)＝cos 2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sin x＝－2＋，所以当sin x＝1时函数取最大值为5.
4. (2017·泰州中学期初)已知0＜α＜＜β＜π，且sin(α＋β)＝，tan ＝.
(1) 求cos α的值；
(2) 求证：sin β＞.
(1) 解：将tan ＝代入tan α＝，得tan α＝，∴
又α∈，解得cos α＝.
(2) 证明：易得<α＋β<，又sin(α＋β)＝，
∴ cos(α＋β)＝－.
由(1)可得sin α＝，∴ sin β＝sin[(α＋β)－α]＝×－×＝>.
, 6. 忽视角的范围致误)
典例 已知α，β∈(0，π)，tan ＝，sin(α＋β)＝，求cos β.
易错分析：本题条件α，β∈(0，π)的范围较大，需结合tan ＝，sin(α＋β)＝缩小角的范围，否则极易误由sin α求cos α，或由sin(α＋β)求cos(α＋β)得两解．
规范解答：解：∵ tan ＝，
∴ sin α＝2sin cos ＝＝＝＝，
cos α＝cos2－sin2＝＝＝＝.
∵ α，β∈(0，π)，sin α＝＞＝sin(α＋β)，
∴ ＜α＋β＜π，
∴ cos(α＋β)＝－＝－＝－，
∴ cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝－.
特别提醒：在解决三角函数式的求值或根据三角函数值求角问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．有时已知条件给出的角的范围较大，解题时应注意挖掘隐含条件，缩小角的范围．另外，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．
1. (2016·衡水调研)已知sin x＝，则sin2＝________．
答案：2－
解析：sin2＝sin＝－cos 2x＝－(1－2sin2x)
＝2sin2x－1＝2－.
2. 设sin 2α＝－sin α，α∈，则
tan 2α＝________．
答案：
解析：由sin 2α＝－sin α，得2sin αcos α＝－sin α.
又α∈，故sin α≠0，于是cos α＝－，
进而sin α＝，于是tan α＝－，
所以tan 2α＝＝＝.
3. cos ·cos ·cos＝________．
答案：－
解析：cos ·cos ·cos＝cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－
＝－＝－
＝－＝－＝－.
4. (2016·江苏名校调研)已知θ∈，sin(θ－)＝.
(1) 求sin θ的值；
(2) 求cos的值．
解：(1) 设α＝θ－，因为θ∈，所以α∈，且θ＝α＋.
因为sin α＝sin＝，
所以cos α＝－＝－.
于是sin θ＝sin ＝sin αcos＋cos αsin
＝×＋×＝－.
(2) 因为cos θ＝cos＝cos αcos －sin αsin
＝×－×＝－，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××(－)＝，
cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝.
所以cos＝cos2θcos－sin 2θsin ＝×－×＝－.
1. 已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为
(1) 先化简所求式子；
(2) 观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；
(3) 将已知条件代入所求式子，化简求值．
2. 应用倍角公式，一是要选择合适的公式，二是要注意正用和逆用．
3. 降幂公式是解决含有cos2x、sin2x
式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧．
[备课札记]
第6课时 简单的三角恒等变换(对应学生用书(文)、(理)61～63页)
灵活掌握公式间的关系，能运用它们进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明．
能运用三角函数各种公式进行恒等变换以及解决综合性问题．
1. (2016·潍坊一模)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3，4)，则cos 2α＝__________．
答案：－
解析：根据三角函数的定义知，sin α＝＝＝，所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝1－＝－.
2. (必修4P123习题5改编)已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为________．
答案：－
解析：原式＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.
3. (必修4P118习题7改编)已知tan α，tan β是方程3x2－7x＋2＝0的两根，则的值为________．
答案：
解析：由已知得tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，所以＝＝＝.
4. 函数f(x)＝＋2sin x的最小正周期为__________．
答案：2π
解析：sin x≠0，解得x≠kπ(k∈Z)，∴ 函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．∵ f(x)＝＋2sin x＝2cos x＋2sin x＝2sin，∴ f(x)的最小正周期为T＝＝2π.
