专题57+空间向量的概念与运算（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习

专题57+空间向量的概念与运算（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习

‎【学习目标】‎ ‎1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式．‎ ‎2．理解空间向量的概念，理解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．‎ ‎3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．‎ ‎4．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．‎ ‎【知识要点】 1．空间向量的有关概念 ‎(1)在空间中，我们把具有______和______的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的___________，用____表示，长度为零的向量叫做零向量，记为____；模为____的向量叫做单位向量．‎ ‎(2)长度相等且方向相同的向量叫做__________，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量_______．‎ ‎2．空间向量的加、减法法则和运算律 ‎(1)向量加法运算法则是__________法则或________法则，即①加法法则：＝＋；②减法法则：＝－.‎ ‎(2)运算法则：①加法交换律：a＋b＝_______；②加法结合律：(a＋b)＋c＝____________．‎ ‎(3)线段AB的中点公式：设O是空间任意一点，点P是线段AB的中点，则＝_____________．‎ ‎3．向量的数乘运算 ‎(1)实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的___________，向量λa的长度为_____，当λ＞0时与a同向，当λ＜0时与a反向．‎ ‎(2)运算法则：①数乘分配律：λ(a＋b)＝_________；②数乘结合律：λ(μa)＝_________．‎ ‎4．平行向量(共线向量)‎ ‎(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 ____________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作a∥b.‎ ‎(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a(a≠0)，b，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ使b＝______．‎ ‎5．向量与平面平行 ‎(1)如果表示向量a的有向线段所在直线与平面α____或a在α平面____，我们就说向量a平行于平面α，记作a∥α.‎ ‎(2)共面向量：我们把平行于同一_______的向量叫做共面向量．‎ ‎(3)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的实数对x，y，使p＝___________．‎ ‎6．空间向量基本定理 ‎(1)基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使p＝______________．‎ ‎(2)三个向量a，b，c不共面，我们把{a，b，c}叫做空间的一个_______，a，b，c都叫做_________．‎ ‎7．空间两向量的数量积 ‎(1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．‎ ‎①规定___≤〈a，b〉≤___，因而〈a，b〉＝〈b，a〉；‎ ‎②如果〈a，b〉＝____，则称a与b互相垂直，记作a⊥b；‎ ‎③如果非零向量a，b同向，则〈a，b〉＝____；如果非零向量a，b反向，则〈a，b〉＝____．‎ ‎(2)向量的模长公式：|a|＝______________．‎ ‎(3)向量的数量积定义：|a||b|cos 〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝__________________．‎ ‎(4)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)．‎ ‎8．空间向量的坐标运算 ‎(1)若O为原点，A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)为空间任意两点，则＝____________，＝_____________________．‎ ‎(2)各种运算的坐标表示：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则①a＋b＝____________________；‎ ‎②a－b＝_____________________；‎ ‎③λa＝__________________；④a·b＝________________．‎ ‎(3)平行、垂直、模长、夹角的坐标表示：‎ ‎①a∥b⇔____________________________________；‎ ‎②a⊥b⇔_________________；③|a|＝____________；‎ ‎④cos 〈a，b〉＝___________________________；‎ ‎(4)空间两点的距离公式：设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)为空间任意两点，则|AB|＝_______________________________________‎ ‎【高考模拟】‎ 一、单选题 ‎1．已知,且，则x=( )‎ A． 5 B． 4 C． -4 D． -5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量平行，坐标对应成比例可求得x.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量平行的坐标关系，两向量平行，坐标对应成比例。‎ ‎2．已知空间向量 向量且,则不可能是 A． B． 1 C． D． 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题求得的坐标，求得，结合可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ 利用柯西不等式可得 ‎ ‎.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量的线性坐标运算及空间向量向量模的求法，属基础题.‎ ‎3．