【数学】2021届一轮复习人教A版算法初步学案

【数学】2021届一轮复习人教A版算法初步学案

2021 届一轮复习人教 A 版 算法初步 学案 1．三种基本逻辑结构 名称 内容 顺序结构 条件结构 循环结构 定 义 由若干个依次执行的 步骤组成的，这是任 何一个算法都离不开 的基本结构 算法的流程根据条件 是否成立有不同的流 向，条件结构就是处 理这种过程的结构 从某处开始，按照一 定的条件反复执行某 些步骤的情况，反复 执行的步骤称为循环 体 程序框图 2．算法的特征 概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性 3．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能 语句 一般格式 功能 输入语句 INPUT“提示内容”； 变量 输入信息 输出语句 PRINT“提示内容”； 表达式 输出常量、变量的值和系 统信息 赋值语句 变量＝表达式 将表达式的值赋给变量 4．条件语句 (1)算法中的条件结构与条件语句相对应。 (2)条件语句的格式及框图。 ①IF—THEN 格式： ②IF—THEN—ELSE 格式： 5．循环语句 (1)算法中的循环结构与循环语句相对应。 (2)循环语句的格式及框图。 ①UNTIL 语句： ②WHILE 语句： 1．赋值号左边只能是变量(不能是表达式)，在一个赋值语句中只能给一个变量赋值。 2．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；当型循环则是“先判断， 后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的， 它们恰好相反。 一、走进教材 1．(必修 3P25 例 5 改编)如图为计算 y＝|x|函数值的程序框图，则此程序框图中的判断 框内应填________。 解析 输入 x 应判断 x 是否大于等于零，由图知判断框应填 x<0？。 答案 x<0? 2．(必修 3P30 例 8 改编)执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为( ) A．－ 3 2 B． 3 2 C．－1 2 D．1 2 解析 按照程序框图依次循环运算，当 k＝5 时，停止循环，当 k＝5 时，S＝sin5π 6 ＝1 2 。 答案 D 二、走近高考 3．(2018·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的 s 的值为( ) A．1 2 B．5 6 C．7 6 D． 7 12 解析 运行程序框图，k＝1，s＝1；s＝1＋(－1)1×1 2 ＝1 2 ，k＝2；s＝1 2 ＋(－1)2×1 3 ＝5 6 ， k＝3；满足条件，跳出循环，输出的 s＝5 6 。故选 B。 答案 B 4．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示程序框图是为了求出满足 3n－2n>1 000 的最小偶数 n， 那么在 和 两个空白框中，可以分别填入( ) A．A>1 000 和 n＝n＋1 B．A>1 000 和 n＝n＋2 C．A≤1 000 和 n＝n＋1 D．A≤1 000 和 n＝n＋2 解析 因为输出的 n 为偶数，所以 中应填 n＝n＋2。因为输出的是 3n－2n>1 000 时 n 的值，所以 中应填 A≤1 000。故选 D。 答案 D 三、走出误区 微提醒：①注意循环结构中控制循环的条件；②注意区分程序框图是条件结构还是循环 结构。 5．若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为________。 解析 由程序框图可以看出，当 n＝8>6 时，程序结束，故输出 S＝[ 0 ]＋[ 2 ]＋ [ 4 ]＋[ 6 ]＋[ 8 ]＝7。 答案 7 6．更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可 半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。” 如图是关于该算法的程序框图，如果输入 a＝153，b＝119，那么输出的 a 的值是________。 解析 第一次循环得，a＝153－119＝34；第二次循环得，b＝119－34＝85；第三次循 环得，b＝85－34＝51；第四次循环得，b＝51－34＝17；第五次循环得，a＝34－17＝17， 此时 a＝b，输出 a＝17。 答案 17 考点一算法的基本结构 【例 1】 (1)(2019·沈阳质监)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为 0 时，输入的实数 x 的值为( ) A．－3 B．－3 或 9 C．3 或－9 D．－3 或－9 (2)已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( ) A．求首项为 1，公差为 2 的等差数列的前 2 017 项和 B．求首项为 1，公差为 2 的等差数列的前 2 018 项和 C．求首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1 009 项和 D．求首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1 010 项和 解析 (1)当 x≤0 时， 1 2 x－8＝0，x＝－3；当 x>0 时，2－log3x＝0，x＝9。故 x＝－ 3 或 x＝9。故选 B。 (2)由程序框图得，输出的 S＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×5－1)＋…＋(2×2 017－ 1)，可看作数列{2n－1}的前 2 017 项中所有奇数项的和，即首项为 1，公差为 4 的等差数 列的前 1 009 项的和。故选 C。 答案 (1)B (2)C 处理循环结构的程序框图问题时，一定要正确确定循环的次数，按照程序框图的规定逐 次运算，直到退出循环。 【变式训练】 (1)已知如图所示的程序框图的输入值 x∈[－1,4]，则输出 y 值的取值 范围是( ) A．