高考数学分类汇编导数及其应用

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高考数学分类汇编导数及其应用

www.gkstk.com ‎2016年高考数学试题分类汇编 导数及其应用 一、选择题 ‎1、(2016年山东高考)若函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎2、(2016年四川高考)已知a函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=‎ ‎(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2‎ ‎【答案】D ‎3、(2016年四川高考)设直线l1,l2分别是函数f(x)= 图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B则则△PAB的面积的取值范围是 ‎(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)‎ ‎【答案】A ‎4、(2016年全国I卷高考)若函数在单调递增,则a的取值范围是 ‎(A)(B)(C)(D)‎ ‎【答案】C 二、填空题 ‎1、(2016年天津高考)已知函数为的导函数,则的值为__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎2、(2016年全国III卷高考)已知为偶函数,当 时,,则曲线在点处的切线方程式_____________________________.‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎1、(2016年北京高考)设函数 ‎(I)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(II)设,若函数有三个不同零点,求c的取值范围;‎ ‎(III)求证:是有三个不同零点的必要而不充分条件.‎ 解:(I)由,得.‎ 因为,,‎ 所以曲线在点处的切线方程为.‎ ‎(II)当时,,‎ 所以.‎ 令,得,解得或.‎ 与在区间上的情况如下:‎ 所以,当且时,存在,,‎ ‎,使得.‎ 由的单调性知,当且仅当时,函数有三个不同零点.‎ ‎(III)当时,,,‎ 此时函数在区间上单调递增,所以不可能有三个不同零点.‎ 当时,只有一个零点,记作.‎ 当时,,在区间上单调递增;‎ 当时,,在区间上单调递增.‎ 所以不可能有三个不同零点.‎ 综上所述,若函数有三个不同零点,则必有.‎ 故是有三个不同零点的必要条件.‎ 当,时,,只有两个不同 点, 所以不是有三个不同零点的充分条件.‎ 因此是有三个不同零点的必要而不充分条件.‎ ‎2、(2016年江苏省高考)‎ 已知函数.‎ (1) 设a=2,b=.‎ ① 求方程=2的根;‎ ‎②若对任意,不等式恒成立,求实数m的最大值;‎ ‎(2)若,函数有且只有1个零点,求ab的值.‎ 解:(1)因为,所以.‎ ‎①方程,即,亦即,‎ 所以,于是,解得.‎ ‎②由条件知.‎ 因为对于恒成立,且,‎ 所以对于恒成立.‎ 而,且,‎ 所以,故实数的最大值为4.‎ ‎(2)因为函数只有1个零点,而,‎ 所以0是函数的唯一零点.‎ 因为,又由知,‎ 所以有唯一解.‎ 令,则,‎ 从而对任意,,所以是上的单调增函数,‎ 于是当,;当时,.‎ 因而函数在上是单调减函数,在上是单调增函数.‎ 下证.‎ 若,则,于是,‎ 又,且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和之间存在的零点,记为. 因为,所以,又,所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.‎ 若,同理可得,在和之间存在的非0的零点,矛盾.‎ 因此,.‎ 于是,故,所以.‎ ‎3、(2016年山东高考)设f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x,a∈R.‎ ‎(Ⅰ)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.‎ 解析:(Ⅰ)由 ‎ 可得,‎ 则,‎ 当时,‎ ‎ 时,,函数单调递增;‎ 当时,‎ ‎ 时,,函数单调递增,‎ ‎ 时,,函数单调递减.‎ 所以当时,函数单调递增区间为;‎ 当时,函数单调递增区间为,单调递减区间为. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.‎ ‎①当时,,单调递减.‎ 所以当时,,单调递减.