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）‎ A． 1 B． 2 C． 4 D． 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立适当的空间直角坐标系，利用坐标计算即可得到结果 ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量数量积的运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段。‎ ‎4．在中，，，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：由平面向量基本定理=，进而可计算 详解：‎ 故选D.‎ 点睛：本题主要考查平面向量的线性运算，平面向量的基本定理，属于基础题。‎ ‎5．向量，，，中，共面的三个向量是（ ）．‎ A． ，， B． ，， C．，， D． ，，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 假设三向量共面，根据共面定理，得出向量的线性表示，列出方程组，求出方程组的解，即可判断这组向量是否共面．‎ ‎【详解】‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了判断空间向量是否共面的问题，属于基础题．‎ ‎6．在四面体中，点为棱的中点. 设, ，，那么向量用基底可表示为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据点为棱的中点，则，然后利用空间向量的基本定理，用表示向量即可.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量的基本定理，以及向量的中点公式，要求熟练掌握，同时考查了转化与划归的思想的应用，属于基础题.‎ ‎7．已知向量分别是直线的方向向量，若，则 (　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用列方程组求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量共线的性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题.‎ ‎8．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为(　　)‎ A． B． － C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设D(x，y，z)，根据求出D(，，0)，再根据CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值. ‎ ‎【详解】‎ 设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，‎ ‎∵＝2，∴∴‎ ‎∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，‎ ‎∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－．‎ 故答案为：B ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查向量的线性运算和空间向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2).‎ ‎9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且则m，n的值分别为(　　)‎ A． ，－ B． －，－ C． －， D． ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用向量的线性运算化简得＝＋＋,比较系数得m＝，n＝－.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的线性运算和空间向量的基本定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎10．若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是(　　)‎ A． a B． b C． c D． a＋b ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再对每一个选项逐一判断得解.‎ ‎【详解】‎ 因为a＝p＋q，所以a、p、q共面，故a、p、q不能构成空间的一个基底，排除A；因为b＝p－q，所以b、‎ p、q共面，故b、p、q不能构成空间的一个基底，排除B；因为a＋b＝p－q，所以a＋b、p、q共面，故a＋b、p、q不能构成空间的一个基底，排除D；‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查空间向量的基底和共面向量，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)如果空间向量不共面，则空间向量，则称向量{}是空间的一个基底.‎ ‎11．已知在正方体ABCD - A1B1C1D1中,E为侧面BCC1B1的中心.( )‎ A． 1 B． C． 2 D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用向量的三角形法则、空间向量基本定理即可得出.‎ 点睛：本题考查了向量的三角形法则、空间向量的基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎12．如图，在空间四边形中，点为中点，点在上，且, 则等于 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果.‎ 详解：由题意可得 ‎ ‎，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题.‎ ‎13．如图，是的重心，，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用平面向量的基本定理，把向量，用表示出来，从而求出系数即可. ‎ 点睛：本题考查了空间向量的基本定理，及向量的线性运算，试题属于基础题，熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎14．如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角为 则 ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设菱形中横向单位向量为纵向单位向量为 ，则，，， ，故选B.‎ ‎15．