5. (必修4P112习题12改编)在△ABC中，已知cos＝，则cos 2A的值为________．
答案：
解析：cos＝coscos A－sinsin A＝(cos A－sin A)＝，∴ cos A－sin A＝＞0 ①.
∴ 0＜A＜，∴ 0＜2A＜.
由①2得1－sin 2A＝，∴ sin 2A＝.
∴ cos 2A＝＝.
三角函数的最值问题
(1) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式
① y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝ .
② y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．
③ y＝可转化为只有分母含sin x或cos x的函数式或sin x＝f(y)[cos x＝f(y)]的形式，由正、余弦函数的有界性求解．
(2) 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式
① y＝asin2x＋bcos x＋c可转化为cos x的二次函数式．
② y＝asin x＋(a，b，c>0)，令sin x＝t，则转化为求y＝at＋(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．
[备课札记]
, 1 三角形中的恒等变换)
, 1) (2017·启东中学模拟)在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知sin＝2cos A.
(1) 求角A的值；
(2) 若B∈，且cos(A－B)＝，求sin B.
解：(1) 因为sin＝2cos A，得sin A＋cos A＝2cos A，即sin A＝cos A．因为A∈(0，π)，且cos A≠0，所以tan A＝，所以A＝.
(2) 因为B∈，所以A－B＝－B∈.
因为sin2(A－B)＋cos2(A－B)＝1，cos(A－B)＝，
所以sin(A－B)＝，
所以sin B＝sin[A－(A－B)]＝sin Acos(A－B)－cos Asin(A－B)＝.
变式训练
(2016·甘肃检测改编)在斜三角形ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为__________．
答案：
解析：由题意知，sin A＝－cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，等式两边同除以cos B·cos C，得tan B＋tan C＝－.又tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，即tan A＝1，所以A＝.
, 2 角的构造技巧与公式的灵活运用)
, 2) 化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β.
解：(解法1)(从“角”入手，复角化单角)
原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)·(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
(解法2)(从“名”入手，异名化同名)
原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos 2αcos 2β
＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2αcos 2β
＝cos2β－cos 2β
＝－cos 2β＝.
(解法3)(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β
＝(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－cos 2α·cos 2β
＝.
(解法4)(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)
原式＝(sin αsin β－cos αcos β)2＋2sin αsin β·cos αcos β－cos 2αcos 2β
＝cos2(α＋β)＋sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β
＝cos2(α＋β)－cos(2α＋2β)
＝cos2(α＋β)－[2cos2(α＋β)－1]＝.
求sin210°＋cos240°－sin 10°cos 140°的值．
解：(解法1)原式＝sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°
＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin 10°cos(30°＋10°)
＝sin210°＋＋sin 10°(cos 10°－sin 10°)
＝(sin210°＋cos210°)＝.
(解法2)设x＝原式＝sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°，y＝cos210°＋sin240°＋cos10°sin40°，
则x＋y＝1＋1＋sin 10°cos 40°＋cos 10°sin 40°＝2＋sin 50°，
x－y＝cos 80°－cos 20°－＝cos(50°＋30°)－cos(50°－30°)－＝－sin 50°－，
上述两式相加得2x＝，即x＝，
故原式＝.
, 3 三角恒等变换与三角函数性质的综合问题)
●典型示例
, 3) 如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈.将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1) 若x1＝，求x2；
(2) 分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D.记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2.若S1＝S2，求角α的值．
【思维导图】
【规范解答】
解：(1) 由三角函数定义，得x1＝cos α，x2＝cos，
因为α∈，cos α＝，所以sin α＝＝＝.
所以x2＝cos＝cos α－sin α＝.
(2) 依题意得y1＝sin α，y2＝sin.
所以S1＝x1y1＝cos αsin α＝sin 2α，
S2＝|x2|y2＝sin|cos|＝－sin.