‎ 当时,,单调递增.‎ 所以在x=1处取得极小值,不合题意.‎ ‎②当时,,由(Ⅰ)知在内单调递增,‎ 可得当当时,,时,,‎ 所以在(0,1)内单调递减,在内单调递增,‎ 所以在x=1处取得极小值,不合题意.‎ ‎③当时,即时,在(0,1)内单调递增,在 内单调递减,‎ 所以当时,, 单调递减,不合题意.‎ ‎④当时,即 ,当时,,单调递增,‎ 当时,,单调递减,‎ 所以f(x)在x=1处取得极大值,合题意.‎ 综上可知,实数a的取值范围为.‎ ‎4、(2016年四川高考)设函数f(x)=ax2-a-lnx,g(x)=-,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数。‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)证明:当x>1时,g(x)>0;‎ ‎(Ⅲ)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立。‎ ‎(I) ‎ ‎ <0,在内单调递减.‎ 由=0,有.‎ 当时,<0,单调递减;‎ 当时,>0,单调递增.‎ ‎(II)令=,则=.‎ 当时,>0,所以,从而=>0.‎ ‎(iii)由(II),当时,>0.‎ 当,时,=.‎ 故当>在区间内恒成立时,必有.‎ 当时,>1.‎ 由(I)有,从而,‎ 所以此时>在区间内不恒成立.‎ 当时,令=().‎ 当时,=.‎ 因此在区间单调递增.‎ 又因为=0,所以当时,=>0,即>恒成立.‎ 综上,.‎ ‎5、(2016年天津高考)设函数,,其中 ‎(Ⅰ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若存在极值点,且,其中,求证:;‎ ‎(Ⅲ)设,函数,求证:在区间上的最大值不小于.‎ ‎(1)解:由,可得,下面分两种情况讨论:‎ ①当时,有恒成立,所以的单调增区间为.‎ ②当时,令,解得或.‎ 当变化时,、的变化情况如下表:‎ ‎0‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为,单调递增区间为,.‎ ‎(2)证明:因为存在极值点,所以由(1)知且.‎ 由题意得,即,进而,‎ 又,且,‎ 由题意及(1)知,存在唯一实数满足,且,因此,‎ 所以.‎ ‎(3)证明:设在区间上的最大值为,表示,两数的最大值,下面分三种情况讨论:‎ ①当时,,由(1) 知在区间上单调递减,‎ 所以在区间上的取值范围为,因此,‎ ‎ 所以.‎ ②当时,,‎ 由(1)和(2) 知,,‎ 所以在区间上的取值范围为,‎ 所以 ‎.‎ ‎③当时,,由(1)和(2)知,‎ ‎,,‎ 所以在区间上的取值范围为,因此,‎ ‎.‎ 综上所述,当时,在区间上的最大值不小于.‎ ‎6、(2016年全国I卷高考)已知函数.‎ ‎(I)讨论的单调性;‎ ‎(II)若有两个零点,求的取值范围.‎ ‎【解析】(Ⅰ).‎ ‎( i )当时,则当时,;当时,‎ 故函数在单调递减,在单调递增.‎ ‎( ii )当时,由,解得:或 ‎①若,即,则,‎ 故在单调递增.‎ ‎②若,即,则当时,;当时,‎ 故函数在,单调递增;在单调递减.‎ ‎③若,即,则当时,;当时,;‎ 故函数在,单调递增;在单调递减.‎ ‎(Ⅱ)(i)当时,由(Ⅰ)知,函数在单调递减,在单调递增.‎ 又∵,取实数满足且,则 ‎∴有两个零点.‎ ‎(ii)若,则,故只有一个零点.‎ ‎(iii)若,由(I)知,当,则在单调递增,又当时,,故不存在两个零点;‎ 当,则函数在单调递增;在单调递减.又当时,,故不存在两个零点.‎ 综上所述,的取值范围是.‎ ‎7、(2016年全国II卷高考) 已知函数.‎ ‎(I)当时,求曲线在处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)若当时,,求的取值范围.‎ 解析:(I)的定义域为.当时,‎ ‎,‎ 所以曲线在处的切线方程为 ‎(II)当时,等价于 令,‎ 则,‎ ‎(i)当,时, ,‎ 故在上单调递增,因此;‎ ‎(ii)当时,令得,‎ 由和得,‎ 故当时,,在单调递减,因此.‎ 综上,的取值范围是 ‎8、(2016年全国III卷高考)设函数.‎ ‎(I)讨论的单调性;‎ ‎(II)证明当时,;‎ ‎(III)设,证明当时,.‎ ‎9、(2016年浙江高考)‎ 设函数=,.证明:‎ ‎(I);‎ ‎(II). ‎ 解析:(Ⅰ)因为 由于,有即,‎ 所以 ‎(Ⅱ)由得,‎ 故,‎ 所以.‎ 由(Ⅰ)得,‎ 又因为,所以,‎ 综上,‎
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