在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ ‎ 点睛：此题主要考查了向量数量积的坐标运算，以及直线方程和两点间距离的计算等方面的知识与技能，还有坐标法的运用等，属于中高档题，也是常考考点.根据题意，把运动（即的位置在变）中不变的因素（）找出来，通过坐标法建立合理的直角坐标系，把点的坐标表示出来，再通过向量的坐标运算，列出式子，讨论其最值，从而问题可得解.‎ ‎16．已知中， ， ， ．在三角形所在的平面内有两个动点和，满足， ，则的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则B（4，0），C（0，6），‎ ‎∵=2，∴M的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆．‎ ‎∵，∴N是MC的中点．‎ 设M（2cosα，2sinα），则N（cosα，sinα+3），‎ ‎∴=（cosα﹣4，sinα+3），‎ ‎∴||2=（cosα﹣4）2+（sinα+3）2=6sinα﹣8cosα+26=10sin（α﹣φ）+26，‎ ‎∴当sin（α﹣φ）=﹣1时，||取得最小值4，‎ 当sin（α﹣φ）=1时， |取得最大值6．‎ 故选：B．‎ 点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.‎ ‎17．平行六面体中，向量两两的夹角均为，且， ,则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A 故答案为：A． ‎ 点睛：这个题目考查了向量在空间立体几何中的应用，可以通过建系的方法来求得线面角，线线角，面面角，以及判断线面关系等，在一些不易建系的图中，也可以应用自由向量的方法，基底化达到目的.‎ ‎18．A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0, ·=0, ·=0,M为BC的中点,则△AMD是(　　)‎ A． 钝角三角形 B． 锐角三角形 C． 直角三角形 D． 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图根据条件， ， 为直角三角形，故选C. ‎ ‎19．已知若三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ）。‎ A． 0 B． C． 9 D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】， 三向量不能构成空间的一个基底， 与不平行，又 三向量共面，则存在实数，使，即，解得，故选D.‎ ‎20．已知点，若则点C的坐标为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B 二、填空题 ‎21．已知向量，其中，若，则_____________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，把其中两个作为方程组求解，得到的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵， ∴，‎ ‎∴ ①②联立得到 ， 故答案为：2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量共线的坐标表示，解题的关键是设出实数λ，根据充要条件写出两个变量之间的关系．‎ ‎22．已知平面平面，且，在l上有两点A，B，线段，线段，并且，，，，，则______．‎ ‎【答案】26‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出=，从而=（）2=，由此能出CD．‎ ‎【详解】‎ 故答案为：26．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两点间距离的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎23．在空间直角坐标系中， ,则=____‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题，然后利用向量的数量积坐标运算计算的值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量的应用，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎24．在空间直角坐标系中，已知，，则两点之间的距离 为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入空间两点之间的距离公式，求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎：∵点A（1，-3，1），B （-1，0，2），‎ ‎∴A、B两点之间的距离 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 空间两点间的距离公式，‎ ‎25．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列给出四个命题：‎ ‎(1)四边形ABC1D1的面积为 (2)的夹角为60°；(3)；‎ 则正确命题的序号是______．(填出所有正确命题的序号)‎ ‎【答案】(1) (3) (4)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合正方体图形，分别对四个命题进行判断 ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系以及夹角和面积，用到向量的加减法，夹角及向量的数量积，熟练掌握正方体中的线线位置关系及夹角与向量的有关知识方法是做好本题的关键。‎ ‎26．如图，在平行六面体中，，，，，，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先，画出图形，然后，结合=，两边平方，同时结合数量积的运算法则进行计算即可．‎ ‎【详解】‎ 平行六面体，如图所示：‎ ‎【点睛】‎ 本题重点考查了向量的坐标分解，向量的加法运算法则与运算律、数量积的运算等知识，属于中档题．‎ ‎27．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则 B与D之间的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N．则可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1．再求出＝＋＋，平方即得||＝．‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查空间向量的线性运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)空间向量的模.‎ ‎28．