依题意得sin 2α＝－sin＝－sin 2αcos －cos 2αsin ，整理得tan 2α＝－.
因为＜α＜，所以＜2α＜π，所以2α＝，故α＝.
●总结归纳
这类以角的终边上的点的坐标为背景的综合题，通常应考虑应用三角函数的定义将问题转化为三角函数问题，灵活运用三角恒等变形解决问题．
●题组练透
1. 如图所示，角α终边上一点P的坐标是(3，4)，将OP绕原点旋转45°到OP′的位置，则点P′的坐标为__________．
答案：
解析：设P′(x，y)，sin α＝，cos α＝，∴ sin(α＋45°)＝，cos(α＋45°)＝－.
∴ x＝5cos(α＋45°)＝－，y＝5sin(α＋45°)＝.∴ P′.
2. (原创)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则tan 2α＝__________．
答案：
解析：因为A点纵坐标为yA＝，且A点在第二象限，又圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－.由三角函数的定义可得cos α＝－.因为α的终边在第二象限，所以sin α＝＝.所以tan α＝＝－，故tan 2α＝＝.
3. (2016·江西联考)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α.若BC＝1，则cos2 －sin cos －的值为________．
答案：
解析：由题意得|OB|＝|BC|＝1，从而△OBC为等边三角形，∴ sin ∠AOB＝sin＝，cos2－sin cos －＝·－－＝－sin α＋cos α＝sin＝sin＝sin＝.
4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C均在单位圆上．已知点A在第一象限且横坐标是，点B在第二象限，点C(1，0)．
(1) 设∠COA＝θ，求sin 2θ的值；
(2) 若△AOB为正三角形，求点B的坐标．
解：(1) 由题设得cos θ＝，因为点A在单位圆上且在第一象限，所以sin θ＝，从而sin 2θ＝2sin θcos θ＝.
(2) 因为△AOB为正三角形，所以∠BOC＝∠AOC＋60°＝θ＋60°，
所以cos ∠BOC＝cos(θ＋60°)＝cos θcos 60°－sin θsin 60°＝，sin ∠BOC＝sin(θ＋60°)＝sin θcos 60°＋cos θsin 60°＝，因此点B的坐标为.
1. 已知θ为锐角，sin(θ＋15°)＝，则cos(2θ－15°)＝________．
答案：
解析：因为θ为锐角，且sin(θ＋15°)＝∈，所以θ＋15°∈(45°，60°)，2θ＋30°∈(90°，120°)，所以cos(2θ＋30°)＝1－2sin2(θ＋15°)＝1－2×＝－，从而sin(2θ＋30°)＝＝，所以cos(2θ－15°)＝cos[(2θ＋30°)－45°]＝cos(2θ＋30°)cos 45°＋sin(2θ＋30°)sin45°＝－×＋×＝.
2. 已知A(xA，yA)是单位圆(圆心为坐标原点O，半径为1)上任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交单位圆于点B(xB，yB)．已知m>0，若myA－2yB的最大值为3，则m＝________．
答案：＋1
解析：myA－2yB＝msin θ－2sin(θ＋60°)＝(m－1)sin θ－cos θ，则(m－1)2＋3＝9，而m>0，故m＝＋1.
3. (2016·河南六市联考改编)设a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为____________．
答案：cBa>bsin A>sin B.
(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4) △ABC的面积公式
① S＝a·h(h表示a边上的高)；
② S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝；
③ S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)；
④ S＝，其中P＝(a＋b＋c)．
, 1 正弦定理、余弦定理的简单应用)
, 1) (1) (2016·苏北四市模拟)在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为，则BC边长为__________．
(2) (2016·连云港模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B＝__________．
答案：(1) 7 (2)
解析：(1) 因为△ABC的面积为AB×ACsin 120°＝××AC＝，解得AC＝5.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝9＋25＋15＝49，所以BC＝7.