[0,2] B．[－1,2] C．[－1,15] D．[2,15] (2)如图所示的程序框图的运行结果为 S＝20，则判断框中可以填入的关于 k 的条件是 ( ) A．k>9? B．k≤8? C．k<8? D．k>8? 解析 (1)因为－1≤x≤4，所以当－1≤x≤1 时，y∈[－1,0]；当 18？”。 答案 (1)B (2)D 考点二算法的交汇性问题微点小专题 方向 1：与古代文化的交汇 【例 2】 (2019·贵阳监测)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世 界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如 图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的 n 的值为( ) A．20 B．25 C．30 D．35 解析 执行程序框图，n＝20，m＝80，S＝60＋80 3 ＝862 3 ≠100；n＝21，m＝79，S＝63 ＋79 3 ＝891 3 ≠100；n＝22，m＝78，S＝66＋78 3 ＝92≠100；n＝23，m＝77，S＝69＋77 3 ＝942 3 ≠100； n＝24，m＝76，S＝72＋76 3 ＝971 3 ≠100；n＝25，m＝75，S＝75＋75 3 ＝100，退出循环。所以 输出的 n＝25。 解析：设大和尚有 x 个，小和尚有 y 个，则 x＋y＝100， 3x＋1 3 y＝100， 解得 x＝25， y＝75， 根据程 序框图可知，n 的值即大和尚的人数，所以 n＝25。 答案 B 读懂题意，用现代数学的方法解决。 方向 2：与函数的交汇 【例 3】 某市乘坐出租车的收费办法如下： (1)不超过 3 千米的里程收费 10 元； (2)超过 3 千米的里程按每千米 2 元收费(对于其中不足千米的部分，若其小于 0．5 千 米则不收费，若其大于或等于 0．5 千米则按 1 千米收费)，当车程超过 3 千米时，另收燃油 附加费 1 元。 相应系统收费的程序框图如图所示，其中 x(单位：千米)为行驶里程，y(单位：元)为 所收费用，用[x]表示不大于 x 的最大整数，则图中①处应填( ) A．y＝2[x＋0．5]＋4 B．y＝2[x＋0．5]＋5 C．y＝2[x－0．5]＋4 D．y＝2[x－0．5]＋5 解析 由题意结合程序框图可得，①处应填入当 x>3 时收取的费用，结合收费办法可得 y＝10＋[x－3＋0．5]×2＋1＝2[x＋0．5]＋5。故选 B。 答案 B 与函数交汇的程序框图问题，常见的有条件结构的应用、分段函数的求值问题，读图时 应正确理解题意，根据相应条件选择与之对应的运算法则求值。 方向 3：与数列的交汇 【例 4】 如图是一个算法的程序框图，如果输入 i＝0，S＝0，那么输出的结果为( ) A．2 3 B．3 4 C．4 5 D．5 6 解析 模拟程序框图运行过程，如下： i＝1，S＝ 1 1×2 ，满足循环条件； i＝2，S＝ 1 1×2 ＋ 1 2×3 ，满足循环条件； i＝3，S＝ 1 1×2 ＋ 1 2×3 ＋ 1 3×4 ，满足循环条件； i＝4，S＝ 1 1×2 ＋ 1 2×3 ＋ 1 3×4 ＋ 1 4×5 ，不满足循环条件。 此时 S＝ 1 1×2 ＋ 1 2×3 ＋ 1 3×4 ＋ 1 4×5 ＝1－1 2 ＋1 2 －1 3 ＋1 3 －1 4 ＋1 4 －1 5 ＝1－1 5 ＝4 5 。 答案 C 解决与数列求和交汇的程序框图问题的关键有以下两个方面：一是循环结构的识图、推 理，将其输出结果呈现为一个数列求和的形式；二是结合数列求和的知识对结果进行求和运 算。常见题型为等差数列、等比数列求和，裂项相消法求和以及周期分组法求和。 【题点对应练】 1．(方向 1)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今 有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程 序框图描述，如图所示，则输出结果 n＝( ) A．5 B．4 C．3 D．2 解析 n＝1，S＝2；n＝2，S＝2＋1 2 ＋2＝9 2 ；n＝3，S＝9 2 ＋1 4 ＋4＝35 4 ；n＝4，S＝35 4 ＋1 8 ＋ 8>10，结束循环。则输出的 n 为 4。故选 B。 答案 B 2．(方向 2)执行如图所示的程序框图，若输出 S 的值为 4，则判断框中填入的条件可能 是( ) A．k<18? B．k<17? C．k<16? D．k<15? 解析 由题设中程序框图所提供的算法程序可知：S＝1×log2(2＋1)＝log23，k＝3；S ＝log23×log34＝2，k＝4；S＝2×log45＝2log45，k＝5；S＝2×log45·log56＝2log46，k＝ 6；S＝2×log46·log67＝2log47，k＝7；…；S＝2log416＝4，k＝16，不满足循环条件，输 出 S＝4。所以判断框内可能为“k<16？”。 答案 C 3．(方向 3)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是31 32 ，则输入的 a 为( ) A．6 B．5 C．4 D．3 解析 当 n＝1 时，S＝1 2 ；当 n＝2 时，S＝1 2 ＋1 22＝3 4 ；…；当 n＝4 时，S＝1 2 ＋1 22＋1 23＋1 24 ＝15 16 ；当 n＝5 时，S＝1 2 ＋1 22＋1 23＋1 24＋1 25＝31 32 ，此时输出 S。故 4100，n＝n＋1 B．i>100，n＝n＋2 C．i>50，n＝n＋2 D．i≤50，n＝n＋2 解析 经第一次循环得到的结果是 S＝1 2 ， n＝4， i＝2； 经第二次循环得到的结果是 S＝1 2 ＋1 4 ， n＝6， i＝3； 经第三次循环得到的结果是 S＝1 2 ＋1 4 ＋1 6 ， n＝8， i＝4。 据观察 S 中最后一项的分母与 i 的关系是：分母＝2(i－1)，令 2(i－1)＝100，解得 i ＝51，即需要 i＝51 时输出 S。 故图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句分别是 i>50，n＝n＋2。 答案 C