已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P是x轴上的动点，当取最小值时，点P的坐标为__________．‎ ‎【答案】(，0,0)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设P(x,0,0)，求出·＝x(x－1)＋2＝(x－)2＋，再利用二次函数求出函数的最小值和此时点P的坐标.‎ ‎【详解】‎ 设P(x,0,0)，则＝(x－1，－2,0)，＝(x，－1,1)，‎ ‎·＝x(x－1)＋2＝(x－)2＋，‎ ‎∴当x＝时，·取最小值，此时点P的坐标为(，0,0)．‎ 故答案为：(，0,0)‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查空间向量的坐标表示和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) .‎ ‎29．设空间向量，，且，则__________．‎ ‎【答案】-2. ‎ ‎【解析】分析：，利用向量共线定理即可得出结论 点晴：本题主要考察空间向量的平行，注意熟记平面向量平行垂直的计算，空间向量的平行垂直的计算 ‎30．设向量，，且，则的值为__________．‎ ‎【答案】168‎ ‎【解析】分析：因为，我们可以设，然后根据数乘向量相等的充要条件，我们可以构造方程组，解方程组，再利用向量数量积的坐标运算即可得到答案. ‎ 详解： ，‎ 设，‎ 又 ，，‎ ‎，‎ 即，‎ 解得，‎ ‎ .‎ 故.‎ 故答案为：168.‎ 点睛：本题考查的知识点是向量平行的充要条件，根据向量平行的充要条件构造方程组是解决此类问题的关键，同时考查了向量数量积的坐标运算.‎ ‎31．已知向量，若，则__________．‎ ‎【答案】-7‎ ‎ ‎ ‎32．已知，，则直线与坐标平面的交点坐标为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设直线与坐标平面的交点为，则，即，，‎ ‎∴，，，∴，，，‎ ‎∴，，∴直线与平面的交点坐标为，故答案为．‎ ‎33．已知正方形边长为， 是线段的中点，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得： ， ，‎ 故．‎ 点晴:平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.‎ ‎34．已知空间三点，若，且分别与垂直，则向量__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由题意得，‎ 答案： 或 ‎35．已知，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，‎ 所以,‎ 所以．‎ 答案： ‎ ‎36．已知空间向量， ，若，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】，得。‎ ‎37．如图，在三棱锥P—ABC中， M是侧棱PC的中点，且，则x＋y＋z的值为______．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】在三棱锥P—ABC中， M是侧棱PC的中点，所以.‎ 又， .‎ 所以.‎ 所以.‎ 故答案为0. ‎ ‎38．若是为斜边的直角三角形的三个顶点,则_________.‎ ‎【答案】-11‎ ‎ ‎ ‎39．下列四个命题：（1）已知向量是空间的一组基底，则向量也是空间的一组基底；（2） 在正方体中，若点在内，且，则的值为1；（3） 圆上到直线的距离等于1的点有2个；（4）方程表示的曲线是一条直线.其中正确命题的序号是________.‎ ‎【答案】(1)(2)(4)‎ ‎【解析】（1）已知向量是空间的一组基底，即向量不共面，则也不共面，所以向量是空间的一个基底，正确；（2）， ， ‎ ‎ ，正确；（3）由圆的方程，得到圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为， 圆上的点到直线的距离为的点有个，错误；（4）由题意可化为或， 不成立， 方程 表示的曲线是一条直线，正确，故答案为(1)(2)(4). ‎ ‎40．若向量， 且，则______.‎ ‎【答案】和 ‎【解析】 ， 可设，又， ， 或，故答案为或.‎ 三、解答题 ‎41．三棱柱中，分别是、上的点，且，.设，，.‎ ‎(1)试用表示向量；‎ ‎(2)若，，，求MN的长.‎ ‎【答案】(1). (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由空间向量的运算法则结合三棱柱的空间结构特征可得.‎ ‎(2)由题意计算可得，结合(1)的结论可知.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量的运算法则，空间向量模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎42．如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点。‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值。‎ ‎【答案】(1)证明见解析.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系，（1）求出向量 ‎，由空间向量垂直的坐标表示可得结论；(2)先确定点的位置，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的法向量，取平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.‎ 详解：依题意，以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系如图，‎ 可得 由为棱的中点，得 ‎（2）‎ 由点在棱上，设 故 由，得 因此，‎ 即 设为平面的法向量，则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量 取平面的法向量，则 所以二面角的余弦值为 点睛：本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎43．若e1、e2、e3是三个不共面向量，则向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？请说明理由．‎ ‎【答案】共面 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设c＝λ1a＋λ2b,再把已知代入得，解方程即得λ1＝，λ2＝－，所以共面.