(2) 根据正弦定理，设＝＝＝k，则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，代入asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，整理得sin Acos C＋cos Asin C＝，即sin(A＋C)＝.又sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，所以sin B＝.因为a>b，所以B必为锐角，所以B＝.
变式训练
(1) (2016·南昌模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c＝1，B＝45°，cos A＝，则b＝__________．
(2) (2016·常州调研)在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于__________．
答案：(1) (2)
解析：(1) ∵ cos A＝，0＜A＜π，∴ sin A＝.又B＝45°，
∴ sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.由正弦定理得＝，即＝，∴ b＝.
(2) 由余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2AB·BCcos B，即()2＝22＋AB2－4AB·cos 60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是ABsin 60°＝.
, 2 利用正、余弦定理判定三角形的形状)
, 2) 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1) 求A的大小；
(2) 若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
解：(1) 由已知，根据正弦定理得
2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
故cos A＝－.又0C.由三个内角的度数成等差数列，则B＝60°，由余弦定理知b2＝c2＋(mc)2－2×mc×c×，即b2＝(m2－m＋1)c2，
代入cos A＝<0，化简得m>2.
4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝，A＋3C＝π.
(1) 求cos C的值；
(2) 求sin B的值；
(3) 若b＝3，求△ABC的面积．
解：(1) 因为A＋B＋C＝π，A＋3C＝π，所以B＝2C.
又由正弦定理，得＝，即＝，
＝，化简得cos C＝.
(2) 因为C∈(0，π)，
所以sin C＝＝＝.
所以sin B＝sin 2C＝2sin Ccos C＝2××＝.
(3) 因为B＝2C，所以cos B＝cos 2C＝2cos2C－1＝2×－1＝－.因为A＋B＋C＝π，
所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝.
因为＝，b＝3，所以c＝.
所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×3××＝.
1. 在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________．
答案：1
解析：＝＝·＝·＝1.
2. (2016·河南六市联考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin A＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为________．
答案：
解析：由S△ABC＝bcsin A＝，得bc＝3 ①，
又由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得b2＋c2＝6 ②.
由①②解得b＝.
3. (2016·青岛调研改编)已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是________．
答案：2＜a＜
解析：若a是最大边，则所以3＜a＜；
若3是最大边，则所以2＜a＜3；
当a＝3时符合题意，综上2＜a＜，故a的取值范围是2＜a＜.
4. △ABC中D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.
(1) 求；
(2) 若∠BAC＝60°，求∠B.
解：(1) 由正弦定理，得＝，＝.因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以＝＝.
(2) 因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，
所以sin∠C＝sin(∠BAC＋∠B)＝cos∠B＋sin∠B.
由(1)知2sin∠B＝sin∠C，所以tan∠B＝，故∠B＝30°.
1. (1) 已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
(2) 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
2. (1) 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解题的关键．
(2) 熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．
3. 在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求解．
[备课札记]
第8课时 解三角形应用举例(对应学生用书(文)、(理)67～69页)
正余弦定理在应用题中的应用．
能准确地建立数学模型，并能运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量学、力学、运动学及几何计算有关的实际问题．
1. (必修5P10练习2改编)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为____________ m.
答案：50
解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，所以AB＝＝＝50(m)．
2. (必修5P20练习3改编)两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都是5 n mile，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________n mile.
答案：5
解析：由题意知AC＝BC＝5，则∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，则由余弦定理得
AB＝
＝＝＝5.
3. (2016·成都模拟改编)如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为__________m.
答案：30＋30
解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝.由正弦定理，得＝
eq f(AB,sin 15°)，所以PB＝＝30(＋)．所以建筑物的高度为PBsin 45°＝30(＋)×＝(30＋30) m.
4. (必修5P14例3改编)如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为________．
答案：锐角三角形
解析：设增加同样的长度为x，原三边长为a，b，c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c.新的三角形的三边长为a＋x，b＋x，c＋x，知c＋x为最大边，其对应角最大．而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．
5. (必修5P20练习4改编)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝__________m.
答案：15
解析：由题意可知在△BCD中，∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，则∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°.
由正弦定理可得BC＝＝＝15.
又在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
所以AB＝BC·tan ∠ACB＝15×＝15(m)．
1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
2. 实际问题中的常用角
(1) 仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．
(2) 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．
(3) 方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
(4) 坡度＝，即坡角的正切值．
[备课札记]
, 1 测量距离问题)
, 1) (2016·广州模拟)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，他在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB＝45°，DC＝CE＝1(百米)．
(1) 求△CDE的面积；
(2) 求A，B之间的距离．
解：(1) 连结DE，在△CDE中，∠DCE＝360°－90°－15°－105°＝150°，S△ECD＝DC·CE·sin 150°＝×sin 30°＝×＝(平方百米)．
(2) 依题意知，在Rt△ACD中，
AC＝DC·tan ∠ADC＝1×tan 60°＝.
在△BCE中，∠CBE＝180°－∠BCE－∠CEB＝180°－105°－45°＝30°.
由正弦定理＝，
得BC＝·sin ∠CEB＝×sin 45°＝.
因为cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝.
连结AB，在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos ∠ACB
可得AB2＝()2＋()2－2××＝2－，所以AB＝＝(百米)．
变式训练
(2016·青岛模拟)如图，在海中一孤岛D的周围有2个观察站A，C，已知观察站A在岛D的正北5 n mile处，观察站C在岛D的正西方．现在海面上有一船B，在A点测得其在南偏西60°方向4 n mile处，在C点测得其在北偏西30°，则两观测点A与C的距离为________n mile.
答案：2
解析：由题意可得∠E＝30°，∠ABC＝90°.在Rt△ADE中，AE＝＝10(n mile)，所以EB＝AE－AB＝6(n mile)．
在Rt△EBC中，BC＝BE·tan 30°＝2(n mile)，
在Rt△ABC中，AC＝＝2(n mile)．
, 2 测量高度问题)
, 2) 如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为10 m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°
.
(1) 求烟囱AB的高度；
(2) 如果要在CE间修一条直路，求CE的长．
解：(1) 设AB的高度为h.在△CAB中，因为∠ACB＝45°，所以CB＝h.
在△OAB中，因为∠AOB＝30°，∠AEB＝60°，
所以OB＝h，EB＝h.
由题意得h－＝10，解得h＝15.
故烟囱AB的高度为15 m.
(2) 在△OBC中，cos ∠COB＝＝＝.
所以在△OCE中，CE2＝OC2＋OE2－2OC·OE·cos∠COE＝300＋300－600×＝100.
故CE的长为10 m.
(2016·大连联考)如图，为测得河岸上塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________ m.
答案：10
解析：在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中tan 60°＝，AB＝BCtan 60°＝10.
, 3 测量角度问题)
, 3) 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(－1) n mile 的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A为2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的 速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
解： 如题图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.
设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD＝10t，BD＝10t.在△ABC中，∵ AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴ 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos 120°＝6，∴ BC＝.∵ cos ∠CBA＝＝＝，
∴ ∠CBA＝45°，即B在C正东．
∵ ∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理得
sin ∠BCD＝＝＝，
∴ ∠BCD＝30°.
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．
变式训练
(2016·石家庄模拟)已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3 n mile 的B处有一艘缉私艇，岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h 的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5 h能截住该走私船？(参考数据：sin38°＝，sin22°＝)
解：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x n mile，则BC＝0.5x n mile，AC＝5 n mile，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°.
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得，sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝38°.又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故缉私艇以每小时14 n mile的速度向正北方向行驶，恰好用0.5 h截住该走私船．
1. 在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为________m.
答案：
解析：如图，设AB表示山高，CD表示塔高，则∠DBC＝60°－30°＝30°，∠ABC＝90°－60°＝30°，连结AC.
在Rt△BAC中，cos ∠ABC＝，
∴ BC＝＝＝.
∵ ∠DCB＝90°－60°＝30°，
∴ ∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB＝120°.