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查空间向量的共面的判断，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) a、b、c满足c＝λ1a＋λ2b则a、b、c共面.‎ ‎44．设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”.‎ ‎（1）设，，若，求向量；‎ ‎（2）对于中的任意两个向量，，证明：；‎ ‎（3）对于中的任意单位向量，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）或；（2）见解析；（3）最大值为.‎ ‎【解析】分析：（1），设，代入运算得：‎ ‎，从而可得结果；（2）设，，，则利用“向量函数”的解析式化简，从而可得结果；（3）设与的夹角为，则，则，即最大值为.‎ 详解：（1）依题意得：，设，代入运算得：‎ 或；‎ ‎（3）设与的夹角为，则，‎ 则，故最大值为.‎ 点睛：新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.‎ ‎45．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于600，是PC的中点，‎ 设．‎ ‎（1）试用表示出向量；‎ ‎（2）求的长．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据向量加法法则，得 ‎ ‎ 再根据正方形中，结合代入化简即得用表示向量的式子； （2）由题意得的模长分别为1、1、2，利用数量积公式结合题中角度算出 代入 ‎ 的表示式算出，从而得到的长等于．‎ ‎【详解】‎ ‎（2）‎ ‎ .‎ ‎【点睛】‎ 本题在四棱锥中用表示出向量，并根据给出的数据求的长度．着重考查了向量的线性运算法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题．‎ ‎46．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．‎ ‎(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间向量平行和垂直的坐标关系得到所求．‎ ‎【详解】‎ ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，‎ a－3b＝(7，－4，－16)．‎ ‎(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，‎ 则＝＝，解得k＝－.‎ ‎(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，则(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，‎ 解得k＝.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间向量的平行和垂直的坐标关系，属于基础题．‎ ‎47．设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证：M，N，P，Q四点共面．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合几何性质和空间向量的运算法则可得，则向量，，共面，据此可得M，N，P，Q四点共面．‎ ‎【详解】‎ ‎∵＝，＝，‎ ‎∴＝2，＝2.‎ 又∵＝＋＋‎ ‎＝＋＋ (＋)‎ ‎＝ (＋)＋＋ (＋)‎ ‎＝ (＋)，①‎ 又A，B，C及A1，B1，C1分别共线，‎ ‎∴＝λ＝2λ，＝ω＝2ω.‎ 代入①式，得＝ (2λ＋2ω)‎ ‎＝λ＋ω.‎ ‎∴，，共面．∴M，N，P，Q四点共面．‎ ‎【点睛】‎ 用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比.‎ ‎48．已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面体．‎ ‎(1)化简；‎ ‎(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BC C′ B′对角线B C′上的分点，设，试求α，β，γ的值．‎ ‎【答案】（1）答案见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)方法一　取AA′的中点为E，取F为D′C′的一个三等分点(D′F＝D′C′)，由空间向量的运算法则可得 .‎ 方法二　取AB的三等分点P使得，取CC′的中点Q，由空间向量的运算法则可得 .‎ ‎(2)连结BD，则M为BD的中点，由空间向量的结论可得，则.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)方法一　取AA′的中点为E，则＝.‎ 又＝，＝，取F为D′C′的一个三等分点(D′F＝D′C′)，‎ 则＝.‎ ‎∴＋＋＝＋＋＝.‎ ‎【点睛】‎ 选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．‎ ‎49．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M是AD1中点， N 是BD中点，判断与是否共线？‎ ‎【答案】共线 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合空间向量的运算法则可得，据此可知与共线.‎ ‎【详解】‎ ‎∵M，N分别是AD1，BD的中点，四边形ABCD为平行四边形，连结AC，则N为AC的中点．‎ ‎∴＝ .‎ ‎∴与共线．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量的运算法则，向量共线的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎50．如图所示，已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面体.‎ ‎(1)化简++,并在图中标出其结果；‎ ‎(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设=α,试求α，β，γ的值.‎ ‎【答案】（1）答案见解析；（2）α=,β=,γ=.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)取DD1的中点G，过G作DC的平行线GH，使GH=DC，连接AH，由向量的运算法则可得++=；‎ ‎(2)由题意可得=.则α=,β=,γ=. ‎ ‎【详解】‎ ‎(1)取DD1的中点G，过G作DC的平行线GH，使GH=DC，连接AH，‎ 则++= ;‎ 其结果如图所示.‎ ‎(2)====.‎ ‎∴α=,β=,γ=.‎ ‎【点睛】‎ 选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．‎