由正弦定理得＝，
故DC＝＝.
2. 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，该仪器的垂直弹射高度CH为________m．(声音的传播速度为340 m/s)
答案：140
解析：由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－×340＝x－40.在△ABC中，由余弦定理得|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos ∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，
解得x＝420.在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以|CH|＝|AC|·tan∠CAH＝140.
3. (2016·泰州调研)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是__________km.
答案：3
解析：画出示意图如图，由条件知AB＝24×＝6(km)．在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6(km)，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝，所以BS＝＝3(km)．
4. (2016·临沂模拟)在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于__________．
答案：5
解析：(解法1)如图，取AB中点G，连结DG，则DG∥BC，∠AGD＝120°.[来源:Z+xx+k.Com]
分别过B，C作DG的垂线，可求得BE＝CF＝，DG＝4，
所以四边形面积S＝S△AGD＋S四边形GBCD＝AG×DG×sin 120°＋×(DG＋BC)×BE＝5.
(解法2)连结BD，在△DBC中，BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，所以BD＝2，AB⊥BD，
所以四边形ABCD的面积为S△ABD＋S△CBD＝×4×2＋×2×2×＝5.
1. 甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东______ (填角度)的方向前进．
答案：30°
解析：设两船在C处相遇，则由题意∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝.由正弦定理得＝＝sin∠BAC＝.又0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°.
2. 某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶．公路的走向是M站的北偏东40°.开始时，汽车到A的距离为31 km，汽车前进20 km后，到A的距离缩短了10 km.求此时汽车离汽车站的距离．
解：由题设，画出示意图，设汽车前进20 km后到达B处．
在△ABC中，AC＝31，BC＝20，AB＝21，由余弦定理，得
cos C＝＝，
则sin2C ＝1－cos2C＝，sin C＝，
所以sin∠MAC ＝ sin(120°－C)
＝sin120°cosC－cos120°sinC ＝.
在△MAC中，由正弦定理，得
MC＝＝×＝35，
从而有MB＝MC－BC＝15(km)，
故汽车离汽车站的距离是15 km.
3. (2016·滨州模拟改编)如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，某课外小组的同学在岸边选取C，D两点，测得CD＝200 m，∠ADC＝105°，∠BDC＝15°，∠BCD＝120°，∠ACD＝30°，则A，B两点间的距离是__________．
答案：200 m
解析：在△ACD中，由正弦定理有＝，解得AC＝100(＋1) m．在△BCD中，由正弦定理解得BC＝100(－1)(m)，∠BCA＝∠BCD－∠ACD＝90°，所以在Rt△ACB中，AB＝200(m)．
4. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？
解：设∠AOB＝α，在△AOB中，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2×OA×OBcos∠AOB＝12＋22－2×1×2×cosα
＝5－4cosα，
于是，四边形OACB的面积为
S＝S△AOB＋ S△ABC＝OA·OBsinα＋AB2
＝×2×1×sinα＋(5－4cosα)
＝sinα－cosα＋＝2sin＋.
因为0＜α＜π，所以当α－＝，α＝，即∠AOB＝时，
四边形OACB面积最大．
1. (1) 利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．
(2) 利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．
(3) 应用题要注意作答．
2. (1) 测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念．
(2) 分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形中应用正、余弦定理．
(3) 注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形．
第9课时 三角函数的综合应用(对应学生用书(文)、(理)70～72页)
理解和掌握同角三角函数的基本关系式、三角函数的图象和性质、两角和与差的正弦余弦与正切公式、二倍角公式及正弦定理和余弦定理，并能运用它们解决有关三角函数的综合问题．
1. C级考点：两角和与差的正弦余弦和正切公式2. B级考点：① 同角三角函数的基本关系式；② 二倍角公式；③ 三角函数的图象和性质；④ 正弦定理和余弦定理．
1. (必修5P11第6题改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A＝120°，b＝1，且△ABC的面积为，则c＝__________．
答案：4
解析：S△ABC＝bcsin 120°＝，即c×＝，∴ c＝4.
2. 函数y＝sin x·cos x·cos 2x的最小正周期为_________．
答案：
解析：y＝sin 2x·cos 2x＝sin 4x，最小正周期为T＝＝.
3. 在△ABC中，若＝＝，则△ABC的形状是__________．
答案：等腰直角三角形
解析：由＝＝及正弦定理得，tan B＝tan C＝1，且B，C是三角形的内角，所以B＝C＝，A＝，故△ABC是等腰直角三角形．
4. △ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C，bcos B，ccos A成等差数列，则角B等于________．
答案：60°
解析：acos C＋ccos A＝2bcos B，由正弦定理得sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos B，sin(A＋C)＝2sin Bcos B，即sin B
＝2sin Bcos B，得cos B＝.又0°＜B＜180°，所以B＝60°.
5. (必修5P12第10题改编)函数y＝cos 2x－2cos x的值域是__________．
答案：
解析：y＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1＝2(cos x－)2－.因为cos x∈[－1，1]，所以y∈.
1. 同角三角函数的基本关系式
sin2α＋cos2α＝1，tan α＝.
2. 两角和与差的正弦余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos(α±β)＝cos αcos βsin αsin β，tan(α±β)＝.
3. 二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan 2α＝.
4. 三角函数的图象和性质
5. 正弦定理和余弦定理
(1) 正弦定理：＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径)．
(2) 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，cos A＝.
[备课札记]
, 1 三角函数与解三角形)
, 1) (2016·江苏卷)在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.
(1) 求AB的长；
(2) 求cos的值．
解：(1) 因为cos B＝，00，则cos A＝>0.
∵ 0.
因此角A的取值范围是.
3. 设角A，B，C为△ABC的三个内角，已知cos(B＋C)＋sin2＝.
(1) 求角A的大小；
(2) 若·＝－1，求BC边上的高AD长的最大值．
解：(1) 由题意知－cosA＋＝，
解得cos A＝－.因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2) 设a，b，c分别是角A，B，C的对边，
由·＝－1，知bc＝2，
所以S△ABC＝bcsin A＝.
而a＝≥＝，
当且仅当b＝c＝时，上式取等号，
所以BC边上的高AD的最大值为.
4. 已知函数f(x)＝2sin2(x＋)－cos2x，x∈，设x＝α时f(x)取到最大值．
(1) 求f(x)的最大值及α的值；
(2) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝α－，且sinBsinC＝sin2A，判断△ABC的形状．
解：(1) 由题意可得
f(x)＝－cos2x
＝1＋sin2x－cos2x＝1＋2sin.
又x∈，∴ ≤2x－≤，
故当2x－＝，即x＝α＝时，f(x)max＝3；
(2) 由(1)知A＝α－＝，
又sinBsinC＝sin2A，∴ bc＝a2.
∵ a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc,
∴ b2＋c2－bc＝bc，即(b－c)2＝0，故b＝c.
∴ △ABC是等边三角形．
5. (2016· 四川卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.
(1) 求证：sin Asin B＝sin C；
(2) 若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.
(1) 证明：根据正弦定理，可设＝＝＝k(k＞0)，
则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.
代入＋＝，得
＋＝，可变形得
sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以sin Asin B＝sin C.
(2) 解：由已知，b2＋c2－a2＝bc，
根据余弦定理，有cos A＝＝.
所以sin A＝＝.
由(1)，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin B＝cos B＋sin B，
故tan B＝＝4.
1. 三角变换的基本策略是化异为同，即将函数名称、角、次数等化异为同．
2. 对于函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B，常用“五点法”画图象，运用整体思想研究性质．
3. 求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性．
4. 解三角函数的综合题时应注意：
(1) 与已知基本函数对应求解，即将ωx＋φ视为一个整体X.
(2) 将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsinx＋c.
(3) 换元方法在解题中的运用．
[备课札记]
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